《5.7二次函数的应用》教学设计
教材分析：
二次函数是中学数学中的第三类基本函数，是数形结合的典型之一，是中学数学的知识重点。
二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。最值问题是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，为求解最大利润等问题奠定基础。其目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。
学情分析：
对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
教学目标：
1、经历数学建模的基本过程。
2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。
3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。
教学重点：
利用二次函数的图象与性质求实际问题中的最大值或最小值。
教学难点：
正确分析问题，找到解决问题的途径，建立适当的数学模型解决实际问题。
教学方法：
由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。
教学过程：
一、课前检测：
1.二次函数y=x2-2x+3的顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y有最 值，是 。
2. 已知二次函数y=x2-2x+3，当0≤x<4时，当x 时，y有最 值，是 。
3.已知二次函数y=x2-2x+3，当2≤x<4时，当x 时，y有最 值，是 。
（学生自主做完后，交流答案，教师适时进行纠错指导。）
（设计意图：学生经历由易到难求二次函数最值的过程，为二次函数应用做好铺垫。）
二、新知体验：一“形”多“模”
体验一：如图，矩形ABCD的一边靠墙,另三边用长为60米的竹篱笆围成，若矩形的宽为x米，面积是450平方米，求这个矩形的长。
体验二：若矩形的宽AB长为x米,面积为60平方米，写出矩形的长y（米）与x（米）的函数关系式.
体验三：若矩形的宽AB长为x米,另三边的长为60米，写出矩形的长y（米）与宽x（米）的函数关系式.
体验四：若矩形的宽AB长为x米,另三边的长为60米，写出矩形的面积s(平方米）与宽x（米）的函数关系式.
（学生积极思考，自己解答，小组内讨论，教师给予引导。）
（设计意图：这四个体验的求解分别是一元二次方程、反比例函数、一次函数、二次函数，它们都是数学中的模型，函数的取值在自变量的取值范围内有无数个，其中二次函数还有最值，从而进入本节的学习。）
三、新知应用：一题多变
（一）例1 用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形养鸡场，已知篱笆的长度为60m,问：应该怎样设计才能使养鸡场的面积最大？最大面积是多少？
（高程生到黑板板演，其余同学在练习本上做出；然后小组内展示、交流，最后教师根据学生存在的问题进行讲解。）
（设计意图：例1是把体验4转变成了一个实际问题，首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑自变量的取值，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。）
（解答例1之后及时让学生总结方法，为下一阶段的学习打下思想方法基础。）
归纳总结：如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值?
1.首先求出函数解析式
2.求出自变量的取值范围，
3.通过配方变形或利用公式法，求它的最大值或最小值。
（学生畅所欲言，自己归纳得出二次函数应用求最值的步骤。）
（二）变式训练1：用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形养鸡场，已知篱笆的长度为60m,墙长32m,问：应该怎样设计才能使养鸡场的面积最大？最大面积是多少？
变式训练2：用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形养鸡场，已知篱笆的长度为60m,墙长18m,问：应该怎样设计才能使养鸡场的面积最大？最大面积是多少？
（设计意图：例1、变式1、变式2围绕同一个背景，使用一题多变，能够更好地让学生理解其异同及解法的不同。变式2是在前两个问题的基础上对自变量取值进行改变，意在体现对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用。通过此题的有意训练，学生必然会对自变量的取值有更加深刻的理解。）
注：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定。
四、知识升华：多形一变
如图，ABCD是一块边长为2m的正方形铁板，在边AB上取一点M，分别以AM，MB为边截取两块相邻的正方形板材，当AM的长为多少时，截取的板材面积最小？
c
（学生自主完成后，组长本组内交流答案，高程生讲解，教师适时点评。）
（设计意图：此题是对本节所学知识的进一步升华与巩固，使学生深刻体会到，解决这类问题，首先要建立二次函数的数学模型，将生产实际中的最大值和最小值问题，转化为利用二次函数的性质解决。）
五、课堂小结：学习了今天的内容，你最深的感受是什么？
（1）利用二次函数的最值问题可以解决实际几何问题。
（2）实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处。
（对本节知识的总结，先让学生交流总结，然后教师适时点拨，让学生对于最值问题的解决有一定的思路。）
（设计意图：在教师的引导下，学生自主进行归纳，使所学的知识及时纳入学生的认知结构。）
六、堂堂清检测题
基础题：
1.已知某矩形周长为20厘米，一边长为x厘米，当x= 时，此矩形的面积最大，最大是 平方厘米。
拓展题：
（2014?四川成都）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
七、布置作业：必做题:P51、1；能力题：P56、4
教学反思：
函数的应用一直是数学中的一大难点，如何让学生灵活运用函数的相关性质解决相关的实际问题，是我们一直在探讨和思考的问题。性质的应用应是在对性质掌握熟练的情况下进行，并且要注意教学策略，知识的应用要符合学生的认知水平，由已知到未知，由简单到复杂。
在整节课的教学过程中，注重学生分析问题、解决问题能力的培养，能够将实际问题转化为数学问题，体会数学中的建模思想。
《5.7二次函数的应用》
评测练习：
基础题：
1.已知某矩形周长为20厘米，一边长为x厘米，当x= 时，此矩形的面积最大，最大是 平方厘米。
拓展题：
（2014?四川成都）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
课件14张PPT。5.7二次函数的应用 新知体验：一“形”多“模”的奥秘如图，矩形ABCD的一边靠墙,另三边用长为60米的竹篱笆围成。ABCD若矩形的宽为x米，面积是450平方米，
求这个矩形的长。模型“变脸”（1）若矩形的宽AB长为x米,面积为60平方米，写出矩形的长y（米）与x（米）的函数关系式.
（2）若矩形的宽AB长为x米,另三边的长为60米，写出矩形的长y（米）与宽x（米）的函数关系式.(3)若矩形的宽AB长为x米,写出矩形的面积s(平方米）与宽x（米）的函数关系式.
用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形养鸡场，已知篱笆的长度为60m,问：应该怎样设计才能使养鸡场的面积最大？最大面积是多少？新知应用：例1解：如图，设矩形菜园的宽为x(m)，则菜园的长为(60-2x)m，面积为y(㎡).根据题意，y与x之间的函数表达式为
y=x(60-2x)
=-2(x2-30x)
=-2(x2-30x+225-225)
=-2[(x-15)2-225]
=-2(x-15)2+450
因为a＜0，所以抛物线开口向下，顶点(15,450)图像最高点，当x=15时，y有最大值，最大值是450.由题意可知：0＜x＜30，由于x=15在此范围内，所以二次函数y=x(60-2x)的最大值，就是该实际问题的最大值。
所以，当菜园的宽为15m时，菜园面积最大，最大面积是450㎡. 归纳总结：
如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值?
1.首先求出函数解析式
2.求出自变量的取值范围，
3.通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形养鸡场，已知篱笆的长度为60m,墙长32m,问：应该怎样设计才能使养鸡场的面积最大？最大面积是多少？变式训练1:
用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形养鸡场，已知篱笆的长度为60m,墙长18m,问：应该怎样设计才能使养鸡场的面积最大？最大面积是多少？
变式训练2：知识储备： 在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定。知识升华：
如图，ABCD是一块边长为2m的正方形铁板，在边AB上取一点M，分别以AM，MB为边截取两块相邻的正方形板材，当AM的长为多少时，截取的板材面积最小？C解：设AM的长为x(m)，则BM的长为(2-x)m,以AM和BM为边的两个正方形面积之和为y（m2）.根据题意，y与x之间的函数表达式为
y=x2+(2-x)2
=2x2-4x+4
=2(x-1)2+2
因为a=2＞0，所以x=1时，y有最小值，最小值是2.由题意，自变量x的取值范围为0＜x＜2，又x=1在这个范围内，所以二次函数y=x2+(2-x)2的最小值就是该实际问题的最小值.所以，当AM=1m时，截取的板材面积最小，最小面积是 2m2. 课堂小结：1、利用二次函数的最值问题可以解决际几何问题。
2、实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处。学习了今天的内容，你最深的感受是什么？1、 5 25
2、 x1=12，x2=16，
∴x=15时，S取最大值为：
S=﹣（15﹣14）2+196=195，
堂堂清检测题答案：
