5.5确定圆的条件同步辅导（含答案）
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文档简介
5.5确定圆的条件
一知识梳理
1、确定圆的条件：（1） （2） 。
2、直角三角形的外接圆的直径是 。
3、圆内接四边形的对角 ，外角等于它的 。
二、典例精析
1、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是哪一块？
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（1题图） （3题图） （5题图） （6题图）
2、直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是 ．
3、如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD DC=PA BC．
三、对应练习
4、给定下列图形可以确定一个圆的是（ ）
A．已知圆心 B． 已知半径 C． 已知直径 D． 三个点
5、如图，点A、B、C ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 度．
6、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（ ）
A．110° B． 90° C． 70° D． 50°．
7、如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于 ．
（7题图） （8题图） （10题图） （12题图）
8、如图，点ABC在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是（ ）
A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
9、点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B． 100° C． 40°或140° D． 40°或100°
10、如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则以A，B，C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，3） B． （3，2） C． （3，1） D． （1，3）
11、直角三角形的两直角边分别3，4；则它的外接圆半径R= ．
12、如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为 ．
13、如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（ ）
A． B． C． 2 D．
（13题图） （14题图） （15题图）
14、如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（ ）
A．80° B． 100° C． 60° D． 40°
15、如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆．
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC=AE；
（2）求线段DE的长；
（3）求△ABC的外接圆的面积．
17、如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
参考答案
1、② 2、8或10 3、证明：如图，连接AC，连接BD．∵DP∥AC，∴∠PDA=∠DAC．
∵∠DAC=∠DBC，∴∠PDA=∠DBC．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAP=∠DCB．∴△PAD∽△DCB．
得PA：DC=AD：BC，即AD DC=PA BC．
4、C 5、 60 度6、A．7、 65 °．8、C． 9、C． 10、A
11、2或2.5 12、（2，1） 13、A．14、A
15、解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴∠AEB=∠AEC=90°，
在Rt△ABE中，∵sinB=，∴AE=ABsinB=3sin45°=3×=3，
∵∠B=45°，∴∠BAE=45°，∴BE=AE=3，
在Rt△ACE中，∵tan∠ACB=，
∴EC====，∴BC=BE+EC=3+；
（2）连接AO并延长到⊙O上一点M，连接CM，
由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=，∴AC=2，
∵∠D=∠M=60°，∴sin60°===，解得：AM=4，∴⊙O的半径为2．
16、（1）证明：∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角，
∴AD为圆O的直径，∴∠AED=90°，
又∵AD是△ABC的∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠EAD，∴CD=DE
在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，∴AB===13，
设DE=x，则BD=12﹣x，BE=13﹣5=8，故x2+82=（12﹣x）2，解得：x=，
故DE的长为：；
（3）解：由（2）得：△ABC外接圆的半径=AB=×13=，面积为：π×（）2=π．
17、（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴∴BD=CD．
（2）B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：，
∴∠BAD=∠CBD，
又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
一知识梳理
1、确定圆的条件：（1） （2） 。
2、直角三角形的外接圆的直径是 。
3、圆内接四边形的对角 ，外角等于它的 。
二、典例精析
1、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是哪一块？
( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
（1题图） （3题图） （5题图） （6题图）
2、直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是 ．
3、如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD DC=PA BC．
三、对应练习
4、给定下列图形可以确定一个圆的是（ ）
A．已知圆心 B． 已知半径 C． 已知直径 D． 三个点
5、如图，点A、B、C ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 度．
6、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（ ）
A．110° B． 90° C． 70° D． 50°．
7、如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于 ．
（7题图） （8题图） （10题图） （12题图）
8、如图，点ABC在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是（ ）
A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
9、点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B． 100° C． 40°或140° D． 40°或100°
10、如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则以A，B，C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，3） B． （3，2） C． （3，1） D． （1，3）
11、直角三角形的两直角边分别3，4；则它的外接圆半径R= ．
12、如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为 ．
13、如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（ ）
A． B． C． 2 D．
（13题图） （14题图） （15题图）
14、如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（ ）
A．80° B． 100° C． 60° D． 40°
15、如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆．
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC=AE；
（2）求线段DE的长；
（3）求△ABC的外接圆的面积．
17、如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
参考答案
1、② 2、8或10 3、证明：如图，连接AC，连接BD．∵DP∥AC，∴∠PDA=∠DAC．
∵∠DAC=∠DBC，∴∠PDA=∠DBC．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAP=∠DCB．∴△PAD∽△DCB．
得PA：DC=AD：BC，即AD DC=PA BC．
4、C 5、 60 度6、A．7、 65 °．8、C． 9、C． 10、A
11、2或2.5 12、（2，1） 13、A．14、A
15、解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴∠AEB=∠AEC=90°，
在Rt△ABE中，∵sinB=，∴AE=ABsinB=3sin45°=3×=3，
∵∠B=45°，∴∠BAE=45°，∴BE=AE=3，
在Rt△ACE中，∵tan∠ACB=，
∴EC====，∴BC=BE+EC=3+；
（2）连接AO并延长到⊙O上一点M，连接CM，
由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=，∴AC=2，
∵∠D=∠M=60°，∴sin60°===，解得：AM=4，∴⊙O的半径为2．
16、（1）证明：∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角，
∴AD为圆O的直径，∴∠AED=90°，
又∵AD是△ABC的∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠EAD，∴CD=DE
在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，∴AB===13，
设DE=x，则BD=12﹣x，BE=13﹣5=8，故x2+82=（12﹣x）2，解得：x=，
故DE的长为：；
（3）解：由（2）得：△ABC外接圆的半径=AB=×13=，面积为：π×（）2=π．
17、（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴∴BD=CD．
（2）B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：，
∴∠BAD=∠CBD，
又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．