课件24张PPT。中考专题复习最短路径问题 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？将军饮马问题 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．将军饮马问题1.能够利用基本事实“两点之间线段最短”和“轴对称的性质”，从复杂的图形中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型。
2.能将立体图形中的“最短路径问题”转化为平面图形来解决。
3、通过训练，提高综合运用知识的能力。学习目标如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，选择哪条路距离最短？你的理由是什么？两点之间线段最短知识回顾对应点所连的线段被对称轴垂直平分。轴 对 称 的 性 质知识回顾 如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
P所以泵站建在点P可使输气管线最短数学原理：两点之间线段最短 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线． 点P是直线上的一个动点，当点P在l 的什么位置时，PA+PB最小？ 你能利用轴对称的有关知识解答这个问题吗？（1）作点B 关于直线l 的对称
点B′；B′P 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点P是直线上的一个动点，当点P在l 的什么位置时，PA+PB最小？ （2）连接AB′，与直线l 相交
于点P．则点P 即为所求． 作法： 已知直线l 和A、B两点，点P是直线上的一个动点，当点P 在l 的什么位置时，PA+PB最小？ （1）A、B两点在直线异侧时：PB′P（2）A、B两点在直线同侧时：模型分析 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+4的图象与x、y轴分别交于点A、B两点，OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，当△PCD的周长最小时，求P点坐标．PC′·典型例题1 1.什么情况下，△PCD的周长最小？ 2.如何找到点P?题组一1.如图,在边长为1的等边三角形ABC中,点D是AC的中点,AE⊥BC，点P是AE上任一点,则PC+PD的最小值为 。ABC· DEP利用等边三角形
的轴对称性2.如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为 。利用正方形
的轴对称性N题组一 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达C的最短距离为________cm． 典型例题2 1.在棱长为1的立方体的右下角A处有一只蚂蚁，欲从立方体的侧面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？题组二 1.在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？题组二 沿过点A的母线剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径.问题解决 2.如图,圆锥的底面半径为1,母线长为4,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?题组二 圆锥的侧面展开图如图所示，连接BB′，则BB′为蚂蚁爬行的最短路径.思路分析41B’解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB′, ∠BAB′=n°∴ △ABB′是直角三角形解得: n=90∵ 圆锥底面半径为1,母线长为4连接BB′,即为蚂蚁爬行的最短路线问题解决这节课我学会了……反思小结1、“最短路径”问题的数学模型。2、利用转化的数学方法解决问题。3、分析问题时，要抓住问题的本质，注重解决问题的通性通法。 在长为5、宽为3、高为4的长方体的左下角A处有一只蚂蚁，欲从长方体的外表面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？拓展提升谢谢大家《最短路径问题》教学设计
一、课标分析
2011版《数学课程标准》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”随着现代信息技术的飞速发展，极大地推进了应用数学与数学应用的发展，使得数学几乎渗透到每一个科学领域及人们生活的方方面面。为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等院校的教学改革和培养高层次的科技人才的个重要方面，数学建模难度大、涉及面广，数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。新课标强调从生产、生活等实际问题出发，引导学生运用数学知识，去解决实际问题，培养应用意识与能力。因此，数学建模是初中数学的重要任务之一，它是培养学生应用数学的意识和能力的有效途径和强有力的教学手段。但从教学的反馈信息看，初中学生的数学建模能力普遍很弱，这与课堂教学中忽视对学生数学建模能力的培养不无关系。要想提高学生的建模能力，我们就要在课堂教学中引导学生从生活经验和已有的知识出发，从社会热点问题出发，让学生直接接触数学建模，培养学生抽象能力以及运用数学知识能力。现实生活中问题是很复杂的，有些问题表面看来毫无相同之处，但抽象为数学模型，本质都是相同的，这些问题都可以用类似的方法解决。本节课的教学中注重模型归类，多题一模，训练学生归纳能力，培养学生数学建模能力。
二、教材分析
本节课是在学习了基本事实：“两点之间线段最短”和轴对称的性质、勾股定理的基础上，引导学生探究如何综合运用知识解决最短路径问题。它既是轴对称、勾股定理知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用．对于本节课的内容，青岛版教材没有独立编排，只是随着学生数学学习的不断推进，逐步添加了部分题目来逐步渗透，这也使大部分学生忽视了这一知识点。设计整合了一些以三角形、四边形、圆、函数、立体图形为背景的最短路径问题，让学生直面数学模型，体会数学的本质，有利于学生系统的学习知识。
学习目标：
1.能够利用基本事实“两点之间线段最短”和“轴对称的性质”，从复杂的图形中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型，体会轴对称的“桥梁”作用。
2.能将立体图形中的“最短路径问题”转化为平面图形来解决，感悟转化思想.
3、通过训练，提高综合运用知识的能力。
教学重点：通过利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题，学会从知识内容中提炼出数学模型和数学数学方法。
教学难点：从复杂的图形中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型。突破难点的方法：对应模型,找出本质问题。
突出重点的方法：通过设置问题、引导思考、探究讨论、例题讲解方式突出重点。
突破难点的方法：勾股定理、线段公理和轴对称性质的灵活运用和提升是个难点，加上指导学生学会思考还在培养之中，仅靠学生是不能完成的，所以在教学中要充分运用多媒体教学手段，通过启发引导，小组讨论，例题讲解，变式提升、归纳总结来帮助学生理解知识的应用和方法的提升，层层深入，逐一突破难点。
三、学情分析
对于九年级的学生来说，已学过一些关于空间与图形的简单推理知识，具备了一定的合情推理能力，能应用勾股定理、线段公理、轴对称的性质等知识解决简单的问题，但演绎推理的意识和能力还有待加强，思维缺乏灵活性．
最短路径问题，学生在八年级已经有所接触。对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，受已有经验和知识基础的影响，部分学生在八年级学习时很茫然，找不到解决问题的思路。进入中考复习阶段，随着一些以三角形、四边形、圆、函数、立体图形为背景的最短路径问题的出现，更是让学生感到陌生，无从下手。
从平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，学生学得累。所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，以达到提高学习能力的目的．
四、教学设计
（一）创设情景
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你能用所学的知识解决这个问题吗？
【学生活动】学生思考教师展示问题，并观察图片，获得感性认识.
【设计意图】从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望.
（二）知识回顾
1.如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，选择哪条路距离最短？你的理由是什么？
2.你能说出轴对称的性质吗？
3.勾股定理。
【学生活动】在教师的引导下回顾旧知识。
【设计意图】为本节课的学习扫清知识障碍。
（三）模型建构
1.如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
【设计意图】通过一个很简单的实际问题，让学生认识到数学来源于生活，服务与生活，曾庆学生的应用意识。
2.你能解决“将军饮马问题”吗？
活动1：观察思考，抽象为数学问题
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
活动2： 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
【学生活动】学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地
到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设P 为直线上的一个动点，
上面的问题就转化为：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点P是直线上的一个动点，当点P在l 的什么位置时，PA+PB最小？
强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”
【设计意图】让学生经历观察、叙述、画图等过程，培养学生把生活问题抽象为数学问题的能力。
活动3：尝试解决数学问题
你能利用轴对称的知识解决这个问题吗？
【学生活动】学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充。教师适当提示。
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点P。
则点P 即为所求． 如图所示：
【学生活动】在教师的引导下，积极思考，同伴交流，尝试解决实际问题。
【设计意图】学以致用，利用轴对称知识解决问题，及时进行学法指导，引导学生进行方法规律的提炼总结。
3.模型分析
已知直线l 和A、B两点，点P是直线上的一个动点，当点P 在l 的什么位置时，PA+PB最小？
（1）A、B两点在直线异侧时：
（2）A、B两点在直线同侧时：
【设计意图】引导学生梳理总结从实际问题中抽象出来的数学模型，形成认知结构，增强从复杂问题中找出基本图形的能力。
（四）模型应用
典型例题（一）
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+4的图象与x、y轴分别交于点A、B两点，OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，当△PCD的周长最小时，求P点坐标．
【设计意图】（1）帮助学生灵活的从复杂的图形中抽出基本模型（2）引导学生找出模型中已知直线L和A、B两点，提高学生分析题目的能力，提升思维的层次。
题组（一）
1.如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,点D是AC的中点,AE⊥BC，点P是AE上任一点,则PC+PD的最小值为 。
2.如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为 。
图1 图2
典型例题（二）
如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．
【学生活动】（1）将立体图形转化为平面图形。（2）在教师的引导下从问题的情境中逐步得出问题的本质：点A，C 在直线L 的同侧，点P是直线上的一个动点，当点P在l 的什么位置时，PA+PB最小？ （3）综合运用数学模型和勾股定理解决问题。
【设计意图】引导学生将立体图形转化为平面图形，利用“最短路径”数学模型来解决问题。训练学生的思维，提高分析问题的能力，培养模型思想。
题组（二）
1.如图，在棱长为1的立方体的右下角A处有一只蚂蚁，欲从立方体的侧面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？
2.如图,圆锥的底面半径为1,母线长为4,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一周再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?
（五）反思小结
本节课我学会了……
【设计意图】引导学生从知识、方法、数学思想方面进行归纳总结：
1、解决上述问题运用了什么知识？（知识）
2、在解决问题的过程中运用了什么方法？（方法）
3、运用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？（数学思想）
（六）拓展提升
如图，在长为5、宽为3、高为4的长方体的右下角A处有一只蚂蚁，欲从长方体的外表面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？
【设计意图】思维变式训练，提升学生的思维层次，让学生学会思考，学会提问。
五、效果分析
本节课的活动设计与评测练习有利于教学目标的实现，很好的突出了重点，突破了难点。具体标志如下：
1.学生能够把“将军饮马”的问题转化为数学中的“点、线”问题，并利用轴对称的性质将其转化为“两点之间线段最短”的问题。
2.能够抽象出“最短路径问题”数学模型，在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.
3、能从一些以三角形、四边形、圆、函数、立体图形为背景的复杂题目中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型。
六、观评记录
（一）生活情境创设
本节可通过创设“将军饮马”这样一个具有思考性的故事情境，激发了学生的学习兴趣，迅速把学生引入本节课的教学问题之中，为接下来的进一步学习奠定基础，真正体现课标理念中数学活动的深入有效开展。
（二）任务层次结构
本设计将教学任务设计成若干个教学活动。除了考虑活动本身的设计之外，还充分考虑子活动之间坡度、连贯、衔接等特点，过渡自然、思路清晰，能够提供思考和发现的时间和空间。这种层次结构帮助学生保持思维的高度集中，避免学生因活动脱节造成思路混乱；有利于呈现出高认知水平的教学任务，避免低水平的模仿和重复训练；能够根据教师构建的“脚手架”一步步完成整个“教学工程”的任务，避免形成局部效果之和远小于整体教学要求。教师上课思路清晰，目的明确；教学活动各部分时间安排合理；教学活动各部分联系比较紧密；学生能从整体上分析问题、解决问题。
（三）数学思想方法渗透
新课标中明确提到数学思想方法的显性要求。我们在平时的教学过程中经常侧重于解题训练，而忽略新内容学习中数学思想方法的训练，这靠多做题是无法实现的，学生往往学得又累又不得法。本节课数学思想方法的挖掘与呈现主要体现为：能够将新旧知识进行有效联系；学生能将一个复杂的问题转化为若干个简单的问题；教师在教学过程中经常渗透思想方法；在教师的引导下，自己基本能够独立完成新内容的学习；能够运用学过的方法找到解决新问题的思路。
（四）数学交流的机会
本节课的交流方式主要体现为：在课堂学习过程中有表达自己想法的机会；老师在课堂教学过程中注意照顾到不同层次的学生；在与同学交流的过程中能够获得启发；针对老师和同学提供的多种解题方法，能够选择适合自己的方法；教师能够进行详细深入的点评；学生主动参与学习活动，相互合作、共同探究学习问题，乐于交流分享成绩；注意力集中，学习积极主动，与老师配合默契；有数学表达的愿望；给学生交流提供充足的时间。
（五）数学应用的深度
课堂中的数学应用主要表现为：能够从生活中提炼出数学问题并加以解决；了解数学知识的来龙去脉，寻找其中与数学有关的因素；能从数学现实中主动获取知识；学生在教师的引导下发挥了学习数学的潜力；在教学中能够照顾到各个层次的学生；学生有思考问题和表现想法的机会。
七、课后反思
本节课我用数学故事“将军饮马”引入课题，引导学生 “两点之间线段最短”和轴对称的性质逐步从生活问题中抽象概括出“最短路径问题”数学模型。让学生经历将实际问题抽象为数学问题的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小的问题转化为“两点之间，线段最短”问题。在建构模型的过程中，我注重学生学习学习方法的而培养和数学思想方法的渗透；在抽象出数学模型的基础上，进一步引导学生分析模型，增强了学生的模型思想；接下来通过两个典型例题及两个对应题组的联系，更是有利于学生发现问题的实质，增强了学生从复杂的图形中发现基本图形的能力。总之，本节课的教学注重模型归类，多题一模，训练学生归纳能力，培养学生数学建模能力。
在本节课的教学中，我设计整合了一些以三角形、四边形、圆、函数、立体图形为背景的最短路径问题，有利于学生知识的整体建构，大大提高了复习效率。
在设计题组时，专门设计了备用题组，充分考虑到不同层次学生的需要，既让学有余力的学生得到充分的发展，又给解题慢的学生留下了充足的思考空间。
在本节课的教学活动中，学生在教师的引导下认真倾听、积极思考、同伴互助，很好的完成了本节课的教学任务。
《最短路径问题》评测练习
题组一（平面图形）
1.如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,点D是AC的中点,AE⊥BC，点P是AE上任一点,则PC+PD的最小值为 。
2.如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为 。
图1 图2
题组二（侧面展开图）
1.如图，在棱长为1的立方体的右下角A处有一只蚂蚁，欲从立方体的侧面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？
2如图,圆锥的底面半径为1,母线长为4,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一周再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?
题组三（表面展开图）
1.如图，在长为5、宽为3、高为4的长方体的右下角A处有一只蚂蚁，欲从长方体的外表面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？
题组四（备用题组）
1.如图1，在菱形ABCD中，AB=2， ∠BAD=60°，点E是AD的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值为 。
2.如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4cm，AB=5cm，BC=6cm，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为 ．
图1 图2 图3
3.如图3，的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；
4.如图4，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。，得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
图4
5.如图，在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？
（变式）如图，在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？
