专题5.1 轴对称及其性质（知识梳理与考点分类讲解）（含解析）

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专题5.1 轴对称及其性质（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】轴对称图形
定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
轴对称图形的三个要素：（1）一个整体图形；（2）一条直线为对称轴；（3直线两旁边部分完全重合。
【知识点二】两个图形成轴对称
定义：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴.
成轴对称的三个条件：（1）有两个图形；（2）存在一条直线；（3一个图形沿着这条直线对折后与另一个图形重合.
成轴对称的两个特征：（1）成轴对称两个图形全等，但全等的两个图形不一定成轴对称；（2）成轴对称是图形的一种全等变换.
轴对称图形与轴对称的区别与联系：
轴对称图形 轴对称
区别 是一个图形自身的对称特性 是两个图形之间的对称关系
对称轴可能不止一条 对称轴只有一条
共同点 沿某条直线对折后都能够互相重合
如果轴对称的两个图形看作一个整体,那么它就是一个轴对称图形； 如果把轴对称图形分成两部分（两个图形）,那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
【知识点三】轴对称的有关概念与性质
对应点、对应线段与对应角的概念：沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫对应线段；重合的角叫对应角.
轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
成轴对称的三个条件
找对应线段和对应角先找准对应点，对应点也就是对称点；（2）轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，而且这两部分关于对称轴成轴对称，成轴对称的两个图形也全等，但全等的两个图形不一定成轴对称.
【知识点四】画对称轴
画对称轴的依据
画对称轴的依据是两个图形成轴对称和轴对称图形的性质，即对应点所连的线段被对称轴垂直平分.
画对称轴的步骤：
找：找到任意一对对应点；
连：连接这对对应点；
画：过对应点所连线段的中点作垂线.
这条垂线就是对称轴.
【知识点五】画已知图形的轴对称图形
方法：几何图形都可以看作由点组成，对于一些图形，只要画出图形中的一些特点烊于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。
步骤：画轴对称图形的方法可以简单归纳为“一找二画三连”
（1）找：在原图形上找特殊点；
（2）画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点；
（3）连：依次连接各对称点.
【考点目录】
【考点1】轴对称图形的识别； 【考点2】由轴对称特征判断线段、角的关系；
【考点3】由轴对称性质求值与证明； 【考点4】由轴对称性质求最值；
【考点5】由轴对称性质解决折叠问题； 【考点6】轴对称性质的实际应用；
【考点1】轴对称图形的识别；
【例1】（2022八年级上·江苏·专题练习）如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．
（1）；（2）；（3） ；（4） ；（5）．
【变式1】（21-22八年级上·新疆阿克苏·期末）以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（15-16八年级上·江苏盐城·阶段练习）在“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，是轴对称图形的有 个．
【考点2】由轴对称特征判断线段、角的关系；
【例2】（23-24八年级上·北京大兴·期末）已知：如图，是等边三角形，点D在边上，点C关于直线的对称点为，连接，点P是线段上的一点，连接，，延长到点E，使，连接．求证：．
【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和关于直线l对称，点P为直线l上一点，则下列说法中错误的是（ ）

A． B．l垂直平分 C． D．
【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，与关于直线对称，对应点所连线段与直线交于点，则 是 的垂直平分线．若，则 ， ．
【考点3】由轴对称性质求值与证明；
【例3】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
(1)图中点的对应点是点______，的对应边是______；
(2)若，，求的度数．
【变式1】（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，中，点在边上，点关于，对称的对称点分别为，，连接，．如图所示，的度数是（　　）度

A．113 B．124 C．129 D．134
【变式2】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为 ．

【考点4】由轴对称性质求最值；
【例4】（23-24八年级上·新疆昌吉·期末）已知点在内．如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、，．
（1）若，求的度数
（2）如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数．
【变式1】（21-22八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140 ° B．100° C．80° D．50°
【变式2】（18-19七年级下·福建泉州·期末）如图，在锐角中，，，平分，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【考点5】由轴对称性质解决折叠问题；
【例5】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在长方形纸片中，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交AB于点G，F，且．
（1）求证：； （2）若，求的长．
【变式1】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为（ ）．

A．或 B． C． D．或
【变式2】．（23-24七年级下·山东青岛·期中）有一条长方形纸带，按如图方式折叠，图中的，则的度数为 ．
【考点6】轴对称性质的实际应用；
【例6】（19-20八年级上·北京·期中）如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．

（1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q；
（2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q．
【变式1】（20-21七年级下·江苏盐城·期末）如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（ ）
A．55° B．56° C．57° D．58°
【变式2】（2022·浙江台州·一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ．
专题5.1 轴对称及其性质（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】轴对称图形
定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
轴对称图形的三个要素：（1）一个整体图形；（2）一条直线为对称轴；（3直线两旁边部分完全重合。
【知识点二】两个图形成轴对称
定义：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴.
成轴对称的三个条件：（1）有两个图形；（2）存在一条直线；（3一个图形沿着这条直线对折后与另一个图形重合.
成轴对称的两个特征：（1）成轴对称两个图形全等，但全等的两个图形不一定成轴对称；（2）成轴对称是图形的一种全等变换.
轴对称图形与轴对称的区别与联系：
轴对称图形 轴对称
区别 是一个图形自身的对称特性 是两个图形之间的对称关系
对称轴可能不止一条 对称轴只有一条
共同点 沿某条直线对折后都能够互相重合
如果轴对称的两个图形看作一个整体,那么它就是一个轴对称图形； 如果把轴对称图形分成两部分（两个图形）,那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
【知识点三】轴对称的有关概念与性质
对应点、对应线段与对应角的概念：沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫对应线段；重合的角叫对应角.
轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
成轴对称的三个条件
找对应线段和对应角先找准对应点，对应点也就是对称点；（2）轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，而且这两部分关于对称轴成轴对称，成轴对称的两个图形也全等，但全等的两个图形不一定成轴对称.
【知识点四】画对称轴
画对称轴的依据
画对称轴的依据是两个图形成轴对称和轴对称图形的性质，即对应点所连的线段被对称轴垂直平分.
画对称轴的步骤：
找：找到任意一对对应点；
连：连接这对对应点；
画：过对应点所连线段的中点作垂线.
这条垂线就是对称轴.
【知识点五】画已知图形的轴对称图形
方法：几何图形都可以看作由点组成，对于一些图形，只要画出图形中的一些特点烊于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。
步骤：画轴对称图形的方法可以简单归纳为“一找二画三连”
（1）找：在原图形上找特殊点；
（2）画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点；
（3）连：依次连接各对称点.
【考点目录】
【考点1】轴对称图形的识别； 【考点2】由轴对称特征判断线段、角的关系；
【考点3】由轴对称性质求值与证明； 【考点4】由轴对称性质求最值；
【考点5】由轴对称性质解决折叠问题； 【考点6】轴对称性质的实际应用；
【考点1】轴对称图形的识别；
【例1】（2022八年级上·江苏·专题练习）如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．
（1）；（2）；（3） ；（4） ；（5）．
【答案】第（1）（2）（3）（5）是轴对称图形，对称轴见解析
【分析】根据轴对称图形的定义找出轴对称图形，然后画出对称轴即可．
解：第（1）（2）（3）（5）是轴对称图形，
对称轴如下：
．
【点拨】本题考查了利用轴对称变换作图，主要利用了轴对称图形的性质，熟记对称轴两边的部分能够完全重合是解题的关键．
【变式1】（21-22八年级上·新疆阿克苏·期末）以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：A.B. C找不到一条直线，沿该直线折叠后使两边重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
D.能 找到一条直线，沿该直线折叠后使两边重合，所以是轴对称图形，故符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
【变式2】（15-16八年级上·江苏盐城·阶段练习）在“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，是轴对称图形的有 个．
【答案】3
【分析】根据轴对称图形的概念分析判断即可得出结果．
解：线段、角、圆都是轴对称图形，三角形不一定是轴对称图形，
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查的是轴对称图形的概念，正确的掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
【考点2】由轴对称特征判断线段、角的关系；
【例2】（23-24八年级上·北京大兴·期末）已知：如图，是等边三角形，点D在边上，点C关于直线的对称点为，连接，点P是线段上的一点，连接，，延长到点E，使，连接．求证：．
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解答本题的关键，先由等边三角形和轴对称的性质知，从而可推得，再利用“边角边定理”可证明，最后利用全等三角形的性质即可证得结论．
解：是等边三角形，
，
点C关于直线的对称点为，
，
，
，
，
又，，
，
．
【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和关于直线l对称，点P为直线l上一点，则下列说法中错误的是（ ）

A． B．l垂直平分 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的性质．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
根据轴对称的性质对各选项进行判断作答即可．
解：由轴对称的性质可知，，l垂直平分，，，
∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求；
故选：D．
【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，与关于直线对称，对应点所连线段与直线交于点，则 是 的垂直平分线．若，则 ， ．
【答案】 直线 线段 3 90
【分析】根据轴对称的性质即可解答．
解：∵与关于直线对称，
∴直线是线段的垂直平分线，，
∵，
∴，
故答案为：直线，线段，3，90．
【点拨】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握对称轴垂直平等对应点连线．
【考点3】由轴对称性质求值与证明；
【例3】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
(1)图中点的对应点是点______，的对应边是______；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)，; (2)
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握性质，准确计算．
（1）本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可．
（2）本题根据轴对称性质推出，从而得出，最后根据即可解题．
解：（1）解：由题意可得：图中点的对应点是点，的对应边是，
故答案为：，．
（2）解：，
，
，
．
【变式1】（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，中，点在边上，点关于，对称的对称点分别为，，连接，．如图所示，的度数是（　　）度

A．113 B．124 C．129 D．134
【答案】D
【分析】本题考查的是轴对称的性质及三角形内角和定理，熟知关于轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分是解题的关键．由点和点分别是点关于和的对称点，得，，再根据，求出的度数，进而可求出答案．
解：如图，连接，，，

点和点分别是点关于和的对称点，
，，
，，
，
，
故选：D
【变式2】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为 ．

【答案】
【分析】本题考查轴对称的性质，学会用转化的思想思考问题．利用轴对称的性质证明的周长，可得结论
解： P点关于的对称点，
周长，
故答案为：12．
【考点4】由轴对称性质求最值；
【例4】（23-24八年级上·新疆昌吉·期末）已知点在内．如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、，．
（1）若，求的度数
（2）如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数．
【答案】(1); (2)
【分析】本题考查了轴对称的性质：
（1）利用轴对称的性质得，，进而可求解；
（2）作点关于对称点，作点关于对称点，连接，，，，根据轴对称的性质得，，，，，，则的周长为，当共线时，的周长有最小值，进而可得，进而可得，进而可求解；熟练掌握轴对称的性质及准确找到的周长的最小值时的位置是解题的关键．
（1）解：点关于射线的对称点是，
，
点关于射线的对称点是，
，
，
．
（2）作点关于对称点，作点关于对称点，连接，，，，如图：
根据轴对称的性质得：，，，，，，
的周长为，
当共线时，的周长有最小值，
，的周长最小值为6，
，
为等边三角形，
，
．
【变式1】（21-22八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140 ° B．100° C．80° D．50°
【答案】B
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP1M＋∠OP2N＝100°．
解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，
则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则
△PMN的周长的最小值＝P1P2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP1M＋∠OP2N＝100°，
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称 最短路线问题，正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【变式2】（18-19七年级下·福建泉州·期末）如图，在锐角中，，，平分，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】//
【分析】本题考查了轴对称——最短路径问题．
根据题意画出符合题意的图形，作N关于的对称点R，作边上的高，求出，根据垂线段最短得出，求出即可得出的最小值．
解：作N关于的对称点R，作边上的高，
∵平分，是锐角三角形，
∴R必在上，
∵N关于的对称点是R，
∴，
∴，
∴（垂线段最短），
∵，，
∴，
∴，
即的最小值是．
故答案为：．
【考点5】由轴对称性质解决折叠问题；
【例5】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在长方形纸片中，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交AB于点G，F，且．
（1）求证：； （2）若，求的长．
【答案】(1)见解析; (2)2
【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定与性质，理解折叠的性质及全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由四边形是矩形，可得，而将沿折叠，点C落在点E处，故，根据可得；
（2）由，可得，即得，即，由折叠可知，从而．
解：（1）∵长方形纸片，
∴
由折叠的性质得，，
∴
在和中
∴；
（2）由得
∵，
∴，
由折叠的性质得，，
∴．
【变式1】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为（ ）．

A．或 B． C． D．或
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质．分类讨论是解题的关键．
由题意知，分当时，当时两种情况，根据平行线的性质，折叠的性质计算求解即可．
解：当时，如图1，

∴，
∴，
由折叠的性质可得，；
当时，如图2，

∴，
由折叠的性质可得，；
∵在上，
∴不存在与平行的情况；
综上所述，或，
故选：A．
【变式2】．（23-24七年级下·山东青岛·期中）有一条长方形纸带，按如图方式折叠，图中的，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，由折叠的性质求出的度数，由长方形纸带的对边平行求出的度数即可．掌握平行线的性质，折叠的性质是解题的关键．
解：如图，，
由折叠的性质可得，
∵长方形纸带的对边平行，
∴，
∴。
故答案为：．
【考点6】轴对称性质的实际应用；
【例6】（19-20八年级上·北京·期中）如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．

（1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q；
（2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q．
【分析】（1）作点P关于是对称点，连接′交于M，点M即为所求．
（2）作点P关于是对称点，点Q关于的对称点，连接交于E，交于F，点E，点F即为所求．
（1）解：如图，运动路径：，点M即为所求．

（2）解：如图，运动路径：，点E，点F即为所求．

【点拨】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题．
【变式1】（20-21七年级下·江苏盐城·期末）如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（ ）
A．55° B．56° C．57° D．58°
【答案】B
【分析】作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，根据两点之间，线段最短即可．
解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，连接MG，NH，
则AM=MG，AN=NH，
∴△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，
由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小，
∵∠BAE=152°，
∴∠G+∠H=28°，
∵AM=MG，AN=NH，
∴∠G=∠GAM，∠H=∠HAN，
∠AMN+∠ANM=2∠G+2∠H=2×28°=56°，
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，两点之间，线段最短等知识，正确找出△AMN周长最小时，点M，N的位置是解题的关键．
【变式2】（2022·浙江台州·一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ．
【答案】
【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得．
解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，
∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为，
∵是两面互相平行的平面镜，
∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为，
又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，
∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键．