安康市高新中学、安中分校2024届高三下学期第四次模拟考试
文科数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. 3 B. C. 4 D. 5
3. 演讲比赛中，12位评委对小李的演讲打出了如下的分数：
9.3 8.8 8.9 9.0 8.9 9.0
9.1 8.7 9.2 9.0 9.1 9.2
若去掉两个最高分，两个最低分，则剩下8个分数的平均数为（ ）
A. 9.075 B. 9.05 C. 9.025 D. 9
4. “”是“为第一象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知满足约束条件，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
6. 若一段河流的蓄水量为立方米，每天水流量为立方米，每天往这段河流排水立方米的污水，则天后河水的污染指数为初始值，．现有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要使河水的污染指数下降到初始值的，需要的天数大约是（参考数据：）（ ）
A. 98 B. 105 C. 117 D. 130
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
8. 在梯形中，为线段的中点，，则（ ）
A. B. C. D.
9. 已知等比数列的各项均为负数，记其前项和为，若，则（ ）
A. －8 B. －16 C. －32 D. －48
10. 已知函数部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点，则（ ）
A. B. 1 C. －1 D.
11. 在正四棱柱中，已知，为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为（ ）
A. B. C. D.
12. 设双曲线的左、右焦点分别为，过且与圆相切的直线与的左支交于点，若，则的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知抛物线上的点到焦点的距离为3，则点到轴的距离为______．
14. 已知命题，若为假命题，则的取值范围是______
15. 在中，角的对边分别为，为线段延长线上一点，平分，且直线与直线相交于点，则______．
16. 已知实数满足，则______
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 ．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17. 近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．A，B两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下：
利润率 月数 公司
公司 3 2 1
公司 2 2 2
利润率，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变．
（1）比较，两公司过去6个月平均每月利润率的大小；
（2）已知这6个月内没有发生某个月，两公司同时亏损的情况，则从这6个月中任意抽取2个月，求这2个月，两公司均盈利的概率．
18. 记数列的前项和为，已知且．
（1）证明：是等差数列；
（2）记，求数列的前2n项和．
19. 如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点．
（1）证明： ∥平面；
（2）若，求点到平面距离．
20. 已知椭圆的离心率为的上顶点和右顶点分别为，点的面积为2．
（1）求的方程；
（2）过点且斜率存在的直线与交于两点，过点且与直线平行的直线与直线的交点为，证明：直线过定点．
21. 已知函数．
（1）证明：当时，；
（2）求在区间上的零点个数．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
［选修4－4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求普通方程和的直角坐标方程；
（2）若曲线分别与曲线和交于点，其中，若，求．
［选修4－5：不等式选讲]
23. 已知均正数，且．
（1）证明：；
（2）求的最小值．安康市高新中学、安中分校2024届高三下学期第四次模拟考试
文科数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题先解不等式得到集合A，再求交集即可.
【详解】解：由题可知：，
又，故，
故选：D.
2. 已知复数，则（ ）
A. 3 B. C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】用复数的除法运算法则，先计算出的表达式,然后再计算出.
【详解】，
故选：D
3. 演讲比赛中，12位评委对小李的演讲打出了如下的分数：
9.3 8.8 8.9 9.0 8.9 9.0
9.1 8.7 9.2 9.0 9.1 9.2
若去掉两个最高分，两个最低分，则剩下8个分数的平均数为（ ）
A. 9.075 B. 9.05 C. 9.025 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数的公式直接计算即可.
【详解】由题意去掉的数据有：9.3，9.2，8.7，8.8，
所以剩下8个分数的平均数为.
故选：C
4. “”是“为第一象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可.
【详解】易知，所以
为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角，
显然不满足充分性，满足必要性.
故选：B
5. 已知满足约束条件，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出约束条件表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最小值.
【详解】约束条件表示的平面区域，如图中阴影，其中，
目标函数，即表示斜率为2，纵截距为的平行直线系，
画直线，平移直线到直线，当直线过点时，的纵截距最大，最小，，
所以的最小值是.
故选：B
6. 若一段河流的蓄水量为立方米，每天水流量为立方米，每天往这段河流排水立方米的污水，则天后河水的污染指数为初始值，．现有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要使河水的污染指数下降到初始值的，需要的天数大约是（参考数据：）（ ）
A. 98 B. 105 C. 117 D. 130
【答案】C
【解析】
【分析】由已知化简函数式得，再利用约天后，河水的污染指数下降到初始值的，可得方程，然后两边取对数得，最后利用已知的对数值可计算得到结果.
【详解】由题意可知：，，所以
设约天后，河水的污染指数下降到初始值的，即，
所以，
故选：C.
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】由三视图可知，该几何体是一个以俯视图为底面的棱锥，分别求出底面积和高，代入锥体体积公式即可
【详解】由三视图可知，该几何体是一个以俯视图为底面的棱锥，
底面如图，是以4为边长的正方形的一部分，其中E、H分别是AC、BC的中点，
所以,
棱锥的高为4，所以体积为，
故选：C
8. 在梯形中，为线段的中点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先用向量和三角形减法法则得，再对它们进行线性运算转化为，此时继续找到，从而可得结果.
【详解】
由图可得：，由为线段的中点可得，
，再由可得，
，
又因为，代入得：
，
故选：A.
9. 已知等比数列的各项均为负数，记其前项和为，若，则（ ）
A. －8 B. －16 C. －32 D. －48
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列的性质先计算，再根据条件建立方程解公比求值即可.
【详解】设的公比为，
则由题意可知，，
化简得或（舍去），
则.
故选：B
10. 已知函数的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点，则（ ）
A. B. 1 C. －1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先通过图象经过点列方程求出，进而可得的解析式，再代入计算即可.
【详解】由已知得，
所以，
又图象经过点，
则，即，
又为单调减区间上的点， 为单调增区间上的点，且在一个周期内，
所以，
两式相减得，所以，又，
所以，
所以，
所以
故选：A.
11. 在正四棱柱中，已知，为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取中点，连接，过点作于点，连接，证明出平面，求出即可求解．
【详解】如图所示，取中点，连接，
则，点四点共面，，，
过点作于点，连接，则，
在中，，解得，
，则，
由正四棱柱得，平面，则平面，
又平面，所以，，
所以，
因为，，平面，且平面，
所以平面，所以线段在平面上的射影为线段，
故选：D．
12. 设双曲线的左、右焦点分别为，过且与圆相切的直线与的左支交于点，若，则的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合双曲线定义用表示出三角形三边长，结合锐角三角函数得出，再利用余弦定理即可得出，结合离心率公式即可得解.
【详解】
设与圆相切于点，则，
因为，，所以，
而，
在三角形中运用余弦定理有，
即，所以，
解得，即，
所以的离心率为.
故选：B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知抛物线上的点到焦点的距离为3，则点到轴的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用焦半径公式，求点的坐标，即可求解.
【详解】设，
所以，得，代入，得，
所以点到轴的距离为.
故答案为：
14. 已知命题，若为假命题，则的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】根据全称命题的真假可知为真命题，由此构造函数，结合单调性求得最值，即可求得答案.
【详解】由题意知命题为假命题，
则为真命题，
设，则，
由于在R上单调递增，故在上单调递减，
则，故，
故答案为：
15. 在中，角的对边分别为，为线段延长线上一点，平分，且直线与直线相交于点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理计算及，的值，在中使用两角差的正弦公式计算即可.
【详解】如图所示，因为，所以，
在中，由余弦定理得，
即，故，
由余弦定理得，
所以
又因为直线平分，所以，
所以，
所以，
化简得.
故答案为：.
16. 已知实数满足，则______
【答案】2
【解析】
【分析】由题意变形可得，构造函数，结合函数单调性可得，即可得解.
【详解】由，则，即，由，则，
即有，即，
令，有，
则在时恒成立，
故在上单调递增，故，
则.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到，从而构造函数，结合单调性得到.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 ．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17. 近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．A，B两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下：
利润率 月数 公司
公司 3 2 1
公司 2 2 2
利润率，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变．
（1）比较，两公司过去6个月平均每月利润率的大小；
（2）已知这6个月内没有发生某个月，两公司同时亏损的情况，则从这6个月中任意抽取2个月，求这2个月，两公司均盈利的概率．
【答案】（1）A公司过去6个月平均每月的利润率大于公司过去6个月平均每月的利润率
（2）
【解析】
【分析】（1）求出两公司的平均利润率，即可判断；
（2）利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.
【小问1详解】
依题意公司过去6个月平均每月的利润率为，
公司过去6个月平均的月的利润率为，
因为，所以公司过去个月平均每月的利润率大于公司过去个月平均每月的利润率．
【小问2详解】
由表中数据知，公司有1个月亏损，公司有2个月亏损，
因为没有发生，两公司同时亏损的情况，
故这6个月中有3个月是，两公司均盈利．
将这6个月编号，，，，，，不妨设，，月，两公司均盈利，
从这6个月中任意抽取2个月，有，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，
满足这2个月，两公司均盁利的情况有，，共3种情况，
故所求概率．
18. 记数列的前项和为，已知且．
（1）证明：是等差数列；
（2）记，求数列的前2n项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）借助与的关系计算可得，结合等差数列定义即可得；
（2）计算出通项公式后，可得，结合分组求和法，借助等差数列求和公式与等比数列求和公式计算即可得.
【小问1详解】
当时，，则．
因为，所以当时，，
两式相减得，即，
因为，所以，即，
故是以1为首项，1为公差的等差数列；
【小问2详解】
由（1）知，，所以，
故
.
19. 如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点．
（1）证明： ∥平面；
（2）若，求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可证∥平面，∥平面，可得平面∥平面，结合面面平行的性质分析证明；
（2）利用余弦定理求AD，根据题意利用等体积法求点到面的距离.
【小问1详解】
如图，取的中点，连接．
因为都是所在棱的中点，则∥，∥，
所以∥，
且平面，平面，所以∥平面．
因为分别是和的中点，则∥，，
可得∥，，可知四边形是平行四边形，则，
且平面，平面，所以∥平面，
且，平面，
所以平面∥平面，
由平面可得∥平面．
【小问2详解】
三棱锥的体积，
且，
利用余弦定理可得，
因为，可知，
所以．
设点到平面的距离为，
则，即，解得，
所以点到平面的距离为．
20. 已知椭圆的离心率为的上顶点和右顶点分别为，点的面积为2．
（1）求的方程；
（2）过点且斜率存在的直线与交于两点，过点且与直线平行的直线与直线的交点为，证明：直线过定点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将已知条件转化为关于的方程，即可求解；
（2）设出直线并与椭圆联立，写出韦达定理，再根据题意求出的方程，直线的方程，进而令，利用韦达定理计算即可得定点.
【小问1详解】
设的半焦距为，由题意知，所以①．
因为的面积为2，所以②，
又③，由①②③解得，所以方程为；
【小问2详解】
设，直线，
由，得，
则，所以．
由，得，
令，解得，所以．
所以直线的方程为，
令，得
，
将代入，得，
所以，
故直线过定点．
【点睛】方法点睛：在圆锥曲线解答题中遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了，可以利用进行代换后化简.
21. 已知函数．
（1）证明：当时，；
（2）求在区间上的零点个数．
【答案】（1）证明见解析
（2）2个
【解析】
【分析】（1）由题意结合要证明的不等式，构造函数，利用导数判断其单调性，证明，即可证明结论；
（2）讨论和两种情况，当时，结合题意构造函数，判断函数的单调性，结合零点存在定理判断函数的零点个数，综合即可求得答案.
【小问1详解】
设，则．
设，
则，
因为在上单调递增，所以，
又因为当时，，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，．
【小问2详解】
，当时，，所以在上单调递增，
因为，所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点．
当时，令，则，
当时，有，所以在上单调递减，
又因为，所以存在使得，
当时，，所以在上单调递增，
所以当时，故在上无零点，
当时，，所以在上单调递减，
又，所以在上有且仅有一个零点．
综上所述：在上有且只有2个零点．
【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及利用导数求函数最值、证明不等式以及函数的零点问题，解答的难点在于函数零点的判断，解答时要能结合题设，恰当地构造函数，判断函数单调性，进而判断函数零点.
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
［选修4－4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若曲线分别与曲线和交于点，其中，若，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）消去即可得的普通方程，借助极坐标方程与直角坐标方程对应公式即可得的直角坐标方程；
（2）将的极坐标方程表示出后，可得，结合计算即可得.
【小问1详解】
由的参数方程（为参数）,则有，
得的普通方程为，
由可得，
所以的直角坐标方程为，即；
【小问2详解】
得的极坐标方程为，
即，由题意知，
则，
因为，所以，
得，所以，得．
［选修4－5：不等式选讲]
23. 已知均为正数，且．
（1）证明：；
（2）求的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）27
【解析】
分析】（1）构造基本不等式，利用不等式即可证明；
（2）首先由柯西不等式证明，再构造柯西不等式，求的最小值．
【小问1详解】
因为，所以，
当且仅当时等号成立，所以，故．
【小问2详解】
由柯西不等式得，
当且仅当时上式等号成立，所以．
再由柯西不等式得，
当且仅当时上式等号成立，所以的最小值为27．
