第4章 三角形（单元测试·基础卷）（含解析）

第4章 三角形（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【要点1】三角形中三边的关系
（1）三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
（2）确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和。
【要点2】三角形中三角的关系
（1）三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。n边行内角和公式（n-2）；
（2）三角形按内角的大小可分为三类：（1）锐角三角形，（2）直角三角形，（3）钝角三角形；
（3）判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数；
（4）直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。
【要点3】三角形的三条重要线段
1、三角形的角平分线：
（1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。（内心）
2、三角形的中线：
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
（2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。（重心）
（3）三角形的中线把这个三角形分成面积相等的两个三角形
3、三角形的高线：（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。（垂心）（3）注意等底等高知识的考试
【要点4】全等图形
（1）两个能够重合的图形称为全等图形。
（2）全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。
【要点5】全等三角形
（1）能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”。
（2）用“≌”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
【要点6】全等三角形的判定
（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，具有稳定性的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，直线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各图中，正确画出边上的高线的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，，，，则等于（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
6．如图，为了测量出池塘、两点之间的距离，小育在平地上选取了能够直接到达点和点的一点．他连接并延长，使；又连接并延长，使，连接．只要测量出的长度，也就得到了、两点之间的距离，这样测量的依据是（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去．
A． B． C． D．和
8．如图，，是的两条高，，，，则的长为（　　）

A．cm B．3cm C．cm D．4cm
9．如图，在中，，，平分，交的延长线于点F，垂足为E．则下列结论中不正确的是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，已知，点B为上一点，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，E，以点B为圆心，以长为半径作弧，交线段于点F，以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接并延长交于点C，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，是的中线，是的高线，，，，则点到的距离是 ．
12．已知三角形的三边长分别为5，8，，则x的取值范围是 ．
13．如图，，，，，则等于 ．
14．如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为 ．
15．在△ABC中，AC=5，AB=9，则BC边上的中线AD的范围是 ．
16．已知且交于点，，，其中的面积为，四边形的面积为，若，则点到 的距离为 ．

17．如图，，垂足为点，点为上一点，，，，则图中长度为的线段还有 .
18．如图，点E、F都在线段AB上，分别过点A、B作AB的垂线AD、BC，连接DE、DF、CE、CF，DF交CE于点G，已知AD＝BE＝7.5，AE＝BF＝CB＝2.5．如果△DEG的面积为S1，△CFG的面积为S2，则S1﹣S2＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知，，．
(1)若为3，
①则______；
②若边的长为整数，则的周长最大值是______；
(2)若，求的面积S（用m的代数式表示）
20．（8分）如图，中，于点，点为上的点（不与点重合），连接，，，．
(1)当平分时，求的度数；
(2)若为的中线，且的面积为10cm2，直接写出的长．
21．（10分）如图，
(1)试判断线段与的关系，并说明理由．
(2)证明．
22．（10分）如图，线段、相交于点，，．
(1)求证：；
(2)过点任意作一条与、都相交的直线，交点分别为、．试问：成立吗？若成立，请进行证明：若不成立，请说明理由．
23．（10分）小明和小华各买了一付不同的新三角板．小明把他们的两块等腰直角三角板的直角的顶点和一直角边叠在一起拼成如图（1）的图形，图中，，．
(1) 在图（1）中，试证明；
(2) 小华把小明的拼图动了一下，但两块三角板的直角的顶点还是叠在一起的，如图（2），请问和还相等吗？证明你的结论．
(3) 请分别指出两个拼图中，与的位置关系，不用说明理由．
24．（12分）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．
(1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．
(2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系，
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，再确定各图形中多边形的形态进行解答即可．
【详解】解：A、三角形下方是四边形，不具有稳定性，故A不符合题意，
B、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故B符合题意，
C、连线两侧是四边形，不具有稳定性，故C不符合题意，
D、连线两侧是四边形，不具有稳定性，故D不符合题意，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解答本题的关键．如图，根据平行线的性质求出，然后根据三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：如图．
∵，，
∴，
∵，，
∴ ，
故选：．
3．A
【分析】本题考查三角形高线定义，解题的关键是掌握：过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段叫三角形的高．据此分析即可判断．
【详解】解：中边上的高即为过点作的垂线，点与垂足之间的线段即为边上的高．
故选：A．
4．A
【分析】本题考查三角形全等的判定，根据三角形的判定逐个判断即可得到答案；
【详解】解：当时，
不能判断三角形全等，故符合题意，
当时，
满足边角边判定，能判断三角形全等，故不符合题意，
当时，
满足角角边判定，能判断三角形全等，故不符合题意，
当时，
满足角边角判定，能判断三角形全等，故不符合题意，
故选：A．
5．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，进而得到，则．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“” 证明，即可获得答案．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法的灵活运用．
【详解】解：、第块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
、第块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
、第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，符合题意；
、由上分析，和不符合题意；
故选：．
8．A
【分析】本题考查了三角形的面积，熟练掌握面积法是解题的关键．要求高长，只需分别以和为底边，利用面积相等即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，
故选：A．
9．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，先根据“”证明，可判断A，B，再说明是等腰三角形，可判断C，然后说明D即可．
【详解】∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
所以A，B，C正确．
不能确定的关系，所以D不正确．
故选：D．
10．D
【分析】本题考查基本作图、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握基本作图，熟练掌握三角形外角的性质，属于中考常考题型．根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．
【详解】解：由题意可知，
∴．
故选：D．
11．11
【分析】此题考查三角形的中线的性质．根据三角形的面积得出的面积为88，再利用中线的性质得出的面积为88，进而解答即可．
【详解】解：，，
的面积为：，
是的中线，
的面积为88，
点到的距离是．
故答案为：11．
12．
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为5，8，，
根据三角形的三边关系可得：，
解得，
故答案为：．
13．3；
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据得到，结合角边角判定即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：3．
14．1
【分析】延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解．
【详解】解：延长交于，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴， ，
∴阴影部分的面积；
故答案为：1．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键．
15．2＜AD＜7
【详解】延长AD到E，使DE=AD，连接CE，
∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，
∴△ABD≌△ECD，
∴EC=AB=9，
△AEC中，
∵9-5=4，9+5=14，∴4＜2AD＜14，
∴2＜AD＜7，
故答案为2＜AD＜7．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中线加倍延长，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据证明，结合题意得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
∴
∵，
则点到 的距离为,
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明，即可推出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴图中长度为的线段还有，
故答案为：．
18．
【分析】先根据AD＝BE＝7.5，AE＝BF＝CB＝2.5，得到AF＝BE，AD＝AF＝7.5，然后证△ADE≌△BEC得到S△DAE＝S△CBE，即可推出S1＝S△DAF﹣S△DAE﹣S△EFG，S2＝S△CBE﹣S△EFG﹣S△CBF，则S1﹣S2＝S△DAE+S△CBF由此求解即可
【详解】解：∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴∠A=∠B=90°
∵AD＝BE＝7.5，AE＝BF＝CB＝2.5，
∴AF＝BE，
∴AD＝AF＝7.5，
在△ADE和△BEC中，
，
∴△ADE≌△BEC（SAS），
∴S△DAE＝S△CBE，
∵S1＝S△DAF﹣S△DAE﹣S△EFG，S2＝S△CBE﹣S△EFG﹣S△CBF，
∴S1﹣S2＝S△DAE+S△CBF＝．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
19．(1)①1；②13；
(2)
【分析】本题考查整式的加减运算，三角形三边关系，整式的乘法运算：
（1）①根据为3列出关于m的方程，解方程即可；②根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得出的最大值，即可求解；
（2）根据三角形面积公式及整式的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：①为3，
，
；
②，
，，
，
，即，
的长为整数，
长的最大值为6，
的周长最大值是：，
故答案为：①1；②13；
（2）解：．
20．(1)
(2)5cm
【分析】（1）由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由三角形外角的性质得到；
（2）由三角形面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：平分，
，
于点，
，
；
（2）解：为的中线，
，
的面积为，
，
．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、根据三角形的中线求长度、三角形的面积，熟练掌握角平分线的定义、三角形外角的性质是解题的关键．
21．(1)，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质：
（1）先由平行线的性质得到，进而利用证明即可证明；
（2）由可得，进而可证明．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
22．(1)见解析
(2)成立，见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：
（1）根据直接证明两个三角形全等；
（2）根据全等三角形的性质可得，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵， ，，
∴；
（2）成立；
证明：∵，
∴,
在和中，
∴，
∴．
23．(1)证明见解析
(2)，证明见解析
(3)两个图中都有与互相垂直
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，垂直的判定，对于（2），根据证明，可得答案；
对于（2），先证明，再根据证明，可得答案；
对于（3），根据位置关系猜想，并根据“全等三角形的对应角相等”得出答案即可．
【详解】（1）在与中，

∴，
∴；
（2）∵，
∴，
即．
在与中，

∴
∴；
（3）两个图中都有BD与CE互相垂直．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
24．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到；
（2）同（1）利用可证明，根据即可得到；
（3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度；
【详解】（1）证明：∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
∴；
（2）∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
∴；
（3）如图，过作于，的延长线于，
∴
∵，，
∴
在和中，
，
∴
∴，，
同理可得：
∴，，
即：，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键．