沪教版七年级数学下册试题 14.2全等三角形（含解析）

第二节 全等三角形
一、单选题
1．关于全等三角形，下列说法正确的是（ ）
A．大小相等的三角形是全等三角形
B．面积相等的三角形是全等三角形
C．三个角对应相等的三角形是全等三角形
D．两个三角形全等，它们的形状一定相同
2．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（　　）
A．72° B．60° C．58° D．50°
3．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
5．如图，已知∠B＝∠C，补充下列条件后，不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠AEB＝∠ADC D．AB＝AC
6．如图，△ABC≌△AEF，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．AB=5，BC=4，AC=10 B．∠A=45°，∠C=60°，BC=8
C．∠A=80°，AB=6，BC=7 D．∠C=90°，AB=9
8．如图，在中，D，E是边上的两点，，则的度数为（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
9．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，已知点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点F，AB＝AC，∠C＝∠B，有3个结论：（1）∠AEB＝∠ADC；（2）∠A+∠EFD＝180°；（3）CE＝BD，其中一定正确的（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．如图，在△ABC与△ACD中，AB∥CD，请添加一个条件：______，使△ABC≌△CDA．
12．如图，有两根钢条、，在中点处以小转轴连在一起做成工具（卡错），可测量工件内槽的宽．如果测量，那么工件内槽的宽______cm．
13．如图，在△ABC和△BAD中，因为AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，_____＝_____，根据“SAS”可以得到△ABC≌△BAD．
14．如图，已知△ABC≌△ABD，其中AC、BC的对应边分别是AD、BD，∠C＝60°，∠ABC＝80°，那么∠CAD＝___度．
15．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D，BF＝10，BC＝6，则EC＝_____．
16．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x + y =________．
17．如图，已知△ADC的面积为5，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，那么△ABC的面积为_________.
18．如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°．
三、解答题
19．如图所示，与交于点E，，，．求证：．
20．如图，已知，，，求证：．
21．如图，在中，点是边的中点，过点作直线使，交的延长线于点．试说明的理由．
解：因为（已知），
所以 ( )
因为点是边的中点，
所以
在和中，
所以( )
所以( )
22．如图，已知E、F是BD上的两点，BE＝DF，AE＝CF，AE∥CF，请填写AD∥BC的理由．
解：因为AE∥CF（已知），
所以∠AED＝　 　（两直线平行，内错角相等）．
因为BE＝DF（已知），
所以BE+EF＝DF+EF（　 　），
即BF＝DE．
在△ADE与△CBF中
，
所以△ADE≌△CBF（　 　）．
得∠ADE＝∠CBF（　 　）．
所以AD∥BC（　 　）．
23．已知：如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD，线段AC交线段OB于点M，线段BD交线段OC于点N．
(1)请说明△AOC≌△BOD的理由；
(2)请说明OM＝ON的理由．
24． 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
(1)求证：AE＝CD；
(2)若AC＝12cm，求BD的长
25．如图，已知在△ABC中，AM是△ABC的中线，MP平分∠AMBA，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于点P，CQ⊥MQ于点Q．
（1）求证：MP⊥MQ；
（2）求证：△BMP≌△MCQ．
26．已知：中，，，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作，且．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作于H，连接DE，求证：；
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．
求证：；
(3)当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，若，则的值为______．
答案
一、单选题
1．D
【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，对各个选项进行判断即可．
【解析】解：A、大小相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；
B、面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；
C、三个角对应相等的三角形，边长不一定相等，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；
D、两个三角形全等，它们的形状一定相同，故该选项符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】根据∠α是b、c边的夹角，然后写出即可．
【解析】解：∵两个三角形全等，
∴∠α的度数是72°．
故选：A．
3．A
【分析】利用全等三角形的判定方法判断即可．
【解析】解：由作法易得，，，
在和中，
，
，
∴，
故选：A．
4．C
【分析】根据三角形全等的条件进行判断即可．
【解析】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃，应带③去．
故选：C．
5．C
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．A可利用AAS判定；B可利用AAS判定；C只有三个对应角相等，无法证明；D可利用ASA判定．
【解析】A．∵∠B=∠C，∠A=∠A，AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD(AAS)，故该选项不符合题意；
B．∵∠A=∠A，∠B=∠C，BE＝CD，
∴△ABE≌△ACD(AAS)，故该选项不符合题意；
C．由题意可知只有∠A=∠A，∠B=∠C，∠AEB＝∠ADC三个已知条件，
∴无法由三个角对应相等证明三角形全等，故该选项符合题意；
D．∵∠B＝∠C，AB＝AC，∠A=∠A，
∴△ABE≌△ACD(ASA)，故该选项不符合题意；
故选C．
6．C
【分析】根据全等三角形的性质即可进行判断．
【解析】∵△ABC≌△AEF，
∴AC＝AF，EF＝BC，
故①③正确；
∵△ABC≌△AEF，
∴∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF-∠BAF＝∠BAC-∠BAF，
∴∠EAB＝∠FAC，
故④正确；
∠FAB＝∠EAB不一定相等，故②不符合题意；
综上：正确的有3个，
故选：C．
7．B
【分析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得．
【解析】解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形；
B、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形；
C、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；
D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．
故选：B．
8．B
【分析】先证明BD=CE，然后证明△ADB≌△AEC，∠ADE=∠AED=70°，得到∠BAD=∠CAE，根据三角形内角和定理求出∠DAE=40°，从而求出∠BAD的度数即可得到答案．
【解析】解：∵BE=CD，
∴BE-DE=CD-DE，即BD=CE，
∵∠1=∠2=110°，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS），∠ADE=∠AED=70°，
∴∠BAD=∠CAE，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=40°，
∵∠BAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE=20°，
∴∠BAC=80°，
故选B．
9．C
【解析】要使△ABP与△ABC全等，
必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，
即3个单位长度，
所以点P的位置可以是P1，P，P4三个，
故选C．
10．C
【分析】（1）通过证得△AEB≌△ADC，即可证得结论；
（2）根据题意，只有在CD⊥AB，BE⊥AC时，∠A+∠EFD＝180°才成立；
（3）根据全等三角形的性质即可证得AD＝AE，进而即可证得结论．
【解析】解：（1）在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（ASA），
∴∠AEB＝∠ADC，
故（1）正确；
（2）∵∠EFD＝∠CEF+∠C，
∴∠A+∠EFD＝∠CEF+∠A+∠C＝∠CEF+∠BDF，
∵∠AEB＝∠ADC，
∴∠CEF＝∠BDF，
若∠A+∠EFD＝180°，则∠CEF＝∠BDF＝90°，
故只有在CD⊥AB，BE⊥AC时，∠A+∠EFD＝180°才成立，
故（2）错误；
（3）∵△AEB≌△ADC，
∴AD＝AE，
∵AB＝AC，
∴CE＝BD，
故（3）正确；
综上，3个结论中一定正确的是（1）（3）两个，
故选：C．
二、填空题
11．AB=CD（答案不唯一）
【分析】根据平行线的性质可得∠BAC=∠DCA，再添加AB=CD可利用SAS判定△ABC≌△CDA．
【解析】解：添加AB=CD，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
在△ABC和△CDA中，，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
故答案为：AB=CD（答案不唯一）．
12．2
【分析】利用SAS证明，即可得到答案．
【解析】解：由题意得：在△BOD和△AOC中，
，
∴，
∴，
故答案为：2．
13． BC AD
【分析】因为夹∠ABC的两边分别为AB的BC，所以再加上BC＝AD，得△ABC≌△BAD（SAS）．
【解析】解：∵AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，
∴再加上BC＝AD，
∴△ABC≌△BAD（SAS）．
故答案为：①BC；②AD．
14．80
【分析】根据三角形的内角和定理得到∠CAB=180°-∠C-∠ABC=40°，根据全等三角形的性质得到∠DAB=∠CAB=40°，于是得到结论．
【解析】解：∵∠C=60°，∠ABC=80°，
∴∠CAB=180°-∠C-∠ABC=180°-60°-80°=40°，
∵△ABC≌△ABD，
∴∠DAB=∠CAB=40°，
∴∠CAD=∠CAB+∠DAB=80°，
故答案为：80．
15．2
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，即可利用ASA证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得出BC＝EF＝6，即可根据线段的和差得解．
【解析】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴BC＝EF，
∵BF＝10，BC＝6，
∴EF＝6，CF＝BF﹣BC＝4，
∴EC＝EF﹣CF＝2，
故答案为：2．
16．11
【分析】根据全等三角形的性质求出x和y即可.
【解析】解：∵这两个三角形全等
∴x=6，y=5
∴x + y =11
故答案为11.
17．10
【分析】首先延长BD，交AC于点E，再根据“ASA”证明△ABD≌△AED，由S△ADE+S△CDE=S△ABD+S△BCD，可知S△ABC=2 S△ACD，可得答案．
【解析】延长BD，交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠EAD．
∵∠ADB=∠ADE，AD=AD，
∴△ABD≌△AED，
∴BD=DE，
∴S△BCD= S△CDE，
∴S△ADE+S△CDE=S△ABD+S△BCD=5，
∴S△ABC=2 S△ACD=10．
故答案为：10
18．47
【分析】根据“边边边”证明，再根据全等三角形的性质可得∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和求出∠3＝∠1＋∠2，然后求解即可．
【解析】解：在△ABC和△ADE中，，
∴（SSS），
∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，
∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2，
∵，
∴，
∴．
故答案为：47．
三、解答题
19．，，
，
即BC=AD，
在和中，
（SSS）
20．∵
∴，即
∵
∴
又∵
∴ △DEF≌△ABC（SAS）
∴．
21．解：因为（已知），
所以∠E（两直线平行，内错角相等）
因为点是边的中点，
所以BD=CD．
在和中，
（对顶角相等）
所以（AAS）
所以（全等三角形的对应边相等）
22．证明：因为AE∥CF（已知），
所以∠AED＝∠CFB（两直线平行，内错角相等），
因为BE＝DF（已知），
所以BE+EF＝DF+EF（等式的性质），
即BF＝DE．
在△ADE与△CBF中，
，
所以△ADE≌△CBF（SAS），
得∠ADE＝∠CBF（全等三角形的对应角相等），
所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
故答案为：∠CFB；等式的性质；AE＝CF，DE＝BF；SAS；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行．
23．（1）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC与△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD；
（2）∵△AOC≌△BOD，
∴∠A＝∠B，
在△AOM与△BON中，
，
∴△AOM≌△BON，
∴OM＝ON．
24．（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
又∵∠DBC=∠ECA=90°，
且BC=CA，
在△DBC和△ECA中，
∵，
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE=CD；
（2）解：∵△CDB≌△AEC，
∴BD=CE，
∵AE是BC边上的中线，
∴BD=EC=BC=AC，且AC=12cm．
∴BD=6cm．
25．（1）∵MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，
∴∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC，
∴∠PMQ＝∠AMP＋∠AMQ＝∠AMB＋∠AMC
＝（∠AMB＋∠AMQ）
＝×180°
＝90°，
∴MP⊥MQ；
（2）∵BP⊥MP，CQ⊥MQ，
∴BP∥QM，∠BPM＝90°，∠CQM＝90°，
∴∠PBM＝∠QMC，
∵AM是△ABC的中线，
∴BM＝MC，
在△BMP和△MCQ中
，
∴△BMP≌△MCQ（AAS）．
26．（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）如图，作交的延长线于点F，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∵．
（3）当点D在的延长线上时，作交的延长线于点G，则，
∵，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴的值为；
当点D在线段上时，作于点G，
同理可证：，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
综上所述，的值为或，
故答案为：或．