课件23张PPT。二次函数总复习 二次函数知识点导航：1、二次函数的定义
2、二次函数的图像及性质
3、求解析式的三种方法
4、a，b，c及相关符号的确定
5、抛物线的平移
6、二次函数与一元二次方程的关系
7、二次函数的应用题
1、二次函数的定义
定义： y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ）
定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2
③代数式一定是整式
练习：1、y=-x2，y=2x2-2/x，y=100-5 x2，
y=3 x2-2x3+5,其中是二次函数的有____个。 2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1
是二次函数？2、二次函数的图像及性质 抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定a>0,开口向上a<0,开口向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 例2：
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
已知二次函数
0?(-1,-2)??(0,-–)??(-3,0)(1,0)3 2yx由图象可知： 当x< -3或x>1时，y > 0当-3 < x < 1时，y < 0(4)2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________
求出表达式后化为一般形式.3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________
求出表达式后化为一般形式.1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)3、求抛物线解析式的三种方法练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。 例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1
∴顶点坐标为（ 1 ， 2）
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x4、a，b，c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定开口向上a>0开口向下a<0（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.交点在x轴上方c>0交点在x轴下方c<0经过坐标原点c=0（3）b的符号：由对称轴的位置确定对称轴在y轴左侧a、b同号对称轴在y轴右侧a、b异号对称轴是y轴b=0（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定与x轴有两个交点b2-4ac>0与x轴有一个交点b2-4ac=0与x轴无交点b2-4ac<0（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。
当x=1时，y>0,则a+b+c>0
当x=1时，y<0，则a+b+c<0
当x=1时，y=0，则a+b+c=0
(6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。
当x=-1，y>0,则a-b+c>0
当x=-1，y<0,则a-b+c<0
当x=-1，y=0,则a-b+c=0１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
所示，则a、b、c的符号为（ ）
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0
C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0 2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如图所示，则a、b、c的符号为（ ）
A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0
C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
所示，则a、b、c 、 △的符号为（ ）
A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0
C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0 BACooo练习：熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系(上正、下负）(左同、右异) ·c4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和
二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况：
a 0,b 0,c 0.
<=<5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a 0,b 0,c 0. >=6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
那么这个二次函数图象的顶点必在第 象限 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据
图象以及性质确定结果（数形结合的思想）四>3.已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个Dx-110y要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。5、抛物线的平移左加右减，上加下减练习
⑴二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象；
二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。
⑵二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。下3右3左1上2
练习：
（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.
y=x2-5x+6 6二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与b2-4ac的关系
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的解。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
(1)有两个交点
(2)有一个交点
(3)没有交点二次函数与一元二次方程b2 – 4ac > 0b2 – 4ac= 0b2 – 4ac< 0若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2 – 4ac≥0与x轴有两个不
同的交点
（x1，0）
（x2，0）有两个不同的解x=x1，x=x2b2-4ac＞0与x轴有唯一个
交点有两个相等的解
x1=x2=b2-4ac=0与x轴没有
交点没有实数根b2-4ac＜0例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿＿＿.1116 (3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿.
（-2、0）（5/3、0）1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的
形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离
为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.解:?抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
? a=1或-1
又?顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
? 顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5
展开成一般式即可.
7二次函数的综合运用 2.若a+b+c=0,a?0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移
4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的
顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.分析:(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)(2) 新抛物线向右平移5个单位,
再向上平移4个单位即得原抛物线答案:y=-x2+6x-5http://www.jyivf.com 高密市蔡站中学初三数学一轮复习
学习目标：
1．理解二次函数的概念，会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；
2.会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(x-h)2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；
学习重点、难点：会用待定系数法求二次函数的解析式；利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
学习过程：
一、知识梳理：
1. 二次函数的图像和性质
＞0
＜0
图 象
开 口
对 称 轴
顶点坐标
最 值
当x＝ 时，y有最 值
当x＝ 时，y有最 值
增减性
在对称轴左侧
y随x的增大而
y 随x的增大而
在对称轴右侧
y随x的增大而
y随x的增大而
2. 二次函数用配方法可化成的形式，其中＝ ， ＝ .
3. 二次函数的图像和图像的关系.
4. 二次函数中的符号的确定.
二、典型例题
例1．下列函数中，二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+c B. C. D. y=x(x—1)
练习：如果函数是二次函数，那么m的值为
例2.抛物线的图象的开口方向是_____, 顶点坐标是_ ___.
练习：若抛物线的最低点在轴上，则的值为
例3.已知抛物线（＞0）的对称轴为直线，且经过点，试比较和的大小： _（填“>”，“<”或“=”）
练习：二次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。则当时，的值是 。
例4.二次函数y=m2x2-4x+1有最小值-3,则m等于( )
A.1 B.-1 C.±1 D.±
练习：已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值
练习：若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A．=l B．>l C．≥l D．≤l
练习：若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
X
-7
-6
-5
-4
-3
-2
y
-27
-13
-3
3
5
3
则当x=1时，y的值为 （可用多种解法）
例5.将抛物线绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
练习：二次函数的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为，则与分别等于（ ）
A、6、4 B、－8、14 C、4、6 D、－8、－14
例6.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为，且是x的二次函数，已知输入值为,0,时, 相应的输出值分别为5,,．此二次函数的解析式是_____
练习：1.抛物线与x轴一个交点的横坐标为－2，顶点为(2,8),它的关系式为
2.直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）. 抛物线的解析式为
3.已知抛物线经过点（0，－3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b的值是 ．
例7.二次函数的图象如图所示，
（1）根据图象写出方程的两个根．
（2）根据图象写出不等式的解集．
（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
练习：1.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．
2.已知函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
3.已知二次函数y=x2+x+m,当x取任意实数时,都有y>0,则m的取值范围是( )
A.m≥; B.m>; C.m≤; D.m<
例8．抛物线与x轴交点为A，B，（A在B左侧）顶点为C.与Y轴交于点D
(1)求△ABC的面积。
(2)若在抛物线上有一点M，使△ABM的面积是△ABC的面积的２倍。求M点坐标
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
(4)在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBAC是等腰梯形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由
三、课堂小结：
巩固练习
1.已知函数．当m 时，函数的图象是直线；
当m 时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上且经过原点的抛物线．
2.若抛物线y=(m-1)x2+2mx+2m-1的图象的最低点的纵坐标为零，则m=_______.
3.抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，），平行于x轴的 直线CD交抛物线于点C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE+FD的值是 （ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
4.已知关于x的函数y＝（m－1）x2＋2x＋m图像与坐标轴有且只有2个交点，则m＝
5.抛物线y＝2x2不动，把x、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，则新坐标系下抛物线的解析式 ( )
A．y＝2(x－2)2＋2 B．y＝2(x＋2)2－2 C．y＝2(x－2)2－2 D．y＝2(x＋2)2＋2
6.函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．
评测练习
1.已知函数．当m 时，函数的图象是直线；
当m 时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上且经过原点的抛物线．
2.若抛物线y=(m-1)x2+2mx+2m-1的图象的最低点的纵坐标为零，则m=_______.
3.已知关于x的函数y＝（m－1）x2＋2x＋m图像与坐标轴有且只有2个交点，则m＝
4.抛物线y＝2x2不动，把x、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，则新坐标系下抛物线的解析式 ( )
A．y＝2(x－2)2＋2 B．y＝2(x＋2)2－2 C．y＝2(x－2)2－2 D．y＝2(x＋2)2＋2
5.函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．
