沪教版七年级数学下册试题 14.1三角形的有关概念（含解析）

14.1三角形的有关概念
一、单选题
1．下列长度的三根木棒，不能构成三角形框架的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的高都在三角形内
B．三角形的三条中线相交于三角形内一点
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度
3．三角形的角平分线、中线和高都是 ( )
A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对
4．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝50°，则∠D的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．如果三角形三个内角的比为1：2：3，那么它是( )
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
6．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．50°
7．已知、、是的三个内角，下列条件不能确定是直角三角形的是（ ）
A．， B．
C． D．
8．BP和CP是△ABC两个外角的平分线，则为（ ）
A． B． C． D．
9．将一副直角三角尺按如图的不同方式摆放，则图中∠α与∠β一定相等的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
10．已知中，，分别是边 ，上的高，， 交于点，如果设那么用含 的代数式表示的度数是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ）
A．180° B．360° C．540° D．以上答案都不是
12．如图，D、E分别为△ABC的底边所在直线上的两点，BD＝EC，过A作直线l，作DM∥BA交l于M，作EN∥CA交l于N．设△ABM面积为S1，△ACN面积为S2，则（　　）
A． B．
C． D．与的大小与过点A的直线位置有关
二、填空题
13．木工师傅在做好门框后，为了防止变形常常按如图那样钉上两根斜拉的木板条，即图中的、两根木条，其数学依据是_____．
14．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝36°，则∠C的一个外角等于_____度．
15．三角形的三边分别为 5， ，9，则的取值范围为________.
16．如图，在中，是边上的高，且，如果，那么_____．
17．如图所示，在中，，，是角平分线，则________．
18．在中，已知，的形状是________．
19．如图，已知直线a//b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，如果△ABC的面积和△BCD的面积之比为2：3，那么AB：CD的值为_____．
20.如图，已知，，，，则______．
21．如图，四边形中，，、相交于点，的面积等于，的面积等于，那么的面积等于______．
22．如图，对面积为的逐次进行操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得、、，顺次连接、，得到，记其面积为，，按此规律继续下去，可得到，则其面积________．
三、解答题
23．根据要求作图并写好结论：
(1)画三角形，使得的长度等于厘米，，；
(2)在三角形中，作出的角平分线；
(3)在三角形中，作出边上中线．
24．已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．
25．已知AB∥CD，且CD平分∠FCB，∠CEB＝90°，∠CBE＝40°，求∠EBA的度数．
26．已知：，，．求的度数．
27．如图，已知三角形纸片ABC，将纸片折叠，使点A与点C重合，折痕分别与边AC、BC交于点D、E．
(1)画出直线DE；
(2)若点B关于直线DE的对称点为点F，请画出点F；
(3)在（2）的条件下，联结EF、DF，如果的面积为2，的面积为4，那么的面积等于 ．
28．如图，由16个相同的小正方形组成的一个大正方形ABCD，其中点A、点E、点F均在图中的格点上（即图中小正方形的顶点）．
(1)三角形AEF的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD面积的 ；（填“几分之几”）
(2)如果三角形AEF的面积是28平方厘米，那么图中每个小正方形的面积是 平方厘米；
(3)如备用图，若点G也在图中的格点上，且三角形AFG的面积是大正方形ABCD面积的，那么符合要求的点G有 个．
29．如图，在中，，垂足为点，，，求的度数．
30．如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．
解：因为DF⊥AB（已知），
所以∠DFB＝90°（垂直的意义）．
因为∠DFB+∠B+∠D＝180°（ 　 　），
又∠D＝42°，
所以∠B＝　 　°（等式性质）．
因为∠ACD＝∠A+∠B（ 　 　），
又∠A＝35°，∠B＝　 　°，
所以∠ACD＝　 　°（等式性质）．
31．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD＝∠BDC
(1)若∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，则∠B＝　 　度（直接写出答案）；
(2)请说明：∠EAB+∠AEB＝2∠BDC的理由．
32．如图，已知AD∥BC．
(1)找出图中所有面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由．
(2)如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，＝，求的值．（直接写出答案）
33．（1）在锐角△ABC中，BC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠APC＝110°，求∠B的度数；
（2）如图1，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD．当点D在直线AC上时，∠APC＝100°，则∠B的度数；
（3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如图2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度数．
答案
一、单选题
1．D
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
【解析】解：、，则能构成三角形，不符合题意；
B、，则能构成三角形，不符合题意；
C、，则能构成三角形，不符合题意；
D、，则不能构成三角形，符合题意．
故选：D．
2．B
【分析】根据三角形的有关性质，对选项逐个判断即可．
【解析】解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，钝角三角形的高不都在三角形内部，故本选项错误，不符合题意；
B、三角形的三条中线相交于三角形内一点，故本选项正确，符合题意；
C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误，不符合题意；
D、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
3．B
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高定义判断即可．
【解析】解：三角形的角平分线、中线、高都是线段．
故选：B．
4．B
【分析】利用两个三角形的内角和都为180°，结合相等的角即可求解．
【解析】∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴∠B＝∠C＝90°，
又∵∠BEA＝∠CED，且∠BEA+∠B+∠A＝∠CED+∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝∠A＝50°，
故选：B．
5．C
【分析】根据比例设三个内角分别为k、2k.3k，然后根据三角形内角和等于180°列出方程求出最小角，继而可得出答案.
【解析】解：∵三角形三个内角度数的比为1：2：3，
∴设三个内角分别为k，2k、3k，
∴k+2k+3k=180°
解得k=30°
∴该三角形最大角的度数为90°，即该三角形为直角三角形
故选C.
6．A
【分析】根据三角形的内角和得，求出∠B得度数，再利用平行线的性质即可求解．
【解析】解：∵，
∴，
∴ ，
∵
∴，
∵，
∴，
故选：A．
7．D
【分析】根据三角形的内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【解析】解：A、∠A=40°，∠B=50°，则∠C=180°-40°-50°=90°，能确定△ABC是直角三角形，不合题意；
B、∠A=90°能确定△ABC是直角三角形，不合题意；
C、由∠A+∠B=∠C可得，∠A+∠B=90°，能确定△ABC是直角三角形，不合题意；
D、由∠A+∠B=2∠C可得，∠C=30°，不能确定∠A和∠B的度数，则不能确定△ABC是直角三角形，符合题意；
故选：D．
8．C
【分析】根据题意作出图形，根据由三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，求得∠P与∠A的关系，从而计算出∠P的度数．
【解析】解：如图，∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC＝（∠A＋∠ACB），∠PCB＝（∠A＋∠ABC），
又∵∠PBC＋∠PCB＋∠P＝180°，
∴∠P＝180° （∠PBC＋∠PCB）
＝180° （∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC）
＝180° （180＋∠A）
＝90° ∠A，
故选C．
9．B
【分析】利用两块三角板的三个已知角，再根据摆放方式，利用同角或等角的余角（补角）相等、三角形内角和定理即可确定．
【解析】由图①知，∠α+∠β+90°=180°，则∠α+∠β=90°，故∠α与∠β不一定相等；
由图②知，根据同角的余角相等得：∠α=∠β；
由图③知，根据等角的补角相等得：∠α=∠β=135°；
由图④知，由互余关系得∠α=45°,由三角形内角和定理得∠β=60°,则∠α与∠β一定不相等；
综上所述，∠α与∠β一定相等的是②③．
故选：B．
10．D
【分析】根据三角形高的定义可得∠AEC=∠ODC=90°，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠ACE，最后利用三角形外角的性质即可求出结论．
【解析】解：∵，分别是边 ，上的高，
∴∠AEC=∠ODC=90°
∵
∴∠ACE=180°－∠AEC－∠BAC=90°－n°
∴=∠ODC＋∠OCD=90°＋90°－n°=
故选D．
11．B
【分析】根据三角形的内角和等于180°，用∠AGB表示出∠A，∠B，用∠EMF表示出∠E，∠F，用∠CND表示出∠C，∠D，然后再根据对顶角相等的性质解出它们的度数即可．
【解析】解：如图，
∵三角形的内角和等于180°，
∴∠A+∠B=180°-∠AGB，∠E+∠F=180°-∠EMF，∠C+∠D=180°-∠CND．
∵对顶角相等，
∴∠AGB=∠MGN，∠EMF=∠GMN，∠CND=∠MNG．
∵∠MGN+∠GMN+∠MNG=180°，
∴∠A+∠B+∠E+∠F+∠C+∠D
=180°-∠AGB+180°-∠EMF+180°-∠CND
=540°-（∠AGB+∠EMF+∠CND）
=540°-180°
=360°．
故选B
12．B
【分析】连接AD，AE，根据平行线之间的距离处处相等和两个三角形同底等高可得S1＝S△ADB，S2＝S△AEC，然后根据两个三角形等底同高可得S△ABD＝S△AEC，
【解析】解：连接AD，AE．
∵DM∥BA，EN∥CA，
∴S1＝S△ADB，S2＝S△AEC，
∵BD＝EC，
∴S△ABD＝S△AEC，
∴S1＝S2，
故选：B．
二、填空题
13．三角形的稳定性
【分析】三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．
【解析】解：结合图形，为防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
14．116
【分析】根据三角形外角性质得出∠C的一个外角的度数即可．
【解析】解：如图所示，
∵∠A＝80°，∠B＝36°，
∴∠C的一个外角＝∠A+∠B＝80°+36°＝116°，
故答案为：116．
15．
【分析】根据三角形三边关系解答．
【解析】由题意得：,
解得：，
故答案为：．
16．
【分析】根据，和，求出，利用，进行计算即可．
【解析】解：∵在中，是边上的高，且，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
17．60
【分析】依据三角形内角和定理可得，再根据BD是的平分线，可得，依据三角形内角和定理，即可得到进而求解即可．
【解析】解：∵，，
∴．
又∵BD是的平分线，
∴，
∴，
∴．
故答案为60．
18．钝角三角形
【分析】根据关系式，得出∠A、∠B和∠C的大小，从而判断三角形形状．
【解析】∵，
∴，，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴，
解得：，
∴的形状是钝角三角形．
故答案为：钝角三角形．
19．2：3
【分析】利用行线间的距离处处相等得到C点到直线a的距离等于B点到直线b的距离，然后根据三角形面积求解．
【解析】解：∵直线a//b，
∴C点到直线a的距离等于B点到直线b的距离，
∴△ABC的面积和△BCD的面积＝AB：CD，
∵△ABC的面积和△BCD的面积之比为2：3，
∴AB：CD＝2：3．
故答案为：2：3．
20．
【分析】延长交于点，由三角形的外角性质可求得，再由平行线的性质可求的度数．
【解析】解：延长交于点，
是的外角，，，
，
，
．
故答案为：．
21．3
【分析】先计算出的面积为，再根据平行线的性质得到点和点到的距离相等，然后根据三角形面积公式得到的面积．
【解析】解：的面积等于，的面积等于，
的面积为，
，
点和点到的距离相等，
的面积等于的面积，即的面积为．
故答案为：．
22．361
【分析】根据三角形等高时底之比等于面积比得出的面积为面积的两倍，则的面积是的2倍…，以此类推，得出的面积．
【解析】
连接， , ,根据，的面积为的2倍，所以的面积为2；同理的面积为的2倍，所以的面积为4；
以此类推：的面积为2，的面积为4，的面积为2，的面积为4
∴，即面积为面积的19倍，以此类推的面积为面积的倍，所以．
故答案为：361
三、解答题
23．
（1）
如图，即为所求；
（2）
如图，射线即为所求；
（3）
如图，线段即为所求．
24．解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，
∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．
25．解：∵∠CEB＝90°，∠CBE＝40°，
∴∠FCB＝∠CEB+∠CBE＝130°，
又∵CD平分∠FCB，
∴，
又∵AB∥CD，
∴∠CBA＝∠BCD＝65°，
∴∠EBA＝∠CBA﹣∠CBE＝65°﹣40°＝25°．
26．解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
27．（1）解：如图，直线DE即为所作：
（2）如图，点F即为所作：
（3）连接AE，如图所示：
由对折可得：S△AED=S△DEC，S△BDE=S△DEF，
∴S△AEC=8，S△BDE= 2，
设△BED中BE边上的高为h，
＝＝，
即，
则2BE=EC，
设△AEC中EC边上的高为h'，
则：，
∴．
故答案为：12
28．
(1)
解：∵S△AEF＝4×4﹣，
∴三角形AEF的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD面积的；
(2)
解：∵三角形AEF的面积是28平方厘米，
∴大正方形ABCD面积＝28＝64，
∴每个小正方形的面积＝64÷16＝4；
(3)
解：如备用图，符合要求的点G有5个，
故答案为：（1）十六分之七；（2）4，；（3）5．
29．∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
30．解：因为DF⊥AB（已知），
所以∠DFB＝90（垂直的意义）．
因为∠DFB+∠B+∠D＝180（三角形内角和是180），
又∠D＝42，
所以∠B＝48（等式性质）．
因为∠ACD＝∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
又∠A＝35°，∠B＝48°，
所以∠ACD＝83（等式性质）．
故答案为：三角形内角和是180，48，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，48，83．
31．（1）解：∵∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，
∴∠BDC＝∠ACD+∠CAD＝55°，
∴∠BCD＝∠BDC＝55°．
在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
故答案为：70；
（2）解：在△ABE中，∠EAB+∠AEB+∠B＝180°，
∴∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B．
在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∠BCD＝∠BDC，
∴2∠BDC＝180°﹣∠B，
∴∠EAB+∠AEB＝2∠BDC．
32．
（1）
解：①△ABC与△BCD，②△ADB与△ADC，③△AMB与△DMC；
选择①说明：设AD、BC间的距离为h，
则S△ABC＝，S△BCD＝，
∴△ABC与△DBC的面积相等；
同理：△ADB与△ADC的面积相等．
∵△ABC与△DBC的面积相等，
∴S△ABC﹣S△BCM＝S△DBC﹣S△BCM，即，S△AMB＝S△DMC．
（2）
解：∵S△ABC＝S△BCD，
∴AC BE＝BD CF，
∴，
∵
∴．
33．解：（1）如图1中，
∵AF，CE是高，
∴∠AFB＝∠AEC＝90°，
∵∠APC＝∠AEP+∠PAE，
∴∠PAE＝110°﹣90°＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠PAE＝90°﹣20°＝70°．
（2）如图2中，
∵∠APC＝100°，
∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣100°＝80°，
∵AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAC＝2∠PAC，∠BCA＝2∠PCA，
∴∠BAC+∠BCA＝160°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣160°＝20°．
（3）如图3中，连接PD延长于点H，
∵∠ADH＝∠2+∠APD，∠CDH＝∠3+∠CPD，
∴∠ADC＝∠2+∠APD+∠3+∠CPD＝∠2+∠3+∠APC，
同理，∠APC＝∠1+∠4+∠B，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ADC＝130°，∠APC＝100°，
∴∠B＝∠APC ﹣∠1﹣∠4＝∠APC ﹣∠2﹣∠3＝∠APC ﹣(∠ADC ﹣∠APC ) ＝70°．