专题5.3 简单的轴对称图形——角平分线（知识梳理与考点分类讲解）（含解析）

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专题5.3 简单的轴对称图形——角平分线（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】角的对称性
定义：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，如图1，OP所在的直线为的对称轴．
图1
【知识点二】角平分线的性质
定义：角平分线上的点到角两边的距离相等，即如图1，PD=PE.
特别提醒：
（1）角平分线的性质是由两个条件构成（角平分线、垂线）得到一个结论（线段相等）；
（2）利用角平分线下的性质说明线段相等时，所要说明的是线段是“垂直于角的两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”；
（3）角平分线的性质必须要具备两个条件：点在角的平分线上；过该点作角两边的垂线段，二者缺一不可。
【知识点三】用尺规作角平分线
在角的两边上分别截取OM、ON，使OM=ON;
分别以M、N为圆心，大于MN的一半为半径画弧，两弧交于角的内部于点C；
作射线OC，OC就是的角平分线。
图2
【知识点四】角平分线作辅助线的几种基本方法
（1）在角平分线上取一点作角两边的垂线段，如图3，得到;
（2）在角平分线上取一点，过该点作角平分线的垂线，如图4，得到；
（3）在角的两边上到一点，使得这两点到角顶点距离相等，如图5，得到；
（4）过角平分线上一点作角的一边的平行线，如图6，得到为等腰三角形.
图3 图4 图5 图6
【考点目录】
【考点1】三角形的角平分线； 【考点2】三角形的角平分线的性质；
【考点3】三角形的角平分线的证明与求值； 【考点4】尺规作图——作角平分线；
【考点1】三角形的角平分线；
【例1】（2023·浙江杭州·二模）如图，在中，平分，，延长到点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式1】（23-24六年级下·山东泰安·期中）如图所示，若有，，则下列结论中错误的是（ ）
A．是的平分线 B．是的平分线
C． D．
【变式2】（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，点是线段上一点，点是射线上一点，射线平分，射线平分，，则 ．
【考点2】三角形的角平分线的性质；
【例2】（22-23八年级下·四川达州·期中）如图，中，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，且，求的面积．
【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，为的平分线，，，垂足分别是，，则下列结论不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ．
【考点3】三角形的角平分线的证明与求值；
【例3】（15-16八年级上·山东潍坊·阶段练习）已知，如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是、．试说明：．
【变式2】（22-23八年级下·陕西西安·期中）如图，若的平分线与的外角的平分线相交于点Р连接，若，则等于 度．
【考点4】尺规作图——作角平分线；
【例4】（2024·广东茂名·一模）如图，已知，，是的一个外角．
(1)请用尺规作图法，求作射线，使平分．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)证明：．
【变式】（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
专题5.3 简单的轴对称图形——角平分线（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】角的对称性
定义：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，如图1，OP所在的直线为的对称轴．
图1
【知识点二】角平分线的性质
定义：角平分线上的点到角两边的距离相等，即如图1，PD=PE.
特别提醒：
（1）角平分线的性质是由两个条件构成（角平分线、垂线）得到一个结论（线段相等）；
（2）利用角平分线下的性质说明线段相等时，所要说明的是线段是“垂直于角的两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”；
（3）角平分线的性质必须要具备两个条件：点在角的平分线上；过该点作角两边的垂线段，二者缺一不可。
【知识点三】用尺规作角平分线
在角的两边上分别截取OM、ON，使OM=ON;
分别以M、N为圆心，大于MN的一半为半径画弧，两弧交于角的内部于点C；
作射线OC，OC就是的角平分线。
图2
【知识点四】角平分线作辅助线的几种基本方法
（1）在角平分线上取一点作角两边的垂线段，如图3，得到;
（2）在角平分线上取一点，过该点作角平分线的垂线，如图4，得到；
（3）在角的两边上到一点，使得这两点到角顶点距离相等，如图5，得到；
（4）过角平分线上一点作角的一边的平行线，如图6，得到为等腰三角形.
图3 图4 图5 图6
【考点目录】
【考点1】三角形的角平分线； 【考点2】三角形的角平分线的性质；
【考点3】三角形的角平分线的证明与求值； 【考点4】尺规作图——作角平分线；
【考点1】三角形的角平分线；
【例1】（2023·浙江杭州·二模）如图，在中，平分，，延长到点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析； (2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，解答的关键是结合图形分析清楚各边与各角之间的关系．
（1）由角平分线的定义可得，利用即可判定；
（2）由角平分线的定义可得，再由三角形的外角性质可得，
（1）证明：平分，
，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式1】（23-24六年级下·山东泰安·期中）如图所示，若有，，则下列结论中错误的是（ ）
A．是的平分线 B．是的平分线
C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义，对选项逐个判断即可．此题考查了角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义．
解：
是的平分线，A选项正确，不符合题意；
是的平分线，B选项正确，不符合题意；
，C选项正确，不符合题意；
∵从题干条件无法证明
不是的平分线，D选项错误，符合题意；
故选：D．
【变式2】（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，点是线段上一点，点是射线上一点，射线平分，射线平分，，则 ．
【答案】/0.5
【分析】本题考查了角平分线，三角形外角的性质，平行线的性质．熟练掌握角平分线，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键．
如图，由角平分线的定义可得，，则，，，由，可得，根据，求解作答即可．
解：如图，
∵射线平分，射线平分，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点2】三角形的角平分线的性质；
【例2】（22-23八年级下·四川达州·期中）如图，中，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，且，求的面积．
【答案】(1)40° ； (2)见解析 ；(3)15
【分析】（1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得、，进而得到,然后根据即可解答；
（2）如图：过E点分别作于M，与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、平分、，最后根据角平分线的判定定理即可解答；
（3）根据结合已知条件可得，最后运用三角形的面积公式即可解答．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：如图：过E点分别作于M，与N，

∵平分，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∴，
∴平分．
（3）解：∵，
∴，
即，解得，
∵，
∴．
【点拨】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，为的平分线，，，垂足分别是，，则下列结论不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识．由为的平分线，于点，于点，得，，，可判断A正确；再证明，得，，可判断C正确，D正确；可判断B错误，于是得到问题的答案．
解：为的平分线，于点，于点，
，，，
故A正确；
在和中，
，
，
，，
故C正确，D正确；
和不一定相等，故B错误，
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ．
【答案】24
【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．过作于，由角平分线的性质得到，而，即可求出的面积．
解：过作于，
，，
，
，
的面积．
故答案为：24．
【考点3】三角形的角平分线的证明与求值；
【例3】（15-16八年级上·山东潍坊·阶段练习）已知，如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是、．试说明：．
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及角平分线的性质定理．先证明，得到，再由角平分线性质证明．
证明：∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【变式1】（20-21八年级上·江苏苏州·期中）如图，AB=AD，AC=AE，DAB=CAE=50° ，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③DOB=50°；④点A在DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定及角平分线的性质即可依次判断．
∵DAB=CAE
∴DAB+BAC=CAE+BAC
∴DAC=EAB
∵AB=AD，AC=AE
∴△ADC≌△ABE
∴CD=BE，故①②正确；
∵△ADC≌△ABE
∴ADC =ABE
设AB与CD交于G点，
∵AGD =BGC
∴DOB=DAB=50°,故③正确；
过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点，
则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高
∵△ADC≌△ABE
∴AF=AH
∴点A在DOE的平分线上，④正确
故选D．
【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质与判定．
【变式2】（22-23八年级下·陕西西安·期中）如图，若的平分线与的外角的平分线相交于点Р连接，若，则等于 度．
【答案】
【分析】先根据条件求出，过点P作于点N，交的延长线于点F，于点M，根据角平分线的性质与判定，可得到平分，故求得．
过点P作于点N，交的延长线于点F，于点M
平分，平分
，
∵，
平分
故答案为：
【点拨】本题主要考查角平分线的性质及判定，正确作出辅助线是解题的关键．
【考点4】尺规作图——作角平分线；
【例4】（2024·广东茂名·一模）如图，已知，，是的一个外角．
(1)请用尺规作图法，求作射线，使平分．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)证明：．
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）以C为圆心，任意长为半径画弧交和于点M和N，再以点M和N为圆心，大于的一半为半径画弧，两弧交于一点P，连接，即可作答．
（2）因为，得，根据外角性质，得，根据内错角相等两直线平行，即可作答．
（1）解：如图所示：
（2）解：∵，
∴．
∵，平分．
∴．
∴．
∴．
【变式】（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
利用基本作图可对①进行判断；利用角平分线的定义计算出， 则，于是可对②进行判断；由得到，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断； 利用含度的直角三角形三边的关系得到，则，所以，然后根据三角形面积公式可对④进行判断．
由作法得平分， 所以①正确；
∵，
∴，，
∴，所以②正确；
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上，所以③正确；
∵
，
∴，
∴，
，所以④正确．
故选:．