南通市2023-2024学年高一下学期5月质量监测数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 如果两条直线与没有公共点，那么与（ ）
A. 共面 B. 平行
C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线
2. 若，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4. 一艘船以32 n mile/h的速度向正北方向航行．从A处看灯塔S位于船北偏东的方向上，30分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船北偏东的方向上，则灯塔S与B之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
5. 若用斜二测画法画出某△ABC水平放置的直观图，得到边长为2的等边三角形，则原的面积为（ ）
A B. C. 4 D.
6. 在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（ ）
A. B. 0 C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在圆锥PO中，轴截面PAB为等腰直角三角形，M为底面圆O上一点，，则异面直线OM与AP所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则，的夹角为钝角
D. 若，则在上的投影向量的坐标为
10. 下列条件中能推导出一定是锐角三角形有（ ）
A. B.
C. D.
11. 在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，则下列正确的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 多面体是棱台
D. 平面截正方体所得截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________．
13 若，则________．
14. 在△ABC中，，P是MC的中点，延长AP交BC于点D．若，则________；若，，则△ABC面积的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，满足，，求：
（1）；
（2）向量与的夹角的余弦值．
16. 已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分别是PD，BC的中点．求证：
（1）平面PBC；
（2）．
17. 已知，，且，，求：
（1）的值；
（2）的值．
18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并完成解答．
记的内角，，的对边分别为，，，面积为，外接圆的半径为，且满足________，点在边上．
（1）求的值；
（2）若，，求当取最小值时的值；
（3）若，，求．
19. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点．具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点．
已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为费马点．
（1）若，，，求的值；
（2）若，，求的最大值．南通市2023-2024学年高一下学期5月质量监测数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如果两条直线与没有公共点，那么与（ ）
A. 共面 B. 平行
C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间中两条直线的位置关系，即可求解.
【详解】根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线与没有公共点，那么与可能平行，也可能是异面直线.
故选：D
2. 若，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】，是两个单位向量，则，但，方向不能确定，即可判断AB；利用数量积的定义与性质可判断CD．
【详解】，是两个单位向量，则，但，方向不能确定，故选项AB错误；
，只有，同向共线时，才有，故选项C错误；
，，，选项D正确.
故选：D.
3. 已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】ABD可举出反例；C选项，利用线面平行的性质及线面垂直的性质得到答案.
【详解】A选项，若，，则或相交或异面，A错误；
B选项，若，，则或，B错误；
C选项，若，不妨设，则，
又，，则，所以，C正确；
D选项，若，，则，或相交，D错误.
故选：C
4. 一艘船以32 n mile/h的速度向正北方向航行．从A处看灯塔S位于船北偏东的方向上，30分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船北偏东的方向上，则灯塔S与B之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定中的已知边与角，利用正弦定理，即可求得结果.
【详解】由题意知，，，
由正弦定理得，，
解得.
故选：B.
5. 若用斜二测画法画出某△ABC水平放置直观图，得到边长为2的等边三角形，则原的面积为（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直观图与原平面图形的面积比为，求解即可.
【详解】直观图是边长为2的等边三角形，
且的面积为，
所以原的面积为.
故选：B.
6. 在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】如图建立平面直角坐标系，，设，
则，
所以，得，
所以，
所以.
故选：C.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用差角的正弦公式化简给定等式得，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算得解.
【详解】依题意，，
则，所以.
故选：A
8. 在圆锥PO中，轴截面PAB为等腰直角三角形，M为底面圆O上一点，，则异面直线OM与AP所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先得出异面直线OM与AP所成角即为（或其补角），在中利用余弦定理求解即可.
【详解】
如图，过点A作，交圆O于点N，连接ON，PN，
则即异面直线OM与AP所成角或其补角，
设 ,可知,
则，
因为轴截面PAB为等腰直角三角形，所以，
在中，由余弦定理得，
所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则，的夹角为钝角
D. 若，则在上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量平行垂直的坐标表示求判断A、B选项；对C，用向量反向共线说明不成立；对D，直接计算投影向量即可.
【详解】向量，，
对于A，由，得，解得，A正确；
对于B，由，得，则，B正确；
对于C，当时，，反向共线，夹角为，
此时，的夹角不为钝角，C错误；
对于D，当时，，因此在上的投影向量为
，
在上的投影向量的坐标为，D正确.
故选：ABD
10. 下列条件中能推导出一定是锐角三角形的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，利用向量的数量积判断得角为锐角，但确定不了另两个角的范围，由此判断即可；对于B，利用余弦函数的性质与三角形角的范围分析判断即可；对于C，利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可判断；对于D，利用正切函数的性质与和差公式，结合三角形角的范围分析判断即可.
【详解】对于A，因为，即，
又，故角为锐角，
但无法确定另两个角的范围，故不一定是锐角三角形，故A错误；
对于B：因为，
若，则或，
又，则除了角为钝角外，还有一角为钝角，矛盾；
同理都不可能，
故，，，即三个角均为锐角，故B正确：
对于C，因为，由正弦定理得，
令，则，
显然最大角为，且，
所以最大角为锐角，所以一定是锐角三角形，故C正确；
对于D，因为，又且不能同时为钝角，
所以，，即均为锐角，
又，所以也为锐角，
所以一定为锐角三角形，故D正确．
故选：BCD．
11. 在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，则下列正确的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 多面体是棱台
D. 平面截正方体所得截面的面积为
【答案】AC
【解析】
【分析】由线面平行即可判断A；由线面垂直即可判断B；由棱台的定义即可判断C；由平面截正方体所得截面的作图即可判断D．
【详解】对于A，取中点，连接，
由正方体得四边形为平行四边形，所以，
因为点为的中点，所以，又，
所以四边形为平行四边形，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B，取中点，连接，则，所以，
所以，所以，
由正方体得，平面，又平面，
所以，
因为，，平面，，
所以平面，又，所以与平面不垂直，故B错误；
对于C，由正方体得，平面平面，即平面平面，由棱台的定义可知，多面体是棱台，故C正确；
对于D，设直线与直线交于点，连接与交于点，与直线交于点，连接交于点，连接，则五边形即为平面截正方体所得截面，
因为，所以，，
因为，所以，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，，
所以，所以，
所以，
因为，，
所以，故D错误；
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意画出圆台的轴截面，根据圆台的母线和高及相关的上下底面半径构成直角梯形，利用直角梯形的性质求得.
【详解】由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形，
其中上底长为2，下底长为8，腰长为5，如图所示：
作CD⊥AB与E,则CE为圆台的高h,
∴高h＝.
故答案：4
13. 若，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】应用商数关系、差角余弦公式、二倍角公式及诱导公式化简即可.
【详解】由题意可知，
.
故答案为：1.
14. 在△ABC中，，P是MC的中点，延长AP交BC于点D．若，则________；若，，则△ABC面积的最大值为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空，直接由向量的线性运算计算即可；
第二空，用向量表示向量，进而求出模，设分别为所对边，由的模表示出的关系，利用基本不等式即可求解△ABC面积的最大值.
【详解】第一空，因为P是MC的中点，
所以，
又因为，
所以，
所以，
即，
所以；
第二空，设，则，
因为点D在BC上，所以，即，
所以，
所以，
因为，即，
设分别为所对边，
所以，
即，
因为，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以，
因此△ABC面积的最大值为为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量的线性运算及应用，关键在于利用平面向量基本定理表示出向量，再根据模长求出三角形两边的关系，利用基本不等式和面积公式即可得到面积最大值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，满足，，求：
（1）；
（2）向量与的夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用已知条件求出，再求模即可；
（2）利用已知条件求出，再用夹角和数量积与模长的关系求解.
【小问1详解】
由已知有.
故，所以.
【小问2详解】
由已知有，及.
故.
16. 已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分别是PD，BC的中点．求证：
（1）平面PBC；
（2）．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）取的中点，连结，证明四边形是平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）连结，证明平面PDN，再根据线面垂直的性质即可得证.
【小问1详解】
如图，取的中点，连结，
因为M是PD的中点，
所以，，
又，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC；
【小问2详解】
连结，
因为，N是BC的中点，
所以，
在中，，，，
所以，
由条件，所以，
又N是BC的中点，所以，
因为DN，平面PDN，，
所以平面PDN，
因为平面PDN，所以．
17. 已知，，且，，求：
（1）的值；
（2）的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解；
（2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解.
【小问1详解】
由，
解得，
所以；
【小问2详解】
，
由，，得，
所以
，
因为，，
所以，所以，
又，，
所以，所以，
所以，
所以．
18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并完成解答．
记的内角，，的对边分别为，，，面积为，外接圆的半径为，且满足________，点在边上．
（1）求的值；
（2）若，，求当取最小值时的值；
（3）若，，求．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）若选①，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；若选②利用诱导公式及平方关系求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得；若选③，由面积公式及余弦定理得到，再结合平方关系计算可得；
（2）由面积公式得到，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值，即可求出的最小值，从而由正弦定理求出；
（3）依题意可得，，在和利用余弦定理得到，，再由余弦定理计算可得.
【小问1详解】
若选①：在中，由正弦定理，
得，，，
因为，
所以，
即（*），
因为，
所以，
所以（*）式可化为．
因为，所以，所以，
若选②：由，
可得，
所以，
又，所以，则，
所以，所以，
所以，
若选③：在中，由余弦定理，
面积，
又，所以，
所以，
又，，则，
所以（正值已舍去）.
【小问2详解】
由，得，
由条件，，
所以面积，
所以，
又由余弦定理，
得，当且仅当时取等号，
所以或（舍去），
所以当且仅当时取最小值，
此时取得最小值且，
由，即，所以.
【小问3详解】
由条件，所以，，
又，
分别在和中，有，
所以，
即，
化简得，又，
所以，，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对公式的灵活应用，边角互化以及利用基本不等求出最值.
19. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点．具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点．
已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为费马点．
（1）若，，，求的值；
（2）若，，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知结合余弦定理可先求出，然后结合三角形的面积公式得到，找到其与向量积的和的关系即可求解；
（2）设出和，通过正弦定理得到和的关系，再通过余弦定理结合基本不等式找到的范围，即为所求的范围.
【小问1详解】
在△ABC中，，，，所以C是最大角．
由．
因为，所以，
所以△ABC的费马点O是三角形内部对三边张角均为的点．
设△ABC的面积为S，
则
又由，得，
所以．
所以，
即，
所以
【小问2详解】
在△ABC中，因为，，
所以△ABC的费马点O是三角形内部对三边张角均为的点．
设，则，，
所以．
设，，，
在△AOB与△AOC中，由正弦定理可得，
，
所以．
在△BOC中，由余弦定理可得，
，
所以，即．
当且仅当时，mn取得最大值，
所以取得最大值.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据向量积与三角形面积公式的关系求出向量积的和，再根据余弦定理，运用基本不等式求最值，要注意检验取等条件.
