第十章 10.2 事件的相互独立性 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
第十章
10.2 事件的相互独立性
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解相互独立事件的概念及意义. 1.数学抽象素养.
2.能记住相互独立事件概率的乘法公式． 2.数学抽象素养和数学运算素养.
3.能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题. 3.数学运算素养和逻辑推理素养.
温故知新
概率的基本性质：
性质 内 容 公式
性质 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0 P(Ω)=1，P( )=0.
性质5 如果A B，那么P(A)≤P(B). 对于任意事件A，有0≤P(A)≤1.即P(A)∈[0,1].
运算法则 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B). P(A∪B)=P(A)+P(B)
推论 如果事件A1, A2, …, Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和. P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B) P(A)+P(B)=1.
性质6 设A、B是一个随机试验中的两个事件，则有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
温故知新
事件的关系：
包含关系：若事件A发生则必有事件B发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B).记作A B.
相等关系：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，则称事件A与事件B相等.记作A=B.
互斥关系：如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B= ,则称事件A与事件B互斥(或互不相容）.
对立关系：如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B= ，那么称事件A与事件B互为对立．
并事件：事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件).
交事件：事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点在事件A中，也在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件).
事件的运算：
新知探究
前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？
我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生．因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关．那么，这种关系会是怎样的呢？
下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题．
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2:一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
分别计算P(A) ，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
新知探究
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2:一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
分别计算P(A) ，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率．
显然，对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率．
知新探究
试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}，包含4个等可能的样本点.而A={（1，1），（1，0）}，B={（1，0），（0，0）}，所以AB={(1,0)}.由古典概型概率计算公
式，得
P(A) =P(B)= ，P(AB)= ,
于是
P(AB)=P(A)P(B)
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
知新探究
试验2:一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
在试验2中，样本空间为Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}，而
P(A) =P(B)= ，P(AB)= ,
于是也有
P(AB)=P(A)P(B)
A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2，1),(2,2)，(2,3),(2，4)},
B={(1，1),(1，2),(2，1),(2，2),(3，1),(3，2),(4，1),(4，2)},
AB={(1，1),(1，2)，(2，1),(2，2)}.
所以
积事件AB的概率P(AB)也等于P(A)与P(B)的乘积.
知新探究
从上述两个试验的共性中得到启发，我们引入这种事件关系的一般定义：
对于任意事件A与B，如果
P(AB)=P(A)P(B)
成立，则乘事件A与事件B相互独立（mutually independent），简称为独立.
由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件Ω、不可能事件 都与任意事件相互独立.这是因为必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件 总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响.当然，它们也不影响其他事件是否发生.
知新探究
互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系，如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸求试验为例，分别验证A与与B， 是否独立？
对于A与，因为A=,而且AB与互斥，所以
P(A)=P()=P(AB)+P()=P(A)P(B)+P()
P()=P(A)-P(A)P(B)
所以
=P(A)(1-P(B))=P(A)P().
由事件的独立性定义，A与相互独立.
类似地，事件与B， 也都相互独立.
我们知道，如果三个事件A,B,C两两互斥，那么概率加法公式，P()=P(A)+P(B)+P(C)成立，但当三个事件A,B,C两两独立时，P()=
P(A)P(B)P(C)一般不成立．
知新探究
互斥事件、对立事件与独立事件公式辨析
互斥事件的公式
对立事件的公式
独立事件的公式
P(A∪B)=P(A)+P(B)
P(A)+P(B)=1
P(AB)=P(A)P(B)
注意：从定义辨析互斥事件、对立事件与独立事件.
知新探究
【例1】一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
解：
因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}，且m≠n}，
P(A)=P(B) =.
此时P(AB)≠P(A)P(B),因此,，事件A与事件B不独立.
P(AB) = =.
A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}
B={(1,2),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2)}
所以
知新探究
判断事件是否相互独立的方法
1.直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响.
2.公式法：
①写出样本空间Ω，并计算样本点个数；
②分别写出事件的所有基本事件，并计算个数；
③计算P(A),P(B),P(AB);
④判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立；若成立，则相互独立；若不成立，则不独立.
初试身手
1.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则下列对事件的表述正确的是( )
A.A与B互为对立事件 B.A与B互斥
C.A与B相互独立 D.P(AB)=
解：
事件A包含的结果有：（正，正），（正，反），事件B包含的结果有：（正，反），（反，反），事件AB包含的结果有：（正，反），
抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），
（反，正），（反，反）.
所以A与B不互斥，且不对立，故选项A、B错误；
又P(A)=P(B) ,P(AB) =,所以P(AB) =P(A)P(B),即A与B相互独立，故C正确，D错误.故选C.
C
知新探究
【例2】甲、乙两名射击运动员进行设计比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
⑴两人都中靶； ⑵恰好有一人中靶；
⑶两人都脱靶； ⑷至少有一人中靶．
分析:设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”.从要求的概率可知，需要先求A，B的对立事件，的概率,并利用A，B，，构建相应的事件.
解：
设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则=“甲脱靶”，=“乙脱靶”.
由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，A与，与B，与都相互独立.
由已知可得P(A)=0.8,P(B)=0.9,P()=0.2,P()=0.1.
⑴AB=“两人都中靶”，由事件独立性定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
知新探究
【例2】甲、乙两名射击运动员进行设计比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
⑴两人都中靶； ⑵恰好有一人中靶；
⑶两人都脱靶； ⑷至少有一人中靶．
解：
P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B).
⑵“恰好有一人中靶”=A∪B，且A
B互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.
⑶事件“两人都脱靶”=，所以
P()=P()P()=0.2×0.1=0.02.
知新探究
【例2】甲、乙两名射击运动员进行设计比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
⑴两人都中靶； ⑵恰好有一人中靶；
⑶两人都脱靶； ⑷至少有一人中靶．
解：
P(AB∪AB)=P(AB)+P(A)+P(B).
⑷方法1：事件“至少有一人中靶”=AB∪A∪B，且AB，A与B两两互斥，所以
=0.72+0.26=0.98.
方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为
1-P()=1-0.02=0.98.
=P(A)P(B)+P(A)+P(B)
小试身手
2.甲，乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为，，则密码被破译的概率为( )
A. B. C. D.1
解：
设“甲独立地破译一份密码”为事件A，“乙独立地破译一份密码”为事件B，则
P(A)＝，P(B)＝，P()＝,P()=.
P(C)＝P(AB)＋P(B)＋P(A)=P(A)P(B)+P()P(B)+P(A)P().
设“密码被破译”为事件C，则
==.
故选B.
B
知新探究
【例3】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
解：
设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1,B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得
P(A1)=,P(A2)=,P(B1)=,P(B2)=.
设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则A=A1B2∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，所以.
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生．
P(A)＝P(A1B2)＋P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1).
=.
初试身手
3.“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”是一句俗语，比喻人多智慧多.假设诸葛亮想出计谋的概率是0.9，臭皮匠甲、乙、丙各自想出计谋的概率分别是0.6、0.6、0.5.记A=“甲想出计谋”, B=“甲想出计谋” ,C=“甲想出计谋” ,D=“臭皮匠想出计谋”.试比用概率知识予以解释.
解：
所以，“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”在数学上是可以这样解释的.
因为事件A,B,C,相互独立，所以，，也相互独立.则
P(D)=1-P()=1-P()P()P().
=1-(1-0.6)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.92>0.9
课堂小结
1.独立事件与互斥事件的比较
互斥事件 相互独立事件
定义
概率公式
不可能同时发生的两个事件
事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响
P(A+B)=P(A)+P(B)
P(AB)=P(A)P(B)
2.相互独立事件的性质
独立事件的对立事件也相互独立
3.判断两个事件相互独立的方法：
①直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响.
②定义法：P(AB)=P(A)P(B).
作业布置
作业： P253 习题10.2 第2，3,4,5,6题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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