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9.1 不等式9.2一元一次不等式
核心题型一：不等式定义
典型例题
例题1．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）下列各式中，是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24八年级下·江西抚州·期中）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
例题3．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
例题4．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）在下列数学表达式中，属于不等式的是 ．
①；②；③；④．
题型精练
1．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（23-24八年级下·广东揭阳·期中）下列各式中，不是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
4．（2024八年级下·全国·专题练习）在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ）
；；；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
核心题型二：不等式解集
典型例题
例题1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（ ）
A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集
C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解
例题2．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
例题3．（22-23七年级下·山东烟台·期末）写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为
例题4．（22-23七年级上·上海杨浦·开学考试）已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集
题型精练
1．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如果是某不等式的解，那么该不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022七年级·全国·专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的解
C．的解集是 D．的解集就是、、
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号）
4．（22-23七年级下·全国·课后作业）在，，，0，1，3中，是不等式的解的有 ，是不等式的解的有 ．
核心题型三：不等式性质
典型例题
例题1．（23-24七年级下·安徽六安·期中）若，，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例题2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知，下列不等式成立的是：（ ）
A． B． C． D．
例题3．（23-24七年级下·福建厦门·期中）阅读下列材料：
数学问题：已知：，且，，试确定的取值范围．
问题解法：，
，，
，①
同理，，
，，
，，②
由②+①得，的取值范围是
完成任务：
(1)直接写出数学问题中的取值范围：______．
(2)已知，且，，试确定的取值范围；
(3)已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）．
题型精练
1．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24七年级下·四川凉山·期末）已知，下列变形一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）若，下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
核心题型四：一元一次不等式定义
典型例题
例题1．（23-24七年级下·陕西汉中·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24七年级下·重庆渝中·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（23-24七年级下·河南周口·期中）以下是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
题型精练
1．（2024七年级下·江苏·专题练习）下列是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·山西晋城·期中）下列不等式中，一元一次不等式有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
核心题型五：求一元一次不等式的解集
典型例题
例题1．（23-24七年级下·广东广州·期中）若不等式的解集是，则的取值范围是 ．
例题2．（23-24八年级下·山西晋中·期中）下面是小方同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
解不等式：. 解：去分母，得.………………第一步 去括号，得.…………………………第二步 移项，得.……………………………第三步 合并同类项，得.………………………………第四步 系数化为1，得.…………………………………第五步
任务：
(1)上述解题过程中，第______步出现错误，具体错误是______；
(2)小方由第四步得到第五步的依据是____________；
(3)该不等式的解集是______.
例题3．（23-24八年级下·河北保定·期中）解下列不等式．
(1)．
(2)．
题型精练
1．（23-24八年级下·广东揭阳·期中）解不等式：．
2．（23-24八年级下·广东梅州·期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。
3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）解不等式：
解： ，得， ①
去括号，得， ②
移项，得， ③
合并同类项，得， ④
系数化为1，得 ． ⑤
阅读以上解题过程并填空：
(1)请把第⑤步的解题过程补充完整： ；
(2)以上解题过程中，第①步的步骤是 ，第②步的依据是 ．
核心题型六：求一元一次不等式的整数解
典型例题
例题1．（2024七年级下·江苏·专题练习）不等式的正整数解的个数是（ ）
A．5 B．6 C．3 D．4
例题2．（23-24七年级下·福建漳州·期中）已知关于x的不等式至少有三个负整数解，则的取值范围是 ．
例题3．（2024·陕西·二模）求不等式的最小整数解．
题型精练
1．（2024·河北石家庄·一模）不等式的正整数解的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）不等式的正整数解有 个．
3．（23-24七年级下·河南新乡·期中）不等式的非负整数解为 ．
核心题型七：求一元一次不等式的最值
典型例题
例题1．（23-24八年级下·四川甘孜·）不等式的最大正整数解为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知的最小值为，的最大值为，则 ．
例题3．（23-24八年级上·陕西西安·期末）不等式的最大整数解是 ．
题型精练
1．（23-24八年级下·广东清远·期中）不等式的最小整数解是 ．
2．（23-24七年级下·四川广元）不等式3(x﹣1)＞2﹣x的最小整数解是 ．
3．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）不等式3x-7≥2的最小整数解是 ．
核心题型八：解型不等式
典型例题
例题1．（安徽省滁州市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究：
根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．
根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______；
(2)解不等式；
(3)求不等式的解集．
例题2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；
例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为．
例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．
例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程的解为________________；
(2)解不等式：；
(3)解不等式：．
题型精练
1．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知、在数轴上分别表示、.
(1)对照数轴填写下表：
、两点的距离
(2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和；
(3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值；
(4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围．
2．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题，
材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为．
(1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；
(2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少
(3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______；
②利用数轴解不等式，并加以说明．
3．（23-24七年级下·河南鹤壁·期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题．
例：解绝对值方程：．
解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得；
②当时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解为或．
根据材料，解下列绝对值方程：
(1)理解应用：；
(2)拓展应用：不等式的解集为______．
核心题型九：列一元一次不等式
典型例题
例题1．（安徽省滁州市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）一辆新型电动汽车售价为26万元，已知销售这种电动汽车获利超过，设这辆新型电动汽车的出厂价为x万元，则x满足的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x题，可得式子为（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（23-24八年级下·河北保定·期中）第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
题型精练
1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）宝安凤凰山森林公园位于“宝安第一山”凤凰山脚下，公园树木丰茂，景色优美，所以小青想带她初三的表姐去游玩放松释放压力，计划15点10分从学校出发，已知两地相距5.1千米，她们跑步的平均速度为190米/分钟，步行的平均速度为80米/分钟，若她们要在16点之前到达，那么她们至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在礼花弹燃放前转移到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为，人离开的速度为，则导火线的长x（单位：m）应满足的不等式为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
核心题型十：用一元一次不等式解决实际问题
典型例题
例题1．（23-24八年级下·河北保定·期中）我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数，若她采集到的一筐野果不少于45个，则在第2根绳子上的打结数至少是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例题2．（23-24八年级下·山西晋中·期中）阳春三月，正值放风筝的好时节．某商店以80元的进价购进一款风筝，标价为120元出售，为扩大销量，计划打折出售，但其利润率不能少于．请你帮助该商店老板计算，这款风筝最多可以按 折销售．
例题3．（2024·山东临沂·一模）某电商销售衬衣和围巾两种商品，它们的进价和售价如下表．
种类 衬衣 围巾
进价（元/件） a 50
售价（元/件） 400 80
用19000元可购进某品牌衬衣70件和围巾30件．（利润=售价-进价）
(1)求衬衣进价a的值以及销售完两种商品电商获得的利润．
(2)在实际销售过程中，当衬衣销量达到30件时，为促销并保证销售利润不低于原来利润的，围巾售价不变，余下衬衣降价销售，每件最多降价多少元
题型精练
1．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分，选手至少答对多少题才能得到70分以上（含70分）？
2．（23-24八年级下·广东深圳·期中）用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
原料 甲种原料 乙种原料
维生素C含量（单位） 500 200
原料价格（元） 8 4
现配制这种饮料，要求至少含有4100单位的维生素C，设购买甲种原料x千克．
(1)问至少需要购买甲种原料多少千克？
(2)设用于购买这两种原料的总费用不超过76元时，则x在什么范围内才符合要求？
3．（23-24八年级下·山西晋中·期中）开学初，某校组织开展“消防安全”知识竞赛，倡导同学们从自身做起，从日常生活细节入手，增强消防意识，共筑平安校园．竞赛试题共有20道，答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分．小明想本次竞赛得分超过60分，他至少需要答对几道题？
核心题型十一：用一元一次不等式解决几何问题
典型例题
例题1．（2024·河北邯郸·三模）如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，．
(1)________（用含m的代数式表示）；
(2)若点B为线段的中点，求的长；
(3)设，求当与的差不小于时整数x的最小值．
例题2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，这是某大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，若第x个所贴“○”的个数为y．
(1)填写下表：
x 1 2 3 4 5 … x
y 5 8 ______ … ______（用含x的式子表示）
(2)若第x个所贴“○”的个数为，求x的值；
(3)若第x个所贴的“○”的个数大于，求x的取值范围．
例题3．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，且a，b，c满足．
(1)若，求B，C两点的坐标；
(2)当实数a变化时，判断的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围；
(3)如图，已知线段与y轴相交于点E，直线与直线交于点P，若，求实数a的取值范围．
题型精练
1．（23-24八年级上·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m．
(1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m；
(2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）；
(3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块
3．（23-24六年级下·上海长宁·期中）十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明．
(1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论．
由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到；
由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到；
由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到；
同理可证，所以成立．
(2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．
长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示）
核心题型十二：在数轴上表示不等式的解集
典型例题
例题1．（2024·安徽亳州·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）将不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2024·福建三明·二模）解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
题型精练
1．（23-24八年级下·山东济南·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·河南焦作·期中）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
(1)
(2)
3．（23-24七年级下·福建漳州·期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．中小学教育资源及组卷应用平台
9.1 不等式9.2一元一次不等式
核心题型一：不等式定义
典型例题
例题1．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）下列各式中，是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式的定义，（1）从定义上来看，不等式是表示不等关系的式子；而方程是含有未知数的等式；（2）从符号上来看，不等式是用“”，“”，“”，“”或“”来连接两边的式子的；而方程是用“”来连接两边的式子的；（3）从是否含有未知数上来看，不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数；而方程则必须含有未知数．掌握不等式的定义是解题的关键．根据定义判断即可．
【详解】解：A．是等式，故此选项不符合题意；
B．是代数式，故此选项不符合题意；
C．是方程，故此选项不符合题意；
D．是不等式，故此选项符合题意．
故选：D．
例题2．（23-24八年级下·江西抚州·期中）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】此题考查了不等式，根据不等式的定义进行判断即可．
【详解】解：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有①②⑤⑥，共4个，
故选：C．
例题3．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】此题主要考查了不等式的定义，正确把握不等式的定义：用不等号表示不等关系的式了叫不等式是解题关键．
直接利用不等式的定义判定即可得出答案．
【详解】
解：③是等式不是不等式，④是整式不是不等式；
①；②；⑤，共有3个是不等式．
故选：B．
例题4．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）在下列数学表达式中，属于不等式的是 ．
①；②；③；④．
【答案】①④/④①
【分析】本题主要考查了不等式的定义，由不等号连接的式子叫不等式，据此进行判断，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
【详解】解：①是不等式；
②不是不等式；
③不是不等式；
④是不等式．
故答案为：①④．
题型精练
1．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
用不等号连接的式子叫做不等式，据此进行判断即可．
【详解】解：①；②；④；⑤符合不等式的定义，则它们是不等式；
③不符合不等式的定义，则它不是不等式；
综上，不等式的个数是4个，
故选：C．
2．（23-24八年级下·广东揭阳·期中）下列各式中，不是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式的定义，用不等号连接的式子叫做不等式，据此求解即可．
【详解】解：根据不等式的定义可知，四个式子中只有B选项中的式子不是不等式，
故选：B．
3．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．运用不等式的定义进行判断．
【详解】解：①是不等式；
②是不等式；
③是等式，
④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式，
⑤是不等式，
⑥是不等式．
不等式有①②⑤⑥，共4个．
故选：D．
4．（2024八年级下·全国·专题练习）在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ）
；；；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题考查来了不等式的定义，由不等号（，，，，）连接的式子叫不等式，据此进行判断，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
【详解】不等式有：；；，
∴共有个，
故选：．
核心题型二：不等式解集
典型例题
例题1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（ ）
A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集
C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式得解和解集，熟练掌握定义是解题的关键；
根据解集和解得定义去判定即可．
【详解】，
，
A、符合条件，是不等式的一个解，故选项符合题意；
B、解集是一个范围，而是一个固定值，故选项不符合题意；
C、解集是一个范围，所以不是不等式的唯一解，故选项不符合题意；
D、符合条件，是不等式的一个解，故选项不符合题意；
故选：A．
例题2．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．
【详解】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意；
B、∵，故错误，不符合题意；
C、正确，符合题意；
D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况．
例题3．（22-23七年级下·山东烟台·期末）写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为
【答案】（答案不唯一）
【分析】由，2均小于3可得，在此基础上求解即可．
【详解】解：由，2均小于2可得，
所以符合条件的不等式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查不等式的解集，解题的关键是掌握使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
例题4．（22-23七年级上·上海杨浦·开学考试）已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集
【答案】
【分析】先把原不等式系数化为1，表示出解集，根据已知解集确定出a与b的关系，即可求出所求不等式的解集．
【详解】解：不等式的解集是，
，且，
，，
整理，得：，，
把代入，得，
解得：，
，
题型精练
1．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如果是某不等式的解，那么该不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，得出是不等式的解，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴是不等式的解，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的解，解题的关键是理解不等式解的意义．
2．（2022七年级·全国·专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的解
C．的解集是 D．的解集就是、、
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：A选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确；
B选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确；
C选项，的解集是，解不等式得，故正确；
D选项，的解集就是、、，不是不等式的解，故错误．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键．
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】③④
【分析】本题考查了一元一次不等式的解和解集，熟练掌握定义是解题的关键；
根据解集和解的定义去判定即可．
【详解】①能使不等式成立，解集是一个范围，但只能说是不等式的一个解，不能说是不等式的解集，故说法错误；
②不等式的解集是，可以使不等式成立，但不是这个不等式的解的全体，所以不是不等式的解集，故说法错误；
③能使成立，所以是不等式的解，故说法正确；
④不等式的解集是，故说法正确．
综上所述：正确的有③④
故答案为：③④．
4．（22-23七年级下·全国·课后作业）在，，，0，1，3中，是不等式的解的有 ，是不等式的解的有 ．
【答案】 ，0，1，3 ，，，0，1
【解析】略
解集为：，
把代入得：，
不等式的解集．
【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出的关系是解题关键．
核心题型三：不等式性质
典型例题
例题1．（23-24七年级下·安徽六安·期中）若，，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题要熟悉有理数的加减法法则和不等式的性质．
先判断出，，然后根据有理数的运算法则判断即可．
【详解】∵，，
∴，
∴，
若，则，故，∵，则，不能确定，故①错误；
若，则，故，∵，则，，故②正确；
若，∵，不能确定，故③错误；
若，∵，则，故④正确；
故选：B．
例题2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知，下列不等式成立的是：（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行逐一判断即可得到答案.
【详解】解：A．，当，时，，，，故A不符合题意；
B．，当时，，故B不符合题意；
C．，当，时，，故C不符合题意；
D．，，则成立，故D符合题意；
故选：D．
例题3．（23-24七年级下·福建厦门·期中）阅读下列材料：
数学问题：已知：，且，，试确定的取值范围．
问题解法：，
，，
，①
同理，，
，，
，，②
由②+①得，的取值范围是
完成任务：
(1)直接写出数学问题中的取值范围：______．
(2)已知，且，，试确定的取值范围；
(3)已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）．
【答案】(1)
(2)的取值范围是；
(3)的取值范围是．
【分析】本题考查不等式的性质；注意不等式的同号可加性，是隐含的限定条件．
（1）仿照例子，根据不等式的基本性质即可求解；
（2）仿照例子，注意由到的转化，再由不等式同号可加性进行求解；
（3）仿照例子，注意确定不等式有解集时，a的取值范围，因此要先确定当时，关于x、y的不等式存在解集．
【详解】（1）解：，
．
，
．
故答案为：；
（2）解：，
．
又，
，
．
又，
，
．
同理得，
，
的取值范围是；
（3）解：，
．
又，
，
．
又，
，
．
当时，．
同理得，
，
∴当时，的取值范围是．
题型精练
1．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查不等式的性质，根据不等式的性质进行判断即可
【详解】解：A.∵，
∴，故选项A说法不正确，不符合题意；
B. ∵，
∴，故选项B说法不正确，不符合题意；
C. ∵，
∴当时，不存在，故选项C说法不正确，不符合题意；
D. ∵，且，
∴说法正确，符合题意；
故选：D
2．（23-24七年级下·四川凉山·期末）已知，下列变形一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式的性质，不等式性质一：不等式两边同时加上可减去同一个数或整式，不等号不变；不等式性质二：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号不变；不等式性质三：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．
根据不等式的性质，逐项判定即可．
【详解】解：∵，
A. ，故此选项不符合题意；
B. 不能推出，故此选项不符合题意；
C. 当时，当时，当时，故此选项不符合题意；
D. 一定成立，故此选项符合题意，
故选：D．
3．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）若，下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质解答即可判断求解，掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：∵，∴，该选项一定成立，不合题意；
、∵，当都为负数时，有，∴该不等式不一定成立，符合题意；
、∵，∴，该选项一定成立，不合题意；
、∵，∴，该选项一定成立，不合题意；
故选：．
核心题型四：一元一次不等式定义
典型例题
例题1．（23-24七年级下·陕西汉中·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义的内容是解题的关键．
从是否含有不等号，是否含有未知数，未知数的个数是否一个，这个未知数的指数是否为1，四个方面判断即可．
【详解】A、不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
B、是一元一次不等式，故本选项符合题意；
C、不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
D、不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
故选：B．
例题2．（23-24七年级下·重庆渝中·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、不含有未知数， 不是一元一次不等式，不符合题意；
B、未知数的次数为2，不是一元一次不等式，不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
D、是一元一次不等式，符合题意；
故选：D．
例题3．（23-24七年级下·河南周口·期中）以下是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式的定义．一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：A、未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意；
B、是一元一次不等式，符合题意；
C、未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意；
D、没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意，
故选：B．
题型精练
1．（2024七年级下·江苏·专题练习）下列是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义的内容是解此题的关键．
根据一元一次不等式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、不是不等式，故本选项不符合题意；
B、中含有一个未知数，并且未知数的最高次数等于1，是一元一次不等式，故本选项符合题意；
C、中不含有未知数，故本选项不符合题意；
D、中含有一个未知数，但未知数的最高次数等于2，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的概念，由含有一个未知数的，且未知数的次数为1的整式构成的不等式，依次判断，即可求解，
此题主要考查了一元一次不等式的概念，解题时，明确概念内容：一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，然后据此判断即可．
【详解】解： A是一元一次不等式，符合题意，
B没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意，
C含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意，
D含有分式，不是一元一次不等式，不符合题意，
故选：A．
3．（23-24七年级下·山西晋城·期中）下列不等式中，一元一次不等式有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要依据的知识是一元一次不等式的定义．熟记不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这是解题的关键．
根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可．
【详解】①不是一元一次不等式，因为最高次数是2；
②不是一元一次不等式，因为是分式；
③不是一元一次不等式，因为有两个未知数；
④是一元一次不等式；
⑤是一元一次不等式．
综上，只有2个是一元一次不等式．
故选B．
核心题型五：求一元一次不等式的解集
典型例题
例题1．（23-24七年级下·广东广州·期中）若不等式的解集是，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，由不等式的解集可得，解之即可得到的取值范围，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵不等式的解集是，
∴，
∴，
故答案为：．
例题2．（23-24八年级下·山西晋中·期中）下面是小方同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
解不等式：. 解：去分母，得.………………第一步 去括号，得.…………………………第二步 移项，得.……………………………第三步 合并同类项，得.………………………………第四步 系数化为1，得.…………………………………第五步
任务：
(1)上述解题过程中，第______步出现错误，具体错误是______；
(2)小方由第四步得到第五步的依据是____________；
(3)该不等式的解集是______.
【答案】(1)三，移项没有改变符号
(2)不等式的基本性质3（或填不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）
(3)
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的方法是关键．
（1）根据解一元一次不等式的步骤和方法逐步分析即可；
（2）根据解一元一次不等式的一般步骤逐步分析即可；
（3）利用解一元一次不等式方法求出不等式的解集即可．
【详解】（1）解：根据解题过程可知，第三步出现错误，具体错误是移项没有改变符号；
故答案为：三，移项没有改变符号．
（2）解：由第四步得到第五步的依据是不等式的基本性质3（或填不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变），
故答案为：不等式的基本性质3（或填不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）．
（3）解：由第三步得，
合并同类项，，
系数化为1，，
不等式的解集是；
故答案为：．
例题3．（23-24八年级下·河北保定·期中）解下列不等式．
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】（1）解：
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得．
（2）解：
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得．
题型精练
1．（23-24八年级下·广东揭阳·期中）解不等式：．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可．
【详解】解：去括号得，
移项，得
合并同类项得，
系数化为1得，．
2．（23-24八年级下·广东梅州·期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。
【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查了一元一次不等式的解集，在数轴上表示不等式解集，先根据移项，合并同类项，系数化为1的过程求解不等式，再将不等式解集表示在数轴上即可．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
在数轴上表示如下图：
3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）解不等式：
解： ，得， ①
去括号，得， ②
移项，得， ③
合并同类项，得， ④
系数化为1，得 ． ⑤
阅读以上解题过程并填空：
(1)请把第⑤步的解题过程补充完整： ；
(2)以上解题过程中，第①步的步骤是 ，第②步的依据是 ．
【答案】(1)
(2)去分母；乘法分配律
【分析】本题考查解一元一次不等式：
（1）根据不等式的性质求解即可；
（2）观察可知，第①步的步骤是去分母，第②步的依据是乘法分配律．
【详解】（1）解：
系数化为1得：，
故答案为：；
（2）解：观察可知，第①步的步骤是去分母，第②步的依据是乘法分配律，
故答案为：去分母；乘法分配律．
核心题型六：求一元一次不等式的整数解
典型例题
例题1．（2024七年级下·江苏·专题练习）不等式的正整数解的个数是（ ）
A．5 B．6 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查的是求解一元一次不等式的整数解，先解不等式得到不等式的解集，再确定整数解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
则不等式的正整数解有1、2、3、4、5、6这6个，
故选：B．
例题2．（23-24七年级下·福建漳州·期中）已知关于x的不等式至少有三个负整数解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．根据关于x的一元一次不等式至少有3个负整数解只能是、、，得出，求出a的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵关于x的不等式至少有三个负整数解，
∴关于x的一元一次不等式至少有的三个负整数解是：、、，
∴
∴解得：．
故答案为：
例题3．（2024·陕西·二模）求不等式的最小整数解．
【答案】2
【分析】本题主要考查了求不等式的整数解，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后求出其最小整数解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∴不等式组的最小整数解为2．
题型精练
1．（2024·河北石家庄·一模）不等式的正整数解的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解、无理数的估算等知识点，求得不等式的解集是解答本题的关键．
先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中确定正整数解的个数即可．
【详解】解：由可得：，
∵，
∴
∴正整数解为：，有3个．
故选A．
2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）不等式的正整数解有 个．
【答案】2
【分析】本题考查不等式的解法．根据题意，先移项解出不等式，再求其正整数解即可．
【详解】解：
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
其正整数解为：1，2
所有其正整数解的个数为：2．
故答案为：2．
3．（23-24七年级下·河南新乡·期中）不等式的非负整数解为 ．
【答案】0或1或2
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
非负整数解为0或1或2．
核心题型七：求一元一次不等式的最值
典型例题
例题1．（23-24八年级下·四川甘孜·）不等式的最大正整数解为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据不等式的解法求出不等式的解集，再找出不等式的最大整数解即可．
【详解】移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
则不等式的最大正整数解是3，
故选C．
【点睛】本题主要考查不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．
例题2．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知的最小值为，的最大值为，则 ．
【答案】
【解析】略
例题3．（23-24八年级上·陕西西安·期末）不等式的最大整数解是 ．
【答案】4
【分析】求出不等式的解集，即可得出答案．
【详解】解：不等式两边同时乘以6得：，即
解得
故该不等式的最大整数解是4
故答案为：4
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解等知识点，能求出不等式的解集是解此题的关键．
题型精练
1．（23-24八年级下·广东清远·期中）不等式的最小整数解是 ．
【答案】4
【分析】先求出不等式的解集，即可求得最小整数解．
【详解】解：解不等式可得：，
即最小整数解是4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查一元一次不等式的最小整数解，解题的关键是熟练掌握求解一元一次不等式的方法．
2．（23-24七年级下·四川广元）不等式3(x﹣1)＞2﹣x的最小整数解是 ．
【答案】2．
【分析】根据解一元一次不等式的基本步骤，去括号、移项、合并同类项、化系数为1，依次计算求得x的范围，据此可得．
【详解】去括号，得：3x﹣3＞2﹣x，
移项，得：3x+x＞2+3，
合并同类项，得：4x＞5，
系数化为1，得：，
则不等式组的最小整数解为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式的基本步骤，去括号、移项、合并同类项、化系数为1．
3．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）不等式3x-7≥2的最小整数解是 ．
【答案】3
【分析】解不等式即可找到最小整数解．
【详解】解不等式：
移项：，整理得：，解得：
所以不等式的最小整数解为3．
【点睛】本题属于基础题，熟练的掌握解不等式的方法步骤即可．
核心题型八：解型不等式
典型例题
例题1．（安徽省滁州市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究：
根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．
根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______；
(2)解不等式；
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)，或
(2)或
(3)
【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意．
（1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集；
（2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围；
（3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集．
【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为；
不等式（）的解集为或；
（2）由（1）得：由于，
所以或，
所以或，
所以的解集为或；
（3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值，
因为数轴上1和对应点的距离为3，
所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．
若x对应的点在1的右边，可得；
若x对应的点在的左边，可得；
所以方程的解为或，
所以不等式的解集为．
例题2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；
例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为．
例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．
例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程的解为________________；
(2)解不等式：；
(3)解不等式：．
【答案】(1)或
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了绝对值及不等式的知识：
（1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或求解即可；
（2）先求出的解，再求的解集即可；
（3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集．
解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离．
【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或，
∴方程的解为或，
故答案为：或．
（2）在数轴上找出的解，
∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8，
∴方程的解为或，
∴不等式的解集为．
（3）在数轴上找出的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值，
∵在数轴上3和对应的点的距离为7，
∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边．
若x对应的点在3的右边，可得；
若x对应的点在的左边，可得，
∴方程的解是或，
∴不等式的解集为或．
题型精练
1．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知、在数轴上分别表示、.
(1)对照数轴填写下表：
、两点的距离
(2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和；
(3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值；
(4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围．
【答案】(1)6；2；12
(2)0
(3)10
(4)或
【分析】（1）根据数轴上点表示的有理数，即可求出两点间的距离．
（2）由数轴上两点间的距离，可得出只要在和7之间的整数均满足题意，进而即可求解．
（3）由题意得：，去绝对值即可求解．
（4）分类讨论：当时；当时；当时；去绝对值，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：当，时，A、B两点的距离为；
当，时，A、B两点的距离为；
当，时，A、B两点的距离为，
、两点的距离 6 2 12
故答案为：6、2、12．
（2）7到的距离为，
7到之间的所有整数，均满足到和的距离之和为，
∴ 数轴上到7和的距离之和为14的所有整数有：，，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7；
，
答：所有这些整数的和为0．
（3）由题意得：，
则．
（4）当时，
不等式，即：，
解得：；
当时，
不等式，即，
则无解，
当时，不等式，即：，
解得：，
综上所述：有理数x的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、解一元一次不等式及绝对值的意义，熟练掌握数轴上两点之间的距离及绝对值不等式的解法是解题的关键．
2．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题，
材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为．
(1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；
(2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少
(3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______；
②利用数轴解不等式，并加以说明．
【答案】(1)3，
(2)，最小值为1
(3)①；②
【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可；
（2）分析出的意义，结合数轴找到合适的值即可；
（3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解．
【详解】（1）解：C到B的距离为；
A到B的距离与A到C的距离之和可表示为；
（2）表示数轴上x与3和x与2的距离之和，
故当时，取最小值，且为；
（3）①的解集为或，
故答案为：或；
②当时，，
∴；
当时，，
∴x无解；
当时，，
∴；
综上所述：或．
【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握绝对值的意义，理解题意，分类讨论是解题的关键．
3．（23-24七年级下·河南鹤壁·期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题．
例：解绝对值方程：．
解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得；
②当时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解为或．
根据材料，解下列绝对值方程：
(1)理解应用：；
(2)拓展应用：不等式的解集为______．
【答案】(1)①；②或
(2)或
【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可；
（2）分为两种情况：①当时，②当时，分情况求出即可．
【详解】（1）解：分情况讨论：
①当时，
原方程可化为，解得；
②当时，
原方程可化为：，
解得：，
所以原方程的解为或；
（2）解：分情况讨论：
①当时，
解得：；
②当时，
解得：，
所以不等式解集为或．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程及一元一次不等式的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想．
核心题型九：列一元一次不等式
典型例题
例题1．（安徽省滁州市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）一辆新型电动汽车售价为26万元，已知销售这种电动汽车获利超过，设这辆新型电动汽车的出厂价为x万元，则x满足的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】主要考查了不等式的应用，解题的关键是找到不等量关系．
根据销售这种电动汽车获利超过，即可列出不等式解答；
【详解】解：根据题意可得：，
即
故选：A．
例题2．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x题，可得式子为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，理清等量关系、正确的列出不等式是解题的关键．
设答对x道题，根据总得分不少于80分列出一元一次不等式即可．
【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题共道，
由题意可得：．
故选D．
例题3．（23-24八年级下·河北保定·期中）第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据打折出售，得出折后的售价为，再结合利润率的公式，进行列式，即可作答．
【详解】解：依题意，打折出售，得出折后的售价为
∵每件进价为200元，且每件衣服的利润率不低于，
∴，
故选：B．
题型精练
1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）宝安凤凰山森林公园位于“宝安第一山”凤凰山脚下，公园树木丰茂，景色优美，所以小青想带她初三的表姐去游玩放松释放压力，计划15点10分从学校出发，已知两地相距5.1千米，她们跑步的平均速度为190米/分钟，步行的平均速度为80米/分钟，若她们要在16点之前到达，那么她们至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据“步行时间步行速度跑步时间跑步速度”列不等式即可．本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是根据题意确定其中蕴含的不等关系．
【详解】解：∵计划15点10分从学校出发，要在16点之前到达
∴总时间为分钟
设他跑步的时间为分钟，则他步行时间为分钟，
根据题意，得：，
故选：A．
2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在礼花弹燃放前转移到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为，人离开的速度为，则导火线的长x（单位：m）应满足的不等式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式．根据题目要求列出不等式即可．
【详解】解：∵人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过以外的安全区域，
∴，即，
故选A．
3．（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了 实际问题抽象出一元一次不等式，设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据“某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时”即可列出一元一次不等式，理解题意，找准不等关系是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
故选：A．
核心题型十：用一元一次不等式解决实际问题
典型例题
例题1．（23-24八年级下·河北保定·期中）我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数，若她采集到的一筐野果不少于45个，则在第2根绳子上的打结数至少是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图示列式求解．解题的关键是运用“满五进一”的进制思想．
设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出不等式，然后求解即可得出答案．
【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x（x为正整数），
根据题意得：，
解得：，
∵x为正整数，
∴x取最小值4．即在第2根绳子上的打结数至少是4．
故选：D．
例题2．（23-24八年级下·山西晋中·期中）阳春三月，正值放风筝的好时节．某商店以80元的进价购进一款风筝，标价为120元出售，为扩大销量，计划打折出售，但其利润率不能少于．请你帮助该商店老板计算，这款风筝最多可以按 折销售．
【答案】8
【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据利润的要求，列出相关的关系式，从而求解．
设打折销售，根据题目意思，列出关于的不等式进行求解即可．
【详解】解：设打折销售，则售价为元，利润为元，
由题意得：，
解得：，
此种商品可以按最多打8折销售，
故答案是：8．
例题3．（2024·山东临沂·一模）某电商销售衬衣和围巾两种商品，它们的进价和售价如下表．
种类 衬衣 围巾
进价（元/件） a 50
售价（元/件） 400 80
用19000元可购进某品牌衬衣70件和围巾30件．（利润=售价-进价）
(1)求衬衣进价a的值以及销售完两种商品电商获得的利润．
(2)在实际销售过程中，当衬衣销量达到30件时，为促销并保证销售利润不低于原来利润的，围巾售价不变，余下衬衣降价销售，每件最多降价多少元
【答案】(1)250，
(2)
【分析】本题考查了一元一次方程及不等式的应用.列出方程不等式是解题的关键．
（1）根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）设出来降价，然后根据题意得到降价后的利润，可列得不等式，求解即可；
【详解】（1）解：用19000元可购进某品牌衬衣70件和围巾30件，
∴，
解得：，
销售完70件衬衣可得利润为：元，
销售完30件围巾可得利润为：元，
∴销售完两种商品电商获得的利润为：元；
（2）解：设降价元，
当衬衣销量达到30件时，此时利润为：，
围巾售价不变，此时利润为：900，
余下衬衣降价销售，此时利润为：，
∵销售利润不低于原来利润的，
∴，
解得：，
∴余下衬衣降价销售，每件最多降价元．
题型精练
1．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分，选手至少答对多少题才能得到70分以上（含70分）？
【答案】至少要答对16道题才能得到70分以上（含70分）
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出不等式即可求解．
设答对道，得到不等式，求解即可．
【详解】解：设答对道，
依题意有，
解得：．
故至少要答对16道题才能得到70分以上（含70分）．
2．（23-24八年级下·广东深圳·期中）用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
原料 甲种原料 乙种原料
维生素C含量（单位） 500 200
原料价格（元） 8 4
现配制这种饮料，要求至少含有4100单位的维生素C，设购买甲种原料x千克．
(1)问至少需要购买甲种原料多少千克？
(2)设用于购买这两种原料的总费用不超过76元时，则x在什么范围内才符合要求？
【答案】(1)7千克
(2)
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用：
（1）设购买甲种原料x千克，则购买乙种原料千克，根据至少含有4100单位的维生素C列出不等式求解即可；
（2）根据购买这两种原料的总费用不超过76元时结合（1）所求列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设购买甲种原料x千克，则购买乙种原料千克，
根据题意得，，
解得，
答：至少需要购买甲种原料7千克；
（2）解：∵购买这两种原料的总费用不超过76元，
根据题意得，，
解得，
又由（1）中，则可知．
∴符合要求的x的范围内是．
3．（23-24八年级下·山西晋中·期中）开学初，某校组织开展“消防安全”知识竞赛，倡导同学们从自身做起，从日常生活细节入手，增强消防意识，共筑平安校园．竞赛试题共有20道，答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分．小明想本次竞赛得分超过60分，他至少需要答对几道题？
【答案】他至少需要答对15道题
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，设小明想参加本次竞赛得分超过60分，他需要答对x道题，根据题意列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：设小明想参加本次竞赛得分超过60分，他需要答对x道题，
根据题意，得．
解这个不等式得
因为x为整数，所以x的最小值为15．
答：小明想参加本次竞赛得分超过60分，他至少需要答对15道题．
核心题型十一：用一元一次不等式解决几何问题
典型例题
例题1．（2024·河北邯郸·三模）如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，．
(1)________（用含m的代数式表示）；
(2)若点B为线段的中点，求的长；
(3)设，求当与的差不小于时整数x的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)整数x的最小值为25
【分析】（1）直接利用两点之间的距离公式进行计算即可；
（2）点B为线段的中点，可得，再建立方程求解即可；
（3）由，，，再利用当与的差不小于，建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，，
∴；
（2）∵点B为线段的中点，
∴，
∵，，
即，
解得．
∴B点表示的数为，
∴．
（3）∵，，，
由题意得，
解得，
∴，
∴整数x的最小值为25．
【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，列方程、不等式解决问题，考查学生的几何直观和运算能力．
例题2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，这是某大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，若第x个所贴“○”的个数为y．
(1)填写下表：
x 1 2 3 4 5 … x
y 5 8 ______ … ______（用含x的式子表示）
(2)若第x个所贴“○”的个数为，求x的值；
(3)若第x个所贴的“○”的个数大于，求x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据图形规律可得，；，，，，进而得出答案；
（2）根据（1）中得出的规律列出方程，求解即可；
（3）根据（1）中的结论列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意：，；
，；
，；
，；
∴；
故答案为：，；
（2）根据题意可得：，
解得：；
（3）根据题意可得：，
解得：．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，得出图形的变化规律是解本题的关键．
例题3．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，且a，b，c满足．
(1)若，求B，C两点的坐标；
(2)当实数a变化时，判断的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围；
(3)如图，已知线段与y轴相交于点E，直线与直线交于点P，若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)的面积不变，值为．
(3)
【分析】（1）将代入方程组求解即可；
（2）根据方程组确定，，，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，H，得出，然后结合图象求三角形面积即可；
（3）连接，根据题意得出，再由线段的数量关系得出，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，K，利用三角形面积之间的关系求解即可．
【详解】（1）解：当时，代入方程组得：
，
解得：，
∴，；
（2）的面积不变，值为．
由，得
∴，，
如图，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，H，
∴，
∴
（3）连接，
∵，，
又∵线段与y轴相交于点E
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
如图，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，K，则有
∴，解得
∴．
【点睛】题目主要考查解二元一次方程组，坐标与图形，不等式的应用，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
题型精练
1．（23-24八年级上·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得．
【详解】根据题意和图形可得，
解得：，
故选：D
【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式．
2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m．
(1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m；
(2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）；
(3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块
【答案】(1)1.8；3；4.2
(2)
(3)至少需要黑色地砖60块
【分析】本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出砖块的变化规律是解题的关键．
（1）根据上述图形计算即可；
（2）根据（1）中的规律，可知：当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，；
（3）由题可知，，求解即可．
【详解】（1）解：图1的长为：；
图2的长为：；
图3的长为：；
故答案为：1.8；3；4.2；
（2）解：根据（1）中的规律，可知：
当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，
，
故答案为：；
（3）解：由题可知，，
，
（块，
至少需要黑色地砖块60块．
3．（23-24六年级下·上海长宁·期中）十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明．
(1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论．
由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到；
由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到；
由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到；
同理可证，所以成立．
(2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．
长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示）
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】（1）根据不等式的性质求解即可；
（2）设长度1为，则长度2为，则，去分母求出即可得结果．
【详解】（1）由，在不等式的两边同时乘以，可以得到；
由，在不等式的两边同时加上，可以得到；
由，在不等式的两边同时除以，可以得到；
（2）设长度1为，则长度2为，
则，
两边同乘以得，
，
，
，
，
，
长度1是；长度2是．
【点睛】本题考查了不等式的性质以及用几何图形证明不等式的成立，数形结合是解题的关键．
核心题型十二：在数轴上表示不等式的解集
典型例题
例题1．（2024·安徽亳州·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集．先解一元一次不等式，然后在数轴上表示解集，进行判断即可．
【详解】解：，
解得，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
例题2．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）将不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，关键是正确计算出不等式的解集．首先解出不等式的解集，再在数轴上表示解集即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
解得：，
把解集在数轴上表示如下：
．
故选：B
例题3．（2024·福建三明·二模）解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】，在数轴上表示见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为即可．
【详解】解：去分母得：，
去括号得，
移项得：，
合并得：，
系数化为得：，
在数轴上表示为：
题型精练
1．（23-24八年级下·山东济南·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查解一元一次不等式．解不等式求出的范围，再在数轴上表示即可．
【详解】解：解得在数轴上表示如下：
故选：B．
2．（23-24八年级下·河南焦作·期中）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
(1)
(2)
【答案】(1)，见详解
(2)，见详解
【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示出解集.
（1）先求出不等式的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴表示解集．
（2）先求出不等式的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴表示解集．
【详解】（1）解：
，
数轴表示如下：
（2）
数轴表示如下：
3．（23-24七年级下·福建漳州·期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】．数轴见解析
【分析】解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
利用不等式的基本性质，把不等式解出即可；
【详解】解：，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得．
数轴表示：
