广西钦州市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（PDF版含答案）

2024 年春期期中考试高二数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________总分：___________
一、单选题（每题 5分，共 5*8=40 分）
1．下表是离散型随机变量 X 的分布列，则常数 a的值是（ ）
X 3 4 5 9
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 12 9 2 a 1 a 1 1P
2 6 2 6
1
2．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为 ，且 P A 2P B ，则P A （ ）7
1 3 5 6
A． B． C． D．
7 7 7 7
3．据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为 0.1%，在人群中有 20%是
吸烟者，他们患肺癌的概率约为 0.4%，则不吸烟患肺癌的概率为（ ）
A．0.025% B．0.032% C．0.048% D．0.02%
4． x 3y 5的展开式中所有的项的系数之和为（ ）
A． 32 B． 16 C．10 D．64
5．有 5件不同款式的上衣和 8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不
同的配法种数为（ ）
A．13 B．40 C．72 D．60
6．某市高三年级男生的身高 X（单位：cm）近似服从正态分布 N 171,16 ，现在该市随机
选择一名高三男生，则他的身高位于 171,179 内的概率（结果保留三位有效数字）是（ ）
参考数据： P X 0.683， P 2 X 2 0.954，
P 3 X 3 0.997．
A．0.477 B．0.478 C．0.479 D．0.480
7．定义：“各位数字之和为 6的四位数叫幸运数”，比如“1005，2013”，则所有“幸运数”的
个数为（ ）
A．20 B．56 C．84 D．120
8．某人用字母 v，r，y各 1个和 2个字母 e拼写英语单词“every”，那么他写错这个英语单
词的概率为（ ）
— 1—
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119 9 19 59
A． B． C． D．
120 10 20 60
二、多选题（每题 6分，共 5*8=40 分）
9．已知数列 an 各项均为负数，其前 n项和 Sn满足 an Sn 16 n N* ，则（ ）
A．数列 an 的第 2项小于 3 B．数列 an 不可能是等比数列
1
C．数列 an 为递增数列 D．数列 an 中存在大于 的项100
10．现有 4个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有 7人、8人、9人、10人，则
下列说法正确的是（ ）
A．选1人为负责人的选法种数为34
B．每组选1名组长的选法种数为5400
C．若推选 2人发言，这 2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为420
D．若另有3名学生加入这 4个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不
同的选法有37种
11．如图所示，是一个 3×3九宫格，现从这 9个数字中随机挑出 3个不同的数字，记事件
A1：恰好挑出的是 1、2、3；记事件 A2：恰好挑出的是 1、4、7；记事件 A3：挑出的数字里
含有数字 1.下列说法正确的是（ ）
A．事件 A1，A2是互斥事件 1 2 3
B．事件 A1，A2是独立事件
C．P(A1|A3)＝P(A2|A3) 4 5 6
D．P(A3)＝P(A1)＋P(A2)
7 8 9
三、填空题（每题 5分，共 5*3=15 分）
12 (1 x)4．已知 (1 x)5 (1 x)11 a0 a1(2 x) a2 (2 x)
2 a11(2 x)
11
，则
a0 a2 a4 a10 的值是 .

13 ．已知向量 a x 2,3 ， b y, 6 ， c 3, y 1 且 a // b， b c，则 3a b
5 2
14．已知随机变量 X ~ B(6, p)( p )，若对 k N*,k 5，都有
8 3
P X k P X m m N* ，则 E mX 的取值范围是 ．
— 2—
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四、解答题
1
15 2．（本题 13 分）已知正项数列{an}的前 n项和为 Sn , Sn 是 与 (an 1) 的等比中项.4
（1）求证：数列{an}是等差数列；
a
（2）若 b nn n ，数列{b2 n
}的前 n项和为Tn ，求Tn .
16．（本题 15 分）某班级数学竞赛学习兴趣小组有 9名学生，若从这 9名学生中选取 3人，
16
则选取的 3人中至少有 1名女生的概率是 .
21
(1)该小组中男女学生各多少人？
(2)若 9名学生站成一排，要求男生必须两两站在一起（不能有 3名男生站在一起），有多少
种站队的方法？
17 2．（本题 15 分）已知正项数列 an ，满足 an 2an 4Sn 3．
(1)求an ；
1
(2)若bn a ，求数列 bn 的前 n项和Tn ．nan 1
18．（本题 17 分）为打赢脱贫攻坚战，解决脱贫问题，政府重点扶持扶贫工厂.当地对某扶
贫工厂进行设备改造，为分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中
各抽取 100件产品作为样本，检测质量指标值 x(x [35,85]) .该产品为次品、合格品、优等
品所对应的指标值范围分别为[35,55)，[55,75)，[75,85] .设备改造前的样本的频率分布直方
图如图所示，设备改造后的样本的频数分布表如下所示.
— 3—
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质量指 [35, 45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85]
标值 x
频数 1 4 47 38 10
次品 非次品 合计
（Ⅰ）根据以上数据，完成以下 2 2列联表，并判断
是否有95%的把握认为设备改造与产品为次品有关？ 改造前
改造后
合计
（Ⅱ）若工人的月工资是由基本工资 1000元与效益工资两部分组成.效益工资实施细则如下：
每生产一件产品是合格品的奖 50元，是优等品的奖 100元，是次品的扣 20元.将频率视为
概率，估计设备改造后，一个月生产 60件产品的工人月工资为多少元？
附：
P(K 2 k0 ) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
K2 n(ad bc)
2

(a b)(c d)(a c)(b d)
19．（本题 17 分）根据社会人口学研究发现，一个家庭有 X 个孩子的概率模型为：
X 1 2 3 0
a
P a a 1 p a(1 p)2 （其中a 0,0 p 1）p
1
每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 ，且相互独立，事件 A2 i表示一个家庭有 i个孩
子 (i 0,1,2,3)，事件 B表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家
庭男孩多）.
— 4—
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1 n
(1)若 p ，求 a，并根据全概率公式 P(B) 2 P B A

∣ i P Ai 求 P B ；
i 1
(2)是否存在 p 值，使得 E X 5 ，请说明理由
3
— 5—
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2024 年春期期中考试高二数学试卷参考答案：
1．C 2．B 3．A 4．A 5．B 6．A 7．B 8．D 9．BCD 10．AD 11．AC
12． 680 13． 10 14． 15,16
8．D【详解】对 e，v，e，r，y5 个字母排列也就是将 e，v，e，r，y放入 5个确定的位置，
2 3
先从 5个位置中选出 2个位置放 2个 e，有C5 种方法，再将剩下 3个字母全排放入其他两个位置，有A3
2 3
种方法，因此共有C5A3 60种方法，而写对的可能只有 1种，所以他写错这个英语单词的情况有
59
60 1 59种，所以他写错这个英语单词的概率为 P .故选：D.
60
9．BCD *【详解】由题知，因为 an Sn 16 n N ，所以当 n 1时， a1 S1 16，可得 a1 4，
2
当 n 2时， a2 S2 a2 4 a2 16，可得 a2 2 2 5，又 2 2 5 3 5 2 5，且52 2 5 ，
所以 a2 2 2 5 3，A错误；对于 B，假设数列 an 是等比数列，设其公比为q，
2
2 16 16 16 2
由于 a2 a1a3，即 ，变形可得 a1 1 q
2 a2 1 q q21 ，
S2 S1 S3
必有 q 0，与等比数列定义矛盾，B正确；
16 16 16 an 1 an
对于 C，当 n 2时，可得 an Sn Sn 1 0，an an 1 anan 1
必有 an 1 an 0即an 1 an，则 an 是递增数列，C正确；
对于 D，假设数列 a 1 * a 1n 中不存在大于 的项，即对于 ，有 ，100 n N n 100
S 1
16
则 1000000 1000000an 1000000 10000，所以有 S100 1000000
10000
a ， 1000000
16 1
变形得 a1000000 ，与假设矛盾，故 D正确.故选：BCD10000 100
11．【详解】A.挑出的是 1、2、3和挑出的是 1、4、7不可能同时发生，正确；
B.事件 A1，A2不是独立事件，错误；
1 1
C.P(A P(A
3 3
1A3 ) C9 P(A2A3 ) C9 ，正确；
1 | A3 ) ,P(A | A ) P(A3 ) P(A3 )
2 3 P(A3 ) P(A3 )
— 1—
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C1C 2
D. P(A3)
1 1
1 83 ,P(A1) 3 ,P(A2) 3 ， P(A3 ) P(A1) P(A2 )，错误.故选：AC.C9 C9 C9

13 y 2 ． 【详解】由 b c知， b c 3y 6(y 1) 0，解得 ，故 b 2, 6 ，又 a // b
x 2 3
则 ，解得 x 1， a 1,3 3a b 3( 1,3) (2, 6) ( 1,3) 102 6
6!
p
P(X k 1) C
k 1pk 1(1 p)5 k
6 (k 1)!(5 k)! (6 k) p14． 【详解】由 X ~ B 6, p ，得 ，
P(X k) Ck pk (1 p)6 k 6!6 (1 p) (k 1)(1 p)
k !(6 k)!
(6 k)p
当 1，即 k 7p 1(k 1)(1 p) 时，
P X k 1 P X k ；

(6 k)p
当 1，即 k 7p 1时， P X k 1 P X k(k 1)(1 p) ，
5 p 2 27 11而 ，即3 7p 1 4，则当 k 3时， P X k 1 P X k ；
8 3 8 3
当 k 4时， P X k 1 P X k ，因此m 4，
则 E mX E 4X 4E X 4 6 p 24 p (15,16)，所以 E mX 的取值范围是 15,16 ．
1 1 2
15．（1）证明：由 Sn 是 与 an 1
2
的等比中项，得 Sn a4 4 n 1 .
1 1
当 n 1 2 2时， a1 a1 1 ， a4 1 1. 当n 2时， Sn 1 a4 n 1 1 ，
an Sn S
1 2 2
n 1 an an 1 2an 2an 1 ，即 an an 1 an an 1 2 0 .4
an 0, an an 1 2 0，即 an an 1 2 . 数列 an 是等差数列.
（2）数列 an 首项 a1 1，公差 d 2，通项公式为 an 2n 1.
b 2n 1 1 3 5 2n 1则 n ，则T .①2n n 2 22 23 2n
1 1 1 3 5 2n 1
两边同时乘以 ，得 Tn ②2 2 22 23 24 2n 1
1 T 2 1 1 1 1 2 n 1 1①-②，得
2 n 2 2 2 2 3 2 n 2 n 1 2
— 2—
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1 1 1
2 2n 2n 1 1 3 2n 3 2n 3 2 1 n 1 n 1 .解得
Tn 3 .
1 2 2 2 2 2
n
2
C3 16
16．【详解】（1）设男生有 x人，则 P(至少 1名女生 ) 1 x3 ，即 x x 1 x 2 120，又 * ，C x N9 21
且3 x 9，解得 x 6，故男生有6人，女生有3人.
C2C2C2
（2）第一步：将 6名男生分成 3组，共有 6 4 23 15种方法；A3
3 2 2 2第二步： 组男生中每组男生站队方法共有A2 A2 A2 8种；
3 3
第三步： 3名女生站好队，然后将 3组男生插入其中，共有A3 A4 144种方法；
所以一共有15 8 144 17280种站队方法.
17 2．【详解】（1）由 an 2an 4Sn 3
2
，可得 an 1 2an 1 4Sn 1 3， n 2，
两式相减得 an an 1 an an 1 2 0，又 an 0，
an an 1 2 0，即 an an 1 2，n 2 2，又 a1 2a1 4S1 3，解得 a1 3，
所以数列 an 是以 3为首项，以 2为公差的等差数列， an 3 2 n 1 2n 1 .
b 1 1 1 1 1 （2）由（1）， n a a 2n 1 2n 3 2 2n 1 2n 3 ，n n 1
1 1 1 n
所以Tn b1 b2 b
1 1 1 1 1 1 1 n

2 3 5 5 7 2n 1 2n 3 2

3 2n 3 3 2n 3
.
18．【详解】解：（Ⅰ）根据图表得到 2 2列联表：
将 2 2列联表中的数据代入公式计算得： 次品 非次品 合计
2 200 15 95
2
85 5 设备改造前 15 85 100
K = 5.556 3.841.
100 100 20 180
设备改造后 5 95 100
∴有95%的把握认为设备改造与产品为次品有关.
合计 20 180 200
10
（Ⅱ）优等品效益工资： 100 60 600（元），
100
— 3—
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85
合格品效益工资： 50 60 2550
5
（元），次品效益工资： 20 60 60（元），
100 100
工人的月工资约为1000 600 2550 60 4090（元），
设备改造后，一个月生产 60件产品的工人月工资大约为 4090元.
1 a a
19．【详解】（1）当 p 时， P A0 ,P A1 2a,P A2 a,P A2 4 3 ，2
a
则 2a a
a 4
1，解得 a .
4 2 15
1 1 2 1 3 1 3
由题意，得 P B∣A1 C1 ,P B A 2 2 3 1 ∣ 2 C2 ,P B∣A3 C3 C3 .2 2 2 2
n 2 3 3
由全概率公式，得 P(B) P B∣Ai P A ai C2 1 2 1 3 1 2 a C3 C3 a(1 p)
i 1 2p 2 2 2
a a a
1 p . p 1 ,a 4 2
2p 4 2 又 ，所以
P B .
2 15 5
a
（2）由 a a 1 p a(1 p)2 1 1，得 p2 3p 1 3a p .p
a 5
假设存在 p，使 E X 2a 3a 1 p p 3 .
1 5 p2 5
将上述两式相乘，得 5 3p 5 p 5 ，化简，得5p3 6p2 2 0 .
p 3 3p
3 2 2
设 h p 5p 6p 2，则 h p 15p 12p 3p 5p 4 .
由 h p 0 4，得 0 p ，由 h p 0 4，得 p 1，
5 5
h p 0, 4 4则 在 上单调递减，在 ,1
h p h 4 18上单调递增，所以 的最小值为
5 5 5
0，
25
5
所以不存在 p0 使得 h p p0 0 .即不存在 值，使得 E X .3
— 4—
{#{QQABRYyQogCgAoBAABgCAwHACACQkACCAIoGAEAIMAAACAFABAA=}#}