专题5.4 简单的轴对称图形——角平分线（分层练习）（含解析）

专题5.4 简单的轴对称图形——角平分线（分层练习）
单选题
1．如图，平分，于点D，于E，且，的延长线分别交，OA于点C，F．下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
2．小明学习了角的平分线后，发现角平分线分得的和的面积比与两边长有关．如图，若，，你能帮小明算出下面的比值吗________；（ ）

A． B． C． D．4
3．如图所示，点在的内部，，，垂足分别为，，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
5．如图 ，∠1＝∠2＝58°，根据尺规作图痕迹，可得∠ADB 的度数是（ ）
A．58° B．60° C．61° D．122°
6．如图，直线分别交于点B，D，连接，若平分，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四边形中，，，连接BD，，．若P是边上一动点，则长的最小值为（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8
8．如图，在中，的角平分线交于，则的面积为（ ）

A．8.2 B．7.8 C．6.4 D．5.6
9．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，三角形中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，，下面四个结论：①；②一定平行；③垂直平分；④；其中正确的是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
填空题
11．如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个．
12．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝4，DC＝6，则ABD的面积为 ．
13．如图，，根据角平分线的性质填空：若，则 ，若，则 ．
14．在学习“用直尺和圆规作射线，使它平分”时，教科书介绍如下：
作法：（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，交于D，交于E；
（2）分别以D，E为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点C ；
（3）作射线．则就是所求作的射线．
小明同学想知道为什么这样做，所得到射线就是的平分线．
小华的思路是连接、，可证，就能得到其中证明的理由是_______________________________________．
15．如图，BO平分于点D，点E为射线BA上一动点，若，则OE的最小值为 ．
16．如图，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为 ．
17．如图，在中，，按以下步骤作图：①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线BP，交AC于点D．若，，则线段AD的长为 ．
18．中，是直角，是两内角平分线的交点，，，，到三边的距离是 .
19．如图，若的平分线与的外角的平分线相交于点Р连接，若，则等于 度．
20．△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，ABC的面积18，AB=6，AC=8，OD=2，则BC的长是 ．
解答题
21．如图，，，点在上．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
22．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：AD垂直平分EF．
23．如图，的外角，的平分线交于点D，过点D作，，垂足分别为E，F．
(1)若，，求及的度数；
(2)连接，判断是否平分？并说明理由．
24．如图，在中，，，，分别平分，，点C在线段上．
(1)求证：
(2)求证：
25．如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在的内部且，，，垂足分别为D，E，且．
(1)求证：OC平分；
(2)如果，，求OD的长．
26．如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．易得：AD＝BD．
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD；
（2）如图3，在四边形ABDE中，AB＝10，DE＝2，BD=6，C为BD边中点．若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据证明，可得结论．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵于点D，于E，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，故选项A，C，D正确，不符合题意，
在中，是斜边，则，故B选项错误，符合题意．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解答本题的关键，过点D作于点E，于点F，根据角平分线定理可知，再利用三角形面积公式即可求得答案．
【详解】过点D作于点E，于点F，
平分，
，
．
故选：A．

3．B
【分析】由角平分线的判定定理可知，点在的平分线上，据此解题．
【详解】，，，
点在的平分线上，
，
故选：．
【点拨】本题考查角平分线的判定定理及角平分线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．B
【分析】由在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD=ED，AC=AE=BC，继而可得△DBE的周长=AB．
【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，
∴CD=ED，∠ADC=∠ADE，
∴AE=AC，
∵AC=BC，
∴BC=AE，
∴△DBE的周长是：BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=7cm．
故选 B．
【点拨】此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
5．C
【分析】根据尺规作图痕迹可得，AD平分，根据平行线的性质可得，，即可求解．
【详解】解：根据尺规作图痕迹可得，AD平分，则，
∵，
∴，，
∴，
故选：C
【点拨】此题考查了尺规作图（角平分线），平行线的判定与性质，解题的关键是根据作图痕迹判断出AD平分．
6．D
【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握对顶角相等，角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．
由题意知，，由平分，可得，由，可证，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7．B
【分析】根据垂线段最短得出当时，的长度最小，求出，根据角平分线的性质得出即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
当时，的长度最小，
，
，
，
的最小值是4．
故选：B．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当时，的长度最小是解此题的关键．
8．C
【分析】
本题考查了角平分线的性质，以及运用三角形的高求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据角平分线的性质，得，通过同高，底边比就是面积比得，运用割补法得的面积，进行代入数值计算，即可作答．
【详解】解：如图：分别过点E作，的面积分别记

∵的角平分线交于，
∴
∵
则，，（同高，底边比就是面积比）
∴
∴
则的面积
故选：C
9．D
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
利用基本作图可对①进行判断；利用角平分线的定义计算出， 则，于是可对②进行判断；由得到，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断； 利用含度的直角三角形三边的关系得到，则，所以，然后根据三角形面积公式可对④进行判断．
【详解】由作法得平分， 所以①正确；
∵，
∴，，
∴，所以②正确；
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上，所以③正确；
∵
，
∴，
∴，
，所以④正确．
故选:．
10．C
【分析】根据角平分线的性质得到，根据垂直的定义、等腰三角形的性质判断；结合题意判断；根据线段垂直平分线的判定定理判断；根据三角形的面积公式判断，即可．
【详解】解：的平分线交于点，，，
，，
，
，故正确；
不一定等于，
一定平行，故错误．
，
，
又，
垂直平分，故正确；
，故正确；
故选：C．
【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质和判定、平行线的判定，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
11．3/三
【分析】由角平分线的定义得，等量代换得，进而可得答案．
【详解】∵为两条角平分线，
∴．
∵，
∴．
故答案为∶3．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，等量代换，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键．
12．12
【分析】过D作DE⊥BA，交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得出DE＝DC＝6，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：过D作DE⊥BA，交BA的延长线于E，
∵∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，
∴DE＝DC，
∵DC＝6，
∴DE＝6，
∵AB＝4，
∴△ABD的面积是 ＝ ＝12，
故答案为：12．
【点拨】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出DE=DC=6是解此题的关键．
13．
【分析】根据角平分线的性质可证明，利用全等三角形的性质作答即可．
【详解】，，
，，
；
在和中，
，
，
．
故答案为：；．
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，熟练运用角平分线的性质证全等是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有．
根据（1）可得：，，根据全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：由作法可知：，，
又∵，
∴根据SSS可推出和全等．
故答案为：
15．5
【分析】根据角平分线的性质即可求出．
【详解】解：当时，最小，
平分，，，
．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，延长交点于，可证，得到，，进而得到，由三角形全等推导出，并判断出当时，最大，是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交点于，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，最大，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到则DE=DC，再利用勾股定理计算出AC=4，然后利用面积法得到 DE×5+ CD×3=×3×4，最后解方程即可．
【详解】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE=DC，
在Rt△ABC中，，
∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，
∴ DE×5+ CD×3=×3×4，，
即5CD+3CD=12，
∴CD=，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了角平分线的性质．
18．2
【分析】根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF，根据三角形面积公式求出R即可．
【详解】解：过O作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，连接OC，
∵O为∠A、∠B的平分线的交点，
∴OD＝OF，OE＝OF，
∴OD＝OE＝OF，
设OD＝OE＝OF＝R，
∵S△ACB＝S△AOC＋S△BCO＋S△ABO，
则×6×8＝×6R＋×8R＋×10R，
解得R＝2，
即OD＝OE＝OF＝2，
∴点O到三边的距离为2，
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等的知识是解答此题的关键．
19．
【分析】先根据条件求出，过点P作于点N，交的延长线于点F，于点M，根据角平分线的性质与判定，可得到平分，故求得．
【详解】
过点P作于点N，交的延长线于点F，于点M
平分，平分
，
∵，
平分
故答案为：
【点拨】本题主要考查角平分线的性质及判定，正确作出辅助线是解题的关键．
20．4
【详解】试题分析：过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，利用角平分线的性质可知OE=OF=OD=2，利用三角形的面积公式可解得结果．
解：过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，
∵OB，OD为∠ABC和∠ACB的平分线，OD⊥BC，
∴OE=OF=OD=2，
∵S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC
=
=
∵△ABC的面积18，
∴=18，
解得：BC=4，
故答案为4．
考点：角平分线的性质．
21．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】
本题主要考查三角形的全等的判定与性质，熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键．
（1）由题中条件易知：，可得平分；
（2）利用（1）的结论，可得，得出．
【详解】（1）
证明：在与中，
，
，
，
即平分；
（2）
证明：由（1），
在与中，
，
，
．
22．见解析
【分析】证明，可得，进而可得垂直平分EF．
【详解】证明：AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
又
在的垂直平分线上
即垂直平分EF．
【点拨】本题考查了角平分线的性质与定义，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是解题的关键．
23．(1)，
(2)平分，理由见解析
【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定和性质，掌握角平分线的判定和性质是解题的关键．
（1）根据三角形的外角可以得到和的度数，然后根据角平分线的定义得到，然后计算解题；
（2）过点作，垂足为，根据角平分线的性质得到，再根据角平分线的判定即可得到结论．
【详解】（1）∵，，
∴，.
∵平分，平分，
∴，，
∴；
（2）平分；
理由：如图，过点作，垂足为，
∵平分，，，
∴.
∵平分，，，
∴，
∴，
∴平分.
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义．正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）过点C作于点F．结合题意分别证明，，即可证明出结论；
（2）由全等三角形的性质可得出，，即可证明出结论．
【详解】（1）证明：如图，过点C作于点F．
∵，分别平分，，
∴，．
∵，，，
∴．
在和中，
在和中，
∴，，
∴，，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，．
∵，
∴．
25．(1)见解析
(2)7
【分析】（1）证明Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），得CD=CE．再由角平分线的判定即可得出结论；OC平分∠MON；
（2）证Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），得OD=OE，设BE=AD=x．则OE=OD=4+x，再由AO=OD+AD=4+2x=10，得x=3．即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
在与中，，
∴≌（HL），
∴．
又∵，，
∴OC平分．
（2）解：在与中，，
∴≌（HL），
∴，
设．
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识，证明Rt△ACD≌Rt△BCE和Rt△ODC≌Rt△OEC是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）15．
【分析】（1）证△ECD≌△ACD（SAS），得EC=AC，DE=AD，∠CED=∠A=60°，再证BE=DE，则BE=AD，即可得出结论；
（2）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG，证△ACB≌△ACF（SAS），得CB=CF=3，AF=AB=10，∠BCA=∠FCA．同理可证△CGE≌△CDE（SAS），得CG=CD=3，GE=DE=2，∠DCE=∠GCE，再证△CFG是等边三角形，得FG=CG=3，即可求解．
【详解】（1）证明：在CB上截取CE=AE，连接DE，如图所示：
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD，
又∵CD=CD，
∴△ECD≌△ACD（SAS），
∴EC=AC，DE=AD，∠CED=∠A=60°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
又∵∠CED=∠EDB+∠B，
∴∠EDB=60°-30°=30°，
∴∠EDB=∠B，
∴BE=DE，
∴BE=AD，
∵BC=EC+BE，
∴BC=AC+AD；
（2）解：在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG，如图所示：
∵C是BD边的中点，BD=6，
∴CB=CD=BD=3，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC，
又∵AC=AC，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CB=CF=3，AF=AB=10，∠BCA=∠FCA．
同理可证：△CGE≌△CDE（SAS），
∴CG=CD=3，GE=DE=2，∠DCE=∠GCE，
∵CB=CD，
∴CG=CF，
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°，
∴∠FCA+∠GCE=60°，
∴∠FCG=180°-60°-60°=60°，
∴△FGC是等边三角形，
∴FG=FC=3，
∴AE=AF+GE+FG=10+2+3=15．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线定义、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．