数学：16.8等腰梯形与直角梯形教案（北京课改版八年级下）

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教学课题： §16.8等腰梯形与直角梯形 课时3
教学目标：
知识与技能：1.探索并了解等腰梯形、直角梯形的有关性质、判定和四边形是等腰梯形的条件；
2．解决梯形问题的指导思想，即将梯形转化为平行四边形和三角形．
3．会灵活运用等腰梯形的性质解决相关问题．
过程与方法：1.经历操作、猜想、证明的探索过程，感受研究问题的方法；
2.经历借助添加辅助线将梯形转化为三角形和平行四边形的过程，体会将复杂问题转化为简单问题，将未知转化为已知的方法.
情感与态度：1.培养和发展学生的推理能力，渗透图形转化思想；
2．培养学生敢于探索、独立自主学习的精神.
教学重点：等腰梯形的性质和判定．
教学难点：解决梯形问题的化归思想即梯形作图思路的分析．
教学方法：引导探究法
教学过程：　
第1课时 等腰梯形的性质
一．探究新课
前面我们学习了梯形的有关性质，今天继续研究特殊的梯形．
1．梯形的分类：
　(1)直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
(2)等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
2．直角梯形和等腰梯形都是特殊的梯形，梯形、直角梯形、等腰梯形之间的关系：
想一想：
“既是直角梯形，又是等腰梯形”，这样的梯形存在吗？
学生思考后回答。
下面我们研究等腰梯形的性质。
议一议： 在等腰三角形中，有“等角对等边”，那么，在等腰梯形中，是不是也有类似的性质？
引导学生思考、讨论、交流。并写出已知、求证。
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
求证：∠B＝∠C．
分析：我们知道“等腰三角形两个底角相等”，因此我们若把等腰梯形同一底上的两个底角转化为等腰三角形两底角即可，过D作DE∥AB交BC于E，则∠1＝∠B，DE＝DC，易证：∠B＝∠C．
证明：过点D作DE∥AB，交BC于E，得到△DEC．
　　∵AD∥BC　DE∥AB
　　∴AB＝DE
　　∵AB＝CD
　　∴DE＝CD
　 ∴∠1＝∠C
　　又∵∠1＝∠B
∴∠B＝∠C
由此可知：
　等腰梯形的性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个角相等．
想一想：等腰梯形的对角线相等吗？
如图,已知：在梯形ABCD中，AD∥BC, AB=DC ，
求证：AC=BD ．
分析：要证AC=BD只要用等腰梯形的性质定理得出 ABC=DCB，然后再利用ABC≌DCB，即可得出AC=BD．
证明过程：（略）．
由此得到:
等腰梯形的性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等．
除此之外，等腰梯形还是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线。
二、巩固与提高
例1 如图，延长等腰梯形ABCD的两腰BA与CD交于点E，说出图中的等腰三角形，并简述理由。
解： EBC和 EAD都是等腰三角形。
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴B=C.（等腰梯形在同一底的两角相等）
∴EBC是等腰三角形.（等角对等边）
∵AD∥BC,
∴EAD=B, EDA=C(两直线平行，同位角相等)
∴EAD=EDA.
∴ EAD是等腰三角形.
课堂练习
1．判断：
(1)等腰梯形是轴对称图形． （ ）
(2)梯形中也有中心对称图形． （ ）
(3)一组对边平行且相等的四边形是梯形． （ ）
(4)一组对边平等但不相等的四边形是梯形． （ ）
(5)梯形的两腰有时也可以平行． （ ）
2．已知中梯形ABCD，如果DC∥AB,AD=BC, ∠A=600,
DB⊥AD.那么∠DBC=______ , ∠C=_______ .
三、课堂小结：
通过本讲的学习应掌握：
1、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念．
2、 等腰梯形的性质：
(1)等腰梯形同一底上的两个角相等．
(2)等腰梯形的两条对角线相等．
四、课后作业：
第2课时 等腰梯形的判定
一、问题，引导探索
1、复习：等腰梯形的定义是什么？学生回答。教师点评。我们知道，定义既可以作为性质定理，又可以作为判定定理使用。
议一议：除了运用定义外，还有判定等腰梯形的其他方法吗？
鼓励学生大胆猜想，小心求证。
二、构造几何模型，探究证法：
已知：梯形ABCD，AD∥BC，∠B=∠C，
求证：梯形ABCD是等腰梯形。
证明：过D作DE∥AB，交BC于E点.
∴∠B=∠DEC(两直线平行，同位角相等)
∵AD∥BC（已知）
∴四边形ABED是平行四边形
∴AB=DE（平行四边形对边相等）
又 ∵∠B=∠C（已知）
∴DE=DC（等边对等角）
∴AB=DC（等量代换）
∴梯形ABCD是等腰梯形
其次，介绍另两种方法（由学生分析思路）
分别延长两腰交于一点，通过△EAD、△EBD都是等腰三角形来证明指导学生来完成。
作梯形ABCD的高AE、DF通过证明Rt△ABE≌Rt△DCF来证明。
指导学生来完成.
三、归纳总结，形成结论
通过证明：验证了命题的正确性，从而得到：
等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形
符号语言表示：梯形ABCD中，∵∠B=∠C
∴AB=DC
方法总结：梯形问题转化为特殊四边形及三角形问题解决。
指出：1、等腰梯形判定方法有2种：
1. 两腰相等 （定义）
2. 同一底上的两个角相等 的梯形是等腰梯形。 （定理）
问题： 对角线相等的梯形是等腰梯形吗？(布置课下思考)
2、引导学生发现：等腰梯形的对角线与两底构成的两个三角形是等腰
三角形。
小结：同样体现了转化思想、建模思想。
议一议：在研究有关等腰梯形的问题时，常常通过添加辅助线把等腰梯形的问题转化为等腰三角形的问题来解决。怎样添加辅助线可以把等腰梯形和等腰三角形联系起来？
学生思考、讨论、交流后形成共识：
(1)移动一腰即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，如图a，把梯形分成一个平行四边形ABED和一个等腰三角形即△DEC．
(2)从同一底的两个端点作另一底的垂线如图b，把等腰梯形分成矩形 　　　　　　　AEFD和两个全等的直角三角形即Rt△ABE≌Rt△DCF．
(3)延长梯形的两腰交于一点，如图c，得到两个等腰三角形即△EBC和△EAD都是等腰三角形．
（4）做对角线的平行线，得到平行四边形和等腰三角形
四、讲练结合、灵活运用.
例1、如图，梯形ABCD中BC∥AD，DE∥AB，DE=DC，A=100，
求梯形其他三个内角的度数.
解：∵ BC∥AD，DE∥AB
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DE.
又∵DE=DC，
AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形.
C=B=180-A=80,
ADC=A=100
例2、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是下底BC的中点，且∠EAD=∠EDA，
求证：梯形ABCD是等腰梯形．
学生思考，讨论。得出证题方法。证明（略）
五、课堂练习、发展思维
P98 练习1-4
六、归纳总结，完善结构
1. 判定梯形是等腰梯形的方法是什么？
2. 解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．
七、布置作业
八、课后反思
第3课时 综合习题课
一、知识要点
1.梯形、等腰梯形、直角梯形的概念与性质.(由学生自己完成)
图形 定义 性质
边 角 对角线 对称性 常见辅助线
梯形
等腰梯形
直角梯形
二、典型例题分析，总结解题方法和数学思想方法
例：已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AD和AC为边作ACED，DC的延长交EB于F.
求证：EF=FB.
分析：（1）分解基本图形：“ACED及对角线”，三个梯形.
（2）应用分析综合法探求解题思路，添加辅助线，将EF，
FB放在“证明两线段相等”所对应的基本图形中.
(3) 总结目前证明两条线段相等的方法，添设相应的辅助线.
特殊四边形的边、对角线的性质；
平行线间的距离相等；
过三角形一边的中点与底边平行的直线必平分第三边；
过梯形一腰的中点与底边平行的直线必平分另一腰. （补充）
说明：本题添加辅助线分为四大类.
(1) 构造三角形中位线或梯形中位线.
（延长EC交AB于G） （作EG∥DC交AD延长线于G） （联结AE） （作DG∥AC交BA延长线于G）
（2）构造全等的三角形
（3）构造等腰三角形，作FG=FB，联结EG .
(4) 构造以EB为对角线的平行四边形
三、课堂练习，巩固知识
（一）选择题：
1．四边形四个内角的度数之比为2：2：1：3，则此四边形是（ ）
A 任意四边形 B 任意梯形 C 等腰梯形 D 直角梯形
2．在周长为40cm的梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC交BC于E，AD＝5cm，则△ABE的周长为（ ）
A 40cm B 30cm C 20cm D 15cm
3．以线段a＝16，b＝13，c＝10, d＝6为边画梯形，其中a、c为两底，这样的梯形（ ）
A 可画一个 B 能画二个 C 能画无数个 D 不能画
4．梯形上底长为6cm，过上底一个顶点引一腰的平行线交下底所得三角形周长为5cm，那么这个梯形周长为（ ）
A 151cm B 201cm C 207cm D 263cm
5．下列图形中不是中心对称图形的是（ ）
A 线段 B 矩形 C 等腰梯形 D 正方形
6．等腰梯形的上底与高相等，下底是高的3倍，则底角的度数为（ ）
A 60 B 45 C 30 D 无法确定
7. 等腰梯形两底之差等于腰长，则底角为（ ）
A 75 B 60 C 45 D 30
8. 在四边形ABCD中AD∥BC，则A: B: C: D的可能是（ ）
A 4:5:2:7 B 2:4:5:7 C 7:5:4:2 D 5:7:2:4
9 . 梯形的两底长分别为16和8，两底角分别为60和30，则较长的腰长是（ ）
A 4 B 4 C 8 D 18
（二）解答题：
1．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，延长AB到点E，使BE＝DC，连结CE，
（1）试说明四边形DBEC是平行四边形；
（2）AC与CE长度的大小关系怎样？请说明理由．
2．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠D=1200，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，求AC的长及梯形面积S .
四、师生共同小结
1.基本方法.
（1）利用基本图形结构使知识系统化；
（2）证明两条线段相等的方法及和差关系的方法，两线垂直、平行的方法.
（3）利用变换的思想添加辅助线的方法.
（4）探究解题思路时的分析、综合法.
2.基本思想及观点：
（1）“特殊---一般---特殊”认识事物的方法；
（2）化归的思想；
3. 总结梯形中常用的辅助线，掌握化归的思想.
梯形中添加辅助线常常可以将梯形化归为三角形、平行四边形、矩形、直角梯形等.同时，还可以集中梯形中分散的已知条件，如右图中将梯形的两腰、两底角、两边之差集中到了一个三角形中.
另外还要注意：（1）从图形变换及化归角度理解梯形中
常用辅助线的作法及作用.
平移
旋转
对称
（2）其它几种作法.
一般梯形中，过上底两端点作下底的垂线；
向上延长两腰构成三角形；
五、作业：
六、课后反思：
作FG∥CA
作EG┴DF，BH┴DF
作FG∥DA
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