数学：16.5三角形的中位线定理教案（北京课改版八年级下）

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教学课题：§16.5三角形中位线定理
教学目标：
知识与技能：1.理解并掌握三角形中位线的概念和性质定理；
2．明确三角形中位线与中线的不同;使学生能熟练应用定理进行有关证明和计算
过程与方法：引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，通过对问题的探究和变式思维训练，培养学生分析问题和解决问题的能力以及思维的灵活性．
情感与态度：激发学生的热情和兴趣，激活学生思维,对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育．
教学重点：三角形中位线的概念和三角形中位线定理的证明及应用
教学难点：三角形中位线性质定理证明中添加辅助线的思想方法．
教学方法：启发、引导、探究
教学用具：多媒体辅助教学
教学过程：
第1课时
一．画一画，观察与思考：
1.什么是三角形的中线？画出ΔABC的中线BE．取边
AB上的中点D,连结DE，线段DE是中线吗？
以上线段DE叫做△ABC的中位线，请同学们尝试定义什么叫做三角形的中位线？
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线．
问题：（1）三角形有几条中位线？（动手画一画）
（2）三角形的中位线与中线有什么区别？
得出：
①三角形的中位线与中线都是三角形中的重要线段，一个三角形有三条中位线，三条中线．
②三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形的中线只有一个端点是边的中点，另一个端点是三角形的一个顶点．
做一做：
请度量DE和BC的长度．测量∠ADE与∠ABC的度数．让学生们互相讨论所得的结果，猜想三角形的中位线有什么性质．猜想：DE和BC的关系（位置关系和数量关系）．
通过实践体会和感知出：DE∥BC，DE=BC．
你能证明你的结论是正确的吗？
二．新课探究：释疑
引导学生写出已知、求证，并启发分析．
已知：△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE∥BC；DE=BC
启发1：证明直线平行的方法有那些？
启发学生联想由角的相等或互补得出平行、由平行四边形得出平行等．
启发2：证明线段的倍分的方法有那些？（截长或补短）
学生分小组讨论，教师巡视指导，经过分析后，师生共同完成推理过程，板书证明过程．强调还有其他证法．
证明：延长中位线DE到F，使EF=DE，连结CF．
易证△ADE≌△CFE
（或证四边形ADCF为平行四边）
得AD∥FC，
又∵AD=DB，∴DB∥FC，
∴四边形DBCF是平行四边形，DF∥BC．
∵DE=DF，∴DE ∥BC，DE=BC
归纳定理，并用文字语言表述：
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
符号语言：
∵△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点（已知）
∴DE ∥BC，DE=BC（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）
引导学生分析定理：
一个条件：DE是△ABC的中位线
两个结论：一是表明位置关系——平行
二是表明数量关系——倍、分
作用：可以证明两直线平行、证明线段的相等或倍分．
想一想：
如图，小明家和学校之间有一个池塘．在没有任何工具的前提下，小明通过下面的方法估测出A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC、BC的中点M、N，并测出MN的长，由此他就知道了A、B间的距离．你能说说其中的道理吗？
三．巩固新知 变式训练：
（1）如图：DE是△ABC的中位线，
若∠1=42°，则∠C=______;若DE=4cm, 则AC=______;
（2）已知三角形三边长分别为6，8，10，顺次连接各边中点所得的三角形周长是________
由本题的图形你能否联想到一般性的结论？（如果△ABC的三边的长分别为a、b、c，那么△DGE的周长是多少？）
例：已知，如图，在△ABC中，AD=DB，BF =FC，AE=EC
求证：AF、DE互相平分．
证明：联结DF、EF
∵AD=DB，BF=FC
∴DF∥AC，同理FE∥AB
∴四边形ADFE是平行四边形
∴AF、DE互相平分
设问：你还有其他的证明方法吗？
四．梳理反思 课堂小结
1.基础知识：
⑴三角线的中位线定义以及它与三角形中线的区别；
⑵三角线中位线的性质及其应用；
2．基本技能：
（1）在三角形中给出一边中点时，要转换为中位线；
（2）线段的倍分要转化为相等问题来解决；
（3）三角形的中位线定理的发现过程所用到的数学方法（包括画图、实验、猜想、分析、归纳等）；
（4）证明“中点四边形”的辅助线的方法，连结对角线．
3．基本方法：
三角形中位线是三角形的一个重要性质定理，它的特点是：在同一个题设下，有两个结论，一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行关系，有时需要倍分关系，可以根据具体情况，按需选用．
5． 延伸学习 作业布置：
第2课时
上节课我们学习了三角形中位线的定义和定理，下面我们先来看这样的一道题：
如图：⊿ABC中，AB=6cm, BC=4cm，AC=3cm，D、E、F分别是AB,AC,BC的中点．
（1）EF=________cm，⊿DEF的周长为_______cm，⊿DEF与⊿ABC的周长比为______，⊿DEF与⊿ABC的面积比为______．
总结：三角形的中位线所分割出来的小三角形与大三角形的周长比为1 ：2，面积比为1 ：4
（2）在这个图中有______个平行四边形．
总结：三角形的中位线使得图中获得三个平行四边形．这也是其中很重要的结论之一．
练习：
1.如图：在⊿ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，若⊿DEF的周长为6cm，则⊿ABC的周长为（ ）
（A）8cm (B) 12cm (C) 14cm (D) 36cm
2.已知：在菱形ABCD中，E是AB中点，作EF∥BC交AC于点F，如果EF=4, 求CD的长．
分析：要注意的是根据题目所给的条件不能够说明EF是⊿ABC的中位线，因此，不能够直接得出BC=8cm.所以．要想办法先证明EF与BC的关系．
证明思路：延长EF交CD于点G
证明⊿AEF≌⊿CGF
得到 AF=CF ,说明EF是⊿ABC的中位线
∵EF=4，∴BC=8cm，∴CD=8cm.
总结：从这道题我们猜想，如果已知一条边的中点，并且过这个点作平行于另一条边的平行线，那么，所交于第三边的点是否为中点呢？
实际上，确实交于第三边的中点．
定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边．
补充练习：
1、 如图：已知：⊿ABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC,垂足为D,M是BC的中点．
求证：DM= AB
分析：欲证DM= AB，DM与AB的倍分关系从图中不能明确得到．
方法1：由M是BC中点这个条件可以联想到有关倍分的定理，再确定AC边的中点N，所以MN为⊿ABC的中位线，由三角形中位线定理得MN=AB，再证明MN=DM.
方法2：已知条件AD⊥BC得，Rt⊿ABD中AB为斜边，在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，所以作斜边的中线DE，有DE= AB，再证明DE=DM.
课后小结：
已知条件中有一边的中点，辅助线一般为作三角形的中线或中位线，做三角形的中线，连结中点和顶点即为中线，做三角形的中位线，一般情况是过这个中点作平行线，利用“经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边．从而做出中位线．
课后作业：
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