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题型01 选填题中的函数综合问题
1．在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为，则的值为（ ）
A．2 B．2或0 C． D．2或
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图像性质，根据题意可知每条抛物线顶点与原点的连线与y轴夹角为，再联系已知抛物线的对称轴，即可得出结论．
【详解】解：∵这两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，
∴每条抛物线顶点与原点的连线与y轴夹角为，
即该连线上的任意点的横、纵坐标的绝对值相等，
又∵其中一条抛物线为，
∴该抛物线的对称轴为，即顶点横坐标为1，
∴顶点纵坐标的绝对值为1，
即，
解得或．
故选：B．
2．已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则a的值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据题意可知二次函数，故该函数的对称轴为直线，函数的最大值为，然后根据对称轴所在的位置进行分类讨论计算即可；准确了解当时，函数的最值会发生变化，从而结合方程解决问题是关键．
【详解】解：二次函数，
该函数的对称轴为直线，函数的最大值为，
当时，
时，函数有最大值；
时，函数有最小值；
∵当时，函数的最大值与最小值的差为9，
解得（舍去）；
当时，
时，函数有最大值；
时，函数有最小值；
∵当时，函数的最大值与最小值的差为9，
解得（舍去）；
当时，时，函数有最小值；
函数有最大值；
解得；
当时，时，函数有最小值；
函数有最大值；
解得；
故选：．
3．二次函数（、、是常数且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
●●
●●● ●●●
且当时，对应的函数值．则下列结论：①；②关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根大于；③和在该二次函数的图象上，则当实数时，，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的相关性质，①根据表格数据可得对称轴为直线，即，，即可判断；②根据题意得出抛物线开口向下，根据对称性可得当时，，过点，则关于的方程的正实数根在和之间进而得关于的方程的负实数根在和之间，即可判断；③分类讨论，当在抛物线的左侧时，的横坐标恒小于等于对称轴对应的的值时必有，求出对应的即可；当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，求出对应的即可
【详解】解：∵当和时，，
∴对称轴为直线，
∴，即，
当时，，即
∴，故①正确；
∵当和时，，当时，，
∴抛物线开口向下，根据对称性可得当时，对应的函数值，
又∵函数过点，
∴关于的方程的正实数根在和之间，即抛物线与轴的一个交点在和之间；
∵对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点在和之间，即关于的方程的负实数根在和之间，
∴关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根大于，故②正确；
∵函数过点且当时，对应的函数值，
∴可以判断抛物线开口向下，
∵和在该二次函数的图象上，
∴当在抛物线的左侧时，恒在抛物线的左侧，此时恒成立，
∴的横坐标小于等于对称轴对应的，即，解得时；
当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，
即当时，满足，
∴当时，解得，即与在抛物线的异侧时满足，，
∴综上当时， 故③正确
故选：
4．如图所示，在边长为1的正方形中，点P是边上不与端点重合的一动点，连接、过点P作交正方形外角的平分线于点Q，则有关面积的说法正确的为（ ）．
A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，求出面积的解析式成为解题的关键．
如图：连接，过P作交于G，过Q作于K，先证明可得，再证，进而得到，设，则，进而得到，最后根据二次函数的性质求最值即可解答．
【详解】解：如图：连接，过P作交于G，过Q作于K，
∵四边形为正方形；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方形外角的平分线，
∴，
∴，
∵
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴当时，即时，面积有最大值．
故选C．
5．已知点在直线上，点，在抛物线上，若，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征．求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的的值，即可求得取值范围，根据抛物线的对称性求得，从而求得的取值范围．
【详解】解：当时，
解得：，
直线与抛物线两交点的横坐标分别是，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
把代入，得，且，
，而，
，
故选：D．
6．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，下列结论错误的是（ ）
A．点，都是点的“倍增点”
B．若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为
C．抛物线上存在两个点是点的“倍增点”
D．若点B是点的“倍增点”，则的最小值是
【答案】C
【分析】此题考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，根据题中新定义假设参数，利用一元一次方程，一元二次方程代入即可求解，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．
【详解】解：A、∵，，
∴，，
∴，
则是的“倍增点”，
∵，，
∴，，
则是的“倍增点”，故A正确；
B、由题意设“倍增点”，
∴，解得：，
∴点，故B正确；
C、设抛物线的“倍增点”为，
∴，整理得：，
∴方程有两个相等的实数根，即存在1个点是点的“倍增点”，故C错误；
D、设，
∴，
则，
，
，
，
当时，有最小值，
∴的最小值，故D正确；
故选：C．
7．如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与y轴的交点B在和之间（不含端点），小明同学得出了下列结论：①当时，；②a的取范围为；③当时，的面积为．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，三角形面积等知识点， ①据抛物线的对称性可得：抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合抛物线的性质可判断结论①；②代入，得出，由点B在与之间（不含端点）可得出a的取值范围，进而即可判断②；③化成顶点式，得抛物线的顶点为，设抛物线对称轴交x轴于H，利用，将a值代入即可判断③；熟练掌握函数图象与系数的关系是解决此题的关键．
【详解】①∵抛物线经过点，顶点为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∵抛物线的开口向上，
∴当时，；
故①正确．
②将代入得
，
解得：，
∴，
∵点B在与之间（不含端点），
∴，
∴，
故②错误；
③∵
∴抛物线的顶点为，
设抛物线对称轴交x轴于H，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
故③正确，
综上所述：正确的为①③；
故选：B．
8．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接交图象于点，若是的中点，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设，，则，把代入得到，进而推出，由反比例函数比例系数的几何意义可知，， 再根据进行求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，
设，，
∴；
∵是的中点，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去）；
由反比例函数比例系数的几何意义可知，，
∴
，
故选：C．
9．将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（ ）
A．3 B．8 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据点A、B的坐标可求出OA、OB的长，以及OA、OB与x轴的夹角，进而可得到旋转前各个点的对应点的坐标，以及原直线的关系式，进而求出旋转前C′、D′的坐标，画出相应图形，结合反比例函数的图象，可求出面积
【详解】解：连接OA、OB，过点A、B，分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，
∵点A（－3，3），B（ ，），
∵OM＝3，AM＝3，BN＝，ON＝ ，
∴OA＝＝6，OB＝＝3，
∵tan∠AOM＝＝，
∴∠AOM＝60°，
同理，∠BON＝30°，
因此，旋转前点A所对应的点A′（0，6），点B所对应的点B′（3，0），
设直线A′B′的关系式为y＝kx＋b，故有，，解得，k＝－2，b＝6，
∴直线A′B′的关系式为y＝－2x＋6，
由题意得，，解得，，
因此，点C、D在旋转前对应点的坐标为C′（1，4），D′（2，2），如图2所示，
过点C′、D′，分别作C′P⊥x轴，D′Q⊥x轴，垂足为P、Q，
则，C′P＝4，OP＝1，D′Q＝2，OQ＝2，
∴S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′＝（2＋4）×（2－1）＝3，
故选：A．
【点睛】考查反比例函数、一次函数的图象和性质，旋转的性质，求出直线AB在旋转前对应的函数关系式是解决问题的关键．
10．对于二次函数，定义函数是它的相关函数．若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，分两种情况解答：一次函数分别与，相交一点；一次函数与有两个交点，与不相交 ；求出的取值范围，即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：当时，二次函数的相关函数为
当时，二次函数的相关函数为，
∴二次函数的相关函数为，
二次函数的图象开口向上，与轴的交点为，对称轴为直线,
当时，随的增大而减小，当 时，随的增大而增大；
二次函数的图象开口向下，与轴的交点为，对称轴为直线，当时，随的增大而增大；
一次函数与轴的交点为
一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点可分为两种情况：
一次函数分别与，相交一点，
则有，
解得；
一次函数与有两个交点，与不相交 ，
则有，
解得，
且，
即有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∴；
综上所述，或，
∴的值可能是，
故选：．
11．如图，正方形的顶点在轴上，点A和点C在反比例函数图象上，若直线的函数表达式为，则的值为 ．
【答案】6
【分析】解方程求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．
【详解】解：在中，令，则，
令，则，
，，
，，
过作轴于，过作轴于，
四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，
，
设，，
，，
，，
点，点在反比例函数图象上，
，
，（不合题意舍去），
，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
12．如图，平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，且，分别过点，点作轴的平行线，与双曲线分别交于点，点．若的面积为，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数的几何意义，分式方程，一元二次方程的知识．过点作轴于点，过点作轴于点，先由点和点的坐标得到，，的长，然后求得，，梯形的面积，进而结合的面积列出方程求得和之间的关系，得到点和点的坐标，进而得到和的长，最后得到结果．
【详解】解：过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，延长，交于点，
四边形为矩形，
，，，
矩形面积
，
，
，
，
设，则，
，
，或，
，
不符合题意，
经检验，是原方程的解，
，
，，
，，
，
故答案为：．
13．已知直线与双曲线交于点，．
（1）若，则 ；
（2）若时，，则 ， （填“”“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，
（1）根据题意可知，将点、坐标代入反比例函数解析式即可得到结果；
（2）根据题意得到点，在不同的象限，设在第二象限，在第四象限，则，，，，且，，则直线经过第一、二、四象限，据此得到结果；
解题的关键是理解并掌握：两个函数图像的交点的坐标满足两个函数解析式．
【详解】解：∵，
∴，
∵点，在反比例函数的图像上，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）∵反比例函数的图像在第二、四象限，且时，，
∴点，在不同的象限，
设在第二象限，在第四象限，
则，，，，且，，
∴直线经过第一、二、四象限，
∴，．
故答案为：；．
14．如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，…，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点，，…，都在直线：上；②抛物线依次经过点，，…；则顶点的坐标为 ．
【答案】
【分析】设，则以为顶点的抛物线为，进而可根据，求坐标，根据题意确定，则；同理可求，；；进而可得，最后代值求解即可．
【详解】解：设，，，
∵抛物线沿直线：向上平移，抛物线的顶点，，…，都在直线：上，
∴以为顶点的抛物线为，
∵与的交点为，
∴，即，
解得：，
∵为整数点，
∴，；
∴以为顶点的抛物线为，
∵与的交点为，
∴，即，
解得：，
∵为整数点，
∴，；
∴以为顶点的抛物线为，
∵与的交点为，
∴，即，
解得：，
∵为整数点，
∴，；
∴，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标，点的规律探究．熟练掌握二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标并推导一般性规律是解题的关键．
15．关于二次函数的四个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②无论a取何值，抛物线必过两个定点；③若抛物线与x轴交于不同两点A、B，且，则或；④若，对应y的整数值有4个，则或其中正确的结论是 （填写序号）
【答案】①②④
【分析】①先求二次函数对称轴，根据对称轴来判断与对应的两个点是关于直线对称，从而得出判断；②根据二次函数直接判断结论是错误的；③设，且，根据根与系数的关求出两根之和两根之积，从而表示长，再根据已知条件分两种情况分别讨论，最终得出或；④根据已知条件分两种情况分别讨论，当时，若随的增大而增大，得，再根据的整数值有4个，得；当时，若随的增大而减小，方法和第一种情况类似，求出，从而得出最终结论．
【详解】解：①二次函数对称轴为直线，
，
∴与关于直线对称，
∴对任意实数，都有与对应的函数值相等，
∴①正确；
②∵对称轴为直线，与轴的交点为，
∴抛物线也过点，
∴无论取何值，抛物线一定过两个定点和，
∴②正确；
③∵若抛物线与轴交于不同两点，设，且，
∵是方程的两个不同的根，
∴，
∴，
∵，
，
当时，解不等式得，
当时，解不等式得，
综上所述：或，
∵若抛物线与轴交于不同两点，
∴，
∴或，
综上所述：或，
∴③错误；
④∵当时，若随的增大而增大，
当时，，
当时，，
，
∵的整数值有4个，
，
，
当时，若随的增大而减小，
，
∵的整数值有4个，
，
，
综上所述：或，
∴④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、一元一次不等式组的整数解，掌握这几个知识点的综合应用，其中分情况讨论及二次函数的性质的应用是解题关键．中小学教育资源及组卷应用平台
题型01 选填题中的函数综合问题
1．在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为，则的值为（ ）
A．2 B．2或0 C． D．2或
2．已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则a的值为（ ）
A． B．4 C． D．
3．二次函数（、、是常数且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
●●
●●● ●●●
且当时，对应的函数值．则下列结论：①；②关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根大于；③和在该二次函数的图象上，则当实数时，，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．如图所示，在边长为1的正方形中，点P是边上不与端点重合的一动点，连接、过点P作交正方形外角的平分线于点Q，则有关面积的说法正确的为（ ）．
A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为
5．已知点在直线上，点，在抛物线上，若，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，下列结论错误的是（ ）
A．点，都是点的“倍增点”
B．若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为
C．抛物线上存在两个点是点的“倍增点”
D．若点B是点的“倍增点”，则的最小值是
7．如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与y轴的交点B在和之间（不含端点），小明同学得出了下列结论：①当时，；②a的取范围为；③当时，的面积为．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接交图象于点，若是的中点，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（ ）
A．3 B．8 C．2 D．
10．对于二次函数，定义函数是它的相关函数．若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，正方形的顶点在轴上，点A和点C在反比例函数图象上，若直线的函数表达式为，则的值为 ．
12．如图，平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，且，分别过点，点作轴的平行线，与双曲线分别交于点，点．若的面积为，则的值为 ．
14．如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，…，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点，，…，都在直线：上；②抛物线依次经过点，，…；则顶点的坐标为 ．
15．关于二次函数的四个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②无论a取何值，抛物线必过两个定点；③若抛物线与x轴交于不同两点A、B，且，则或；④若，对应y的整数值有4个，则或其中正确的结论是 （填写序号）
