广州科学城中学2023-2024学年高一下学期期中检测数学试卷
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑笔将个人信息准确填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上规定位置涂黑自己的考生号.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，若，则实数＝（ ）
A. ﹣4 B. 1 C. 2 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题根据向量减法、乘法以及向量垂直运算规则即可求解参数.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以，解得．
故选：B．
2. 已知复数在复平面内的对应点为，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知条件先得到，再利用复数的运算法则求解即可得出结果.
【详解】因为复数在复平面内的对应点为
所以
所以虚部为.
故选：C
3. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，则（ ）
A. 的长度大于的长度
B. 的面积为4
C. 的面积为2
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据斜二测画法确定原图形，由此判断各选项.
【详解】由图象知：，，
，为的中点
所以，A错误；
的面积，B正确；
因为，，
所以的上的高，
的面积，C错误，
，所以，D错误.
故选：B
4. 在中，，，且的面积为，则的周长为（ ）
A. 15 B. 12 C. 16 D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】由面积公式求出，由余弦定理求出，即可得解.
【详解】因为，，且的面积为，
所以，解得，
由余弦定理，
所以，则.
故选：A
5. 若正三棱台的上 下底面的边长分别为3和6，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件先计算出正三棱台的高，然后根据棱台的体积公式求解出结果.
【详解】正三棱台上下底面的中心为，连接，
过作交于点，
因为，所以，，
因为垂直于上下底面且，所以，
所以四边形为矩形，
所以，
又因为，
所以，所以，
又因为，，
所以三棱台的体积为，
故选：A.
6. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由投影向量计算公式可得答案.
【详解】向量在向量上的投影向量为，所以，
从而，解得.
故选：B.
7. 已知分别是的边的中点，且，有下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的等式的序号是（ ）
A. ①③ B. ①②④ C. ②③ D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理计算，对四个选项一一判断.
【详解】对于①：，①不正确；
对于②：，②正确；
对于③：，③正确；
对于④：，
，④正确.
故选：D
8. 已知函数，若方程在区间内的解为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，得，通过计算的范围，利用三角恒等变化可求的值，即可得出．
【详解】即函数的对称轴为
在区间内的解为
.
又因为，，所以，
所以，所以，所以.
【点睛】本题考查正弦函数的性质以及三角恒等变换，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知复数的共轭复数为，则下列命题正确的是（ ）
A.
B. 为纯虚数
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】设复数，即可得其共轭复数，根据复数的加减运算，即可判断A，B；根据复数模的计算可判断C；根据复数的乘方运算可判断D.
【详解】设复数，则，故，A正确；
，当时，为实数，B错误；
，则，C正确；
，
，故，
则，D正确，
故选：ACD
10. 已知直线，，平面，，则下列说法错误的是（ ）
A. ，，则
B. ，，，，则
C. ，，，则
D. ，，，，，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合空间中点、线、面的位置关系与面面平行的判定定理逐项判断即可得.
【详解】选项A中，若，，则可能在内，也可能与平行，故A错误；
选项B中，若，，，，则与也可能相交，故B错误；
选项C中，若，，，则与也可能相交，故C错误；
选项D中，若，，，，，
依据面面平行的判定定理可知，故D正确．
故选：ABC．
11. 已知向量满足，且，则（ ）
A B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】本题依据向量模、夹角的运算公式即可求解.首先将题目条件式两边同时平方，结合，即可计算和的值，可判断A、D选项；利用向量夹角公式计算向量的夹角，可判断B、C选项.
【详解】因，
所以，
即，整理可得 ，
再由，且可得，
所以，，故错误；
又因为，
所以向量的夹角，
故向量共线且方向相反，
所以，故B正确；
又，
所以，故C正确．
故选：BC．
12. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，，且有两解，则b的取值范围是
D. 若，的平分线交于点D，，则的最小值为9
【答案】BCD
【解析】
【分析】A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项， 由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得；C项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断；D项，根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】选项A，因为，即，
所以有
整理可得，所以或，
故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
选项B，若为锐角三角形，所以，所以，
由正弦函数在单调递增，则，故B正确.
选项C，如图，若有两解，则，
所以，则b的取值范围是，故C正确．
选项D，的平分线交于点D，，
由，由角平分线性质和三角形面积公式得，
得，
即，得，
得，
当且仅当，即时，取等号，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由向量共线定理的坐标表示，列出方程解得m的值.
【详解】因为，，
所以，，
由，得，得.
故答案为：.
14. 已知是纯虚数，是实数，那么_________.
【答案】2
【解析】
【分析】设且，根据条件，利用复数的运算法则，即可得出，从而求出结果.
【详解】设且，则，
由题得，解得，所以，
故答案：.
15. 已知，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】平方相加可得，即可根据角的范围求解.
【详解】将两式平方,
相加得，即，
因为，所以，所以.
故答案：
16. 各棱长均为1且底面为正方形的平行六面体，满足，则______；此平行六面体的体积为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由空间向量基本定理可得，对其两边同时平方结合数量积的定义即可求出；连接交于点，连接，先证明平面，再由柱体的体积公式即可得出答案.
【详解】因为
，
所以.
连接交于点，连接，
因为底面为边长是的正方形，所以，
因为，连接，则，
所以在中，，所以，
又因为，所以，
，平面，
所以平面，所以平行六面体的体积为：
.
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知复数,, 且为纯虚数,求复数.
【答案】
【解析】
【分析】用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简 的解析式，根据纯虚数的定义可得3a﹣8=0，求出a的值，即得复数z1．
【详解】,
因为是纯虚数,所以且,
解得,故.
18. 在中，角所对边分别是，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角即可求出角.
（2）利用（1）的结论及和两角和的正弦公式计算即得.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理，得，
显然，则，而，
所以.
【小问2详解】
在中，，则，
显然，，
所以==，
19. 某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为75°.
（1）求两点间的距离；
（2）求大楼的高度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理计算即可求解；
（2）根据题意可得，结合两角和的正切公式计算即可求解.
【小问1详解】
因为，
在中，由正弦定理得，
即，所以m，
即AC两点的距离为m；
【小问2详解】
在中，因为，，
所以，
又，
所以m，
即大楼的高度为m.
20. 已知在直角三角形中，，（如图所示）
（1）若以为轴，直角三角形旋转一周，求所得几何体的表面积.
（2）一只蚂蚁在问题（1）形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若以为轴，直角三角形旋转一周，形成的几何体为以为半径，高的圆锥，由圆锥的表面积公式，即可求出结果．
（2）利用侧面展开图，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B到点的距离，代入数值，即可求出结果．
【小问1详解】
在直角三角形中，由
即，得，若以为轴旋转一周，
形成的几何体为以为半径，高的圆锥，
则，其表面积为.
【小问2详解】
由问题（1）的圆锥，要使蚂蚁爬行的最短距离，
则沿点的母线把圆锥侧面展开为平面图形，
最短距离就是点到点的距离，，
在中，由余弦定理得.
21. 如图，在平行六面体中，为的中点，为的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面∥平面．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】(1)作出辅助线，利用三角形的中位线结合线面平行的判定定理，判定即可；
(2)利用平行六面体的性质，结合两个中点，易证平行四边形，根据平行四边形对边平行的性质，从而证明线面平行，再利用(1)中结论，结合面面平行的判定定理，判定即可.
【小问1详解】
连接，交于，连接，
在平行六面体中，为平行四边形，
为中点，
为的中点，
平面平面，
平面；
【小问2详解】
在平行六面体中，，，
为的中点，为的中点，
，
为平行四边形，从而，
平面平面，
平面，
由（1）可知：平面，
平面平面，且，
平面平面.
22. 已知
（1）求的单调递增区间与对称中心；
（2）当时，的取值范围为，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数表达式化简，然后根据正弦的单调递增区间与对称中心的定义计算即可得解.
（2）画出函数图象分析可知当且仅当时，其中，，满足题意，从而计算即可得解.
【小问1详解】
由题意
，
令,解得，
令，解得，
所以的单调递增区间与对称中心分别为，.
【小问2详解】
的函数图象如图所示，
由题意当时，的取值范围为，
故当且仅当，其中，，
令，得，即，
解得，
所以，
令，得，即或，
解得或，
所以，
综上所述：满足题意的实数的取值范围为.广州科学城中学2023-2024学年高一下学期期中检测数学试卷
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑笔将个人信息准确填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上规定位置涂黑自己的考生号.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，若，则实数＝（ ）
A. ﹣4 B. 1 C. 2 D. 6
2. 已知复数在复平面内的对应点为，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，则（ ）
A. 的长度大于的长度
B. 的面积为4
C. 的面积为2
D.
4. 在中，，，且的面积为，则的周长为（ ）
A. 15 B. 12 C. 16 D. 20
5. 若正三棱台的上 下底面的边长分别为3和6，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. 2 C. D.
7. 已知分别是边的中点，且，有下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的等式的序号是（ ）
A. ①③ B. ①②④ C. ②③ D. ②③④
8. 已知函数，若方程在区间内的解为，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知复数的共轭复数为，则下列命题正确的是（ ）
A.
B. 为纯虚数
C
D.
10. 已知直线，，平面，，则下列说法错误的是（ ）
A. ，，则
B. ，，，，则
C. ，，，则
D. ，，，，，则
11. 已知向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
12. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A. 若，则等腰三角形
B. 锐角中，不等式恒成立
C. 若，，且有两解，则b的取值范围是
D. 若，的平分线交于点D，，则的最小值为9
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，，则______.
14. 已知是纯虚数，是实数，那么_________.
15 已知，则__________.
16. 各棱长均为1且底面为正方形的平行六面体，满足，则______；此平行六面体的体积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知复数,, 且为纯虚数,求复数.
18. 在中，角所对的边分别是，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的值.
19. 某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为75°.
（1）求两点间的距离；
（2）求大楼的高度.
20. 已知在直角三角形中，，（如图所示）
（1）若以为轴，直角三角形旋转一周，求所得几何体的表面积.
（2）一只蚂蚁在问题（1）形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离.
21. 如图，在平行六面体中，为的中点，为的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面∥平面．
22. 已知
（1）求的单调递增区间与对称中心；
（2）当时，的取值范围为，求实数的取值范围.
