东北师大附中2023—2024学年下学期第五次模拟考试
高三年级（数学）科试卷
满分：150分 考试时长：120分钟
注意事项：
1.答题前考生需将姓名 班级填写在答题卡指定位置上，并粘贴好条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸 本试卷上书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠 不要弄皱 弄破，不准使用涂改液 修正带 刮纸刀.
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，，其中是虚数单位，是的共轭复数，则复数的对应点位于（ ）
A 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的四则运算化简以及共轭复数的定义，结合复数的几何意义可得出结论.
【详解】设，则共轭复数为，
所以，
所以，
所以，解得，
所以，故复数对应的点位于第四象限.
故选：D.
2. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由空间中的线面关系，分别验证命题的充分性与必要性即可得到结果.
【详解】因为直线平面，直线平面，当时，可得，即充分性满足；
当时，不一定平行，有可能相交还有可能异面，故必要性不满足；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 已知两个向量满足，，则（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】将两边平方，结合数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，，
所以，即，解得或（舍去）.
故选：D
4. 的内角所对的边分别为，则（ ）
A. 2 B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得，结合三角恒等变换，正弦定理可得，由此可求，再结合勾股定理求即可.
【详解】因为，
所以，故，
由正弦定理可得，
所以，又，
所以，又，
所以，，
故
由勾股定理可得，
所以，
故选：A.
5. 已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，，则（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，依题可得，，结合的解可得，从而得到的值，再根据即可得，进而求得．
【详解】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
当时，，即，；
当时，，即，；
综上：；
因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设，则，
因为，
则，解得，
所以，
．
故选：C.
6. 过抛物线焦点的直线交拋物线于两点，已知，线段的垂直平分线经过点，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】设直线的方程为，利用设而不求法求弦长的表达式，再求线段的垂直平分线，由条件列方程求可得结论.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，
若直线的斜率斜率为，则直线与抛物线只有一个交点，不满足条件，
故可设直线的方程为，
联立，化简可得，
方程的判别式，
设，
则，
所以，
由已知，
设的中点为，
则，，
所以线段的垂直平分线方程为，
因为在线段的垂直平分线上，
所以，故，
所以，.
故选：B.
7. 如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为，则它们的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，根据多面体的结构特征求出正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球半径与其表面积的关系，再进行比较.
【详解】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，下面求正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球的半径与其表面积的关系.
设球形物品的半径为，则正方体的棱长为，表面积；
设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为，
如图正四面体，由正四面体的对称性与球的对称性可知内切球的球心在正四面体的高上，如图，
底面等边三角形的高，外接圆半径，正四面体的高，
体积，
所以，又，所以，
所以正四面体的表面积；
设正八面体的棱长为，如图，
在正八面体中连接，，，可得，，互相垂直平分，四边形为正方形，，
在中，，
则该正八面体的体积，
该八面体的表面积，
因为，即，解得，
所以，
所以.
故选：B.
8. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小.
【详解】设，，
时，，为减函数，
时，，为增函数，所以，
，即.
设，，
时，，为增函数，
时，，为减函数，
所以，，即，所以.
设，，
为增函数，所以，所以，即.
故选：D
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若集合，则一定有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据以及，可得、、可得，结合选项即可求解.
【详解】因为，，
所以，所以，，
因为，，
所以，所以，所以，
故选项A、C正确，B、D错误.
故选：AC.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数单调递增
B. 函数值域为
C. 函数的图象关于对称
D. 函数的图象关于对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD.
【详解】，
函数，，则，
又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；
因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确；
，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确.
故选：ABD
11. 已知分别为双曲线的左 右焦点，过的直线交双曲线左 右两支于两点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立的等量关系式求解.
【详解】
如果为直角，设，则，
又，，所以，
由，则，得，
在中，，即，
即，
化简得，所以；
如果为直角，设，
则，，，，
因为，
所以，故，
在中，由余弦定理可知，
整理得，即，所以，故B正确；
如果为直角，则，，
则，又，
所以，，，
在等腰直角中，，
即，
化简得，所以，故C正确.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：求解离心率的关键是结合题中的已知关系，找出之间的数量关系.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线与圆相切，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得的值.
【详解】直线的一般方程为，
圆的圆心的坐标为，半径，
由于直线和圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
所以，
解得.
故答案为：.
13. 春暖花开季节，小王 小李 小张 小刘四人计划“五 一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖 净月 莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由古典概率结合条件概率的形式计算即可.
【详解】至少有两人去南湖的情况有三种：两人去，三人去，四人去，
其概率为，
至少有两人去南湖且有人去净月的概率为，
所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为，
故答案为：.
14. 记表示在区间上的最大值，则取得最小值时，__________.
【答案】##0.125
【解析】
【分析】根据题意，取得最小值，即为在区间上的最大值取得最小值，先用分段函数表示在区间上的最大值，再根据图象求分段函数的最小值即可.
【详解】取得最小值，
即为在区间上最大值取得最小值，
因为的对称轴，且，
所以的最大值为或，
当时，即，
所以 ，
当时，取最小值，最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查 函数的最值，关键在于理解题意，取得最小值，即为在的最大值取得最小值，所以先要将的最大值表示出来，再用分段函数的性质即可.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 解答过程或演算步骤.
15. 如图，在正三棱柱中，为中点，点在棱上，.
（1）证明：平面；
（2）求锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解法1：作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行；解法2：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由证明出结论；
（2）解法1：作出辅助线，得到即为二面角的平面角，求出各边长，求出锐二面角的余弦值；解法2：求出平面的法向量，得到平面的法向量，求出答案.
【小问1详解】
解法1：设，则为中点，
，连接，
延长交延长线于，
由得，
为中点，
，
平面平面，
平面，
解法2：取中点，取中点，连接，
因为为正三棱柱，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图，
则，
，
，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
平面，
故平面.
【小问2详解】
解法1：因为，所以，故四边形为正方形，
故⊥，且为中点，
又，，
故，故⊥，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
又，，
且，，
，
故锐二面角的余弦值为.
解法2：设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
，
所以锐二面角的余弦值为.
16. 某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1：
表1：
序号 数学 物理
1 144 95
2 130 90
3 124 79
4 120 85
5 110 69
6 107 82
7 103 80
8 102 62
9 100 67
10 98 75
11 98 68
12 95 77
13 94 59
14 92 65
15 90 57
16 88 58
17 85 70
18 85 55
19 80 52
20 75 54
（1）数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀.
（i）完成如下列联表；
数学成绩 物理成绩 合计
优秀 不优秀
优秀
不优秀
合计
（ii）依据的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？
（2）从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2：
表2：
数学成绩 130 110 100 85 75
物理成绩 90 69 67 70 54
如图所示：以横轴表示数学成绩 纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.
（i）求样本相关系数；
（ii）建立物理成绩关于数学成绩的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）
参考公式：（1）样本相关系数.
（2）经验回归方程；.
（3），其中.
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）（i）答案见解析；（ii）认为数学成绩与物理成绩有关联.
（2）（i）；（ii），81分
【解析】
【分析】（1）（i）由表1可直接填写列联表；（ii）根据列联表，计算的值，结合临界值表可得出结论；
（2）（i）根据参考公式计算样本相关系数；（ii）根据参考公式计算经验回归方程，并将代入，预测该同学的物理成绩.
【小问1详解】
（i）
数学成绩 物理成绩 合计
优秀 不优秀
优秀 3 1 4
不优秀 2 14 16
合计 5 15 20
（ii）零假设：数学成绩与物理成绩相互独立，即数学成绩与物理成绩无关联.
依据的独立性检验，推断不成立，即认为数学成绩与物理成绩有关联.
【小问2详解】
（i）由题意，
所以
（ii）由题意
，
所以，
所以经验回归方程为，
当时，，
所以物理成绩约为81分.
17. 已知，函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）0； （2）.
【解析】
【分析】（1）由已知可得，进而可求的单调区间；
（2）求导得，令进而求导，分类讨论可求的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
单调递减；单调递增；
【小问2详解】
，
设，
①若，由（1）知，不合题意；
②若，
设单调递减，
，令，
单调递增，，
单调递增，，不合题意；
③，
单调递减，单调递减，；
综上，.
18. 已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线的斜率为定值；
（3）求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据离心率和过点M，用待定系数法可求出椭圆C的方程；
（2）设出直线并与椭圆进行联立，用韦达定理表示出，并进行化简，即可求出斜率定值；
（3）根据弦长公式和点到直线的距离公式表示出三角形面积，将其转化为函数，再利用导数求出最大值.
【小问1详解】
依题意，解得，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设直线方程为，
由得，
，
，
解得
【小问3详解】
由（2）得，
，
的面积，
，
，
令，解得，即在上单调递增，
令，解得或，即在和上单调递减，
所以当时，取到最大值，
的面积
【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，解决直线与椭圆的综合问题，关键在于（1）注意题设中每一个条件，明确确定直线和椭圆的条件；（2）直线和椭圆联立得韦达定理，与弦长公式和点到直线距离公式的结合运用；（3）求最值时，要善于转化为函数关系，利用导数来求解.
19. 对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数）
（3）对于（2）中数列，令，其中.证明：.
【答案】（1）；
（2）成立，理由见解析；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由二阶差分数列的定义可得，将，可得，构造等差数列即可求解；
（2）由一阶差分数列的定义可得，要证成立，即证，根据二项式定理即可证明；
（3）作差可得，故，根据等比数列的求和公式即可证明.
【小问1详解】
因为为的二阶差分数列，所以，
将，代入得，整理得，即，
所以.故数列是首项为，公差为的等差数列，
因此，，即.
【小问2详解】
因为为数列的一阶差分数列，所以，
故成立，即为.①
当时，①式成立；
当时，因为，且，
所以①成立，故对都有成立.
【小问3详解】
，因为，所以，
故，即，
所以.
【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.东北师大附中2023—2024学年下学期第五次模拟考试
高三年级（数学）科试卷
满分：150分 考试时长：120分钟
注意事项：
1.答题前考生需将姓名 班级填写在答题卡指定位置上，并粘贴好条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸 本试卷上书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠 不要弄皱 弄破，不准使用涂改液 修正带 刮纸刀.
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，，其中是虚数单位，是的共轭复数，则复数的对应点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知两个向量满足，，则（ ）
A 1 B. C. D. 2
4. 的内角所对的边分别为，则（ ）
A. 2 B. C. D. 1
5. 已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，，则（ ）
A. 0 B. C. D.
6. 过抛物线焦点的直线交拋物线于两点，已知，线段的垂直平分线经过点，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7. 如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为，则它们的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若集合，则一定有（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数单调递增
B. 函数值域为
C. 函数的图象关于对称
D. 函数的图象关于对称
11. 已知分别为双曲线的左 右焦点，过的直线交双曲线左 右两支于两点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（ ）
A B. C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线与圆相切，则__________.
13. 春暖花开季节，小王 小李 小张 小刘四人计划“五 一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖 净月 莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为__________.
14. 记表示在区间上的最大值，则取得最小值时，__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 解答过程或演算步骤.
15. 如图，在正三棱柱中，为中点，点在棱上，.
（1）证明：平面；
（2）求锐二面角余弦值.
16. 某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1：
表1：
序号 数学 物理
1 144 95
2 130 90
3 124 79
4 120 85
5 110 69
6 107 82
7 103 80
8 102 62
9 100 67
10 98 75
11 98 68
12 95 77
13 94 59
14 92 65
15 90 57
16 88 58
17 85 70
18 85 55
19 80 52
20 75 54
（1）数学120分及以上记优秀，物理80分及以上记为优秀.
（i）完成如下列联表；
数学成绩 物理成绩 合计
优秀 不优秀
优秀
不优秀
合计
（ii）依据的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？
（2）从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2：
表2：
数学成绩 130 110 100 85 75
物理成绩 90 69 67 70 54
如图所示：以横轴表示数学成绩 纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.
（i）求样本相关系数；
（ii）建立物理成绩关于数学成绩的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）
参考公式：（1）样本相关系数.
（2）经验回归方程；.
（3），其中.
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17. 已知，函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若时，恒成立，求的取值范围.
18. 已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线的斜率为定值；
（3）求面积的最大值.
19. 对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数）
（3）对于（2）中的数列，令，其中.证明：.
