七年级数学沪教版下册 14.3 等腰三角形 试题（含解析）

第三节 等腰三角形
一、单选题
1．的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A． B．
C．， D．
2．如图，已知，，那么下列结论中，错误的是（ ）
A．
B．平分
C．如果取边上的中点M，联结交于N，那么
D．点N是的中点
3．下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120°
C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC
4下列语句中错误的是（ ）.
A．有一个角是的等腰三角形是等边三角形；
B．连接等边三角形三边中点所构成的三角形，也是等边三角形:
C．三角形的外角和为
D．等腰三角形的对称轴是顶角平分线
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC，D是AB的中点，且DE＝BE，则∠C的度数是（　　）
A．65° B．70° C．75° D．80°
6．如图，在等边△ABC中，∠BAD＝20°，AE＝AD，则∠CDE的度数是（　　）
A．10° B．12.5° C．15° D．20°
7．如图所示，在中，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在三角形ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，若BE+CF=9，则线段EF长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．如图：D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则（ ）
A．当∠B为定值时，∠CDE为定值
B．当∠α为定值时，∠CDE为定值
C．当∠β为定值时，∠CDE为定值
D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值
10．如图，C为线段上一动点（不与A，D重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中完全正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题
11．等腰三角形的对称轴是____________________________．
12．等腰三角形的两边长分别为和，这个等腰三角形的周长为_______．
13．如果等腰三角形的一个角的度数为 ，那么其余的两个角的度数是______．
14．在中，如果，，那么的形状为______．
15．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数是______．
16．如图，在中，D、E是BC的三等分点，是等边三角形，则______度．
17．如图，在等边中，是边上的高，延长至点E，使，则的长为 ___________．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落到点D的位置，AD边与BC边交于点F，如果AE＝AF＝DE，那么∠BAC＝_______度．
三、解答题
19．如图，已知D是△ABC的边BC上一点，AB＝AC＝BD，AD＝CD，求∠B的度数．
20．如图，在中，BE平分，点D是BC边上的中点，．
(1)说明的理由；
(2)若，求的度数．
21．填空完成下列说理：
如图，与交于点，联结、、，已知，．
说明：．
在与中，
（已知）
（已知）
（______）
≌（______）
（______）
（______）
（______）
（______）
即．
22．如图，是等边三角形，是的中点，连接，延长至，使，连接．
(1)等于多少度？
(2)说明与相等的理由．
23．已知，根据下列条件，画图及填空：
(1)画，使，，
(2)在（1）的条件下，画的中线．
(3)在（1）、（2）的条件下，从引出一条射线，将切割成两个等腰三角形，射线与边相交于点，请画出射线，在图中标出的大小，并写出______．
24．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC的延长线上，且AD＝BE，联结DC、AE．
(1)试说明△BCD≌△ACE的理由；
(2)如果BE＝2AB，求∠BAE的度数．
25．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在、、上，且，，试说明的理由．
解：因为，（已知），
所以是等边三角形（ ）
所以．
又因为△ABC是等边三角形（已知），
所以 （ ）
所以（等量代换），
因为∠ （ ），
即，
所以（ ）
在和中，
，
所以（ ）
所以（ ）
26．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，BE与CD相于点F．求证：
（1）∠ADC＝∠AEB；
（2）FD＝FE．
27．如图，已知中，，点D是线段AB上的一点，以BD为底边作等腰，腰CD经过点O，且满足．
(1)如图①，如果，说明的理由．
(2)如图②，延长线段AO交线段BC于点E，如果是等腰三角形，求：的度数．
28．已知：如图，在△ABC中，点D，E是边BC上的两点，且AB＝BE，AC＝CD．
(1)若∠BAC＝90°，求∠DAE的度数；
(2)若∠BAC＝120°，直接写出∠DAE的度数；
(3)设∠BAC＝α，∠DAE＝β，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）．
29．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
(1)求∠DOE的度数；
(2)试判断△MNC的形状，并说明理由．
30．在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．
(1)如图1，是周长为9的等边三角形，则的周长　　；
(2)如图1，当点边上，且时，之间的数量关系是　 　；此时　 　；
(3)点在边，且当时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．
答案
一、单选题
1．D
【分析】根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
【解析】解：A、因为，，所以，所以是等腰三角形；
B、因为 ，所以设，则有两边相等的是等腰三角形；
C、因为 ，所以，则，所以是等腰三角形；
D、因为，，则，那么， ，不能判定是等腰三角形．
故选：D.
2．D
【分析】设，根据等腰三角形的性质可得，利用外角的性质可得，进而得出，再根据三角形内角和定理可得；根据，，可得平分；根据等腰三角形“三线合一”可得，再利用外角的性质可得；最后根据三角形中位线的性质可判断D选项错误．
【解析】解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，故A选项结论正确，不合题意；
，，
平分，故B选项结论正确，不合题意；
，点M是边上的中点，
，
，故C选项结论正确，不合题意；
与不平行，，
，即点N不是的中点，故D选项结论错误，符合题意；
故选D．
3．B
【分析】根据等边三角形的判定定理可得出答案．
【解析】A．∵∠A＝∠B＝60°，
∴∠C＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形．
故A选项不符合题意；
B．∵∠B+∠C＝120°，
∴∠A＝60°，
∴△ABC不一定是等边三角形，
故B选项符合题意；
C．∵∠B＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
故C选项不符合题意；
D．∵∠A＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
故D选项不符合题意；
故选：B．
4．D
【分析】分别利用等边三角形的判定方法对AB进行判断，利用三角形外角和对C进行判断，利用对称轴是直线对D进行判断后，即可得到结论．
【解析】解：A、根据等边三角形的判定得出：有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故A正确；
B、顺次连接三角形三边的中点所成的线段，根据中位线的性质可知都是对应边的一半，所以所构成的三角形也是等边三角形，故B正确；
、根据三角形的外角和等于360°可知，故C正确；
、沿某等腰三角形的顶角平分线所在直线翻折后左右能够重合，而顶角平分线是线段不是直线，故D错误.
故选．
5．C
【分析】根据直角三角形的性质得到DE＝AB＝BD＝AD，得到△BDE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解析】解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵D是AB的中点，
∴DE＝AB＝BD＝AD，
∵DE＝BE，
∴DE＝BE＝BD，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝×（180°﹣30°）＝75°，
故选：C．
6．A
【分析】先求出，根据等腰三角形性质求出，可求出，再根据三角形的外角性质求出，即可求出答案．
【解析】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
7．A
【分析】根据等边对等角和三角形内角和定理可得∠B=∠C=（180°－∠A）=90°－，然后根据三角形外角的性质和已知可证出∠DEB=∠CDF，结合平角的定义和三角形的内角和定理可证∠EDF=∠B=90°－．
【解析】解：∵，
∴∠B=∠C=（180°－∠A）=90°－
∵=∠C＋∠CDF
∴∠DEB=∠CDF
∵∠B＋∠DEB＋∠EDB=180°，∠EDF＋∠CDF＋∠EDB=180°
∴∠EDF＋∠CDF＋∠EDB=∠B＋∠DEB＋∠EDB
∴∠EDF=∠B=90°－
故选A．
8．D
【分析】由平行线的性质可得内错角∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，再由角平分线的性质可得∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，即BE=DE，DF=FC，进而可求EF的长．
【解析】∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∵BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB，
∴∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB，
∴∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，
即BE=DE，DF=FC，
EF=DE+DF=BE+FC=9．
故选D．
9．B
【解析】试题分析：本题主要考查等腰三角形的性质和外角的性质，掌握等边对等角和三角形的外角等于不相邻两内角的和是解题的关键．根据等边对等角，可找到角之间的关系，再利用外角的性质可找到∠CDE和∠1之间的关系，从而得到答案．
解：
A∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∠ADC=∠α+∠B，
∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠α+∠B-∠CDE，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠γ=∠CDE+∠C=∠CDE+∠B，
∴∠1+∠B-∠CDE=∠CDE+∠B，
∴∠1=2∠CDE，
∴当∠α为定值时，∠CDE为定值，
故选B．
10．B
【分析】①证明，即可得到；②证明，得到，进而得到为等边三角形，得到，即可得到；③由，即可得证；④，得到，进而得到；⑤根据，得到，再根据对顶角相等和三角形内角和定理，即可得到．
【解析】解：①和均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，
∴，，．
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又，
∴为等边三角形，
∴，
∴，故②正确；
③由②知：，
∴，故③正确；
④∵、为正三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，故④错误；
⑤由①知：，
∴，
又∵，
∴，故⑤正确；
综上：正确的有共4个；
故选B．
二、填空题
11．底边上的高（顶角平分线或底边的中线）
【分析】本题根据等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，因为等腰三角形底边上的高，顶角平分线，底边上的中线三线合一，所以等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．
【解析】解：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．
故答案为：底边上的高（顶角平分线或底边的中线）．
12．15
【分析】由等腰三角形两腰长相等的性质，分为腰长或为腰长两种情况，结合三角形三边关系即可求解．
【解析】解：根据题意，当腰长为时，6、6、3能组成三角形，
周长为：；
当腰长为时，，6、3、3不能构成三角形，
故答案为：15．
13．，或，
【分析】根据等腰三角形性质，分类讨论即可得到答案．
【解析】解：①当时顶角时，其余两个角是底角且相等，则有：；
②当时底角时，则有：顶角；
故答案为：，或，．
14．等边三角形
【分析】根据三个角相等的三角形是等边三角形证明即可．
【解析】在中，由得，
又∵，
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
15．或
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况是等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为；另一种情况是等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为；
【解析】如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵，，
∴；
如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：或
16．120
【分析】由三等分点，可知，由是等边三角形，可知，，则，由等边对等角可得，，根据三角形外角的性质可求的值，在中，根据三角形内角和定理知，计算求解即可．
【解析】解：∵D，E是BC的三等分点，
∴，
∵△ADE是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：120．
17．3
【分析】由等边三角形的性质可得，根据是边上的高线，可得，再由题中条件，即可求得．
【解析】解：∵是等边三角形，
∴，
∵是边上的高线，
∴D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
18．108
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，令∠B＝∠C＝x，根据折叠的性质以及等腰三角形的性质分别用含有x的代数式表示出∠D，∠EFD，∠FED，再根据三角形的内角和定理求解即可．
【解析】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
令∠B＝∠C＝x，
由折叠的性质可得∠D＝∠B＝x.
∵AE＝ED，
∴∠EAD＝∠D＝x.
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE=.
∵∠AEF+∠AEB＝180°，∠AFE+∠EFD＝180°，
∴∠AEB=∠EFD＝.
∵∠AEB＝∠AED，
∴∠AED＝，
∴∠FED＝x.
在△EFD中，∠FED+∠EFD+∠D＝180°，
即，
解得x＝36°，
∴∠B＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝108°．
故答案为：108．
三、解答题
19．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD，
∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
20．（1）解：∵BE平分，
∴，
∵点D是BC边上的中点，，
∴，
在和中，
∵，
∴（SAS）；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵点D是BC边上的中点，
∴，
∴，
∵，
∴=．
21．解：在与中，
已知，
已知，
对顶角相等，
≌，
全等三角形的对应角相等，
全等三角形的对应边相等，
等边对等角，
等式性质，
即．
故答案为：对顶角相等；ASA；全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应边相等；等边对等角；等式性质．
22．（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）理由如下：
∵是等边三角形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（1）如图1所示，将量角器中心与点对齐，0刻度线与对齐，内圈30°线条指向作射线；将量角器中心与点对齐，0刻度线与对齐，外圈60°线条指向作射线；射线与交点为点，则即为所求．
（2）如图2所示，取中点为点，作线段，则为的中线，线段即为所求．
（3）如图3所示，从引出一条射线将切割成两个等腰三角形和等腰三角形（点为等腰三角形和等腰三角形的顶点），
∴，
在中，，，
∴，
∴，则，
又∵点为的中点，
∴，
故图3中射线即为所求；的度数为60°，如图3所示；．
24．（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．
∴∠DBC＝∠ECA=120°．
∵AD＝BE，
∴AD﹣AB＝BE﹣BC，
即BD＝CE．
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）解∶∵BE＝2BC，
∴BC＝CE，
∵AC＝BC，
∴AC＝CE，
∴∠CAE＝∠E，
∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝60°，
∴∠E＝30°，
∵∠ABE+∠E+∠BAE＝180°，∠ABE=60°，
∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠E＝90°．
25．解：因为，（已知），
所以是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）
所以．
又因为△ABC是等边三角形（已知），
所以（等边三角形三个角都是 ）
所以（等量代换），
因为（三角形外角等于与它不相邻两个内角之和 ），
即，
所以（等量代换 ）
在和中，
，
所以（）
所以（全等三角形对应边相等）
26．证明：（1）∵∠BAD=∠CAE（已知），
∴∠BAD+∠EAD=∠CAE+∠DAE（等式性质），即∠BAE=∠CAD．
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴∠ADC=∠AEB；
（2）连结DE，
∵AD=AE（已知），
∴∠ADE=∠AED(等边对等角)．
∵∠ADC=∠AEB (已证)，
∴∠ADC-∠ADE =∠AEB-∠AED（等式性质），即∠FDE=∠FED．
∴FD=FE (等角对等边)．
27．（1）证明：，
，
∵OC=OB
∴
又∵∠ABO=∠OBC
，
在与中，
≌,
∴AB=BC.
（2）解：延长AO交CB与点E,如图，
∵△CDB为等腰三角形，
∴
∵,,
∴
设的度数为，则，，
当时，
∵
即,
∴这种情况不存在；
当时，
，
解得：，
当时，
，
解得：，
∵,
∴综上所述，当为等腰三角形时，∠C的度数为或．
28．（1）解：（1）∵BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠B＝180°﹣2∠BAE，①
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠C＝180°﹣2∠CAD，②
①+②得：∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）
∴180°﹣∠BAC＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAD）+∠DAE]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAC+∠DAE），
∴2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
∵∠BAC＝90°，
∴2∠DAE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DAE＝45°；
（2）由（1）知，∠DAE＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣120°）＝30°；
（3）∵BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠B＝180°﹣2∠BAE，①
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠C＝180°﹣2∠CAD，②
①+②得：∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）
∴180°﹣∠BAC＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAD）+∠DAE]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAC+∠DAE），
∴2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
∵∠BAC＝α，
∴2β＝180°﹣α，
∴α+2β＝180°．
29．（1）解：∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌BCE（SAS），
∴∠ADC=∠BEC，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠CED=∠CDE=60°，
∴∠ADE+∠BED
=∠ADC+∠CDE+∠BED
=∠ADC+60°+∠BED=∠BEC+∠CED+60°
=∠DEC+60°
=60°+60°
=120°，
∴∠DOE=180°-（∠ADE+∠BED）=60°；
（2）解：△MNC是等边三角形，理由如下：
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM=AD，BN=BE，
∴AM=BN，
在△ACM和△BCN中，，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，
又∵∠ACB=60°，
∴∠ACM+∠MCB=60°，
∴∠BCN+∠MCB=60°，
∴∠MCN=60°，
∴△MNC是等边三角形．
30．（1）解：如图1，延长至，使，连接，
，
，且，
，
又是等边三角形，
，
在与中，
，
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
，．
．
在与中，
，
，
，
的周长 ，
等边的周长，
，
，
故答案为：6；
（2）解：如图，、、之间的数量关系，此时，
，
，且，
，
又是等边三角形，
，
在与中，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
的周，
等边的周长，
，
故答案为：，；
（3）解：猜想：（2）中的结论仍然成立，
证明：如图2，延长至，使，连接，
，
，且，
，
又是等边三角形，
，
在与中，
，
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
，．
．
在与中，
，
，
，
的周长，
等边的周长，
．