第4章 三角形（单元测试·培优卷）（含解析）

第4章 三角形（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组数不可能是一个三角形三边的边长的是（ ）
A．3，4，5 B．1，3，4 C．6，8， D．3，3，3
2．如图，已知的面积是24，D、E分别是、边上的中点，连接、，若是线段上的三等分点，则的面积是（ ）

A．2 B．3或4 C．2或5 D．2或4
3．如图，在四边形中，，，与的平分线交于点，若，，则四边形的周长为（ ）
A．38 B．40 C．44 D．56
4．如图所示，为的角平分线，且，则的大小是（　　）．
A． B． C． D．
5．如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点．且，连接，下列说法：①和的面积相等；②；③；④．其中，正确的说法有（　　）
A．②③ B．①③ C．①②③④ D．①②③
7．如图，，，，，，则（　　）

A． B． C． D．无法计算
8．如图:，欲证，则可增加的条件是（ ）．
A． B．
C． D．
9．如图所示，中，，M、N分别为、上动点，且，连、，当最小时，（　　）．
A．2 B． C． D．1
10．已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒．
①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍；
②当、两点同时到达点时，：
③若，，时，；
④若与全等，则或．

A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图：在中，，平分，平分外角，则 ．
12．如图，在中，，分别是边上的高和中线．若，的面积是，则的长为 ．
13．如图，在中，的角平分线交于D，，过点C作交的延长线于E，则的长为 ．
14．如图，在和中，，，，连接，若点、D、在同一直线上，则的度数为 °．
15．如图，在中，，、分别是、边上的高，在上取点，使，在射线上取点，使，连接、，若，，则 ．
16．如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是 ．
17．如图，在等腰中，，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动，点Q从点C出发，以的速度沿向点A运动，当 时，与全等．
18．在中，，、相交于点F，，，，，若，则 ．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）19．如图，
(1 )画的高，，；
若，，，求：：．
20．（8分）在中，D是的中点，；
证明：；
若，平分，求的度数．
21．（10分）如图，点D在边上，．
求证：；
若，求的度数．
22．（10分）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．
求证：；
请判断、有何大小、位置关系，并证明．
23．（10分）如图，在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，连接
(1 ) 请判断与相等吗？并说明理由．
若，求的度数．
24．（12分）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________．
（2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积．
（3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了构成三角形的三边关系．熟练掌握构成三角形的三边关系是解题的关键．
根据构成三角形的三边关系对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：∵，，
∴A中可能是一个三角形三边的边长，故不符合要求；
∵，
∴B中不可能是一个三角形三边的边长，故符合要求；
∵，，
∴C中可能是一个三角形三边的边长，故不符合要求；
∵，，
∴D中可能是一个三角形三边的边长，故不符合要求；
故选：B．
2．D
【分析】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及三角形中线的定义．根据等高三角形面积比等于底边之比即可解答．
【详解】解：∵是边上的中点，
∴，
∵E是边上的中点，
∴，
若是线段上的三等分点，
当时， ，
当时，，
综上所述：的面积是2或4，
故选D．
3．C
【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，构造辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．过点作，根据角平分线可证明，，得到，，从而推算出四边形的周长等于．
【详解】解：如下图所示，过点作，
的平分线交于点E，
∴，
，，
，
∴，
∵，，
∴，
同理可得：
，
∵，
∴四边形的周长为，
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
先根据邻补角的定义可得，再根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得、；然后证明可得，最后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴
∵为的角平分线，
∴，即
在和，
,
∴，
∴，
∴．
故选A．
5．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明是解题的关键．
【详解】解：，
，
在与中，
，
，
，
，
，
又，
．
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．根据三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，由已知无法判定②④，从而可得答案．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴和面积相等，故①正确；
∵为的中线，
∴，和不一定相等，故②错误；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，无法得到，故④错误，
正确的结论为：①③．
故选B．
7．B
【分析】由可得，证明得到，最后由三角形外角的定义及性质进行计算即可．
【详解】解：，
，即，
在和中，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
由结合全等三角形的判定定理，即可找出需添加条件，结合图形利用角的计算即可得出添加可证出．
【详解】解：添加，
∵，
∴．
又∵，
∴．
故选：D．
9．D
【分析】过B点在下方作，且，链接，，先证明，即有，则，当A、M、H三点共线时，值最小，再证明，问题随之得解．
【详解】如图，过B点在下方作，且，链接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当A、M、H三点共线时，值最小，
如图，
此时∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键．
10．C
【分析】此题考查了动点问题，全等三角形的性质和判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置．本题根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，可判断③，分2种情况求出x的值可判断④．
【详解】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒，
∴点P运动路程为，
若，则点Q运动路程为，
∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确；
②当P点到达A点时，秒，
∵P、Q两点同时到达A点，
∴，故②正确；
③如图所示，

当，时，
点P运动的路程为，点Q运动的路程为，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴和不全等，故③错误；
④当时，则，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，则，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴若与全等，则或，故④正确．
综上所述，正确的选项为①②④．
故选：C．
11．
【分析】先根据角平分线的定义可得到，，再根据三角形的外角性质得到，进而等量代换可推出，最后根据三角形的外角性质得到进而等量代换即得．
【详解】∵平分
∴
∵平分外角
∴
∵的外角
∴
∵的外角
∴
∴
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了外角性质及角平分线的定义，利用三角形的外角等于和它不相邻的内角之和转化角是解题关键．
12．8
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的定义，先根据的面积求得，再由三角形中线的定义即可求出．
【详解】解：边上的高，，的面积是，
，即，
，
是边上的中线，
，
故答案为：8．
13．
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定条件的确定方法是解题的关键：延长交的延长线于F，证明，推出，再证明，得到，由此得到．
【详解】解：延长交的延长线于F，如下图所示：
∵平分交的延长线于E，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．50
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，先判断出，得出，，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
故答案为：50．
15．58
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．首先证明可得，然后根据直角三角形两个锐角互余可得，进而可以解决问题．
【详解】解：、分别是、两边上的高，
，
，，
，
在和中
，
，
，
，，
，
，，
，
即，
故答案为：58．
16．20°
【分析】延长至点E使，连接，证明是等边三角形，设，则，再证明，即可得到结果．
【详解】解：如图，延长至点E使，连接．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴设，则．在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键．
17．4或4.8
【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．分两种情况①当时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．
【详解】解：设运动时间为t秒，
∵点P从点B出发，以的速度沿向点C运动，点Q从点C出发，以的速度沿向点A运动，
∴，，
∴，
∵，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
②当时，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
综上所述：当或4.8时与全等，
故答案为：4或4.8．
18．2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键．
过点作于，过点作于，根据三角形内角和定理和等量代换得到，得到，则，证明，得出，，证明，得出，证明，得出，则，由，得出，推出，则，进而求解即可．
【详解】过点作于，过点作于，如图所示：

∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
∴．
故答案为：2．
19．(1)图见解析；
(2)
【分析】本题考查了三角形高的作法，三角形的面积公式，以及比例的问题，熟练掌握尺规作图法和三角形面积公式是解题的关键．
（1）利用尺规作图法作图即可；
（2）利用三角形的面积公式即可求三边之比；
【详解】（1）如图，，，即为所求：

尺规作图法：为画出边上的高，以A为圆心，选择一个适合的半径画出一个弧，这个弧与边或的延长线相交于两点，分别以这两点为圆心，选择一个大于两点距离一半的半径，再次画弧，这两个弧会相交于一点，连接这点与点A，延长交于，则就是中边上的高．其他边上的高同理可得．
（2） ，又，，，
，，，
：：．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，
（1）根据平行线的性质可得，，结合，证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）根据平行线的性质得出，进而根据平分，即可求解．
【详解】（1）证明：∵
∴，
∵D是中点
∴
在和中
∴
∴
（2）解：∵
∴，
∵
∴
∵平分
∴
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、外角的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型；
（1）根据推出即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
（2）解：，
，
，
22．(1)见解析
(2)，，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．
（1）要证，现有，，需它们的夹角，而由很易证得．
（2）、有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证，需证，需证可由直角三角形提供．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
．
（2），，理由如下：
由（1）知，，
；
，
，
，
，
，
则．
23．(1)相等，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键．
（1）证明，进而可得；
（2）由，可得，根据，求解作答即可．
【详解】（1）解：相等，理由如下；
∵，
∴，即．
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
24．（1）5；（2）2；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及应用，等腰直角三角形、四边形、三角形面积等知识．
（1）由，得，可证明，即得，故；
（2）过D作交延长线于E，由，得，即得，可证明，得，故；
（3）过A作于E，过B作交延长线于F，由面积为14且的长为7，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，根据，可得，，即有，即可证明，从而，故．
【详解】解：（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
故答案为：5；
（2）过D作交延长线于E，如图2：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图3：
∵面积为14且的长为7，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．