二次根式
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文档简介
教学目标
1．运用从特殊到一般的归纳方法，使学生理解并初步掌握二次根式的性质
2．能利用上述性质化简被开方数是单项式或简单分式的二次根式．
教学重点和难点
重点：理解并掌握二次根式的性质
地化简有关的二次根式．
教学过程设计
一、导入新课
任意实数．
二、新课
计算下列各题，并回答以下问题：
1．各小题中被开方数的幂的底数都是什么数？
2．各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系？
3．用字母a表示被开方数的幂的底数，将有怎样的结论？并用语言叙述你的结论．
答：
1．(1)，(2)，(3)各题中的被开方数的幂的底数都是正数；(4)，(5)，(6)，(7)各题中的被开方数的幂的底数都是负数；(8)题被开方数的幂的底数是0．
2．(1)，(2)，(3)，(8)各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数都分别相等；(4)，(5)，(6)，(7)各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数分别互为相反数．
3．用字母a表示(1)，(2)，(3)，(8)各题中被开方数的幂的底数，有
用字母a表示(4)，(5)，(6)，(-7)各题中被开方数的幂的底数，有
一个非负数的平方的算术平方根，等于这个非负数本身；一个负数的平方的算术平方根，等于这个负数的相反数．
问：请把上述讨论结论，用一个式子表示．(注意表示条件和结论)
请同学回忆实数的绝对值的代数意义，它和上述二次根式的性质有什么联系？
填空：
分析：可以利用积的算术平方根的性质及二次根式的性质化简．
围，确定其结果．
例2
注意：(1)题中的被开方数a2b≥0，因为a2≥0，所以b≥0．
这里b的取值范围，在已知条件中没有直接给出，但可以由已知条件分析而得出．
分析：根据二次根式的性质，有
然后再进行化简．
课堂练习
1．求下列各式的值：
2．化简：
3．化简：
教学目标
1．使学生进一步理解二次根式的性质
质化简含二次根式的式子；
教学重点和难点
子．难点：会根据二次根式中字母的取值范围及隐含条件，化简含二次根式的式子．
教学过程设计
一、导入新课
解
二、新课
如果被开方数a2中的字母a表示一个多项式，如何利用二次根式的性质
来化简二次根式呢？
例1
分析：这里被开方数a-3应看作一个整体，应用二次根式的性质时，首先要根据已知条件，确定被开方数a-3的取值范围．
解 因为a＜3，所以a-3＜0．所以
例2
分析：首先要根据已知条件中的x的取值范围确定2x+3的取值范围，再运用二次根式的性质进行化简．
解 因为x＜-2，所以2x+3＜-1＜0．所以
例3
请同学说出化简这个式子的思路．
答：为求两个式子的和，首先要根据已知条件x＜a＜0，确定x-a及x+a的取值范围，再根据绝对值的定义及二次根式的性质进行化简．
解 因为x＜a＜0，所以x-a＜0，x+a＜0．所以
=－(x-a)－(x+a)
=－x+a－x－a
=－2x．
我们前面学习了二次根式的一个性质
问：这个性质与二次根式的性质
有什么不同？(引导学生思考、讨论)
答：1．两式的意义不同．
=|a|．利用(2)式可以把根号内的因式移到根号外．
2．两式的被开方数中的字母a的取值范围不同．
3．两式的值不同．
二次根式的这两个性质很重要，在化简、计算含有二次根式的式子时，经常需要综合应用这两个性质．
例4
问：怎样确定第二个二次根式中的x的取值范围？
＝1-2x-(x-3)＝1-2x-x+3＝4-3x．
三、课堂练习
1．填空：
2．化简：
四、小结
时，首先要根据已知条件确定这个多项式的取值范围，然后再应用二次根式的性质
通过例1～例3的讨论，要求同学切实理解和掌握在二次根式的化简中，当a
2．要从两式的意义、被开方数中的a的取值范围以及两式的值不同等方面分清
二次根式中的被开方数分解因式，即a2±2ab+b2=(a±b)2，再根据已知条件或题中的隐含条件，判断a±b的取值范围，最后运用二次根式的性质化简．
五、作业
1．化简：
教学目标
2．会把根号外面的因式移入根号内；
3．提高学生的运算和逻辑思维能力．
教学重点和难点
重点：利用二次根式的性质化简被开方数是分式的二次根式．
难点：根据题设条件，把根号外面的因式移入根号内时的符号变化问题．
教学过程设计
一、复习
化简：
并说明在化简中都运用了二次根式的哪些性质？
解 (1)因为a＞0，b＜0，所以a2＞0，b2＞0，所以|a|＝a，|b|=-b．故
在化简中运用了二次根式的性质
(2)因为m＜0，n＞0，所以
m2＞0，n2＞0，|m|=-m，|n|=n．
在化简中运用了二次根式的性质
二、新课
1．运用二次根式的性质化简被开方数是分式的二次根式．
例1
分析：被开方数是分式，它的分母可以变化为(1-x)2，由已知条件x＞1，可以确定x及1-x的取值范围，从而可以根据二次根式的性质进行化简．
解 因为x＞1，所以x＞0，x-1＞0．所以
观察被开方数的特点，请说出化简这个式子的思路是什么？
答：被开方数的分母是一个多项式，可以分解因式，得到b(a-2b)2．由已知条件可以确定a-2b的取值范围，再根据二次根式的性质把式子化简，并把分母有理化．
解 因为0＜a＜2b，所以ab＞0，|b|=b，|a-2b|=2b-a．所以
2．把根号外面的因式移入根号内．
化简下列各式：
的因式必须是非负数．
指出：在(1)，(2)，(3)各题中，若从等式的右边到左边，也可以看作是把根号外面的因式移入根号内，但条件是根号外面的因式必须是非负数．
例3 把下列各式中根号外面的因式移入根号内．
分析：因为从根号内移到根号外面的因式都是非负数，因此从根号外面移入根号内的因式也必须是非负数．在(2)式中，m≤2，因此移到根号内的因式必须是2-m．
(2)因为m≤2，所以m-2≤0，即-(m-2)≥0，所以
问：如何把下列各式中根号外面的因式移入根号内？
把根号外面的因式移入根号内时，一定要保证移入的因式是非负数．如例3的第(2)题中，已知条件是m≤2，式子m-2是一个非正数，不能直接移入根号内，为此要改变它的符号，并进行恒等变形，即m-2=-(2-m)≥0，此时才可把因式(2-m)移入根号内，根号外面的符号应是负号．
例4 把下列各式中根号外面的因式移入根号内：
请同学说出解题的思路是什么？
答：由于把各式中根号外面的因式移入根号内时，必须是一个非负因式，因此首
解 (1)因为0＜a＜1，即1-a＞0，所以
(3)因为a-1＞0，所以1-a＜0，所以
指出：上述问题中的第(4)，(5)题及例4中的第(3)题都是通过二次根式有意义这
三、课堂练习
1．化简：
2．把根号外面的因式移入根号内：
四、小结
五、作业
1．化简：
2．把下列各式中根号外面的因式移入根号内：
二次根式复习课(1)
教学目标
1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；
2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
教学重点和难点
重点：含二次根式的式子的混合运算．
难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．
教学过程设计
一、复习
1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．
指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．
2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．
指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，
计算结果要把分母有理化．
3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：
4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
二、例题
例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：
分析：
(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；
(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；
(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．
x≥-2且x≠0．
解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以
例3
分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．
解 因为1-a＞0，3-a≥0，所以
a＜1，|a-2|＝2-a．
(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．
这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．
问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？
分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．
解
注意：
所以在化简过程中，
例6
分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．
a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，
三、课堂练习
1．选择题：
A．a≤2 B．a≥2
C．a≠2 D．a＜2
A．x+2 B．-x-2
C．-x+2 D．x-2
A．2x B．2a
C．-2x D．-2a
2．填空题：
4．计算：
四、小结
1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．
2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．
3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．
4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．
五、作业
1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？
2．把下列各式化成最简二次根式：
二次根式复习课(2)
教学目标
1．使学生掌握在实数范围内运用乘法公式及十字相乘法把多项式分解因式；
2．会解含无理系数的一元一次方程及二元一次方程组．
教学重点和难点
重点：在实数范围内把多项式分解因式及解含无理系数的一元一次方程．
难点：解无理系数的二元一次方程组．
教学过程设计
一、复习
问：我们可以运用哪些乘法公式把多项式分解因式？
答：我们可以运用平方差公式及完全平方公式
a2-b2=(a+b)(a-b)及a2±2ab+b2=(a±b)2．把多项式分解因式．
问：解二元一次方程组的方法有哪些？
答：有两种解法：一是代入消无法，二是加减消元法．
把下列各式在有理数范围内分解因式：
(1)x4-9； (2)x4-15x2+54；
(3)a4-6a2b2+9b4
解
(1)x4-9=(x2+3)(x2-3)；
(2)x4-15x2+54=(x2-6)(x2-9)=(x2-6)(x+3)(x-3)；
(3)a4-6a2b2+9b4=(a2-3b2)2．
二、例题
1．在实数范围内分解因式．
在实数范围内把多项式分解因式，是指把多项式分解为因式乘积形式，因式中的字母的系数或常数可以是无理数．
例1 把下列各式在实数范围内分解因式：
(1)x4-9； (2)x4-15x2+54；
(3)a4-6a2b2+9b4； (4)6x2-5．
解
例2 把下列各式在实数范围内分解因式：
分析：这两个多项式都是关于x的二次三项式，可以运用十字相乘法进行因式分解．
解
2．解无理系数的一元一次方程和二元一次方程组．
解无理系数的一元一次方程与解有理系数的一元一次方程的方法及步骤完全相同，方程的解如果是二次根式，要把它化为最简二次根式．
例3 解方程：
解
所以
所以
注意：解含字母系数的方程时，x的系数不等于零时才可以把这个系数作为除数，求出方程的解x的值．
例4 解方程组：
分析：(1)与(2)都是含无理系数的二元一次方程组，如果用代入消元法解方程组，运算较繁琐，而用加减消元法解方程组则较简便．
三、课堂练习
1．把下列各式在实数范围内分解因式：
(1)2x2-5； (2)6x4+x2-1；
(3)2a4-5a2b2+2b4； (4)9x4-16．
2．解下列方程：
3．解下列方程组：
四、小结
1．把多项式因式分解，一定要明确是在什么范围内进行，应根据题目要求进行．如果是在实数范围内因式分解，分解后因式中字母的系数或常数，可以是无理数．
2．解含无理系数的一元一次方程及二元一次方程组的方法与解有理系数的一元一次方程及二元一次方程组相同．方程的解如果是二次根式，必须化为最简二次根式．
五、作业
1．计算：
二次根式复习课(4)
教学目的
1．使学生学会解未知数是无理系数的一元一次方程和二元一次方程组，以及学会解未知数在根号下的方程；
2．掌握二次根式运算的简便解法．
教学重点
二次根式运算的简便解法．
教学过程
一、无理系数的一元一次方程、二元一次方程组的解法
这个一元一次方程未知数的系数虽然是无理数，但它的解法和未知数是有理数系数的一元一次方程的解法是相同的．
练习：
二、未知数在根号下的方程
这个方程不同于过去我们会解的整式方程，它的未知数在根号下面．这样的方程可以运用算术平方根的定义去解．
这个方程运用算术平方根的定义可以理解为2x的算术平方根等于5，那么2x必然是25．
练习 解下列方程：
三、二次根式运算的简便算法
在进行任何运算时都要寻求简便算法，二次根式的运算也不例外．对什么样的二次根式能够进行简便运算，简便运算的方法是什么，让我们举出几例加以说明．
利用乘法公式，从而使计算得到简化．
＝18－48
＝－30．
例4 计算：
＝12．
为了计算代数式的值，首先要将代数式化简，然后再将已知数值代入．化简的方法可以运用分母有理化的方法，也可以运用通分的方法．
练习 用简便的方法计算下列各题：
四、小结
当一元一次方程未知数的系数是无理数时，它的解法和未知数是有理数系数的一元一次方程的解法是相同的．
(a≥0)等．
五、布置作业
3．用简便的方法计算下列各题：
二次根式的小结与复习(1)
一、目的要求
1．使学生对本章的内容提要进行小结与复习．
2．使学生通过练习，复习和巩固有关二次根式的基本概念和二次根式的性质，并会根据这些性质熟练地化简二次根式．
二、内容分析
1．学生已经学完了本章的内容．考虑到本章内容的难易程度、学生的年龄特征
调到最后．这是指知识的发生和形成过程而言的．现在学生已学完本章所有内容并进入了小结与复习的阶段，我们就可以也应该完全按照先复习概念和性质，再复习化简与运算的顺序来进行．这是因为，概念和性质是化简与运算的基础，学习概念和性质的目的是为了进行化简与运算，而且化简与运算是本章的重点．
2．本章的小结与复习一共给予3课时，大致安排如下：
第1课时，对本章的内容提要进行小结与复习，并通过练习，复习和巩固有关二次根式的基本概念(包括二次根式、最简二次根式、同类二次根式、有理化因式、分母有理化等)和二次根式的性质，会根据这些性质熟练地化简二次根式．
第2课时，对二次根式的四则运算进行小结与复习，通过练习掌握二次根式的四则运算法则，并会用它们进行运算(包括会将分母中含有一个或两个二次根式的式子进行分母有理化)．
第3课时，通过二次根式在解方程(组)与几何中的应用，以及求二次根式的近似值，再次对本章的内容进行小结与复习．
三、教学过程
复习提问：
1．什么叫做二次根式？为什么要求被开方数不能取负值？
2．二次根式有哪些性质？(要回答有
这样四条．)
3．什么叫做最简二次根式？怎样把一个不是最简二次根式的式子化成最简二次根式？
4．什么叫做同类二次根式？怎样合并同类二次根式？
有理化因式？
6．什么叫做分母有理化？怎样进行分母有理化？
课堂练习：
1．在实数范围内把下列各多项式分解因式：
(1)x2－7．
分析：在有理数范围内，x2－7已经不能再分解了．但是，在实数范围内，根
(2)a4－6a2+9．
解：a4－6a2+9＝(a2)2－2×3a2+32
＝(a2－3)2
2．把下列各式化成最简二次根式：
(请四名学生上黑板做，其他学生分四组在下面选做．待上黑板的学生做完后，教师即可讲评．)
3．用小黑板出示下面的推导错在哪里？
(1)∵(－3)2＝32
∴－2＝2
带动全班学生一起思考这两道小题，然后提问和讲解，通过这两道
课堂小结：
在这节课里，我们复习了二次根式的有关概念，包括二次根式、最简二次根式、同类二次根式、有理化因式、分母有理化等，还复习了二次根式的四条性质．这些概念和性质是我们进行二次根式的化简与运算的基础．
2．在这节课里，我们还看到，有些多项式在有理数范围内不能继续分解了，但一旦扩大到实数范围，它们就可以再分解下去．今后我们碰到因式分解的题目，如果说的是实数范围，那么就要在实数范围内分解到不能再分解为止．
四、课外作业 略
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1．运用从特殊到一般的归纳方法，使学生理解并初步掌握二次根式的性质
2．能利用上述性质化简被开方数是单项式或简单分式的二次根式．
教学重点和难点
重点：理解并掌握二次根式的性质
地化简有关的二次根式．
教学过程设计
一、导入新课
任意实数．
二、新课
计算下列各题，并回答以下问题：
1．各小题中被开方数的幂的底数都是什么数？
2．各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系？
3．用字母a表示被开方数的幂的底数，将有怎样的结论？并用语言叙述你的结论．
答：
1．(1)，(2)，(3)各题中的被开方数的幂的底数都是正数；(4)，(5)，(6)，(7)各题中的被开方数的幂的底数都是负数；(8)题被开方数的幂的底数是0．
2．(1)，(2)，(3)，(8)各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数都分别相等；(4)，(5)，(6)，(7)各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数分别互为相反数．
3．用字母a表示(1)，(2)，(3)，(8)各题中被开方数的幂的底数，有
用字母a表示(4)，(5)，(6)，(-7)各题中被开方数的幂的底数，有
一个非负数的平方的算术平方根，等于这个非负数本身；一个负数的平方的算术平方根，等于这个负数的相反数．
问：请把上述讨论结论，用一个式子表示．(注意表示条件和结论)
请同学回忆实数的绝对值的代数意义，它和上述二次根式的性质有什么联系？
填空：
分析：可以利用积的算术平方根的性质及二次根式的性质化简．
围，确定其结果．
例2
注意：(1)题中的被开方数a2b≥0，因为a2≥0，所以b≥0．
这里b的取值范围，在已知条件中没有直接给出，但可以由已知条件分析而得出．
分析：根据二次根式的性质，有
然后再进行化简．
课堂练习
1．求下列各式的值：
2．化简：
3．化简：
教学目标
1．使学生进一步理解二次根式的性质
质化简含二次根式的式子；
教学重点和难点
子．难点：会根据二次根式中字母的取值范围及隐含条件，化简含二次根式的式子．
教学过程设计
一、导入新课
解
二、新课
如果被开方数a2中的字母a表示一个多项式，如何利用二次根式的性质
来化简二次根式呢？
例1
分析：这里被开方数a-3应看作一个整体，应用二次根式的性质时，首先要根据已知条件，确定被开方数a-3的取值范围．
解 因为a＜3，所以a-3＜0．所以
例2
分析：首先要根据已知条件中的x的取值范围确定2x+3的取值范围，再运用二次根式的性质进行化简．
解 因为x＜-2，所以2x+3＜-1＜0．所以
例3
请同学说出化简这个式子的思路．
答：为求两个式子的和，首先要根据已知条件x＜a＜0，确定x-a及x+a的取值范围，再根据绝对值的定义及二次根式的性质进行化简．
解 因为x＜a＜0，所以x-a＜0，x+a＜0．所以
=－(x-a)－(x+a)
=－x+a－x－a
=－2x．
我们前面学习了二次根式的一个性质
问：这个性质与二次根式的性质
有什么不同？(引导学生思考、讨论)
答：1．两式的意义不同．
=|a|．利用(2)式可以把根号内的因式移到根号外．
2．两式的被开方数中的字母a的取值范围不同．
3．两式的值不同．
二次根式的这两个性质很重要，在化简、计算含有二次根式的式子时，经常需要综合应用这两个性质．
例4
问：怎样确定第二个二次根式中的x的取值范围？
＝1-2x-(x-3)＝1-2x-x+3＝4-3x．
三、课堂练习
1．填空：
2．化简：
四、小结
时，首先要根据已知条件确定这个多项式的取值范围，然后再应用二次根式的性质
通过例1～例3的讨论，要求同学切实理解和掌握在二次根式的化简中，当a
2．要从两式的意义、被开方数中的a的取值范围以及两式的值不同等方面分清
二次根式中的被开方数分解因式，即a2±2ab+b2=(a±b)2，再根据已知条件或题中的隐含条件，判断a±b的取值范围，最后运用二次根式的性质化简．
五、作业
1．化简：
教学目标
2．会把根号外面的因式移入根号内；
3．提高学生的运算和逻辑思维能力．
教学重点和难点
重点：利用二次根式的性质化简被开方数是分式的二次根式．
难点：根据题设条件，把根号外面的因式移入根号内时的符号变化问题．
教学过程设计
一、复习
化简：
并说明在化简中都运用了二次根式的哪些性质？
解 (1)因为a＞0，b＜0，所以a2＞0，b2＞0，所以|a|＝a，|b|=-b．故
在化简中运用了二次根式的性质
(2)因为m＜0，n＞0，所以
m2＞0，n2＞0，|m|=-m，|n|=n．
在化简中运用了二次根式的性质
二、新课
1．运用二次根式的性质化简被开方数是分式的二次根式．
例1
分析：被开方数是分式，它的分母可以变化为(1-x)2，由已知条件x＞1，可以确定x及1-x的取值范围，从而可以根据二次根式的性质进行化简．
解 因为x＞1，所以x＞0，x-1＞0．所以
观察被开方数的特点，请说出化简这个式子的思路是什么？
答：被开方数的分母是一个多项式，可以分解因式，得到b(a-2b)2．由已知条件可以确定a-2b的取值范围，再根据二次根式的性质把式子化简，并把分母有理化．
解 因为0＜a＜2b，所以ab＞0，|b|=b，|a-2b|=2b-a．所以
2．把根号外面的因式移入根号内．
化简下列各式：
的因式必须是非负数．
指出：在(1)，(2)，(3)各题中，若从等式的右边到左边，也可以看作是把根号外面的因式移入根号内，但条件是根号外面的因式必须是非负数．
例3 把下列各式中根号外面的因式移入根号内．
分析：因为从根号内移到根号外面的因式都是非负数，因此从根号外面移入根号内的因式也必须是非负数．在(2)式中，m≤2，因此移到根号内的因式必须是2-m．
(2)因为m≤2，所以m-2≤0，即-(m-2)≥0，所以
问：如何把下列各式中根号外面的因式移入根号内？
把根号外面的因式移入根号内时，一定要保证移入的因式是非负数．如例3的第(2)题中，已知条件是m≤2，式子m-2是一个非正数，不能直接移入根号内，为此要改变它的符号，并进行恒等变形，即m-2=-(2-m)≥0，此时才可把因式(2-m)移入根号内，根号外面的符号应是负号．
例4 把下列各式中根号外面的因式移入根号内：
请同学说出解题的思路是什么？
答：由于把各式中根号外面的因式移入根号内时，必须是一个非负因式，因此首
解 (1)因为0＜a＜1，即1-a＞0，所以
(3)因为a-1＞0，所以1-a＜0，所以
指出：上述问题中的第(4)，(5)题及例4中的第(3)题都是通过二次根式有意义这
三、课堂练习
1．化简：
2．把根号外面的因式移入根号内：
四、小结
五、作业
1．化简：
2．把下列各式中根号外面的因式移入根号内：
二次根式复习课(1)
教学目标
1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；
2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
教学重点和难点
重点：含二次根式的式子的混合运算．
难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．
教学过程设计
一、复习
1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．
指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．
2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．
指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，
计算结果要把分母有理化．
3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：
4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
二、例题
例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：
分析：
(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；
(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；
(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．
x≥-2且x≠0．
解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以
例3
分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．
解 因为1-a＞0，3-a≥0，所以
a＜1，|a-2|＝2-a．
(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．
这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．
问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？
分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．
解
注意：
所以在化简过程中，
例6
分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．
a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，
三、课堂练习
1．选择题：
A．a≤2 B．a≥2
C．a≠2 D．a＜2
A．x+2 B．-x-2
C．-x+2 D．x-2
A．2x B．2a
C．-2x D．-2a
2．填空题：
4．计算：
四、小结
1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．
2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．
3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．
4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．
五、作业
1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？
2．把下列各式化成最简二次根式：
二次根式复习课(2)
教学目标
1．使学生掌握在实数范围内运用乘法公式及十字相乘法把多项式分解因式；
2．会解含无理系数的一元一次方程及二元一次方程组．
教学重点和难点
重点：在实数范围内把多项式分解因式及解含无理系数的一元一次方程．
难点：解无理系数的二元一次方程组．
教学过程设计
一、复习
问：我们可以运用哪些乘法公式把多项式分解因式？
答：我们可以运用平方差公式及完全平方公式
a2-b2=(a+b)(a-b)及a2±2ab+b2=(a±b)2．把多项式分解因式．
问：解二元一次方程组的方法有哪些？
答：有两种解法：一是代入消无法，二是加减消元法．
把下列各式在有理数范围内分解因式：
(1)x4-9； (2)x4-15x2+54；
(3)a4-6a2b2+9b4
解
(1)x4-9=(x2+3)(x2-3)；
(2)x4-15x2+54=(x2-6)(x2-9)=(x2-6)(x+3)(x-3)；
(3)a4-6a2b2+9b4=(a2-3b2)2．
二、例题
1．在实数范围内分解因式．
在实数范围内把多项式分解因式，是指把多项式分解为因式乘积形式，因式中的字母的系数或常数可以是无理数．
例1 把下列各式在实数范围内分解因式：
(1)x4-9； (2)x4-15x2+54；
(3)a4-6a2b2+9b4； (4)6x2-5．
解
例2 把下列各式在实数范围内分解因式：
分析：这两个多项式都是关于x的二次三项式，可以运用十字相乘法进行因式分解．
解
2．解无理系数的一元一次方程和二元一次方程组．
解无理系数的一元一次方程与解有理系数的一元一次方程的方法及步骤完全相同，方程的解如果是二次根式，要把它化为最简二次根式．
例3 解方程：
解
所以
所以
注意：解含字母系数的方程时，x的系数不等于零时才可以把这个系数作为除数，求出方程的解x的值．
例4 解方程组：
分析：(1)与(2)都是含无理系数的二元一次方程组，如果用代入消元法解方程组，运算较繁琐，而用加减消元法解方程组则较简便．
三、课堂练习
1．把下列各式在实数范围内分解因式：
(1)2x2-5； (2)6x4+x2-1；
(3)2a4-5a2b2+2b4； (4)9x4-16．
2．解下列方程：
3．解下列方程组：
四、小结
1．把多项式因式分解，一定要明确是在什么范围内进行，应根据题目要求进行．如果是在实数范围内因式分解，分解后因式中字母的系数或常数，可以是无理数．
2．解含无理系数的一元一次方程及二元一次方程组的方法与解有理系数的一元一次方程及二元一次方程组相同．方程的解如果是二次根式，必须化为最简二次根式．
五、作业
1．计算：
二次根式复习课(4)
教学目的
1．使学生学会解未知数是无理系数的一元一次方程和二元一次方程组，以及学会解未知数在根号下的方程；
2．掌握二次根式运算的简便解法．
教学重点
二次根式运算的简便解法．
教学过程
一、无理系数的一元一次方程、二元一次方程组的解法
这个一元一次方程未知数的系数虽然是无理数，但它的解法和未知数是有理数系数的一元一次方程的解法是相同的．
练习：
二、未知数在根号下的方程
这个方程不同于过去我们会解的整式方程，它的未知数在根号下面．这样的方程可以运用算术平方根的定义去解．
这个方程运用算术平方根的定义可以理解为2x的算术平方根等于5，那么2x必然是25．
练习 解下列方程：
三、二次根式运算的简便算法
在进行任何运算时都要寻求简便算法，二次根式的运算也不例外．对什么样的二次根式能够进行简便运算，简便运算的方法是什么，让我们举出几例加以说明．
利用乘法公式，从而使计算得到简化．
＝18－48
＝－30．
例4 计算：
＝12．
为了计算代数式的值，首先要将代数式化简，然后再将已知数值代入．化简的方法可以运用分母有理化的方法，也可以运用通分的方法．
练习 用简便的方法计算下列各题：
四、小结
当一元一次方程未知数的系数是无理数时，它的解法和未知数是有理数系数的一元一次方程的解法是相同的．
(a≥0)等．
五、布置作业
3．用简便的方法计算下列各题：
二次根式的小结与复习(1)
一、目的要求
1．使学生对本章的内容提要进行小结与复习．
2．使学生通过练习，复习和巩固有关二次根式的基本概念和二次根式的性质，并会根据这些性质熟练地化简二次根式．
二、内容分析
1．学生已经学完了本章的内容．考虑到本章内容的难易程度、学生的年龄特征
调到最后．这是指知识的发生和形成过程而言的．现在学生已学完本章所有内容并进入了小结与复习的阶段，我们就可以也应该完全按照先复习概念和性质，再复习化简与运算的顺序来进行．这是因为，概念和性质是化简与运算的基础，学习概念和性质的目的是为了进行化简与运算，而且化简与运算是本章的重点．
2．本章的小结与复习一共给予3课时，大致安排如下：
第1课时，对本章的内容提要进行小结与复习，并通过练习，复习和巩固有关二次根式的基本概念(包括二次根式、最简二次根式、同类二次根式、有理化因式、分母有理化等)和二次根式的性质，会根据这些性质熟练地化简二次根式．
第2课时，对二次根式的四则运算进行小结与复习，通过练习掌握二次根式的四则运算法则，并会用它们进行运算(包括会将分母中含有一个或两个二次根式的式子进行分母有理化)．
第3课时，通过二次根式在解方程(组)与几何中的应用，以及求二次根式的近似值，再次对本章的内容进行小结与复习．
三、教学过程
复习提问：
1．什么叫做二次根式？为什么要求被开方数不能取负值？
2．二次根式有哪些性质？(要回答有
这样四条．)
3．什么叫做最简二次根式？怎样把一个不是最简二次根式的式子化成最简二次根式？
4．什么叫做同类二次根式？怎样合并同类二次根式？
有理化因式？
6．什么叫做分母有理化？怎样进行分母有理化？
课堂练习：
1．在实数范围内把下列各多项式分解因式：
(1)x2－7．
分析：在有理数范围内，x2－7已经不能再分解了．但是，在实数范围内，根
(2)a4－6a2+9．
解：a4－6a2+9＝(a2)2－2×3a2+32
＝(a2－3)2
2．把下列各式化成最简二次根式：
(请四名学生上黑板做，其他学生分四组在下面选做．待上黑板的学生做完后，教师即可讲评．)
3．用小黑板出示下面的推导错在哪里？
(1)∵(－3)2＝32
∴－2＝2
带动全班学生一起思考这两道小题，然后提问和讲解，通过这两道
课堂小结：
在这节课里，我们复习了二次根式的有关概念，包括二次根式、最简二次根式、同类二次根式、有理化因式、分母有理化等，还复习了二次根式的四条性质．这些概念和性质是我们进行二次根式的化简与运算的基础．
2．在这节课里，我们还看到，有些多项式在有理数范围内不能继续分解了，但一旦扩大到实数范围，它们就可以再分解下去．今后我们碰到因式分解的题目，如果说的是实数范围，那么就要在实数范围内分解到不能再分解为止．
四、课外作业 略
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