四川省南充市西充县部分校2024届高三高考模拟联考文科数学试题（含解析）

四川省南充市西充县部分校2024届高三高考模拟联考数学试题（文科）
考生注意：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
4．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．若，满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
6．三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的率为（ ）
A． B． C． D．
7．记等差数列的前项和为.若，，则（ ）
A．140 B．70 C．160 D．80
8．执行如图所示的程序框图后，输出的值为7，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，现有下列四个结论：
①是偶函数；
②是周期为的周期函数；
③在上单调递减；
④的最小值为.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③ B．③④ C．①②④ D．①③④
10．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．设，是双曲线的两条渐近线，若直线与直线关于直线对称，则双曲线的离心率的平方为（ ）
A． B． C． D．
12．已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．若，则__________.
14．已知单位向量，的夹角为，，则__________.
15．在平行四边形中，，，，沿将折起，则三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为__________.
16．假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为__________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17．（12分）
现随机统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数，得到如下数据：
甲 77 73 77 81 85 81 77 85 93 73 77 81
乙 71 81 73 73 71 73 85 73
已知甲12次投篮次数的平均数，乙8次投篮次数的平均数.
（1）求这20投篮次数的中位数，估计甲每次训练投篮次数超过的概率；
（2）求这20次投篮次数的平均数与方差.
18．（12分）
在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的值；
（2）若，证明：为直角三角形.
19．（12分）
如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，.
（1）证明：.
（2）已知平面平面，，求四棱锥的体积.
20．（12分）
已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上一点，且.
（1）求的方程；
（2），是上两点（，异于点），以为直径的圆过点，为的中点，求直线斜率的最大值.
21．（12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，恒成立，求的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知直线（为参数），曲线.
（1）求的普通方程和曲线的参数方程；
（2）将直线向下平移个单位长度得到直线，是曲线上的一个动点，若点到直线的距离的最小值为，求的值.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
2024届高三数学试题参考答案（文科）
1.B【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养.
依题意得，则.
2.D【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养.
设，因为，所以，
所以，即，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.
3.B【解析】本题考查椭圆的离心率，考查数学运算的核心素养.
由题可知，，，，解得.
4.C【解析】本题考查线与面的位置关系，考查逻辑推理的核心素养.
当时，可能在内或者内，故不能推出且.
当且时，设存在直线，，且，因为，所以，
根据直线与平面平行的性质定理，可知，所以，
故“”是“且”的必要不充分条件.
5.C【解析】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力.
画出可行域知（图略），当过点时，取得最小值，且最小值为.
6.B【解析】本题考查古典概型，考查逻辑推理的核心素养.
设三人为，，，则参加晚会的情况有，，，，，，，共7种情况，其中恰有一人参加晚会的情况有3种，故所求的概率为.
7.D【解析】本题考查等差数列，考查运算求解能力.
因为是等差数列，所以，故.
8.A【解析】本题考查程序框图，考查逻辑推理的核心素养.
因为时，执行循环体，时，结束循环，输出，
所以执行程序框图，，；，；，；，，结束循环，则的取值范围为.
9.D【解析】本题考查复合函数以及三角函数的图象，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力.
因为，所以是偶函数，①正确；，②错误；当时，，因为，所以在上单调递减，又单调递增，所以在上单调递减，③正确；因为，所以是周期为的周期函数，当时，，则的最小值为，④正确.故选D.
10.C【解析】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理的核心素养.
在曲线上任取一点，对函数求导，得，
所以曲线在点处的切线方程为.
由题意可知，点在直线上，可得.
令，，则.
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，且当时，，当时，，又直线与曲线的图象有两个交点，所以的取值范围为.
11.C【解析】本题考查双曲线的渐近线，考查数形结合的数学思想.
由题可知经过第二、四象限，经过第一、三象限，设的倾斜角为，
当时，则，即，，
即，所以.
当时，，即，，
即，所以.
综上，双曲线的离心率的平方为.
12.B【解析】本题考查抽象函数以及函数的性质，考查逻辑推理的核心素养.
由，可得的图象关于点对称，又是奇函数，所以，则的周期为3，所以，，，则.
故在上的零点个数的最小值为9.取，显然满足题意，且恰好在上有9个零点.
13.【解析】本题考查对数的运算，考查数学运算的核心素养.
由，可得，则.
14.或2【解析】本题考查平面向量，考查数学运算的核心素养
因为，所以，解得或.
15. 【解析】本题考查三棱锥的外接球，考查直观想象的核心素养.
在中，，则，且，则.由题可知，当平面平面时，三棱锥的体积最大.如图，可将三棱锥补全为正方体，则三棱锥外接球的半径为，故其外接球的表面积为.
16. 【解析】本题考查数列的递推关系，考查逻辑推理的核心素养.
设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，.
又，，所以，，则，，
所以，所以.
17.解：（1）将这20个数据从小到大排列，第10个数和第11个数都是77，所以. 4分
估计甲每次训练投篮次数超过的概率为. 6分
（2）这20次投篮次数的平均数， 9分
方差.
12分
评分细则：
【1】第（1）问共6分，正确算出的值得4分，正确估计甲每次训练投篮次数超过的概率得2分.
【2】第（2）问共6分，正确算出得3分，正确算出得3分.
18.（1）解：由，
可得， 1分
所以， 3分
所以， 4分
则，即. 5分
（2）证明：由，可得. 6分
又，所以，， 8分
， 10分
即，解得（负值已舍去），即，，所以为直角三角形.
评分细则：
第（2）问另解，因为，，所以. 7分
由余弦定理可得. 8分
因为，所以，即， 9分
所以，解得（负值已舍去）. 11分
因为，所以为直角三角形. 12分
19.（1）证明：设为的中点，连接，，，.
因为，所以. 1分
因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，则. 2分
又，所以平面. 4分
因为平面，所以. 5分
（2）解：因为，，所以平面. 6分
因为平面，所以，所以四边形为菱形，即. 7分
因为平面平面，且平面平面，，
所以平面. 9分
故. 12分
评分细则：
若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.
20.解：（1）由抛物线的定义可知. 1分
因为，所以. 2分
因为，所以，解得， 4分
故的方程为. 5分
（2）设，，，联立方程得，的，. 7分
因为以为直径的圆过点，所以，则，即，
解得，所以. 9分
又，所以， 10分
当时，，
当时，.
故直线斜率的最大值为. 12分
评分细则：
【1】第（2）问按标准答案解题时，未说明的情况，扣1分.
【2】若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.
21.解：的定义域为，. 1分
当时，，所以在上单调递增. 3分
当时，关于的方程，，则，是方程的两根.
又，，所以.
令，解得或，
所以在和上单调递增，在上单调递减. 5分
（2）由，可得，即. 7分
令，易知单调递增.
由，可得，则，即. 9分
设，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，
所以，则的取值范围为. 12分
评分细则：
【1】第（1）问共5分，求导正确得1分，写出当时，，在上单调递增，得1分，写出当时，，在上单调递增，得1分，正确写出当时的的单调性，得2分.
【2】若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.
22.解：（1）由直线（为参数），
消去参数，可得的普通方程为. 2分
由曲线，可得曲线的参数方程为（为参数）. 4分
（2）的方程为，即. 5分
设点的坐标为，
则点到直线的距离. 7分
因为，所以当时，取得最小值， 9分
即，解得. 10分
评分细则：
【1】第（1）问中正确写出直线的普通方程得2分，曲线的参数方程不唯一，正确写出均可得2分.
【2】若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.
23.解：（1）当时， 2分
当时，可化为，解得，所以； 3分
当时，可化为，解得，所以； 4分
当时，可化为，解得，所以.
综上，不等式的解集为. 5分
（2）当时，可化为，则， 7分
即，则. 8分
因为，所以，故实数的取值范围为. 10分
评分细则：
【1】结果未写成集合或者区间的形式，扣1分.
【2】第（2）问共5分，直接代入，得出的取值范围扣3分.