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9.3 一元一次不等式组
核心题型一：一元一次不等式组的定义
典型例题
例题1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列选项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024八年级上·浙江·专题练习）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
例题3．（23-24七年级下·甘肃庆阳·阶段练习）下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个．
题型精练
1．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列各式中是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）下列不是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有( )
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
核心题型二：求不等式组的解集
典型例题
例题1．（23-24八年级下·山西晋中·期中）解不等式组： .
例题2．（23-24八年级下·福建三明·期中）解不等组：
例题3．（2024·安徽合肥·二模）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来：
题型精练
1．（23-24八年级下·山西晋中·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级下·河北保定·期中）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·广东广州·一模）解不等式组：．
核心题型三：解特殊不等式组
典型例题
例题1．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题：
例：解不等式，
解：因为，所以原不等式可化为
由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为．
(1)用例题的方法解不等式的解集为 ；
(2)解不等式．
例题2．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式．
解：∵，∴可化为．
由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得
①②
解不等式组①，得；解不等式组②，得，
∴的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
(1)一元二次不等式的解集为_______；
(2)试解一元二次不等式；
(3)试解不等式．
题型精练
1．（23-24七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路：
由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得：
①或②，
解不等式组①得，
解不等式组②得，
等式的解集为或
请利用上面的解题思路解答下列问题：
(1)求出的解集；
(2)求不等式的解集．
2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料：
李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集.
小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”.
可得①；或②，
解不等式组①得：，解不等式组②得：，
∴原不等式的解集为：或.
你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式.
核心题型四：求一元一次不等式组的整数解
典型例题
例题1．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）不等式组的所有整数解的和为7，则整数的值有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
例题2．（23-24八年级下·江西萍乡·期中）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
题型精练
1．（23-24八年级下·江西九江·期中）解不等式组，并写出它的所有整数解的和 ．
2．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）解不等式组：，并写出不等式组的整数解．
3．（23-24八年级下·广东清远·期中）解不等式组，并求出其所有整数解的和．
核心题型五：由一元一次不等式组的解集求参数
典型例题
例题1．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如果不等式组 的解集是，那么n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是 ．
例题3．（2024七年级下·江苏·专题练习）一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是
题型精练
1．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）若不等式组的解集是，则m的值是 ．
2．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）已知不等式组的解集为，则的值为
3．（23-24八年级下·宁夏中卫·期中）若不等式组的解集是，求的值．
核心题型六：不等式组和方程组结合的问题
典型例题
例题1．（23-24八年级下·广东梅州·期中）（1）【情境再现】如下是某种八年级课下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容．
已知关于的方程：的解是负数，求的取值范围．
（2） 【拓展】若关于、的方程组 的解满足 ，求的最小整数值．
例题2．（23-24七年级下·全国·假期作业）关于x，y的方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求符合条件的整数k的值．
题型精练
1．（23-24七年级下·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（ ）个
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
核心题型七：列一元一次不等式组
典型例题
例题1．（23-24八年级下·福建三明·期中）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
题型精练
1．（23-24七年级下·广西崇左·期中）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A是需要不到5小时，已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( )
A． B．
C． D．
3．（23-24七年级·全国·假期作业）一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为( )
A． B．
C． D．
核心题型八：一元一次不等式组的应用
典型例题
例题1．（23-24八年级下·福建宁德·期中）阅读理解：
材料一，对于任意实数a，我们规定表示不大于a的最大整数．例如：，，．
材料二：对于任意实数，我们定义一种新运算，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．
(1)_______， _______；
(2)如果，求满足条件的所有整数x；
(3)若线性数的值为1，求x的值．
例题2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）某汽车租赁公司要购买问界和小米共10辆，其中问界至少要购买3辆，每辆30万元，小米每辆22万元，公司可投入的购车款不超过260万元；
(1)符合公司要求的购买方案有哪几种？
(2)如果每辆问界的日租金为600元，每辆小米汽车的日租金为400元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于5000元，应选哪种购买方案？
例题3．（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）随着“双减”政策的逐步落实，某校为了加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品商店一次性购买若干个篮球和排球，两种球的售价分别为篮球每个160元，排球每个120元．
(1)若学校从该商店一次性购买篮球和排球共 60个，总费用不超过8640元，那么学校最多可以购买多少个篮球？
(2)若该商店到厂家批发购进篮球和排球共100个，按售价全部售出，厂家批发价分别为篮球每个130元，排球每个100元，要使商店的利润不低于2580元，且购进排球数量不少于篮球数量的，商店有哪几种进货方案？
题型精练
1．（23-24八年级下·河北保定·期中）今年3·15晚会曝光了许多与我们生活息息相关的存在食品安全问题的产品，这也警示了许多商家需重视食品安全，不可损害人民的利益．某糕点生产厂家严格把控食品品质，深得顾客的信赖，并在此基础上提出了“反对商品过度包装，去包装化”的口号，这也从另一个角度保证了食品安全，保护了生态环境．为此，厂家对购买简装糕点的顾客实施优惠，商品价格及优惠方案如下．
名称 小份（） 大份（）
肉松小贝 16元 18元
巧克力欧包 12元 20元
购买简装糕点，在以上价格的基础上，小份优惠1元/份，大份优惠2元/份．
(1)根据顾客反馈，某种糕点购买简装大份每克的价格比小份还贵，此种糕点为____________．
(2)为保证每种糕点简装大份每克的价格都比小份便宜，则应将大份的优惠价格修改为每份优惠几元？（优惠价格取最小整数）
(3)在（2）中优惠价格的基础上，然然妈妈带150元购买简装大份的肉松小贝和简装大份的巧克力欧包共10份，且购买肉松小贝的份数少于巧克力欧包份数的1．5倍，请利用不等式组说明然然妈妈应买几份简装大份的肉松小贝．
2．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学计划组织七年级师生赴某研学基地开展研学活动．现有A，B两种型号的客车，载客量和租金如表所示：
A型号客车 B型号客车
载客量（人/辆） 50 45
租金（元/辆） 600 520
已知学校租用A，B两种型号的客车共10辆，租车的总费用不超过5800元．
(1)最多能租用多少辆A型号客车
(2)若七年级师生共有480人，请写出所有可行的租车方案．
3．（23-24七年级下·四川巴中·期中）下面是两位同学的一段对话．
小王：请问五一期间你准备去哪里玩？
小李：五一期间我们准备随一个旅行团去诺水河旅游去了．
小王：你们旅游团有多少人？住哪里？
小李：我们准备住在一个小旅馆，如果每间房住4人，就有20人无处住，如果每间房住8人，就有一间房不空也不满．
小王想了想，很快就有了答案．
请你根据以上对话，列不等式组求解：
这个旅行团有多少人？这个旅馆有多少间客房？中小学教育资源及组卷应用平台
9.3 一元一次不等式组
核心题型一：一元一次不等式组的定义
典型例题
例题1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列选项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】略
例题2．（2024八年级上·浙江·专题练习）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：①是一元一次不等式组；
②是一元一次不等式组；
③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④是一元一次不等式组；
⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断．
例题3．（23-24七年级下·甘肃庆阳·阶段练习）下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个．
【答案】2
【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可．
【详解】解：①是一元一次不等式组；
②含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
③是一元一次不等式组；
④不是一元一次不等式组；
⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有2个，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
题型精练
1．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列各式中是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式组的定义进行判断．
【详解】解：A、第二个不等式不是整式不等式，故本选项不合题意；
B、该不等式组中有2个未知数，故本选项不合题意；
C、该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不合题意；
D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
2．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）下列不是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答．
【详解】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；
B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；
C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有( )
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键．
核心题型二：求不等式组的解集
典型例题
例题1．（23-24八年级下·山西晋中·期中）解不等式组： .
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握其解法是解题的关键．
分别解每一个不等式，再取解集的公共部分即可．
【详解】解：
解不等式①，得.
解不等式②，得.
所以原不等式组的解集是：.
例题2．（23-24八年级下·福建三明·期中）解不等组：
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找．大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
该不等式组的解集为．
例题3．（2024·安徽合肥·二模）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来：
【答案】，数轴见详解
【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【详解】∵
∴解不等式①，得，解不等式,②，得，
∴不等式组的解集为，画数轴表示如下：
．
题型精练
1．（23-24八年级下·山西晋中·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，分别解不等式①②求出的取值范围，取其公共部分，即可得出不等式组的解集，再对照四个选项即可得出结论．牢记解不等式组的解法是解题的关键．
【详解】解：
解不等式①，得：；
解不等式②，得：．
∴不等式组的解集为．
在数轴上表示为：
故选：A．
2．（23-24八年级下·河北保定·期中）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集分别求出各不等式的解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示解集为：
故选：B
3．（2024·广东广州·一模）解不等式组：．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
核心题型三：解特殊不等式组
典型例题
例题1．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题：
例：解不等式，
解：因为，所以原不等式可化为
由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为．
(1)用例题的方法解不等式的解集为 ；
(2)解不等式．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）仿照例题的思路，即可解答；
（2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得：①或②，然后进行计算即可解答．
【详解】（1）因为，
所以原不等式可化为，
由有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”，得：
①或，
解不等式组①得，
解不等式组②得，
所以原不等式的解集为或，
故答案为：或；
（2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得：
①或②，
解不等式组①得无解，
解不等式组②得，
所以原不等式的解集为
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，理解例题的思路是解题的关键．
例题2．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式．
解：∵，∴可化为．
由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得
①②
解不等式组①，得；解不等式组②，得，
∴的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
(1)一元二次不等式的解集为_______；
(2)试解一元二次不等式；
(3)试解不等式．
【答案】(1)或
(2)一元二次不等式的解集为0＜x＜5
(3)的解集为1＜x＜4
【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解；
（2）利用提公因式法对不等式的左边进行因式分解，再求解可得；
（3）需要分类讨论：① ②据此求解可得．
【详解】（1）解：由原不等式得：（x+3）（x-3）＞0
∴ 或
解得：x＞3或x＜-3．
故答案为：或 ；
（2）∵，
∴可化为．
由有理数的乘法法则：两数相乘，异号得负，得
① ②
解不等式组①，得0＜x＜5；
解不等式组②，无解，
∴的解集为0＜x＜5，
即一元二次不等式的解集为：0＜x＜5．
（3）由有理数的除法法则：两数相除，异号得负，得
① ②
解不等式组①，得1＜x＜4；
解不等式组②，无解，
∴的解集为1＜x＜4．
【点睛】本题考查不等式组的解法，一元一次不等式组的应用．利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除），同号得正，异号得负的符号法则．
题型精练
1．（23-24七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路：
由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得：
①或②，
解不等式组①得，
解不等式组②得，
等式的解集为或
请利用上面的解题思路解答下列问题：
(1)求出的解集；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题．
（2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题．
【详解】（1）由两数相乘，异号为负，得：
①或②，
解不等式组①，无解；解不等式组②，
的解集为
（2）由两数相除，同号为正，得：
①或②，
解不等式组①，；解不等式组②，
不等式的解集为或
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．
2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料：
李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集.
小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”.
可得①；或②，
解不等式组①得：，解不等式组②得：，
∴原不等式的解集为：或.
你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式.
【答案】
【分析】根据有理数相除异号得负，故可得①；②，解不等式组即可．
【详解】解：根据题意可得：
①；②
解不等式组①，得无解
解不等式组②，得
原不等式的解集为
【点睛】本题主要考查了分式不等式，根据有理数除法同号得正，异号得负的法则，判断出分式不等式分子，分母的正负，组成不等式组是解题的关键．
核心题型四：求一元一次不等式组的整数解
典型例题
例题1．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）不等式组的所有整数解的和为7，则整数的值有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】本题考查由不等式组整数解的情况求参数，涉及解含参数不等式组、不等式组的整数解等知识，根据题意，求出不等式组的解集为，再由不等式组整数解的情况求出或，由不等式的性质分情况讨论求解即可得到答案，熟练掌握由不等式组整数解的情况求参数的方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
由①得；
由②得；
不等式组的解集为，
不等式组的所有整数解的和为7，
或，
当时，解得，则整数的值有共3个；
当时，解得，则整数的值有共3个；
综上所述，满足题意的整数的值有个，
故选：B．
例题2．（23-24八年级下·江西萍乡·期中）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为：，0，1，2
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可．
【详解】解：
解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式得解集为：，
∴原不等式的整数解为：，0，1，2．
例题3．（23-24八年级下·山东济南·期中）解不等式组
，并写出它的所有整数解．
【答案】原不等式组的解集是：；它的所有整数解是：；；0；1
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数即可．
【详解】
解不等式①，得：
解不等式②，得：
所以，原不等式组的解集是：
它的所有整数解是：；；0；1．
题型精练
1．（23-24八年级下·江西九江·期中）解不等式组，并写出它的所有整数解的和 ．
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到"的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式得，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
∴整数解是：，
故它的所有整数解的和，
故答案为：．
2．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）解不等式组：，并写出不等式组的整数解．
【答案】，整数解为，，0，1
【分析】本题主要考查了解一元一次不等组，不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的基本步骤，能根据不等式的解集得出不等式组的解集．
先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出整数解，即可解答．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得
∴原不等式组的解集为
∴原不等式组的整数解为，，0，1．
3．（23-24八年级下·广东清远·期中）解不等式组，并求出其所有整数解的和．
【答案】；0
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出一元一次不等式的解集，再根据找不等式组的解集的规律可得原不等式组的解集为，进而可得原不等式组的所有整数解为、、，再进行相加即可，熟练掌握一元一次不等式的解法及找不等式组的解集的规律是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
原不等式组的所有整数解为：、、，
．
核心题型五：由一元一次不等式组的解集求参数
典型例题
例题1．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如果不等式组 的解集是，那么n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式组：一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
先解两个不等式得到和，然后根据同小取小可确定n的范围．
【详解】解：由，得，
根据已知条件，不等式组的解集为，
∴，
故选：A．
例题2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式得解集， 再根据不等式组的解集得到，解之即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的不等式组的解集为，
∴，
∴，
故答案为：．
例题3．（2024七年级下·江苏·专题练习）一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．根据每一个不等式的解集，结合口诀：同大取大可得答案．
【详解】解：，
由得，，
由得：，
∵原不等式组的解集为，
∴，
解得，
故答案为：．
题型精练
1．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）若不等式组的解集是，则m的值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先正常求解两个不等式，再根据解集为求解即可．
【详解】解不等式得：；
解不等式得：；
∵不等式组的解集是，
∴，解得，
故答案为：．
2．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）已知不等式组的解集为，则的值为
【答案】1
【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，，即可求出a，b的值，最后再代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集为，
，，
，，
，
故答案为：1．
3．（23-24八年级下·宁夏中卫·期中）若不等式组的解集是，求的值．
【答案】3
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，代数式求值，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集求出a、b的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴，
∴
核心题型六：不等式组和方程组结合的问题
典型例题
例题1．（23-24八年级下·广东梅州·期中）（1）【情境再现】如下是某种八年级课下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容．
已知关于的方程：的解是负数，求的取值范围．
（2） 【拓展】若关于、的方程组 的解满足 ，求的最小整数值．
【答案】（1）；（2）的最小整数值为
【分析】本题考查了一元一次方程的解，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先解一元一次方程，可得，然后题意可得，进行计算即可解答；
（2）先利用加减消元法解方程组，求出、的值，然后根据题意可得关于的不等式，解不等式即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
关于的方程的解是负数，
，
解得：；
（2）
得：，
解得：，
得：，
解得：，
，
，
解得：，
的最小整数值为．
例题2．（23-24七年级下·全国·假期作业）关于x，y的方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求符合条件的整数k的值．
【答案】k的值为，0，1，2，3．
【详解】解：
①＋②，得，∴．
∵，∴，解得．
解不等式③，得．解不等式④，得．
∵关于x的不等式组有解，∴．
综上所述，．
故符合条件的整数k的值为，0，1，2，3．
题型精练
1．（23-24七年级下·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（ ）个
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组至少2个整数解，
∴，
∴；
得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7，共5个，
故选：B．
2．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
【答案】3
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是，可以求得k的取值范围，再求出关于y的方程的解，然后根据关于y的方程有正整数解，即可求出k的值，从而可以解答本题．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵关于x的一元一次不等式组的解集是，
∴，
由方程可得，
∵关于y的方程有正整数解，
∴或或，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组、一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键．
核心题型七：列一元一次不等式组
典型例题
例题1．（23-24八年级下·福建三明·期中）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由“张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完”可建立不等式组．
【详解】解：设张力平均每天读x页，则李永平均每天读页
由“张力读了一周（7天）还没读完”可得：
由“李永不到一周就已读完” 可得：
故：
故选：A．
【点睛】本题考查列一元一次不等式组．正确理解题意是解题关键．
例题2．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为”，可得出这箱苹果共个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个”，即可列出关于的一元一次不等式组，此题得解．
【详解】解：每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为，
这箱苹果共个，
每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题关键．
例题3．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】船只顺流速度船静水中的速度水流流速，
船只逆流速度船静水中的速度水流流速，
根据“顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时”建立方程，即可得出答案．
【详解】根据题意，得，
故选：．
【点睛】此题是由实际问题抽象出二元一次方程，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题得关键．
题型精练
1．（23-24七年级下·广西崇左·期中）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A是需要不到5小时，已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意知顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米，根据“逆流而上返回A是需要不到5小时”，即可列出一元一次不等式．
【详解】水流速度是每小时千米，船在静水中的速度是每小时千米，
顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米，
，
即，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式，正确找出不等关系是解题的关键．
2．（23-24八年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可．
【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为，
∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵，
∴可列不等式组为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键．
3．（23-24七年级·全国·假期作业）一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】张力平均每天读x页，则李永每天读页，根据张力读了一周(7天)还没读完可得不等式，根据李永不到一周就已读完可得不等式，再联立两个不等式即可．
【详解】解：设张力平均每天读x页，由题意得：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答此题的关键是找到关键性的描述语言，列出不等式组．在求解时不要忽略x为整数这一关键性条件．
核心题型八：一元一次不等式组的应用
典型例题
例题1．（23-24八年级下·福建宁德·期中）阅读理解：
材料一，对于任意实数a，我们规定表示不大于a的最大整数．例如：，，．
材料二：对于任意实数，我们定义一种新运算，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．
(1)_______， _______；
(2)如果，求满足条件的所有整数x；
(3)若线性数的值为1，求x的值．
【答案】(1)3，
(2)，，
(3)
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，不等式组的应用，理解题意是解题的关键
（1）由题意知，，，计算求解即可；
（2）由，可得，计算求解，然后作答即可；
（3）由题意知，，即，由表示不大于a的最大整数，可得，则，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，
故答案为：3，；
（2）解：∵，
∴，
解得，，
∴满足条件的所有整数x为，，；
（3）解：由题意知，，
∴，
∴，
由题意知，表示不大于a的最大整数，
∴，
∴，
解得，．
例题2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）某汽车租赁公司要购买问界和小米共10辆，其中问界至少要购买3辆，每辆30万元，小米每辆22万元，公司可投入的购车款不超过260万元；
(1)符合公司要求的购买方案有哪几种？
(2)如果每辆问界的日租金为600元，每辆小米汽车的日租金为400元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于5000元，应选哪种购买方案？
【答案】(1)共有3种购买方案，见详解
(2)应选择购买5辆问界辆小米
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设购买辆问界，则购买辆小米，根据“问界至少要购买3辆，且公司可投入的购车款不超过260万元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，即可得出各购买方案；
（2）根据这10辆车的日租金不低于5000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，即可得出应选择的购买方案．
【详解】（1）解：设购买辆问界，则购买辆小米，
根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴可以为，
∴该公司共有3种购买方案，
方案1：购买3辆问界辆小米；
方案2：购买4辆问界辆小米；
方案3：购买5辆问界辆小米；
（2）根据题意得：，
解得：，
又，
，
∴应选择购买5辆问界辆小米．
例题3．（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）随着“双减”政策的逐步落实，某校为了加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品商店一次性购买若干个篮球和排球，两种球的售价分别为篮球每个160元，排球每个120元．
(1)若学校从该商店一次性购买篮球和排球共 60个，总费用不超过8640元，那么学校最多可以购买多少个篮球？
(2)若该商店到厂家批发购进篮球和排球共100个，按售价全部售出，厂家批发价分别为篮球每个130元，排球每个100元，要使商店的利润不低于2580元，且购进排球数量不少于篮球数量的，商店有哪几种进货方案？
【答案】(1)36个
(2)商店有三种进货方案：①购进篮球58个，排球42个；②购进篮球59个，排球41个；③购进篮球60个，排球40个
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，找准不等关系，正确列出不等式以及不等式组是解此题的关键．
（1）设学校购买篮球个，排球个，根据“总费用不超过8640元”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案；
（2）设商店到厂家购进篮球个，则排球是个，根据“商店的利润不低于2580元，且购进排球数量不少于篮球数量的”列出一元一次不等式组，解不等式组得出，再根据为整数，即可得出答案．
【详解】（1）解：设学校购买篮球个，排球个，
依题意得：，
解得，
答：学校最多可购买篮球36个．
（2）解：设商店到厂家购进篮球个，则排球是个，
依题意得：，
解得：，
因为为整数，
所以，59，60，
所以商店有三种进货方案：①购进篮球58个，排球42个；②购进篮球59个，排球41个；③购进篮球60个，排球40个．
题型精练
1．（23-24八年级下·河北保定·期中）今年3·15晚会曝光了许多与我们生活息息相关的存在食品安全问题的产品，这也警示了许多商家需重视食品安全，不可损害人民的利益．某糕点生产厂家严格把控食品品质，深得顾客的信赖，并在此基础上提出了“反对商品过度包装，去包装化”的口号，这也从另一个角度保证了食品安全，保护了生态环境．为此，厂家对购买简装糕点的顾客实施优惠，商品价格及优惠方案如下．
名称 小份（） 大份（）
肉松小贝 16元 18元
巧克力欧包 12元 20元
购买简装糕点，在以上价格的基础上，小份优惠1元/份，大份优惠2元/份．
(1)根据顾客反馈，某种糕点购买简装大份每克的价格比小份还贵，此种糕点为____________．
(2)为保证每种糕点简装大份每克的价格都比小份便宜，则应将大份的优惠价格修改为每份优惠几元？（优惠价格取最小整数）
(3)在（2）中优惠价格的基础上，然然妈妈带150元购买简装大份的肉松小贝和简装大份的巧克力欧包共10份，且购买肉松小贝的份数少于巧克力欧包份数的1．5倍，请利用不等式组说明然然妈妈应买几份简装大份的肉松小贝．
【答案】(1)巧克力欧包
(2)大份每份应优惠4元
(3)然然妈妈应买5份简装大份的肉松小贝，见解析
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出不等式组．
（1）根据题中表格分别计算即可；
（2）设应将大份的优惠价格修改为每份优惠x元，由题意列不等式解答即可；
（3）设购买m份简装大份的肉松小贝，则购买份简装大份的巧克力欧包，由题意列不等式组解答即可；
【详解】（1）解：购买肉松小贝大份每克的价格：元，
肉松小贝小份每克的价格：元，
∴购买肉松小贝大份每克的价格比小份每克的价格便宜；
巧克力欧包大份每克的价格：元，
巧克力欧包小份每克的价格：元，
∴购买巧克力欧包大份每克的价格比小份每克的价格还贵；
故此种糕点为巧克力欧包，
故答案为：巧克力欧包．
（2）设应将大份的优惠价格修改为每份优惠x元．
由题意，得，
解得．
∵x取最小整数，
∴，即大份每份应优惠4元．
（3）设购买m份简装大份的肉松小贝，则购买份简装大份的巧克力欧包．
由题意，得
解得．
答：然然妈妈应买5份简装大份的肉松小贝．
2．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学计划组织七年级师生赴某研学基地开展研学活动．现有A，B两种型号的客车，载客量和租金如表所示：
A型号客车 B型号客车
载客量（人/辆） 50 45
租金（元/辆） 600 520
已知学校租用A，B两种型号的客车共10辆，租车的总费用不超过5800元．
(1)最多能租用多少辆A型号客车
(2)若七年级师生共有480人，请写出所有可行的租车方案．
【答案】(1)最多能租用7辆A型号客车
(2)有两种租车方案．方案一：租用A型号客车6辆，B型号客车4辆；方案二：租用A型号客车7辆，B型号客车3辆
【分析】本题考查了不等式（组）的应用；
（1）设租用A型号客车x辆，则租用B型号客车辆．根据题意列出不等式，解不等式，即可求解；
（2）根据题意得，结合（1）中的结论，x为整数，且，得出整数解，即可求解．
【详解】（1）设租用A型号客车x辆，则租用B型号客车辆．
依题意，得，
解得：．
又∵x为整数，
∴x的最大值为7．
答：最多能租用7辆A型号客车．
（2）依题意，得，
解得：．
又∵x为整数，且，
∴或7．
∴有两种租车方案．方案一：租用A型号客车6辆，B型号客车4辆；
方案二：租用A型号客车7辆，B型号客车3辆．
3．（23-24七年级下·四川巴中·期中）下面是两位同学的一段对话．
小王：请问五一期间你准备去哪里玩？
小李：五一期间我们准备随一个旅行团去诺水河旅游去了．
小王：你们旅游团有多少人？住哪里？
小李：我们准备住在一个小旅馆，如果每间房住4人，就有20人无处住，如果每间房住8人，就有一间房不空也不满．
小王想了想，很快就有了答案．
请你根据以上对话，列不等式组求解：
这个旅行团有多少人？这个旅馆有多少间客房？
【答案】该旅行团有44人，旅馆有6间客房
【分析】此题主要考查的是一元一次不等式组在实际生活中的应用，设该中学有间客房，由于每间客房住4人，则有20人没客房住，由此得到旅行团人数为，而如果每间客房住8人，则有一间客房不空也不满，其他客房住满，由此即可得到关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围，然后根据是整数即可求出的值，也就求出了总人数．准确列出不等式组是关键．
【详解】解：设该旅行团有间客房，
依题意得，
解之得．
为整数，
，
．
答：该旅行团有44人，旅馆有6间客房．
