2024年江苏省中考数学总复习 题型二 二次函数综合题 讲评课件(共98张PPT)

(共98张PPT)
2024江苏省中考数学总复习 题型二 二次函数综合题讲评课件
类型1 面积问题
1.（2022泰州）如图，二次函数 的图
象与 轴相交于点 ，与反比例函数 的
图象相交于点 ．
（1）求这两个函数的表达式.
[答案] 反比例函数 的图象经过点
．
，
.
二次函数 的图象经过点 ，
， ，
.
（2）当 随 的增大而增大且 时，直接写出
的取值范围.
[答案] 由（1）知 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
由图象知，当 随 的增大而增大且 时，
.
（3）平行于 轴的直线 与函数 的图象相交于点 , （点 在点 的
左边），与函数 的图象相交于点 ．若 与 的面积相等，
求点 的坐标．
[答案] 如图所示.
对于 ，令 ，则 ，
.
又 ， 轴，
的 边上的高与 的 边上的高相等.
与 的面积相等，
，
点 是二次函数 的图象的对称轴与反比例函数
的图象的交点，
对于 ，令 ，则 ， ．
2.（2022连云港）已知二次函数
，其中 ．
（1）当该函数的图象经过原点 时，求此时
函数图象的顶点 的坐标；
[答案] 将 代入 ,
解得 .
由 ,可知 符合题意,
, .
（2）求证：二次函数
图象的顶点在第三象限；
证明：由抛物线顶点坐标公式得该二次函数图象的
顶点坐标为 .
, , .
,
二次函数 图象的顶
点在第三象限.
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数
的图象，使其顶点在直线 上运动，平
移后所得函数的图象与 轴的负半轴的交点为 ，
求 面积的最大值．
[答案] 设平移后图象的函数表达式为
,则其顶点坐标为 ，
.
将 代入 ,得 .
在 轴的负半轴上,
, .
过点 作 ,垂足为 , , .
,
当 时, 的面积最大,最大值为 .
类型2 角度问题
3.（2022常州）已知二次函数 的自变量 的部分取值和
对应函数值 如下表：
… 0 1 2 3 …
… 4 3 0 …
（1）求二次函数 的表达式.
[答案] 将 ， 分别代入 ，
得 解得
.
（2）将二次函数 的图象向右平移 个单位，得
到二次函数 的图象，使得当 时， 随 增
大而增大；当 时， 随 增大而减小．请写出一个符合条件的
二次函数 的表达式 ____________________________，
实数 的取值范围是_ _________.
（答案不唯一）
【解题思路】 解法提示：根据题意，画出大致图象如图所示.
，
将二次函数 的图象向右平移 个单位，得到
新函数图象的表达式为 ，
新函数图象的对称轴为直线 .
抛物线开口向下，且当 时， 随 增大而增大；当
时， 随 增大而减小，且抛物线开口向下，
，
解得 ，
符合条件的一个二次函数的表达式是 .
（3） ， ， 是二次函数 的图象上互不重合的三点．已知点 ， 的横坐标分别是 ， ，点 与点 关于该函数图象的对称轴对称，求 的度数．
[答案] 点 ， 的横坐标分别是 ， ，
， ，
， .
点 与点 关于抛物线的对称轴对称，其对称轴为直线 ，
, 轴，
，
.
过点 作 于点 ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，即 ．
4.（2022苏州）如图，二次函数 是常数，且
的图象与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于
点 ，顶点为 .其对称轴与线段 交于点 ，与 轴交于点 .连接
， .
（1）求 ， ， 三点的坐标（用数字或含 的式子表示），并求
的度数；
[答案] 当 时，
,
解得 ， .
点 在点 的左侧，且 ，
， .
对于 ，当 时， ,
,
.
，
.
（2）若 ，求 的值；
[答案] 方法一：连接 .
，
， ,
， ，
.
点 ，点 关于直线 对称，
,
,
.
， ，
，即 .
，
.
，
,
.
，
.
方法二：过点 作 交 于点 .
，
， ,
， ，
.
轴， ,
, ,
.
，
,
,
.
， ，
,
,
,
,
即 .
，
.
（3）若在第四象限内二次函数 是常数，且
的图象上，始终存在一点 ，使得 ，请结合函数的
图象，直接写出 的取值范围.
[答案] .
【解题思路】解法提示：设 与
轴交于点 ，当点 在第四象限时，
点 总在点 的左侧，此时
，即 .
，
,
,
,
.
类型3 线段问题
5.（2023济宁）如图，直线
交 轴于点 ，交 轴于点 ，对称轴为
直线 的抛物线经过 ， 两点，交
轴负半轴于点 为抛物线上一动点，
点 的横坐标为 ，过点 作 轴的平行
（1）求抛物线的解析式.
线交抛物线于另一点 ，作 轴的垂线 ，垂足为 ，直线 交 轴
于点 .
[答案] 对于 ，当 时， ，当 时， ，
， .
由抛物线的对称轴为直线 ，可设抛物线的解析式为
，
把 ， 分别代入,得
解得
抛物线的解析式为 .
（2）若 ，当 为何值时，四边形 是平行四边形？
[答案] 由题意可知 ，
， ，
当四边形 是平行四边形时，
，
，
（提示：点 在 轴负半轴上）.
设直线 的解析式为 ，
把 代入可得 ，
，
直线 的解析式为 .
易知点 与点 关于直线 对称，
，
，
解得 （不合题意，舍去）， .
故当 时，四边形 是平行四边形.
（3）若 ，设直线 交直线 于点 ，是否存在这样的 值，
使 ？若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由.
[答案] 存在.
分两种情况讨论.
①当点 为线段 的中点时，点 的横坐标为
，纵坐标为 .
点 在直线 上，
,
解得 （不合题意，舍去）， .
②当点 在 的延长线上时，如图，过点 作 于点 ，
则 ，
, ，
.
将点 的坐标代入 ，得 ，
解得 , （不合题意，舍去）.
综上可知， 的值为 或 .
6.（2023菏泽）已知抛物线
与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ，其对
称轴为直线 ．
（1）求抛物线的表达式；
[答案] 抛物线与 轴交于点
，
.
抛物线的对称轴为直线 ，
， ，
抛物线的表达式为
.
（2）如图（1），点 是线段 上的一动点，连接 ， ，将
沿直线 翻折，得到 ，当点 恰好落在抛物线的对称轴
上时，求点 的坐标；
[答案] 令 ，
解得 , ，
， ，
.
如图，设直线 交 轴于点 .
由翻折可得 .
抛物线的对称轴为直线 ，
.
，
（关键点），
，
.
在 中， ，
.
（3）如图（2），动点 在直线
上方的抛物线上，过点 作直线
的垂线，分别交直线 ，线段
于点 ， ，过点 作 轴，
垂足为 ，求 的最大
值．
[答案] 设 所在直线的解析式为
，
把点 ， 的坐标分别代入，得
解得
.
， ，
.
,
，
直线 与 轴的夹角为 （点拨：得到特殊角，结合坐标将 的
长转化为“横平竖直”的线段长）.
设 ， 所在直线的解析式为 ，
把点 的坐标代入，得 ，
，
令 ，则 ，
解得 ，即 ,
， ，
.
点 在直线 上方，
，
当 时， 最大，最大值为 ．
类型4 特殊三角形问题
7.（2023重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，其中 ， ．
（1）求该抛物线的表达式.
[答案] 将 ， 分别代入
，
得 解得
该抛物线的表达式为
.
（2）点 是直线 下方抛物线上
一动点，过点 作 于点 ，
求 的最大值及此时点 的坐标.
[答案] 抛物线 与 轴交于点 ，
，
令 ，即 ，
解得 , ，
.
又 ,
直线 的表达式为 .
如图，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，
设 ， ，则 ，
.
， ，
.
, ，
，
，
.
，
当 时， 取得最大值 ，
此时， ，
.
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位长度，点 为点
的对应点，平移后的抛物线与 轴交于点 ， 为平移后的抛物线的对称
轴上任意一点．写出所有使得 是以 为腰的等腰三角形的点 的
坐标，并把求其中一个点 的坐标的过程写出来．
[答案] 点 的坐标为 ， 或 ．
（第一步：求出平移后的抛物线的表达式，及点 ， 的坐标.）
抛物线 ,
将该抛物线向右平移5个单位长度后，得到抛物线
，其对称轴为直线 .
点 向右平移5个单位长度得到点 ,
.
令 ，则 ，
.
（第二步：设出点 的坐标，并分别表示出 ， , ）
为平移后的抛物线的对称轴上任意一点,
点 的横坐标为 ，
可设 ，
，
，
.
（第三步：分 和 两种情况进行讨论求解.）
由题意可知需分以下两种情况：
①当 时， ，
解得 或 ，
或 .
②当 时， ，
解得 ，
， .
（写出其中一个点 的坐标求解过程即可）
类型5 特殊四边形问题
8.（2023南充）如图（1）,抛物线
与 轴交于 ,
两点,与 轴交于点 .
（1）求抛物线的解析式.
[答案] 根据题意,得
解得
抛物线的解析式为 .
（2）点 在抛物线上,点 在 轴上,以 , , , 为顶点的四边形为平行
四边形,求点 的坐标.
图（1）
[答案] 如图（1）,①当点 在 轴上方时,点 的
位置有2种情况（如点 , ）, ,
令 ,
解得 , , .
②当点 在 轴下方时,过点 作 轴于点 .
设 .
,
,
解得 , ,
, .
综上所述,点 的坐标为 , 或 .
（3）如图（2）,抛物线的顶点为 ,对称轴与 轴
交于点 ,过点 的直线（直线 除外）与
抛物线交于 , 两点,直线 , 分别交 轴于
点 , .试探究 是否为定值,若是,求出该
定值;若不是,说明理由.
图（2）
[答案] 为定值.
,
.
设过点 的直线为 ,则
,
.
联立直线 的解析式与抛物线的解析式，
得
， . #b#
设方程 的两个实数根分别为 , ,
则 , .
易知 , .
如图（2）,过点 作 于点 ,过点 作 于点 ,
则 , ,
, ,
.
,
, .
又 , ,
,
（关键点）.
轴,
, ,
, ,
,
,
即 为定值, .
名师教审题
题干①：……以 , , , 为顶点的四边形为平行四边形……
提取信息： 可能是平行四边形的边，也可能是平行四边形的对角线.
题干②：……直线 , 分别交 轴于点 , 是否为定
值……
提取信息：根据题意画出图形，猜想 ，则 ，
故可尝试证明 .
类型6 相似三角形问题
9.（2022宿迁）如图，二次函数
与 轴交于
， 两点，顶点为 ，连
接 , ，若点 是线段 上一动
点，连接 ，将 沿 折叠后，点 落在点 的位置，线段
与 轴交于点 ，且点 与 , 点不重合．
（1）求二次函数的表达式.
[答案] 二次函数
与 轴交于 ， 两点，
解得
二次函数的表达式为 .
（2）①求证： ；
[答案] 由翻折的性质得， .
由题意得， ，
，
.
又 ，
.
②求 的最小值.
[答案] ，
.
，
,
的最小值就是 的最小值.
的长固定不变，
当 的长最小时， 的值最小，即 的值最小.
易知当 时， 的值最小.
，
，
， ，
的最小值为 .
（3）当 时，求直线 与二次函数图象的交点横坐标．
[答案] 如图，过点 作 交 轴于点 ，过点
作 交 轴于点 ，设直线 交 轴于点 .
， ，
.
， , .
设 ，则 ， ，
.
，
，解得 ，
， .
由题意知 ， .
， .
在 中， ， ， .
由题意知 ， ，即 ，
, .
设过 ， 的直线的表达式为 ，则 <
m> 解得
过 ， 的直线的表达式为 .
令 ，
解得 或 .
直线 与二次函数图象的交点横坐标为 或 .
类型7 与圆有关的问题
10.（2023烟台）如图，抛物线
与 轴交于 , 两点，与
轴交于点 , ，抛物线的对称轴直线
与经过点 的直线 交于点 ，
与 轴交于点 ．
（1）求直线 及抛物线的表达式.
[答案] 抛物线的对称轴为直线 ， ，
, .
将 的坐标代入 ，得 ，解得 ，
直线 的表达式为 .
将 , 的坐标分别代入 ，
得 解得
抛物线的表达式为 .
（2）在抛物线上是否存在点 ，使得
是以 为直角边的直角三角形 若存在，求出
所有点 的坐标；若不存在，请说明理由.
[答案] 存在.
直线 的表达式为 ，抛物线对称轴为直线 ，
.
分两种情况讨论.
①当 时，
设直线 的表达式为 （点拨：若直线 与
互相垂直，则 ），
将点 的坐标代入，得 ，解得 ，
直线 的表达式为 .
令 ,
解得 , ,
点 的坐标为 .
②当 时，设直线 的表达式为 ，
将 的坐标代入，得 ，解得 ，
直线 的表达式为 .
令 ,
解得 , ,
点 的坐标为 或 .
综上可知，点 的坐标为 ， 或 .
（3）以点 为圆心，画半径为2的圆，点 为 上一个动点，请求出
的最小值．
[答案] 如图，在 上取点 ，使 ，连接 ，
， （点拨：构造相似，转化 ）.
， .
， .
又 ，
，
， ，
，
当 ， ， 三点共线时， 的值最小，最小值为线段 的长.
, ，
，
的最小值为 ．
类型8 其他问题
11.（2022南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于
的点叫做这个函数图象的“ 阶方点”．例如，点 是函数 图象的
“ 阶方点”；点 是函数 图象的“2阶方点”．
（1）在 ； ； 三点中，是反比例函数
图象的“1阶方点”的有______（填序号）.
②③
（2）若 关于 的一次函数 图象的“2阶方点”有且只有一
个，求 的值.
[答案] 当一次函数 图象的“2阶方点”为点 时，
把 代入 ，得 ，解得 ，
此时一次函数 图象的“2阶方点”有无数个，不合题意，
当一次函数 图象的“2阶方点”为点 时，
把 代入 ,得 ，解得 ，符合
题意.
当一次函数 图象的“2阶方点”为点 时，
把 代入 ，得 ，解得 ，
此时一次函数 图象的“2阶方点”有无数个，不合题意，
当一次函数 图象的“2阶方点”为点 时，
把 代入 ，得 ，解得 ，符合
题意.
综上可知， 的值为3或 .
（3）若 关于 的二次函数 图象的“ 阶方点”一
定存在，请直接写出 的取值范围.
[答案] .
【解题思路】解法提示： 二次函数 图象的顶点
坐标为 ，
二次函数 图象的顶点坐标在直线 上.
关于 的二次函数 图象的“ 阶方点”一定存在，
二次函数 的图象与顶点坐标为 ，
， ， 的正方形有交点，
当 关于 的二次函数 图象过点 时，
将 代入 ，
得 ，解得 .
当 关于 的二次函数 过点 时，
将 代入 ，
得 ，解得 ， （舍去），
若 关于 的二次函数 图象的“ 阶方点”一定
存在，则 的取值范围为 ．
12.（2022无锡）如图，已知二次函数
图象的对称轴与 轴交于点
，与 轴交于点 ， , 为该二次函数
图象上的两个动点（点 在点 的左侧），且
．
（1）求该二次函数的表达式.
[答案] 二次函数 的图象与 轴交于点 ，
， .
由题可知，二次函数图象的对称轴为直线 ，
，
，
故二次函数的表达式为 ．
（2）若点 与点 重合，求 的值.
图（1）
[答案] 如图（1），过点 作 轴的垂线，
垂足为 .
，
.
又 ，
.
又 ，
，
，即 .
， ， ， .
设 ，则 ， ，
，
，
解得 （舍去）， .
当 时， ，
， ，
.
又 ， .
（3）点 是否存在其他的位置，使得
的值与（2）中所求的值相等？
若存在，请求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
[答案] 存在.
如图（2），作（2）中 关于抛物线对称轴（直线 ）对称的
，则点 , 均在抛物线上，且 .
图（2）
易知点 的坐标为 ，点 的坐标为 .
故当点 ， 分别与点 , 重合，即点 的坐标为 时， .
分析可知，当点 ， 关于抛物线的对称轴（直线 ）对称时， .
当点 在 轴上方时，如图（3），过点 作 轴，垂足为 .
图（3）
，点 , 关于直线 对称，
，
为等腰直角三角形，
.
设点 的坐标为 ，
则 ， ，
，
解得 ， （舍去），
故此时点 的坐标为 .