7.1.2全概率公式
一．新课
1.例引：银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.
2.全概率公式
3.贝叶斯公式*
二.基本知能小试
1．判断正误
(1)应用全概率公式时，各个事件并不一定互斥．( )
(2)若P(A)>0，P()>0，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．( )
三．题型总结
题型一:全概率公式的应用
例1：某公司有三个制造厂，全部产品的40%由甲厂生产，45%由乙厂生产，15%由丙厂生产，而甲、乙、丙三厂生产的不合格品率分别为1%,2%,3%.求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率．
练习1. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
练习2.甲、乙、丙三家公司生产同一种产品，已知三家公司的市场占有率如图所示，且三家公司产品的次品率分别为2%,1%和3%.则任取一件产品，
求它是次品的概率为______
练习3.某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台成品，则该产品合格的概率为________．
题型二:全概率公式和贝叶斯公式的应用
例2.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第第i (i =1，2，3）台车床加工的概率.
练习4.张宇去某地参加会议，他乘高铁、汽车、飞机去的概率分别为0.5,0.3,0.2.他乘高铁、汽车、飞机前往迟到的概率分别为，，，乘其他交通工具前往迟到的概率不变．若他迟到了，求他乘的是高铁的概率．
五．课后作业
1．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%. 从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( )
A．0.012 3 B．0.023 4
C．0.034 5 D．0.045 6
2．盒中有2个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率为( )
A. B.
C. D.
3．某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人；一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9,0.7,0.4.则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为( )A．0.62 B．0.48 C．0.5 D．0.4
4．从有10个红球和10个黑球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出不再放回，第1次摸到红球的概率为，那么第2次摸到红球的概率为________．
5.现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率为___________
6. 两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件.
（1）求这件产品是合格品的概率；（2）已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.
.
7.(多选)甲罐中有3个红球、2个黑球,乙罐中有2个红球、2个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,以A表示事件“从甲罐取出的球是红球”,再从乙罐中随机取出一球,以B表示事件“从乙罐取出的球是红球”,则 ( )
A.P(A)= B.P(B|A)= C.P(B)= D.P(A|B)=
8．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（ ）
①事件与相互独立； ②，，是两两互斥的事件； ③；
④； ⑤
A．5 B．4 C．3 D．2
9．《书》P52习题7.1 T3，4，5，7，8，9，10，11，12，13，147.1.2全概率公式
一．新课
1引例. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.
分析：最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对，或者第1次按错但第2次按对”.因此，可以先把复杂事件用简单事件表示，再利用概率的性质求解.
解：（1）设“第i次按对密码”（，2），则事件“不超过2次就按对密码”可表示为
.
事件与事件互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得
.
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为.
（2）设“最后1位密码为偶数”，则
.
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为.
2.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意事件B Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)__________________,则称该公式为全概率公式．
上述公式可借助图形来理解：
3.贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n.
二.基本知能小试
1．判断正误
(1)应用全概率公式时，各个事件并不一定互斥．( )
(2)若P(A)>0，P()>0，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．( )
答案： (1)× (2)√
三．题型总结
题型一:全概率公式的应用
例1：某公司有三个制造厂，全部产品的40%由甲厂生产，45%由乙厂生产，15%由丙厂生产，而甲、乙、丙三厂生产的不合格品率分别为1%,2%,3%.求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率．
[解] 设A1＝“抽到甲厂的产品”，A2＝“抽到乙厂的产品”，A3＝“抽到丙厂的产品”，B＝“抽到不合格品”，
则A1，A2，A3两两互斥，且Ω＝A1∪A2∪A3.
于是B＝B(A1∪A2∪A3)＝BA1∪BA2∪BA3.
由题意可知BA1，BA2，BA3两两互斥，因而有
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)．
又P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.45，P(A3)＝0.15，
P(B|A1)＝0.01，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.03，
所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.4×0.01＋0.45×0.02＋0.15×0.03＝0.017 5
[方法技巧]
全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求出最后结果的概率，解题步骤如下：
(1)找出条件事件里的某一个完备事件组，分别命名为Ai；
(2)命名目标的概率事件为事件B；
(3)代入全概率公式求解．
练习1. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
解：设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则.，且与互斥，根据题意得
，，.
由全概率公式，得
.
因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
练习2.甲、乙、丙三家公司生产同一种产品，已知三家公司的市场占有率如图所示，且三家公司产品的次品率分别为2%,1%和3%.则任取一件产品，
求它是次品的概率为______
解析：设B＝“任取一家公司生产的产品为次品”，Ai＝“产品为第i家公司生产的”(i＝甲、乙、丙)，
则Ω＝A甲∪A乙∪A丙且A甲，A乙，A丙两两互斥，根据题意得P(A甲)＝0.5，P(A乙)＝0.25，P(A丙)＝0.25，由全概率公式得P(B)＝P(A甲)P(B|A甲)＋P(A乙)·P(B|A乙)＋P(A丙)P(B|A丙)＝0.5×0.02＋0.25×0.01＋0.25×0.03＝0.02.
答案：0.02
练习3.某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台成品，则该产品合格的概率为________．
解析：设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}，
Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1,2，
则有B＝A1B∪A2B，由题意知
P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.85，
P(B|A2)＝0.88，
由全概率公式得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)
＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.
答案：0.868
例2.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第第i (i =1，2，3）台车床加工的概率.
分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能.如果设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”（，2，3），如图7.1-3，那么可将事件B表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B的概率.
图7.1-3
解：设“任取一个零件为次品”，“零件为第i台车床加工”（，2，3），则，且，，两两互斥.根据题意得
，，，
，.
（1）由全概率公式，替
.
（2）“如果取到的零件是次品，计算它是第i（，2，3）合车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率.
.
类似地，可得
，.
练习4.张宇去某地参加会议，他乘高铁、汽车、飞机去的概率分别为0.5,0.3,0.2.他乘高铁、汽车、飞机前往迟到的概率分别为，，，乘其他交通工具前往迟到的概率不变．若他迟到了，求他乘的是高铁的概率．
[解] 设B＝“迟到”，A1＝“乘高铁”，A2＝“乘汽车”，A3＝“乘飞机”．
根据题意，有
P(A1)＝0.5，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.2，
P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝.
由贝叶斯公式，有
P(A1|B)＝
＝
＝.
因此，张宇乘的是高铁的概率为.
五．课后作业
1．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%. 从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( )
A．0.012 3 B．0.023 4
C．0.034 5 D．0.045 6
解析：选C 本题为简单的全概率公式的应用，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.
2．盒中有2个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设A＝“第一次抽出的是黑球”，B＝“第二次抽出的是黑球”，则B＝AB＋B.
由题意P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，
P()＝＝，P(B|)＝＝，
所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)
＝×＋×＝.
3．某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人；一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9,0.7,0.4.则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为( )
A．0.62 B．0.48
C．0.5 D．0.4
解析：选A 设A1为进入比赛的一级射手，A2为进入比赛的二级射手，A3为进入比赛的三级射手，则P(A1)＝0.2，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.4且A1，A2，A3两两互斥，B＝“任取一名射手进入比赛”，则P(B)＝0.2×0.9＋0.4×0.7＋0.4×0.4＝0.62.
4．从有10个红球和10个黑球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出不再放回，第1次摸到红球的概率为，那么第2次摸到红球的概率为________．
解析：由全概率公式可求得第2次摸到红球的概率为.答案：
5.现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率为___________
【答案】
【解析】
【分析】记事件张君选择的是有思路的题，记事件答对该题，利用全概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件张君选择的是有思路的题，记事件答对该题，
则，，，，
由全概率公式可得
6. 两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件.
（1）求这件产品是合格品的概率；
（2）已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）直接求解即可；
（2）根据条件概率公式计算即可.
【详解】（1）求这件产品是合格品的概率为
（2）设{取到的是合格品}，{产品来自第批}，
则，
则，
根据公式得：
.
7.(多选)甲罐中有3个红球、2个黑球,乙罐中有2个红球、2个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,以A表示事件“从甲罐取出的球是红球”,再从乙罐中随机取出一球,以B表示事件“从乙罐取出的球是红球”,则 ( )
A.P(A)= B.P(B|A)= C.P(B)= D.P(A|B)=
【答案】ACD
8．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（ ）
①事件与相互独立； ②，，是两两互斥的事件； ③；
④； ⑤
A．5 B．4 C．3 D．2
【详解】显然，，，是两两互斥的事件，且
，，而，①错误，②正确；
，，所以，③正确；
④正确；
，⑤错误，综上：结论正确个数为3.故选：C
.
9．《书》P52习题7.1 T3，4，5，7- 14
T8. 甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率.
【答案】0.75
【解析】
【分析】先求目标至少被命中1次的概率，然后根据条件概率公式即可求得.
【详解】由题意可得，目标至少被命中1次的概率为，
又因为甲命中目标的概率为，
所以目标至少被命中1次，甲命中目标的概率.
T9. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.
【答案】
【解析】
【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可.
【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为，
故从甲箱中摸到红球的概率为；
从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为，
故从乙箱中摸到红球的概率为；
综上所述：摸到红球的概率为.
T10. 在、、三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人.
（1）求这个人患流感的概率；
（2）如果此人患流感，求此人选自地区的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用全概率公式可求得所求事件的概率；
（2）利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区，
则，且、、彼此互斥，
由题意可得，，，
，，，
由全概率公式可得
；
（2）由条件概率公式可得.
T11. 已知，，，证明：.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】根据得到，然后利用条件概率公式直接就可证明.
【详解】因为，，所以，即 ,
所以，即.
综合运用
T12. 一批产品共有100件，其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.求这批产品被拒绝的概率.
【答案】
【解析】
【分析】先求抽检第1件产品不合格的概率，再求抽检的第1件产品合格，第2件产品不合格的概率，两个概率之和即为所求概率.
【详解】抽检第1件产品不合格的概率为，
抽检的第1件产品合格，第2件产品不合格的概率为，
所以这批产品被拒绝的概率为.
T13. 在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为、、，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为.如果在子二代中任意选取颗豌豆作为父本杂交，那么子三代中基因型为的概率是多大？
【答案】
【解析】
【分析】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、，利用全概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、，
则，，.
在子二代中任取颗豌豆作为父本杂交，分以下三种情况讨论：
①若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为；
②若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为；
③若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为.
综上所述，
.
因此，子三代中基因型为的概率是.
T14. 证明条件概率的性质（1）和（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】结合条件概率的概念和概率的性质进行证明即可.
【详解】性质（1）：因为，所以；
性质（2）因为和是两个互斥事件，所以和是两个互斥事件，
所以
.
