专题5.2 轴对称及其性质（分层练习）（含解析）

专题5.2 轴对称及其性质（分层练习）
单选题
1．（23-24八年级上·天津宁河·期中）在美术字中，有的是轴对称图形．下面4个汉字可以看成是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，两条平行直线，，从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级下·山东日照·期中）图1是长方形纸带（，），，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的度数为（用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23九年级下·重庆北碚·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（18-19七年级下·山西太原·期末）如图，点A在直线l上，△ABC与关于直线l对称，连接，分别交AC，于点D，，连接，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，四边形中，，，在，上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·河北·中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5
C．6 D．7
10．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图3中，则图1中的的度数是（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．（21-22八年级上·江苏盐城·阶段练习）角的对称轴是 ，线段的对称轴是 ．
12．（18-19七年级上·山东泰安·期末）如图所示，两个三角形关于直线m对称，则 ．
13．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，内有一点，且，作点关于直线，的对称点，，再作射线，，则 ．
14．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，将长方形纸片沿折起，使点B落在边上点处，当时，则 ．
15．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，是射线上一动点，则周长的最小值为 ．

16．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，是的高，平分交于点．若，则的度数为 ．
17．（21-22八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）．若格点△ACP与△ABC全等（不与△ABC重合），则所有满足条件的点P有 个．
18．（20-21八年级上·四川自贡·期中）球桌为如图所示的长方形ABCD，小球从A沿 45°角击出，恰好经过5次碰撞到B处，则AB:BC= ．
19．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，中， ， 点是边上一点，在边上各找一点，当周长最短时，的度数是 ．
20．（23-24七年级下·湖北荆门·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，折线交于E，交于F，点C、D的落点分别是、，交于G，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，交于H，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填写序号）．

解答题
21．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，是由经过轴对称变换得到的，直线是对称轴．
(1)与全等吗？
(2)分别找出点关于直线的对称点，如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内吗？
(3)连接，线段与直线有什么关系？
22．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知．
(1)求的周长；
(2)连接、，若，求．（用含的代数式表示）
23．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）同学们，我们已学习了角平分线的有关知识，那么你会用它们解决有关问题吗？
（1）如图1，已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，则射线一定平分．
理由如下：因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，
所以__________，
所以射线__________是__________的角平分线．
拓展应用
（2）如图2，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点落在上的处并且使过点，折痕为．直接利用（1）的结论，解答下面问题；
①若，则的度数为__________，
②若，求的度数，从计算中你发现了的度数有什么规律？（写出计算说理过程）
24．（20-21八年级下·全国·课前预习）在一张半透明的纸的左边画上一个三角形，把这张纸对折后描图，打开这张纸，就能得到相应的另外一个三角形．如图所示：
（1）这两个三角形有什么关系？
（2）这条折痕和这两个三角形有什么关系？
（3）图中的点A和点D之间的连线和折痕有什么关系？
25．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．
(1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接．
①若，则是什么特殊三角形？为什么？
②若，试判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值．
26．（23-24七年级上·河南许昌·期末）趣味探究：“折纸中的数学”
AI
(1)如图1，折叠长方形纸片，使点A落在边上的点C处，折痕为，展开纸片可得到一个正方形，则的度数为__________．
(2)如图2，将（1）中的正方形纸片的和分别沿和折叠，使点A落在上的点处，使点C落在上的点处，与重合．猜想的度数，并说明理由．
下面是小明同学的解答过程，请你补充完整．猜想．
理由如下：因为将沿折叠，所以，
因为将沿折叠，所以__________，
因为__________，
所以．
(3)如图3，将（1）中的正方形纸片的沿折叠．使点A落在点处，将纸片展开后，再如图4将沿折叠，使点C落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形，对各选项判断即可．
【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题；
故选：C．
2．D
【分析】此题考查了轴对称的性质：轴对称两个图形的对应边相等，对应角相等，熟记性质是解题的关键．
【详解】解：∵与关于直线对称，交MN于点O，
∴，，，但不一定正确，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，
∴，
∵，
∴，
∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为．
故选：A．
4．A
【分析】本题考查平行线的性质，折叠问题，根据折痕是角平分线，以及平行线的性质，进行求解即可．
【详解】解：图1：∵，，
∴，
图2：∵折叠，
∴的度数不变，仍为，
∵，
∴，
∴，
图3：∵折叠，
∴的度数不发生变化，
∴；
故选：A．
5．B
【分析】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理.三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则 最小，可得 ，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论.
【详解】如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，
则最小，
，，
，
，
，
故选:C
6．B
【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可．本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】∵是轴对称图形，
∴不符合题意；
∵不是轴对称图形，
∴符合题意；
∵ 是轴对称图形，
∴不符合题意；
∵是轴对称图形，，
∴不符合题意；
故选B．
7．D
【分析】利用轴对称的性质和全等三角形的性质逐项判断即可．
【详解】解：与关于直线对称，
，，，，，
，，即选项A、B正确；
由轴对称的性质得：，
，即，选项C正确；
由轴对称的性质得：，但不一定等于，即选项D不一定正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
8．B
【分析】
此题主要考查了平面内最短路线问题求法，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用，根据轴对称的性质，得出，的位置是解题的关键．根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为周长的最小值．作延长线，如图所示，结合图形及已知条件，不难得出；再结合三角形外角的性质不难得到，由此分析即可得出答案．
【详解】
解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为周长的最小值．作延长线，如图所示．
，
，
．
，，且，，
．
故选：B
9．B
【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．
【详解】解：连接，如图，
∵是P关于直线l的对称点，
∴直线l是的垂直平分线，
∴
∵是P关于直线m的对称点，
∴直线m是的垂直平分线，
∴
当不在同一条直线上时，
即
当在同一条直线上时，
故选：B
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键
10．D
【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．先根据平行线的性质，设，图2中根据图形得出，图3中根据，即可求得的值．
【详解】解：根据题意得：图1中，，
∴，
设，
图2中，
，
∴，
图3中，
，
解得．
即，
故选：D．
11． 角平分线所在的直线 垂直平分线
【分析】分别利用各图形，结合对称轴的定义得出答案．
【详解】解：角的对称轴是角平分线所在的直线，线段的对称轴是垂直平分线，
故答案为：角平分线所在的直线，垂直平分线．
【点睛】本题考查了轴对称图形，得出其对称轴位置是解题的关键．
12．
【分析】如图，根据轴对称的性质可得∠1=115°，根据三角形内角和定理求出的值即可．
【详解】如图，
∵两个三角形关于直线m对称，
∴∠1=115°，
∴=180°-35°-115°=30°，
故答案为：30°
【点睛】本题考查轴对称的性质，关于某直线对称的两个图形全等，对应边相等，对应角相等，对应点的连线被对称轴垂直平分；正确找出对应角是解题关键
13．/70度
【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，根据轴对称的性质可得，然后得出，即可求解．
【详解】如图，连接，
∵点P关于的对称点，点P关于的对称点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：70．
14．/120度
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后，对应角相等．根据题意可得，进而得，结合即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．24
【分析】设与的交点为点F，连接，先根据折叠的性质可得，，DE=AE，，再根据两点之间线段最短可得当点E与点F重合时，周长最小，进而求解即可．
【详解】解：如图，设与的交点为点F，连接，

由折叠的性质得：，，DE=AE，，
，
的周长，
要使周长最小，只需最小，
由两点之间线段最短可知，当点E与点F重合时，取最小值，最小值为，
的周长=．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
16．/52度
【分析】本题考查三角形中求角度，涉及高的定义、直角三角形性质、角平分线定义及三角形内角和定理等知识，由高的定义及直角三角形两锐角互余求出，再由角平分线定义，结合三角形内角和定理求解即可得到答案，熟练掌握直角三角形性质及三角形内角和定理，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：是的高，
，
，
，
平分，
，
，
故答案为：．
17．3
【分析】如图，把沿直线对折可得： 把沿直线对折，从而可得答案.
【详解】解：如图，把沿直线对折可得：
把沿直线对折可得：
所以符合条件的点有3个，
故答案为：3
【点睛】本题考查的轴对称的性质，全等三角形的概念，掌握“利用轴对称的性质确定全等三角形”是解本题的关键.
18．2:5
【分析】根据题意画出图形，再根据轴对称的性质求出矩形的长与宽的比值即可．
【详解】
先作出长方形ABCD，小球从A沿45度射出，到BC的点E，AB=BE．
从E点沿于BC成45度角射出，到AC边的F点，AE=EF．
从F点沿于AD成45度角射出，到CD边的G点，DF=DG．
从G沿于DC成45度角射出，到BC边的H点，HF垂直于AD．AB=2GC=2CH
从H点沿于CB成45度角射出，到AC边的M点，EM垂直于AD，
从M点沿于CA成45度角射出，到B点，
看图是2个半以AB为边长的正方形，
所以1：2.5=2：5．
故答案为2:5．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，解答此题的关键是画出图形，再根据对称的性质求解．
19．/80度
【分析】本题考查利用轴对称确定线段和的最小值．作点关于的对称点，连接，交于点，此时的周长最短，进行求解即可．
【详解】解：作点关于的对称点， 则：，，
∴，
∵的周长为，
∴当四点共线时，的周长最短，
连接，交于点，此时的周长最短，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
20．①②④
【分析】本题考查了平行线的性质等知识和与折叠有关的角的计算等知识．根据平行线的性质得到，根据折叠性质得到，即可得到，故①正确；根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可求出，故②正确；先证明，根据折叠性质得，结合，得到当时，，故③错误；根据，即可得到，故④正确，符合题意；
【详解】解：∵，
．
根据折叠的性质得，，
．
故①正确，符合题意；
∵，
，
根据折叠的性质得，，
，
，
故②正确，符合题意；
，，
，
根据折叠的性质得，，
，
当时，，
故③错误，不符合题意；
，
．
故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
21．(1)与全等
(2)点关于直线的对称点分别是点；点关于直线的对称点一定在内
(3)线段被直线垂直平分
【分析】（1）根据对称轴图形的性质即可求解；
（2）根据对称轴图形的性质即可求解；
（3）根据对称轴图形的性质即可求解；
【详解】（1）解：与关于直线对称，
∴，
∴，
∴与全等．
（2）解：∵与关于直线对称，
∴点关于直线的对称点分别是点，点关于直线的对称点一定在内．
（3）解：∵与关于直线对称，且点的对称点是点，
∴点到直线的距离等于点到直线的距离，
∴线段被直线垂直平分．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的定义，性质，掌握成轴对称的两个图形中任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到；一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的；成轴对称图形的对应点的连线被对称轴垂直平分等知识是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键；
（1）根据轴对称的性质可得，，再结合三角形的周长公式可得答案；
（2）根据轴对称的性质可得，，再结合角的和差运算可得答案；
【详解】（1）解：∵M，N分别是点O关于、的对称点，
∴，，
∴的周长
；
（2）如图，连接，，，
∵M，N分别是点O关于、的对称点，
∴，，
∴．
23．（1）；（2）①，②的度数始终是
【分析】本题考查折叠的性质，与角平分线有关的计算，掌握折痕为角平分线，是解题的关键．
（1）根据折叠，得到，进而根据角平分线的定义，得到平分，即可；
（2）①根据折叠的性质和平角的定义，进行求解即可；②根据折叠的性质和平角的定义，进行求解即可．
【详解】解：（1）因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，
所以，
所以射线是的角平分线．
（2）①由题意，得：，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
②的度数始终是，
由题意，得：，，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．（1）这两个三角形的形状、大小完全相同；（2）两个三角形关于折痕成轴对称；（3）两点的连线，被折痕垂直平分
【解析】略
25．(1)①是等边三角形，理由见解析；②，理由见解析
(2)的最小值为5．
【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，．根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形；②当时，，G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系；
（2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值．
【详解】（1）解：①是等边三角形，
∵点P关于对称的点为G，
∴，，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
②，
当时，，
∴G、O、H在同一直线上，．
∵，
∴；
（2）解：过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，

∴ 最小值为．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵点Q与关于对称，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
即的最小值为5．
【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键．
26．(1)
(2)，90
(3)，见解析
【分析】本题考查折叠的性质，角的和差，掌握折叠前后的两个角相等是解题的关键．
（1）根据折叠可以得到，然后利用解题即可；
（2）根据折叠得到，，然后根据解题即可；
（3）根据折叠得到，，然后根据解题即可．
【详解】（1）解：∵是正方形，是折痕，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）猜想．
理由如下：因为将沿折叠，所以，
因为将沿折叠，所以，
因为，
所以．
故答案为：，，
（3）猜想，
理由如下：因为将沿BE折叠，所以，
因为将沿BF折叠，所以，
因为，所以．