23.2解直角三角形及其应用课时练习题
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
A
A
B
D
C
B
C
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边上的高等于（ ）
A. B. C. D.
解答：∵在Rt△ABC中，sinA＝＝，AB＝4，∴BC＝，由勾股定理得：AC＝，
∵在Rt△ADC中，sinA＝，∴CD＝×＝.
故选：B.
2.已知：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC+AC＝3+，则BC等于（ ）
A. B.3 C.2 D.+1
解答：设BC＝x，则AC＝＝x，∵BC+AC＝3+，∴x+x＝3+，
解得：x＝3，即BC＝3，
故选：B.
3.在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cosB＝，则BC边长为（ ）
A.7 B.8 C.8或17 D.7或17
解答：∵cos∠B＝，∴∠B＝45°，
当△ABC为钝角三角形时，如图1，
∵AB＝12，∠B＝45°， ∴AD＝BD＝12，
∵AC＝13，∴由勾股定理得CD＝5，
∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；
当△ABC为锐角三角形时，如图2，
BC＝BD+CD＝12+5＝17，
故选：D．
4.等腰三角形的底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（ ）
A.60° B.90° C.120° D.150°
解答：如图，AB＝AC，AD为BC边上的高，
由题意得：BC：AD＝2：，
由等腰三角形的“三线合一”得BD＝BC，
∴BD：AD＝1：，即＝，
∴tanB＝，∴∠B＝60°，
∴此三角形为等边三角形，故顶角为60°，
故选：A.
5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A. B.－1 C.2－ D.
解答：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AC．
又∵点D为边AC的中点，
∴AD＝DC＝AC．
∵DE⊥BC于点E，
∴∠CDE＝∠C＝45°，
∴DE＝EC＝DC＝AC．
∴tan∠DBC＝＝＝，
故选：A．
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝，则tanB的值为（ ）21·cn·jy·com
A. B. C. D.
解答：在Rt△ACM中，sin∠CAM＝＝，
设CM＝3x，则AM＝5x，
根据勾股定理得：AC＝＝4x，
又M为BC的中点，
∴BC＝2CM＝6x，
在Rt△ABC中，tanB＝＝＝，
故选：B.
7.如图，在Rt△ABC中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan CAD的值为（ ）2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
解答：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵tanB＝，即＝，
∴设AD＝5x，则AB＝3x，
∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴＝＝＝，
∴CE＝x，DE＝x，
∴AE＝x，
∴tan∠CAD＝＝，
故选：D．
8.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（ ）
A.20海里 B.40海里 C.20海里 D.40海里
解答：根据题意可知∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，
∵∠CBD＝∠CAD+∠ACB，
∴∠CAD＝30°＝∠ACB，
∴AB＝BC＝40海里，
在Rt△CBD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝60°，
sin∠DBC＝，∴sin60°＝，
∴CD＝40×sin60°＝40×＝20 （海里），
故选：C．
9.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tan＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A.144cm B.180cm C.240cm D.360cm
解答：根据题意可知：：△AFO∽△ABD，OF＝EF＝30cm
∴＝，即＝，
∴DC＝72cm，
∵tan＝，∴＝，
∴AD＝×72＝180cm．
故选：B．
10.如图，为了测得电视塔高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）21·世纪*教育网
A.50 B.51 C.50+1 D.101
解答：设AG＝x，
在Rt△AEG中，∵tan∠AEG＝，
∴EG＝＝x，
在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝，
∴CG＝＝x，∴x﹣x＝100，
解得：x＝50，则AB＝50+1（米），
故选：C．
二、填空题
11. 4 12. （4，0）. 13. 182米.
14. 6. 15. 200+200． 16. 4.8.
11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AC＝6，则BC＝___________.
解答：∵∠C＝90°，tanA＝，∴＝，∴BC＝6×＝4，
故答案为：4.
12.在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点P(1，1)，与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝3，那么点A的坐标是____________.
解答：如图，∵一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点P(1，1)，
∴k+b＝1①，点A，点B分别与x轴，y轴的正半轴相交，且点B坐标为（0，b），
∴OB＝b，
在Rt△AOB中，∵tan∠ABO＝3，∴OA＝3OB＝3b，
∴点A的坐标为（3b，0），
∴3bk+b＝0，∴k＝－，
把k＝－代入①得：b＝，
∴点A的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）.
13.小明同学在距某电视塔底部水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此电视塔高约为________________米.（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475） 21*cnjy*com
解答：设电视塔高为x米，由题意得：x＝500tan20°≈500×0.3640＝182（米），
故答案为：182米.
14.如图，铁路的路基横断面可看成是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1：，斜坡AB的水平宽度BE＝3m，那么斜坡AB的长为_________m.【来源：21cnj*y.co*m】
解答：∵斜坡AB的坡度为1：，
∴tanB＝，
∴∠B＝30°，
∵cosB＝，
∴AB＝＝6（m），
故答案为：6.
15.4月26日，2015黄河口国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是_________________米．21教育名师原创作品
解答：由已知，得∠A＝30°，∠B＝45°，CD＝200，
∵CD⊥AB于点D，
∴在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝，
∴AD＝＝200，
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠B＝45°
∴DB＝CD＝200，
∴AB＝AD+DB＝200+200，
故答案为：200+200．
16.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若cosB＝，EC＝2，P是AB边上的一动点，则线段PE的长度的最小值是___________.21*cnjy*com
解答：设菱形ABCD的边长为x，则AB＝BC＝x，又EC＝2，所以BE＝x﹣2，
因为AE⊥BC于E，
所以在Rt△ABE中，cosB＝，又cosB＝，
于是＝，
解得x＝10，即AB＝10．
所以易求BE＝8，AE＝6，
当EP⊥AB时，PE取得最小值．
故由三角形面积公式有：ABPE＝BEAE，
求得PE的最小值为4.8，
故答案为 4.8.
三、解答题
17.已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值.2-1-c-n-j-y
解答：（1）∵AD是边BC上的高，AD＝12，
∴sinB＝＝，∴AB＝15，
在Rt△ABD中，BD＝＝9，
∴DC＝BC－BD＝14－9＝5；
（2）∵E是斜边AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C，
在Rt△ADC中，tanC＝＝，
∴tan∠EDC＝tanC＝.
18.如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝6，AD＝8，求sin∠OEA的值．www-2-1-cnjy-com
解答：连结EC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝8，OA＝OC，∠ABC＝90°，
由勾股定理得：AC＝＝10，则OA＝5，
∵OE⊥AC，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
在Rt△EDC中，设EC＝AE＝x，
则有ED＝AD－AE＝8－x，DC＝AB＝6，
根据勾股定理得：x2＝(8－x)2+62，
解得：x＝，
∴AE＝，
在Rt△AOE中，sin∠OEA＝＝.
19.如图，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度.(≈1.7)【出处：21教育名师】
解答：作BE⊥CD于点E，则CE＝AB＝12，
在Rt△BCE中，BE＝＝＝12，
在Rt△BDE中，DE＝BEtan∠DBE＝12tan45°＝12，
∴CD＝CE+DE＝12+12≈32.4，
所以，楼房CD的高度约为32.4米.
20.如图，某水上乐园有一个滑梯AB，高度AC为6米，倾斜角为60°，暑期将至，为改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由60°减至30°.【版权所有：21教育】
（1）求调整后的滑梯AD的长度
（2）调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）
（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
解答：（1）Rt△ABD中，
∵∠ADB＝30°，AC＝6米，
∴AD＝2AC＝12（m）
∴AD的长度为12米；
（2）∵Rt△ABC中，AB＝＝4（m），
∴AD－AB＝12﹣4≈5.1（m）．
∴改善后的滑梯会加长5.1m．
21.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽为6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度.（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）21cnjy.com
解答：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，
由题意知：BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，
在Rt△ABE中，i＝＝，
∴AE＝50米，
在Rt△CFD中，∠D＝30°，
∴DF＝＝20米，
∴AD＝AE+EF+DF＝50+6+20≈90.6（米），
答：坝底AD的长度约为90.6米.
22.如图，AD是等腰△ABC底边上的高，且AD＝4，sinB＝，若E是AC边上的点，且满足AE：EC＝2：3，连接DE，求sin∠ADE的值.21教育网
解答：过点A作AF∥BC，交DE的延长线于F，
∵AD是等腰△ABC底边上的高，
∴BD＝CD，AB＝AC，
在Rt△ABD中，∵sinB＝＝，而AD＝4，
∴AB＝5，
∴BD＝＝3，
∴CD＝BD＝3，
∵AF∥CD，
∴∠DAF＝90°，△AEF∽△CED，
∴＝，即＝，
∴AF＝2，
在Rt△DAF中，DF＝＝2，
在Rt△DAF中，sin∠ADF＝＝＝，
即sin∠ADE的值为．
23.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(+1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）www.21-cn-jy.com
解答：过点C作CE⊥AB于点E，
由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，
设AE＝x海里，
在Rt△AEC中，CE＝AEtan60°＝x；
在Rt△BCE中，BE＝CE＝x，
∴AE+BE＝x+x＝100(+1)，
解得：x＝100，
∴AC＝＝2x＝200．
在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，
过点D作DF⊥AC于点F，
设AF＝y，则DF＝CF＝y，
∴AC＝y+y＝200，
解得：y＝100(－1)，
∴DF＝AF＝×100(－1)≈126.3海里，
∵126.3＞100，
所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险.
2015～2016学年度九年级上学期数学课时练习题
（23.2 解直角三角形及其应用）
一、选择题
1.在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边上的高等于（ ）
A. B. C. D.
2.已知：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC+AC＝3+，则BC等于（ ）
A. B.3 C.2 D.+1
3.在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cosB＝，则BC边长为（ ）
A.7 B.8 C.8或17 D.7或17
4.等腰三角形的底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（ ）
A.60° B.90° C.120° D.150°
5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）21cnjy.com
A. B.－1 C.2－ D.
第5题图 第6题图 第7题图
6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝，则tanB的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A. B. C. D.
7.如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值为（ ）www.21-cn-jy.com
A. B. C. D.
8.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（ ）
A.20海里 B.40海里 C.20海里 D.40海里
9.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tan＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（ ）21·世纪*教育网
A.144cm B.180cm C.240cm D.360cm
第8题图 第9题图 第10题图
10.如图，为了测得电视塔高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）www-2-1-cnjy-com
A.50 B.51 C.50+1 D.101
二、填空题
11. 在△ABC中，，∠C＝90°，tana＝，AC＝6，则BC＝___________.
12.在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点P(1，1)，与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝3，那么点A的坐标是____________.
13.小明同学在距某电视塔底部水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此电视塔高约为________________米.（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）21教育网
14.如图，铁路的路基横断面可看成是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1：，斜坡AB的水平宽度BE＝3m，那么斜坡AB的长为_________m.2·1·c·n·j·y
第14题图 第15题图 第16题图
15.4月26日，2015黄河口国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是_________________米．2-1-c-n-j-y
16.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若cosB＝，EC＝2，P是AB边上的一动点，则线段PE的长度的最小值是___________. 21*cnjy*com
三、解答题
17.已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值.【出处：21教育名师】
18.如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝6，AD＝8，求sin∠OEA的值．【版权所有：21教育】
19.如图，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度.(≈1.7)21教育名师原创作品
20.如图，某水上乐园有一个滑梯AB，高度AC为6米，倾斜角为60°，暑期将至，为改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由60°减至30°.21*cnjy*com
（1）求调整后的滑梯AD的长度
（2）调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）
（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
21.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽为6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度.（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）【来源：21·世纪·教育·网】
22.如图，AD是等腰△ABC底边上的高，且AD＝4，sinB＝，若E是AC边上的点，且满足AE：EC＝2：3，连接DE，求sin∠ADE的值.21·cn·jy·com
23.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(+1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）【来源：21cnj*y.co*m】
