绝密★启用前
试卷类型：B
深圳中学2024届高三年级高考适应性测试
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答
题卡上。用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2,选择题每小题选出答案后，用B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非逃择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题耳指定区域内相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以
上要求作答的答案无效。
4.考生必须保特答题卡的整洁。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1.设集合A={2,a2-a+2,1-4},若4∈A,则a的值为（)
A.-l,2
B.-3
C.-1,-3,2
D.-3,2
2.若复数z=1°-1+2-+…+2022-202+2024，则4=（)
A.0
B.2
C.1
D.2
3.已知不重合的平面“，B及不重合的直线m,,则()·
A.若m∥，a∥B,则m∥B
B.若m⊥n,m上x,n⊥p,则a⊥B
C.若m∥n,m∥，n∥B,则a∥B
D.若m∥a,a∥B,nCB,则m∥n
4.已知=2园，若a与6的夹角为120°，则2a-五在方上的投影向量为（)
A.-36
B.
c.场
D.3b
5.一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2，x,4,5,6,则这6个点数的中位数为4的
概率为()
B
C.
6.设xx2、x为互不相等的正实数，随机变量X和Y的分布列如下表，若记DX,DY分别为X,Y的
方差，则下列说法正确的是（y
深圳中学2024届高三年级高考适应性测试数学试题日
第1页共4页
X2
X1
Y
折中2
+
x+
2
2
2
1
3
3
3
A.D(X)
8.D(X)=D(Y)
C.D(X)>D(Y)
D.D(X)与D(Y)的大小关系与x,x2,x的取值有关
7.已灿双前线C:。-是1Q>0,6>0)的左，右焦点分别为R,乃，0为坐标原点，过巧作C的一条
浙近线的垂线，垂足为D,且D=2√2OD,则C的离心率为()
A.2
B.2
c.5
D.3
8.已知0Aa+B=君B.a+B=号C.B-a=若D.B-a=骨
6
3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中随机取出两个球，设事件A=“取出
的球的数字之积为奇数'，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶
数”，则)
A.事件A与B是互斥事件
B.事件A与B是对立事件
C.事件B与C是互斥事件
D事件B与C相互独立
10.正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为棱AD和DD的中点，则下列说法正确的是(
A.AD/1平面BEF
B.B,C⊥平面BEF
C.异面直线B,D与EF所成角为60°
D.平面BEF截正方体所得藏面为等腰梯形
11.已知0ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,则（)
A.若asin4牛S=6sinA,则B=号
2
B,若(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC,则A=
6
C.若a,e成等比数列，则B≤写
D.若ab,c成等差数列，则tan2+3tanS之2
2
2
深圳中学2024届高三年级高考适应性测试数学试题B第2页共4页深圳中学 2024 届高三年级高考适应性测试数学参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D C B B A C C D AB ACD ACD
二、填空题
4 3 1 1
12．5040 13. 14． , ( )
4 9 2 2 3
1.【答案】D 【详解】 从选项入手，当a = 1时， A = 2,4,2 不满足集合中元素的互异性，故a = 1舍
去；BCD 项都有-3，只需考察当a = 2时， A = 2, 4, 1 满足集合中元素的互异性，故a = 2满足要求
2025
1 i 2025
2.【答案】C 【详解】 z =1 i + i2 i3 + + i2022 i2023 + i2023
( ) 1+ i
+i2024 = = =1
1 ( i) 1+ i
3.【答案】B 【详解】对于 A 项，若m∥ ， ∥ ，则m∥ 或m ，故 A 错误；
对于 B 项，若m ⊥ n，m⊥ ，则 n∥ 或n ，当 n∥ 时，若n ⊥ ，则 ⊥ ，当n 时，若n ⊥ ，
则 ⊥ 也成立，综上，故 B 正确；对于 C 项，若m∥n，m∥ ， n∥ ，
则 ∥ 或 ，反例如下图所示，可以说明符合条件时，两个平面有相交
的可能.故 C 错误；对于 D 项，如下图所示，m、n 可能异面，故 D 错误.
2 2
3 2
4. 【答案】B 【详解】 (2a b) b = 2a b b = 2 a b cos120 b = b ，
2
3 2
b
在 上的投影向量为 (2a b) b b b 3 2a b b = 2 = b
b b b b 2
5.【答案】A 【详解】当 x =1,2,3时，这 6 个点数的中位数为 3，当 x = 4时，这 6 个点数的中位数为 4，
1
当 x = 5,6时，这 6 个点数的中位数为 4.5，故由古典概型概率公式可得：P = .
6
1
6.【答案】C 【详解】EX = (x1 + x2 + x3 )，
3
1 x1 + x x + x x + xEY = 2 2 3 3 1
1
+ + = (x1 + x2 + x3 ) = EX
3 2 2 2 3
1 2 2 2 1 3 ( ) ( ) ( ) = x2
2
故 DX = x EX + x EX + x EX i (EX1 2 3 )
3 3 i=1
1
2 2 2
x + x x2 + x3 x3 + x DY = 1 2 + + 1
2
(EX )
3 2 2 2
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{#{QQABQYQQggAgAIJAARgCAwniCgAQkBECAAoGQEAIIAAACBFABAA=}#}
3 2 2 2 2 2 2
2 x + x x2 + x x + x 2x1 + 2x2 + 2x3 2(x1x2 + x2x3 + x3x1 ) xi 1 2 3 3 1 + + =
i=1 2 2 2 3
2 2 2 2 2 2
(x1 x2 ) + (x2 x3 ) + (x
3
3 x1 ) 2 x + x x + x x + x
= 0 ，即 x 1 2 + 2 3 + 3 1i ，
3 i=1 2 2 2
也即DX DY .
7．【答案】C【详解】如下图所示，双曲线C 的右焦点 F1 ( c,0)，渐近线 l1的方程为bx ay = 0 ，
bc bc
由点到直线的距离公式可得 DF1 = = = b2 2 c ，由勾股定理得b + ( a)
2 2 π
OD = OF DF = c2 b2 = a ，在Rt△DOF1中， ODF1 1 1 = ，2
OD a
cos DOF1 = = ，在 DOF2中， OD = a， DF2 = 2 2a ， OF2 = c，OF1 c
a
cos DOF2 = cos (π DOF1 ) = cos DOF1 = ，由余弦定理得
c
2 2 2
OD + OF DF a2 + c22 2 8a
2 a
cos DOF2 = = = ，化简得，c
2 = 5a2，即c = 5a，因此，双曲线C
2 OD OF2 2ac c
c
的离心率为e = = 5
a
8．【答案】D【详解】由已知可将2 = ( + )+ ( )，2 = ( + ) ( )，则
cos[( + )+ ( )]+cos[( + ) ( )]+1= 2cos( )+cos( + )+1，原式化为：
2cos( + )cos( ) 2cos( ) cos( + )+1= 0，即[cos( + ) 1][2cos( ) 1]= 0，
1 π π
即cos( + ) =1或cos( ) = ．又0 ，所以0 + π, 0，
2 2 2
1 π π
所以cos( + ) 1，所以选项 A，B 错误，即cos( ) = ，则 = ，所以 = ．D 对
2 3 3
9.【答案】AB【详解】对于 AB：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时
发生，且必有一个发生，故事件A 与 B 是互斥事件，也是对立事件，AB 正确；
对于 C：如果取出的数为2,4，则事件 B 与事件C 均发生，不互斥，C 错误；
C23 4 C
2 +C2 C22 1
对于 D：P (B) =1 = , P2 (C ) =
3 3 = , P
2 (BC ) =
3 =
2 ， C6 5 C6 5 C6 5
则 P (B)P (C ) P (BC )，即事件 B 与C 不相互独立，D 错误；
10．【答案】ACD【详解】对于 A，如图，连接 AD1 ，因为E，F 分别为棱 AD和DD1的中点，所以 AD1 / /EF ，
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{#{QQABQYQQggAgAIJAARgCAwniCgAQkBECAAoGQEAIIAAACBFABAA=}#}
又 AD1 平面BEF ，EF 平面BEF ，所以 AD1 / / 平面BEF ，故 A 正确；
对于 B，如图，取 AA1 中点Q，连接 A1D,QE,QB，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，
AB =CD, AB / /CD A BCD
1 1 1 1 ，所以四边形 1 1 为平行四边形，
所以 B1C / /A1D ，又Q, E分别为 AA1 ， A1D中点，则QE / /A1D，故B1C / /QE ，
设正方体棱长为2，则BE = AB2 + AE2 = 5, BQ = AB2 + AQ2 = 5,QE = AQ2 + AE 2 = 2,，故
QE2 +BE2 BQ2 ，所以QE不垂直于 BE ，故B1C 不垂直于BE ，又BE 平面BEF ，所以B1C 不垂直平
面BEF ，故 B 错误；
对于 C，如图，连接 AD1, B1A，
在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB1 = B AB D1D1 = AD1 ，即 1 1为正三角形，
因为E，F 分别为棱 AD和DD1的中点，所以EF // AD1，故异面直线B1D1与EF 所成角即为
B1D1A= 60 ，C 正确；
对于 D，如图，连接 AD1, BC1,C1F ，
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，C1D1 = AB,C1D1 / /AB，所以四边形 ABC1D1为平行四边形，则
AD1 / /BC1，又EF // AD1，所以EF / /BC1，所以B, E, F,C1四点共面，
故平面BEF 截正方体所得截面为四边形BEFC1，设正方体棱长为 2，则
BE = AB2 + AE2 = 5,C1F = C1D
2 2
1 + D1F = 5, EF = ED
2 + DF 2 = 2, BC1 = BC
2 +C 21C = 2 2 ，
所以C1F = BE, EF BC1，又EF / /BC1，故截面为四边形BEFC1为等腰梯形，故 D 正确. 故选：ACD.
A+C
11【. 答案】ACD 【详解】选项 A：由正弦定理可得sin Asin = sin Bsin A，因为 ABC中 A, B (0,π)，
2
A+C π B B B B π
A+B+C = π，所以sin = sin B，所以sin = cos = 2sin cos ，解得 B = ，A 说法正确；
2 2 2 2 2 3
选项 B：若sin2 B 2sin BsinC +sin2 C = sin2 A sin BsinC ，则由正弦定理整理可得a2 = b2 +c2 bc，
b2 + c2 a2 1 π
又由余弦定理可得 cos A = = ，因为 A (0,π)，所以 A = ，B 说法错误；
2bc 2 3
a2 + c2 b2 2ac ac 1
选项 C：若a,b,c成等比数列，则b2 = ac，根据余弦定理可得cos B = = ，当且仅
2ac 2ac 2
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{#{QQABQYQQggAgAIJAARgCAwniCgAQkBECAAoGQEAIIAAACBFABAA=}#}
π
当a = c时等号成立，所以B ，C 说法正确；选项 D：若a,b,c成等差数列，则2b = a+ c，根据正弦
3
A+C A+C A+C A C
定理可得 2sin B = sin A+sinC ，所以 2sin (A+C ) = 4sin cos = 2sin cos ，因为
2 2 2 2
A+C A C A C A C A C A C
A,C (0,π)，所以2cos = cos ，展开得2cos cos 2sin sin = cos cos + sin sin ，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A C A C A C A C A C 1
即 cos cos 3sin sin = 0 ，两边同除 cos cos 得1 3tan tan = 0，即 tan tan = ，所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
A C A C A C
tan +3tan 2 3tan tan = 2，当且仅当 tan = 3tan 时等号成立，D 说法正确；
2 2 2 2 2 2
12 ．【 答案 】 5040 【详 解】 一类 是甲 乙都参 加， 另一 类是 甲乙中 选一 人， 方法 数为
N =C3A3A2 +C1C 4 A56 3 4 2 6 5 =1440+ 3600 = 5040 ．
*
13. 【答案】 【详解】因为斐波那契数列总满足an = an 1 + an 2 (n 3，n N )，且a1 = a2 =1， 4
2 2
所以a
2
1 = a2a1， a2 = a2a2 = a2 (a3 a1 ) = a2a3 a2a1，a3 = a3a3 = a3 (a4 a2 ) = a3a4 a3a2，
a2 2 2 2 2n = anan = an (an+1 an 1 ) = anan+1 anan 1，其中n 2.累加得a1 + a2 + a3 + + an = an an+1，
S π
S = (a 2 + a 2 2
π 2024
n 1 2 + + an ) = ana =n+1，故： .
4 4 a2024 a2025 4
4 3 1 1
14.【答案】 , ( ) 【详解】第一问，考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率
9 2 2 3
1 2 2 1 4
公式可得 p1 = + = ；记 X n 1 取0,1,2,3的概率分别为 p0 , p1, p X2 , p3 ，先推导 n 的分布列.
3 3 3 3 9
4 4 4 4 1
P (X n =1) = p0 + p1 + p2， P (X n = 2) = p1 + p2 + p3，P (X n = 3) = p2 ，
9 9 9 9 9
4 5
因此E (X n ) = 0 P (X n = 0)+1 P (X n =1)+ 2 P (X n = 2)+3 P (X n = 3) = p0 + p1 + p2 + 2p3
3 3
n
1 1 4 3 1 1
=1+ ( p1 + 2 p2 +3p3 ) =1+ E (X n 1 )，结合E (X1 ) = ，可知E (X n ) = 3 3 3
.
2 2 3
3 2( ) x y
2
15. 【详解】（1）∵椭圆C 的左焦点F1 3,0 ，∴c = 3 .将Q 1, 代入 + =1(a b 0)，得
2 a
2 b2
1 3 2
+ =1 2 2 a2 2
x
. C
2 2 又a b = 3，∴ = 4,b =1，∴椭圆 的标准方程为 + y
2 =1.
a 4b 4
（2）（i）设点P (x ,y0 0 ) .①当直线PA， PB的斜率都存在时，设过点 P 与椭圆C 相切的直线方程为
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{#{QQABQYQQggAgAIJAARgCAwniCgAQkBECAAoGQEAIIAAACBFABAA=}#}
y = k (x x0 )+ y0
2
y = k (x x0 )+ y
2 2
0 .由 x2 ，消去 y ，得 (1+ 4k ) x +8k ( y0 kx0 ) x + 4( y0 kx2 0 ) 4 = 0 .
+ y =1
4
2
= 64k 2 ( y 2
2 2 2 2
0 kx0 ) 4(1+ 4k ) 4( y0 kx0 ) 4 .令 = 0，整理得 = k (4 x0 )+ 2y0x0k +1 y = 0 0 .设
1 y 2 1 (5 x 20 )
直线PA， PB的斜率分别为 k1 ， k
0
2 .∴ k
2 2
1k2 = .又 x0 + y0 = 52 ，∴ k k = = 1 . 4 x 1 20 4 x
2
0
∴ PM ⊥ PN ，即MN 为圆O的直径，∴OM +ON = 0 .
20 20 1 20 1 20
16.【详解】（1）因为 xi = 60, yi =1200，则 x = xi = 3, y = yi = 60，于是
i=1 i=1 20 i=1 20 i=1
20
xi yi 20xy
i=1 4400 20 3 60b = = =10
20 2 ， a = y b
x = 60 10 3 = 30，
260 20 3
x2i 20x
2
i=1
所以 y 关于 x的线性经验回归方程为 y =10x+30 .
（2）（i）设D “随机抽取一件新饮料，是设备A 生产的”，则D =“随机抽取一件新饮料，是设备 B 生
产的”，E = “随机抽取一件新饮料为不合格品”，依题意
2 1
P (D) = , P (D) = , P (E | D) = 0.009, P(E | D) = 0.006，
3 3
2 1
所以P (E ) = P (D)P (E | D)+ P (D)P (E | D) = 0.009+ 0.006 = 0.008；
3 3
（ii）设C = “抽到一件不合格的新饮料，它是设备A 生产的”，则
P (DE ) P (D)P (E | D) 2 0.009 3
P (C ) = P (D | E ) = = = = ，
P (E ) P (E ) 3 0.008 4
3
设 X 表示三件不合格新饮料来自设备A 生产的件数，则 X B(3, )，所求事件的概率为
4
3 1 3 27
P (X 2) = P (X = 2)+ P (X = 3) = C23 ( )
2 +C3 ( )33 = .
4 4 4 32
1 1 1 x 1
17．【详解】（1）函数 f (x) = ln x + 1的定义域为 (0,+ )，求导得 f (x) = = ，
x x x2 x2
当0 x 1时， f (x) 0，当 x 1时， f (x) 0，则函数 f (x)在(0,1)上递减，在 (1,+ )上递增，
所以函数 f (x)在 x =1处取得极小值 f (1) = 0，无极大值.
1 1 x 1
（2）证明：由（1）知， f (x) 0，即 ln x + 1 0， ln x 1 = ，
x x x
x
因此 ln(x +1) ，当且仅当 x = 0时取等号，
x +1
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1
1 1
x = (n N ) ln +1 n
1+ n 1 1
令 ， ，则 ln , ln (n+1) ln n + ，
n n 1 +1 n n+1 n+1
n
ln(2n) ln n = ln(n+1) ln n+ ln(n+2) ln(n+1)+ ln(n+3) ln(n+2)
1 1 1 1
+ + ln(2n) ln(2n 1) + + + + ，而 ln (2n) ln n = ln 2，
n+1 n+ 2 n+3 2n
1 1 1 1
所以 + + + + ln 2 .
n +1 n + 2 n + 3 2n
18．【详解】（1）如图， EF 为液面，EF∥水平线，∴∠BEF＝β，
∵AD∥BC，∴∠DFE＝∠BEF＝β，∵∠ABC＝ ，∴α＋β＝ ，
2 2
图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角为 = ．
2
r r cos c
a = ,b = r c = e = = cos = sin
sin sin a
（2）如图，过 F 作 FQ∥CD 交 BC 于 Q，在Rt△CDF 中， FCD = ，
CD = 20，则DF = 20tan ， AF = 30 20tan ．此时容器内能容纳的
溶液量为：
1 1
V =V圆柱 + V圆柱 = 10
2 (30 20 tan )+ 20 tan =1000 (3 tan )FB FC ， 2 2
容器中原有溶液量为 102 20 = 2000 ，令1000 (3 tan ) 2000 ，解得 tan 1， 45 ，
所以 的最大角为 45°时，溶液不会溢出．
（3）给该圆柱容器外面套一个外切正四棱柱，即底面边长为 20cm、高为 30cm
的正四棱柱，液面高度为 20cm. 如图b ，当 = 60 时，过C 作CF / /BP ，交 AB
于 F ，在直角 CBF 中，BC = 30cm, BCF = 30 , BF =10 3 ，所以点F 在线段 AB
1
上，故溶液纵截面为直角 CBF ，因为 S ABF = BC BF =150 3 cm
2 ，容器内
2
溶液量为150 3 20 = 3000 3 cm3，倒出的溶液量为 (8000 3000 3) 2804 3000，这倒出的 2804
毫升液体，是原圆柱倒出的液体与夹在圆柱和外切正四棱柱之间的液体的和，所以圆柱容器也不能实现
要求．
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19．【详解】(1)
C2(x) = x+1 （1 分）
2 2 4 4
C 23(x) = x cos + i sin x cos + i sin = x + x +1 （3 分）
3 3 3 3
当n = 6时，与 6 互质且小于等于 6 的正整数只有 1 和 5，从而
5 5
C (x) = x cos + i sin x cos + i sin = x26 x +1 （5 分）
3 3
3 3
(2)当 p 是质数时，与 p 互质且小于等于 p 的正整数有1,2, , p 1，只有 p 与自己不互质. 根据分圆多
2k 2k
项式的定义，我们有Cp (x) = (x z1 )(x z2 ) (x zp 1 )，其中 zk = cos + isin , k =1,2, , p 1，
p p
2p 2p
zp = cos + isin =1 . （8 分）
p p
p
由题意 x 1= (x z1)(x z2 ) (x zp ) ，
x p 1 x p 1
从而C p 1p (x) = = = x + + x +1 （10 分）
x z x 1 p
(3 不存在，我们采用反证法. （11 分）
假设存在正整数q,r 和 s使得Cq (x) Cr (x)Cs (x)对任意复数 x 恒成立.
a q若 为q次本原单位根，则a =1且Cq (a) = 0 ，从而有Cr (a)Cs (a) = Cq (a) = 0 .
若Cr (a) = 0，则Cr (a) = (a 1 )(a 2 ) (a k ) = 0 ，则存在1 j k 使得a j = 0 ，即a = j
r
成立，从而 a为 r 次本原单位根，a =1 . 根据本原单位根的等价定义， 此时必有 r = q ，否则可导出
矛盾. 这时我们有Cq (x) Cr (x) ，因此C (x) 1，但这是不可能的. s
同理若Cs (a) = 0， 我们也可以得出矛盾.
从而不存在正整数q,r 和 s使得Cq (x) Cr (x)Cs (x)对任意复数 x恒成立. （17 分）
深圳中学 2024 届高三年级高考适应性测试 数学试题 A 第 7 页 共 7 页
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