汕头市潮阳实验学校2023-2024学年度第二学期期中考试
高一数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数的值域化简集合的表示，解一元二次不等式化简集合的表示，最后根据集合的交集和并集的定义、子集的定义进行判断即可.
【详解】因为，，
所以，故选项A不正确；
，故选项B不正确；
根据子集的定义有.
故选：D
【点睛】本题考查了集合交集、并集的运算，考查了子集的定义，考查了指数函数的值域，考查了解一元二次不等式，考查了数学运算能力.
2. 设复数（其中a，，i为虚数单位），则“”是“z为纯虚数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的分类，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由复数
当时，复数为纯虚数，所以充分性不成立；
反之：若复数为纯虚数，则成立，所以必要性成立，
所以“”是“z为纯虚数”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，则角（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合正弦定理边化角、两角和的公式逆用以及诱导公式化简得，进一步有，由此即可得解.
【详解】由结合正弦定理有，
即，
因，解得，而，所以角.
故选：B.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数单调性和中间值比较大小
【详解】因为，所以
故选：A
5. 函数在区间上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数奇偶性结合当时函数值的符号性分析判断.
【详解】∵，即，
∴为偶函数；
又∵当时，则，故，
∴；
综上所述：A正确，B、C、D错误
故选：A.
6. 已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ）
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
【答案】C
【解析】
【分析】如图，由题意，根据空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理可得，进而，结合相似三角形的性质即可求解．
【详解】如图，设，分别延长交于点，此时，
连接交于，连接，
设平面与平面的交线为，则，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，设，则，
此时，故，连接，
所以五边形为所求截面图形，
故选：C．
7. 记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意及正切与正弦与余弦的关系，两角和的正弦公式及余弦公式可得角的大小，再由余弦定理及基本不等式可得的最大值，进而求出该三角形的面积的最大值．
【详解】因为，可得，
即，
整理可得，
即，
在三角形中，，
即，可得；
由余弦定理可得，当且仅当时取等号，
而，
所以，
所以．
即该三角形的面积的最大值为．
故选：A．
8. 已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定函数的大致图象，令，则关于的方程即可写成，结合图象分析二次方程的根的取值范围使其满足方程有6个不同的根，即可得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，函数的图象如图所示：
根据函数图像，函数在，上单调递增，在，上单调递减；且时取最大值2，在时取最小值0，是该图像的渐近线.
令，则关于的方程即可写成，
此时关于的方程应该有两个不相等的实数根
设，为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：
①当，时，此时，则；
②当，时，此时，则；
综上可知，实数的取值范围是.
故选：C.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 已知，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】通过比较各项的大小，即可得出结论.
【详解】由题意，
∴，故A错误，
，故B正确，
，当时，，故C错误，
，
∴，故D正确，
故选：BD.
10. 在中，角A B C所对的边分别为a b c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则B的最大值为
D. 若，则B的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：取特殊的直角三角形ABC，其中,否定选项A;
对于B：由在上单调递减，得到 ，利用二倍角的余弦公式即可求得；
对于C、D：利用余弦定理和基本不等式求出B的最大值为.
【详解】对于A：取特殊的直角三角形ABC，其中,满足，但是.故A错误；
对于B：在中，因为，所以,所以.
因为在上单调递减，所以，即，所以，所以，所以
.故B正确；
对于C：在中，因为，所以由余弦定理得：，（当且仅当a=c时取等号）.
因为在上单调递减，所以,即B的最大值为.
故C正确；
对于D：在中，因为，所以由余弦定理得：，（当且仅当a=c时取等号）.
因为在上单调递减，所以,即B的最大值为.
故D正确.
故选：BCD
11. 如图，在正方体中，、、、、、分别是棱、、、、、的中点，则下列结论错误的是（ ）
A. 直线和平行，和相交
B. 直线和平行，和相交
C 直线和相交，和异面
D. 直线和异面，和异面
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用平行线的传递性可判断出直线和平行，利用三角形全等可证得和相交，由异面直线的定义可判断出和异面，即可得出合适的选项.
【详解】如下图所示：
因为、分别为、的中点，则，同理可证，
在正方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，则，所以，，
延长交直线于点，
因为，则，
又因为，，所以，，所以，，
延长交的延长线于点，同理可证，
因为，所以，，即点、重合，
所以，、相交，
由异面直线的定义结合图形可知，、异面，故B对，ACD均错.
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数，则关于x的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的性质及对数函数的单调性解不等式可得结果.
【详解】当时，得，
当时，，得，所以，
综上：的解集为，
故答案为：.
13. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为，则由题意可得，求出，从而可求出侧面积，进而可求得其表面积
【详解】设圆锥的母线长为，
圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，
所以，解得，
所以圆锥的表面积为，
故答案为：
14. 近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即秒时，点A位于圆心正下方：则______秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用三角函数定义表示点的坐标，由已知结合和角的正弦公式化简即得.
【详解】以O为原点，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于角速，
设点，圆上两点A、B始终保持，
则，要使A、B两点的竖直距高为0，
则，第一次为0时，，解得，
.
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终边对应的角是关键，特别注意，始边是x轴非负半轴.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知，，当k为何值时：
（1）与共线；
（2）与的夹角为120°．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量加减法坐标运算公式得到，，结合向量共线的坐标公式计算即可；
（2）根据题意表示出两个向量的数量积和模，再用夹角公式计算即可.
【小问1详解】
因，，
所以，
因为与共线，
所以，
解得.
【小问2详解】
因为，，
所以，，
，
因为与的夹角为120°，
所以.
化简得，
解得.
16. 如图，在正方体中，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用三角形中位线证明线线平行，结合线面平行判定定理，从而得线面平行；
（2）结合面面平行判定定理来确定动点位置，并证明面面平行.
【小问1详解】
如图，连接交于，连接.
因为为正方体，底面为正方形，对角线，交于点，
所以为的中点，又因为为的中点，
所以在中，是的中位线，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
当上的点为中点时，即满足平面平面，理由如下：
连接，，
因为为的中点，为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
由（1）知平面，
又因为，，平面，
所以平面平面.
17. 已知函数为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数的单调性（不用证明）；
（3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）在，上单调递减.
（3）
【解析】
【分析】（1）考虑和两种情况，根据奇函数性质计算得到答案.
（2）确定定义域，设，且，计算，得到单调性.
（3）根据单调性确定时的值域，设，换元得到二次函数，计算最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案.
【小问1详解】
由已知函数需满足，当时，函数的定义域为，
函数为奇函数，所以，
即在上恒成立，即，（舍），
当时，，函数的定义域为，
又函数为奇函数，所以，
此时，函数定义域为，
，函数为奇函数，满足，
综上所述：；
【小问2详解】
在和上单调递减，证明如下：
，定义域为，
设，且，
则
因为，且，所以，
所以，所以在上单调递减，
同理可证，所以在上单调递减；
所以在，上单调递减.
【小问3详解】
函数在和上单调递减，
且当时，，当时，，
时，，所以当时的值域，
又，
设，则，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
即在上的值域，
又对任意的，总存在，使得成立，
即，所以，解得，即.
18. 已知的内角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的周长和外接圆的面积；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，借助两角和的正弦公式计算即可得；
（2）借助面积公式及余弦定理与正弦定理计算即可得；
（3）借助三角恒等变换公式计算即可得.
【小问1详解】
由，由正弦定理得，
从而有，
；
【小问2详解】
因为，所以，
由余弦定理得：，
即，
解得，所以周长为，
设外接圆半径为，由，得，所以外接圆面积；
【小问3详解】
因为，所以，所以，
所以，
.
19. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
（1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域；
（2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值；
（3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且己知，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用伴随函数的定义、辅助角公式及三角函数的性质计算即可；
（2）利用源向量的定义可先确定，结合正三角形的性质，平面向量数量积的运算律计算即可；
（3）先根据源向量的定义确定，利用余弦定理及三角形的特征、基本不等式得，再根据平面向量数量积与模的关系化简得，根据二次函数的单调性计算取值范围即可.
【小问1详解】
根据定义可知向量的“伴随函数”
，
因为，所以，所以；
【小问2详解】
因为函数，
所以其“源向量”，显然，
即M轨迹为单位圆，
结合正三角形的性质可知，，
所以
是定值，证毕；
【小问3详解】
因为函数的“源向量”为，所以，
又，
所以，
由余弦定理可知，
所以，当且仅当时取得等号，
而其中一边可以无限接近于0，所以，
根据平面向量数量积公式知，
而
，
由上知，
根据二次函数的单调性可知，
即的取值范围
【点睛】思路点睛：第二问利用平面向量数量积的运算律结合正三角形及其内切圆的性质计算即可；第三问先利用余弦定理计算的范围，利用平面向量数量积与模长关系化简问题式，再利用二次函数性质及基本不等式计算取值范围即可汕头市潮阳实验学校2023-2024学年度第二学期期中考试
高一数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设复数（其中a，，i为虚数单位），则“”是“z为纯虚数”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，，则角（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 函数在区间上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ）
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
7. 记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 已知，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 在中，角A B C所对的边分别为a b c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则B的最大值为
D. 若，则B的最大值为
11. 如图，在正方体中，、、、、、分别是棱、、、、、的中点，则下列结论错误的是（ ）
A. 直线和平行，和相交
B. 直线和平行，和相交
C. 直线和相交，和异面
D. 直线和异面，和异面
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数，则关于x不等式的解集为______．
13. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为________．
14. 近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即秒时，点A位于圆心正下方：则______秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为______.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知，，当k为何值时：
（1）与共线；
（2）与的夹角为120°．
16. 如图，在正方体中，为中点．
（1）求证：平面；
（2）上否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．
17. 已知函数为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数的单调性（不用证明）；
（3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．
18. 已知的内角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的周长和外接圆的面积；
（3）若，求的值．
19. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
（1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域；
（2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值；
（3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且己知，求的取值范围．
