广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2023-2024学年九年级下学期数学开学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020七上·滦州期末）如图所示的是某用户微信支付情况，-100表示的意思是（ ）
A．发出100元红包 B．收入100元
C．余额100元 D．抢到100元红包
2．（2024九下·南山开学考）九班选派名学生参加演讲比赛，他们的成绩如下：
选手 平均成绩 中位数
成绩分
则如表中被遮盖的两个数据从左到右依次是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．（2024九下·南山开学考）如图是一个正方体的平面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式的乘积都小于，则整数的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·张家界）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·郑州期末）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=45°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．15° B．10° C．20° D．25°
6．（2024九下·兴宁月考）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线即圆弧，高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九下·南山开学考）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，将菱形沿轴向右平移个单位长度，再沿轴向下平移个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九下·南山开学考）下列哪一个是假命题（ ）
A．五边形外角和为
B．切线垂直于经过切点的半径
C．关于轴的对称点为
D．抛物线对称轴为直线
9．已知反比例函数y=在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024九下·南山开学考）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图是发动机的实物剖面图，图是其示意图，图中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点、是直线与的交点；当点运动到时，点到达，当点运动到时，点到达；若，，则下列结论正确的是（ ）
；；当与相切时，；当时，．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2023·深圳）小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为 ．
12．（2024九下·南山开学考）若，，则代数式的值为 ．
13．（2024九下·南山开学考）如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为 ．
14．（2023·攀枝花）如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为 ．
15．（2023·山西）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（2024九下·南山开学考）先化简，再求值：，其中．
17．（2024九下·南山开学考）为了启发学生的阅读自觉性，培养学生的学习毅力，学校决定开展“读书月”活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成五类：艺术、文学、科普、传记、其他根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图每位同学必选且只选最喜欢的一类，根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共有 名，喜欢“文学”类的学生有 名；
（2）在扇形统计图中“科普”类所对应的圆心角的度数是 ，“其他”类所对应的百分比是 ；
（3）如果要在这五类图书中任选两类进行调查，恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率是 ．
18．（2024九下·南山开学考）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点点、均在格点上，只用无刻度的尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点在格点上．
（1）在图中，的面积为；
（2）在图中，的面积为；
（3）在图中，是面积为的钝角三角形．
19．（2024九下·南山开学考）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量克随时间分钟变化的数据，并分别绘制在直角坐标系中，如图所示．
（1）从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
20．（2024九下·南山开学考）学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象如图，我们把称为折射率其中代表入射角，代表折射角．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，．
（1）求入射角的度数．
（2）若，求光线从空气射入水中的折射率参考数据：，，
21．（2024九下·南山开学考）综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．
（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图，设其中心到顶点的距离是，以车轮转动一次以一个顶点为支点旋转为例，中心的轨迹是，，圆心角此时中心轨迹最高点是即的中点，转动一次前后中心的连线是水平线，请在图中计算到的距离．
（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图，设其中心到顶点的距离是，以车轮转动一次以一个顶点为支点旋转为例，中心的轨迹是，，圆心角此时中心轨迹最高点是即的中点，转动一次前后中心的连线是水平线，请在图中计算到的距离结果保留根号．
（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图，设其中心到顶点的距离是，以车轮转动一次以一个顶点为支点旋转为例，中心的轨迹是，圆心角 ．此时中心轨迹最高点是即的中点，转动一次前后中心的连线是水平线，在图中计算到的距离 结果保留根号．
（4）归纳推理：比较，，大小： ，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线水平线的距离 填“越大”或“越小”．
（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图，其中心即圆心的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线水平线的距离 这样车辆行驶平稳、没有颠簸感所以，将车轮设计成圆形．
22．（2024九下·南山开学考）本小题分
探究函数的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中， ▲ 根据如表数据，在图所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标；
（3）在图中，当在一切实数范围内时，抛物线交轴于，两点点在点的左边，点是点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，不含端点于，两点当直线与抛物线只有一个公共点时，与的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如图某用户微信支付情况， 表示的意思是发出100元红包
故答案为：A．
【分析】根据用正负数表示两种具有相反意义的量解答即可．
2．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：根据题意：设B的成绩为x，可得平均成绩为：，
解得：x=84.
成绩按从小到大顺序排列为：82，84，86，88，故中位数为.
故答案为：B.
【分析】根据平均数的计算公式可求得B的成绩，将4个成绩按照从小到大顺序排列，中间两个数的平均数即为中位数.
3．【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据题意，4(2x－3)<0，-3(3x－1)<0，
解得：，
故整数x的值为1.
故答案为：B.
【分析】正方体的平面展开图中，同一行或同一列中隔一个面的两个面为相对面，同一行或同一列中小于3个面时隔一个面再拐弯，即可得到相对面.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项对选项逐一判断即可求解。
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AF，
∴∠CDE=∠CFA=45°，
∵∠CFA=∠B+∠BAF，∠B=30°，
∴∠BAF=15°.
故答案为：A.
【分析】由二直线平行，同位角相等可得∠CDE=∠CFA=45°，由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠CFA=∠B+∠BAF，据此计算.
6．【答案】B
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵CA、CB是切线
∴∠0AC=∠OBC=90°
∵∠=60°
∴∠ACB=180°-∠=180°-60°=120°
∴∠AOB=360°-∠ACB-∠0AC-∠OBC=360°-120°-90°-90°=60°
∴ ==（km）
故选：B.
【分析】根据切线的性质求出∠0AC、∠OBC的度数，再利用四边形内角和求出∠AOB的度数，最后利用弧长公式求解即可.
7．【答案】A
【知识点】菱形的性质；平移的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图：
过点C作CE⊥AO于点E.
∵A（-2，0），
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AO=OC=BC=2.
∵，CE⊥AO，
∴，，
∴点C坐标，
∴点B坐标
故菱形沿轴向右平移个单位长度，再沿轴向下平移个单位长度后，可得点的坐标
故答案为：A.
【分析】根据菱形性质和点A坐标以及可求得点B的坐标，再根据平移规律即可得到点的坐标.
8．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、任意多边形的外角和都是360°，故A选项正确，不符合题意；
B、切线垂直于经过切点的半径说法正确，B选项正确，不符合题意；
C、关于y轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相等，故C选项错误，符合题意；
D、的对称轴为，故D选项正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据多边形的外角和定理，切线性质，关于y轴对称的两个点的坐标特征以及抛物线的对称轴的计算方法对4个选项逐个判断即可.
9．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意得，
一次函数y=-x+b的图象经过（1，k）
代入得-1+b=k，即，
抛物线，当x=0时，，
当x=1时，，
即抛物线图象交y轴正半轴，过（1，-1），
符合条件的选项只有A，
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数y=在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象，可得，把点（1，k）代入y=-x+b得，函数 ，当x=0时，，当x=1时，，结合选项即可得解.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；直线与圆的位置关系；切线的性质
【解析】【解答】解： ①当点A运动到F时，点B到达D，
∴AB=FD=CD+CF=2×OB+ CF=10+CF=12.
∴CF=2.
∴①正确；
②当点A运动到时，点B到达，
∴OE=OC+CE=OB+ AB=5+12=17.
∴CE=12.
∴EF=CE－CF=12－2=10.
∴②错误；
当与相切时， AB⊥OB.
在Rt△AOB中，AB2+OB2=AO2，
即.
∴EA=EO－AO=17-13=4.
∴③正确；
当时， 如图：
，
∴.
∴，
∴EA≠AF.
④错误.
故答案为：B.
【分析】根据点A运动到F时，点B到达D得FD=AB=FC+CD，可求的FC的长，从而可判断①；根据点A运动到时，点B到达可得OE=OC+CE=OB+ AB，可求得CE长，从而可得EF长，可以判断②；根据与相切得AB2+OB2=AO2，可求得AO长，从而可求得EA长，可以判断③；根据得AB2－OB2=AO2，可得AO长，从而可求得EA和AF，从而可判断④.
11．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：P（ 拿到《红星照耀中国》）=.
故答案为：.
【分析】根据概率公式，用《红星照耀中国》的数量除以数的总数量即可算出答案.
12．【答案】
【知识点】因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
=－9
故答案为：－9.
【分析】先对代数式分解因式，再把，代入，即可得到代数式的值.
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图：
连接DE，
由题意得：MN垂直平分AD.
∴AE=DE.
∴∠A=∠ADE=45°，
∴∠AED=90°.
∵四边形ABCD是菱形，边长为8，
∴DC//AB，DC=AD=8.
∴∠CDE=∠AED=90°，.
∵
故答案为：.
【分析】连接DE，根据作图可得MN垂直平分AD，根据垂直平分线的性质和∠A=45°可求得∠AED的度数，以及DE长，根据菱形性质可得∠EDC的度数和DC长，从而可求CE长.
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，作轴，垂足为．
由题意，在中，，，
．
．
．
又绕点顺时针旋转至的位置，
．
．
又点是的中点，
．
在中，
，
．
又在上，
．
故答案为：．
【分析】作轴，垂足为，进而根据勾股定理求出BO，再根据旋转的性质得到，进而根据直角三角形斜边上中线的性质得到，进而根据等腰三角形的性质结合题意即可得到点E的坐标，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征即可求解。
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，
∵AB=AC=5，BC=6
∴BH=CH=3，
∴AH===4，
∵∠ADB=∠E+∠CBD=2∠CBD，
∴∠E=∠CBD，
∴BD=DE，
∵∠BCD=90°，BC=6，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=6+3=9，
∴AE==，
∵AH⊥BC，∠BCD=90°，
∴CD∥AH，
∴，
∴AD=AE= ；
故答案为：.
【分析】分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，由等腰三角形的性质可得BH=CH=3，由勾股定理求出AH=4，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可推出CE=BC=6，EH=9，根据勾股定理再求AE=，利用平行线分线段成比例可得，即得AD=AE，据此即得结论.
16．【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值；求特殊角的三角函数值；求有理数的绝对值的方法；开平方（求平方根）
【解析】【分析】先对括号里面部分通分并化简，再进行除法运算.化简的最终结果代入求值即可.代入前先计算x的值.
17．【答案】（1）；
（2）；
（3）
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）艺术类共有45人，占总数的15%，故总数为：45÷15%=300（人）；
喜欢文学的学生人数有：300×25%=75（人）；
故答案为：300；75.
（2）扇形统计图中“科普”类所对应的圆心角的度数为：.
“其他”类所对应的百分比是.
故答案为：90；16%.
（3）将艺术记作A、文学记作B、科普记作C、传记记作D、其他记作E，画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的结果数为2.
∴恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率为.
故答案为：.
【分析】（1）用艺术类人数÷所占百分比可得总人数，用总人数×所占百分比可得喜欢文学类的人数；
（2）用360°×所占比值得到“科普”类所对应的圆心角的度数；用“其他”类对应的人数÷总人数×100%即可得"其他"类所对应的百分比；
（3）画树状图，表示出所有的结果数，以及恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的结果数，再用概率计算公式计算即可.
18．【答案】（1）解：∵
∴h=3.
可作三角形ABC如图所示：
（2）解：∵，
，
∴
可作三角形ABC如图所示：
此时BC⊥AB，且，
∴△ABC即为所求作的三角形.
（3）解：∵
∴.
可作三角形ABC如图所示：
此时AC⊥AB，且，
∴△ABC即为所求作的三角形.
【知识点】三角形的面积；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）利用三角形面积计算出三角形的高，根据高长即可画出三角形.这样的三角形有多个，只画一个即可.
（2）利用三角形面积计算出三角形的高，得到高和AB长相等，以AB为一直角边作等腰直角三角形即即可得到求作的角形.这样的三角形有多个，只画一个即可.
（3）利用三角形面积计算出三角形的高，得到高和AB长相等，以AB为一直角边作等腰直角三角形即即可得到求作的角形.这样的三角形有多个，只画一个即可.
19．【答案】（1）解：观察两种场景可知，场景为，场景为，
把，代入得：
，
解得，
，
把代入得：
，
解得，
；
答：场景的函数表达式为，场景的函数表达式为；
（2）解：当时，
场景中，，
场景中，，
解得，
答：化学试剂在场景下发挥作用的时间更长．
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据图形得场景A为二次函数，场景B为一次函数，再利用待定系数法求函数表达式即可；
（2）分别计算出y=3时，计算对应的x的值，比较即可得到答案.
20．【答案】（1）解：如图：过点作，垂足为，
∵ 四边形为矩形，
∴∠GBF=∠BFD=90°.
∴四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
入射角的度数为；
（2）解：
，，
，
在中，，
，
，
由得：，
，
折射率，
光线从空气射入水中的折射率约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点作，证得四边形DGBF是矩形，于是可得到DG华和BG的值，通过锐角三角函数可求得∠BDG的度数，从而可得∠PDH，问题可解决.
（2）先求CG长，利用勾股定理求出DC长，于是可得sinβ，根据∠PDH可求sinα，利用公式即可求得折射率n.
21．【答案】（1）解：图，
，点C为的中点，
∴，
，
∴
；
（2）解：如图，
，点C为的中点，
∴，
∵，
，
，
；
（3）；
（4）；越小
（5）0
【知识点】圆的综合题；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：（3）如图：
由图可得BD=BA，∠DBA=，
∴△ABD是等边三角形，
∴圆心角度数为：∠BAD=60°.
，点C为的中点，
∴，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
∴，
∴.
故答案为：；.
（4）d1=1=2-1；；；
∵1<2<3，
∴，
∴，
即.
按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线水平线的距离越小.
故答案为：；越小.
（5）将车轮设计成圆形，转动过程如图，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线水平线的距离一直不变，为0.
故答案为：0.
【分析】（1）利用垂径定理证得AC⊥BD，可求得∠BAC的度数，利用AB长可求得AE长，从而可得CE.
（2）利用垂径定理证得AC⊥BD，利用AB=AD，∠BAD=90°可求得∠ABD的度数，于是可得利用锐角三角形函数的定义求得AE长，从而可得CE.
（3）证明△ABD是等边三角形，求得∠BAD=60°，利用勾股定理可得AC⊥BD，于是可求AE长，利用AC-AE，即可得到CE.
（4）利用无理数的大小比较方法比较即可；从，， 即可推理出规律.
（5）根据圆的特征即可解决问题.
22．【答案】（1）解：当时，，
，
故答案为：；
函数图象如图所示：
由图象可得该函数的性质：该函数关于轴对称；当或时，随的增大而增大；当或时，随的增大而减小；
（2）或或或或或；
（3）解：与的和是定值；
如图，连接直线，
抛物线交轴于，两点，
，，
，
抛物线的顶点为，
点是点关于抛物线顶点的对称点，故点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
同理可得，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
联立和并整理得：，
直线与抛物线只有一个公共点，
故，解得，
故直线的表达式为，
联立并解得，
联立并解得
射线、关于直线：对称，
则，设，
则，
为定值．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（2）∵A(2，0)，B(-2，0)，
∴AB=4.
，
，
，
当时，，
当时，.
解得：或，
或
当时，，
解得：或，
∴或（不符合题意，舍去）.
∵ 的对称轴为y轴，根据图象对称性可得
当F坐标为或以及时，也在函数图象上，且满足 .
综上所述，所有满足条件的点的坐标为或或或或或；
故答案为：或或或或或.
【分析】（1）把x=-1代入解析式，即可求出m的值；根据表格即可描点连线，得到完整的函数图象.根据图象即可得到函数性质，如增减变化等；
（2）利用A，B点坐标计算出AB长，利用面积公式求出点F的纵坐标满足：. 当x<0时，，分别令和，求得对应的x的值，得到点F的坐标，注意时只有一个点满足条件.然后根据对称性求出x>0时点F的坐标.最后综述即可.
（3）根据二次函数函数对称轴求出点P和Q的坐标，得到直线OP和直线AP的表达法式，设出直线 l 的表达式，联立和，得到关于x的一元二次方程，根据只有一个交点，得到，可得直线的表达式为.求出xm和xn.根据对称性得，求出两个角的正弦值，再利用正弦函数表示出PM和PN，再相加即可.
1 / 1广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2023-2024学年九年级下学期数学开学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020七上·滦州期末）如图所示的是某用户微信支付情况，-100表示的意思是（ ）
A．发出100元红包 B．收入100元
C．余额100元 D．抢到100元红包
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如图某用户微信支付情况， 表示的意思是发出100元红包
故答案为：A．
【分析】根据用正负数表示两种具有相反意义的量解答即可．
2．（2024九下·南山开学考）九班选派名学生参加演讲比赛，他们的成绩如下：
选手 平均成绩 中位数
成绩分
则如表中被遮盖的两个数据从左到右依次是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：根据题意：设B的成绩为x，可得平均成绩为：，
解得：x=84.
成绩按从小到大顺序排列为：82，84，86，88，故中位数为.
故答案为：B.
【分析】根据平均数的计算公式可求得B的成绩，将4个成绩按照从小到大顺序排列，中间两个数的平均数即为中位数.
3．（2024九下·南山开学考）如图是一个正方体的平面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式的乘积都小于，则整数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据题意，4(2x－3)<0，-3(3x－1)<0，
解得：，
故整数x的值为1.
故答案为：B.
【分析】正方体的平面展开图中，同一行或同一列中隔一个面的两个面为相对面，同一行或同一列中小于3个面时隔一个面再拐弯，即可得到相对面.
4．（2023·张家界）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项对选项逐一判断即可求解。
5．（2021八上·郑州期末）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=45°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．15° B．10° C．20° D．25°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AF，
∴∠CDE=∠CFA=45°，
∵∠CFA=∠B+∠BAF，∠B=30°，
∴∠BAF=15°.
故答案为：A.
【分析】由二直线平行，同位角相等可得∠CDE=∠CFA=45°，由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠CFA=∠B+∠BAF，据此计算.
6．（2024九下·兴宁月考）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线即圆弧，高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵CA、CB是切线
∴∠0AC=∠OBC=90°
∵∠=60°
∴∠ACB=180°-∠=180°-60°=120°
∴∠AOB=360°-∠ACB-∠0AC-∠OBC=360°-120°-90°-90°=60°
∴ ==（km）
故选：B.
【分析】根据切线的性质求出∠0AC、∠OBC的度数，再利用四边形内角和求出∠AOB的度数，最后利用弧长公式求解即可.
7．（2024九下·南山开学考）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，将菱形沿轴向右平移个单位长度，再沿轴向下平移个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；平移的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图：
过点C作CE⊥AO于点E.
∵A（-2，0），
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AO=OC=BC=2.
∵，CE⊥AO，
∴，，
∴点C坐标，
∴点B坐标
故菱形沿轴向右平移个单位长度，再沿轴向下平移个单位长度后，可得点的坐标
故答案为：A.
【分析】根据菱形性质和点A坐标以及可求得点B的坐标，再根据平移规律即可得到点的坐标.
8．（2024九下·南山开学考）下列哪一个是假命题（ ）
A．五边形外角和为
B．切线垂直于经过切点的半径
C．关于轴的对称点为
D．抛物线对称轴为直线
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、任意多边形的外角和都是360°，故A选项正确，不符合题意；
B、切线垂直于经过切点的半径说法正确，B选项正确，不符合题意；
C、关于y轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相等，故C选项错误，符合题意；
D、的对称轴为，故D选项正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据多边形的外角和定理，切线性质，关于y轴对称的两个点的坐标特征以及抛物线的对称轴的计算方法对4个选项逐个判断即可.
9．已知反比例函数y=在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意得，
一次函数y=-x+b的图象经过（1，k）
代入得-1+b=k，即，
抛物线，当x=0时，，
当x=1时，，
即抛物线图象交y轴正半轴，过（1，-1），
符合条件的选项只有A，
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数y=在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象，可得，把点（1，k）代入y=-x+b得，函数 ，当x=0时，，当x=1时，，结合选项即可得解.
10．（2024九下·南山开学考）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图是发动机的实物剖面图，图是其示意图，图中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点、是直线与的交点；当点运动到时，点到达，当点运动到时，点到达；若，，则下列结论正确的是（ ）
；；当与相切时，；当时，．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；直线与圆的位置关系；切线的性质
【解析】【解答】解： ①当点A运动到F时，点B到达D，
∴AB=FD=CD+CF=2×OB+ CF=10+CF=12.
∴CF=2.
∴①正确；
②当点A运动到时，点B到达，
∴OE=OC+CE=OB+ AB=5+12=17.
∴CE=12.
∴EF=CE－CF=12－2=10.
∴②错误；
当与相切时， AB⊥OB.
在Rt△AOB中，AB2+OB2=AO2，
即.
∴EA=EO－AO=17-13=4.
∴③正确；
当时， 如图：
，
∴.
∴，
∴EA≠AF.
④错误.
故答案为：B.
【分析】根据点A运动到F时，点B到达D得FD=AB=FC+CD，可求的FC的长，从而可判断①；根据点A运动到时，点B到达可得OE=OC+CE=OB+ AB，可求得CE长，从而可得EF长，可以判断②；根据与相切得AB2+OB2=AO2，可求得AO长，从而可求得EA长，可以判断③；根据得AB2－OB2=AO2，可得AO长，从而可求得EA和AF，从而可判断④.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2023·深圳）小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：P（ 拿到《红星照耀中国》）=.
故答案为：.
【分析】根据概率公式，用《红星照耀中国》的数量除以数的总数量即可算出答案.
12．（2024九下·南山开学考）若，，则代数式的值为 ．
【答案】
【知识点】因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
=－9
故答案为：－9.
【分析】先对代数式分解因式，再把，代入，即可得到代数式的值.
13．（2024九下·南山开学考）如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图：
连接DE，
由题意得：MN垂直平分AD.
∴AE=DE.
∴∠A=∠ADE=45°，
∴∠AED=90°.
∵四边形ABCD是菱形，边长为8，
∴DC//AB，DC=AD=8.
∴∠CDE=∠AED=90°，.
∵
故答案为：.
【分析】连接DE，根据作图可得MN垂直平分AD，根据垂直平分线的性质和∠A=45°可求得∠AED的度数，以及DE长，根据菱形性质可得∠EDC的度数和DC长，从而可求CE长.
14．（2023·攀枝花）如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，作轴，垂足为．
由题意，在中，，，
．
．
．
又绕点顺时针旋转至的位置，
．
．
又点是的中点，
．
在中，
，
．
又在上，
．
故答案为：．
【分析】作轴，垂足为，进而根据勾股定理求出BO，再根据旋转的性质得到，进而根据直角三角形斜边上中线的性质得到，进而根据等腰三角形的性质结合题意即可得到点E的坐标，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征即可求解。
15．（2023·山西）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，
∵AB=AC=5，BC=6
∴BH=CH=3，
∴AH===4，
∵∠ADB=∠E+∠CBD=2∠CBD，
∴∠E=∠CBD，
∴BD=DE，
∵∠BCD=90°，BC=6，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=6+3=9，
∴AE==，
∵AH⊥BC，∠BCD=90°，
∴CD∥AH，
∴，
∴AD=AE= ；
故答案为：.
【分析】分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，由等腰三角形的性质可得BH=CH=3，由勾股定理求出AH=4，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可推出CE=BC=6，EH=9，根据勾股定理再求AE=，利用平行线分线段成比例可得，即得AD=AE，据此即得结论.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（2024九下·南山开学考）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值；求特殊角的三角函数值；求有理数的绝对值的方法；开平方（求平方根）
【解析】【分析】先对括号里面部分通分并化简，再进行除法运算.化简的最终结果代入求值即可.代入前先计算x的值.
17．（2024九下·南山开学考）为了启发学生的阅读自觉性，培养学生的学习毅力，学校决定开展“读书月”活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成五类：艺术、文学、科普、传记、其他根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图每位同学必选且只选最喜欢的一类，根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共有 名，喜欢“文学”类的学生有 名；
（2）在扇形统计图中“科普”类所对应的圆心角的度数是 ，“其他”类所对应的百分比是 ；
（3）如果要在这五类图书中任选两类进行调查，恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率是 ．
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）艺术类共有45人，占总数的15%，故总数为：45÷15%=300（人）；
喜欢文学的学生人数有：300×25%=75（人）；
故答案为：300；75.
（2）扇形统计图中“科普”类所对应的圆心角的度数为：.
“其他”类所对应的百分比是.
故答案为：90；16%.
（3）将艺术记作A、文学记作B、科普记作C、传记记作D、其他记作E，画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的结果数为2.
∴恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率为.
故答案为：.
【分析】（1）用艺术类人数÷所占百分比可得总人数，用总人数×所占百分比可得喜欢文学类的人数；
（2）用360°×所占比值得到“科普”类所对应的圆心角的度数；用“其他”类对应的人数÷总人数×100%即可得"其他"类所对应的百分比；
（3）画树状图，表示出所有的结果数，以及恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的结果数，再用概率计算公式计算即可.
18．（2024九下·南山开学考）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点点、均在格点上，只用无刻度的尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点在格点上．
（1）在图中，的面积为；
（2）在图中，的面积为；
（3）在图中，是面积为的钝角三角形．
【答案】（1）解：∵
∴h=3.
可作三角形ABC如图所示：
（2）解：∵，
，
∴
可作三角形ABC如图所示：
此时BC⊥AB，且，
∴△ABC即为所求作的三角形.
（3）解：∵
∴.
可作三角形ABC如图所示：
此时AC⊥AB，且，
∴△ABC即为所求作的三角形.
【知识点】三角形的面积；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）利用三角形面积计算出三角形的高，根据高长即可画出三角形.这样的三角形有多个，只画一个即可.
（2）利用三角形面积计算出三角形的高，得到高和AB长相等，以AB为一直角边作等腰直角三角形即即可得到求作的角形.这样的三角形有多个，只画一个即可.
（3）利用三角形面积计算出三角形的高，得到高和AB长相等，以AB为一直角边作等腰直角三角形即即可得到求作的角形.这样的三角形有多个，只画一个即可.
19．（2024九下·南山开学考）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量克随时间分钟变化的数据，并分别绘制在直角坐标系中，如图所示．
（1）从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
【答案】（1）解：观察两种场景可知，场景为，场景为，
把，代入得：
，
解得，
，
把代入得：
，
解得，
；
答：场景的函数表达式为，场景的函数表达式为；
（2）解：当时，
场景中，，
场景中，，
解得，
答：化学试剂在场景下发挥作用的时间更长．
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据图形得场景A为二次函数，场景B为一次函数，再利用待定系数法求函数表达式即可；
（2）分别计算出y=3时，计算对应的x的值，比较即可得到答案.
20．（2024九下·南山开学考）学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象如图，我们把称为折射率其中代表入射角，代表折射角．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，．
（1）求入射角的度数．
（2）若，求光线从空气射入水中的折射率参考数据：，，
【答案】（1）解：如图：过点作，垂足为，
∵ 四边形为矩形，
∴∠GBF=∠BFD=90°.
∴四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
入射角的度数为；
（2）解：
，，
，
在中，，
，
，
由得：，
，
折射率，
光线从空气射入水中的折射率约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点作，证得四边形DGBF是矩形，于是可得到DG华和BG的值，通过锐角三角函数可求得∠BDG的度数，从而可得∠PDH，问题可解决.
（2）先求CG长，利用勾股定理求出DC长，于是可得sinβ，根据∠PDH可求sinα，利用公式即可求得折射率n.
21．（2024九下·南山开学考）综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．
（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图，设其中心到顶点的距离是，以车轮转动一次以一个顶点为支点旋转为例，中心的轨迹是，，圆心角此时中心轨迹最高点是即的中点，转动一次前后中心的连线是水平线，请在图中计算到的距离．
（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图，设其中心到顶点的距离是，以车轮转动一次以一个顶点为支点旋转为例，中心的轨迹是，，圆心角此时中心轨迹最高点是即的中点，转动一次前后中心的连线是水平线，请在图中计算到的距离结果保留根号．
（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图，设其中心到顶点的距离是，以车轮转动一次以一个顶点为支点旋转为例，中心的轨迹是，圆心角 ．此时中心轨迹最高点是即的中点，转动一次前后中心的连线是水平线，在图中计算到的距离 结果保留根号．
（4）归纳推理：比较，，大小： ，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线水平线的距离 填“越大”或“越小”．
（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图，其中心即圆心的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线水平线的距离 这样车辆行驶平稳、没有颠簸感所以，将车轮设计成圆形．
【答案】（1）解：图，
，点C为的中点，
∴，
，
∴
；
（2）解：如图，
，点C为的中点，
∴，
∵，
，
，
；
（3）；
（4）；越小
（5）0
【知识点】圆的综合题；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：（3）如图：
由图可得BD=BA，∠DBA=，
∴△ABD是等边三角形，
∴圆心角度数为：∠BAD=60°.
，点C为的中点，
∴，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
∴，
∴.
故答案为：；.
（4）d1=1=2-1；；；
∵1<2<3，
∴，
∴，
即.
按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线水平线的距离越小.
故答案为：；越小.
（5）将车轮设计成圆形，转动过程如图，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线水平线的距离一直不变，为0.
故答案为：0.
【分析】（1）利用垂径定理证得AC⊥BD，可求得∠BAC的度数，利用AB长可求得AE长，从而可得CE.
（2）利用垂径定理证得AC⊥BD，利用AB=AD，∠BAD=90°可求得∠ABD的度数，于是可得利用锐角三角形函数的定义求得AE长，从而可得CE.
（3）证明△ABD是等边三角形，求得∠BAD=60°，利用勾股定理可得AC⊥BD，于是可求AE长，利用AC-AE，即可得到CE.
（4）利用无理数的大小比较方法比较即可；从，， 即可推理出规律.
（5）根据圆的特征即可解决问题.
22．（2024九下·南山开学考）本小题分
探究函数的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中， ▲ 根据如表数据，在图所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标；
（3）在图中，当在一切实数范围内时，抛物线交轴于，两点点在点的左边，点是点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，不含端点于，两点当直线与抛物线只有一个公共点时，与的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：当时，，
，
故答案为：；
函数图象如图所示：
由图象可得该函数的性质：该函数关于轴对称；当或时，随的增大而增大；当或时，随的增大而减小；
（2）或或或或或；
（3）解：与的和是定值；
如图，连接直线，
抛物线交轴于，两点，
，，
，
抛物线的顶点为，
点是点关于抛物线顶点的对称点，故点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
同理可得，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
联立和并整理得：，
直线与抛物线只有一个公共点，
故，解得，
故直线的表达式为，
联立并解得，
联立并解得
射线、关于直线：对称，
则，设，
则，
为定值．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（2）∵A(2，0)，B(-2，0)，
∴AB=4.
，
，
，
当时，，
当时，.
解得：或，
或
当时，，
解得：或，
∴或（不符合题意，舍去）.
∵ 的对称轴为y轴，根据图象对称性可得
当F坐标为或以及时，也在函数图象上，且满足 .
综上所述，所有满足条件的点的坐标为或或或或或；
故答案为：或或或或或.
【分析】（1）把x=-1代入解析式，即可求出m的值；根据表格即可描点连线，得到完整的函数图象.根据图象即可得到函数性质，如增减变化等；
（2）利用A，B点坐标计算出AB长，利用面积公式求出点F的纵坐标满足：. 当x<0时，，分别令和，求得对应的x的值，得到点F的坐标，注意时只有一个点满足条件.然后根据对称性求出x>0时点F的坐标.最后综述即可.
（3）根据二次函数函数对称轴求出点P和Q的坐标，得到直线OP和直线AP的表达法式，设出直线 l 的表达式，联立和，得到关于x的一元二次方程，根据只有一个交点，得到，可得直线的表达式为.求出xm和xn.根据对称性得，求出两个角的正弦值，再利用正弦函数表示出PM和PN，再相加即可.
1 / 1
