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题型02 选填题中的几何综合问题
16．如图，是等腰三角形，，点D、G分别是的中点，在取一点E使，过点E作，且，连接．若，，则线段的长为（ ）
A．1 B． C． D．
17．如图，等腰直角三角形中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤四边形是菱形，正确结论的序号是 （ ）
A．②④⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②④⑤
18．如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，则以下结论错误的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．的最小值为
D．当时，
19．如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，连接，下列选项中的结论错误的是（ ）
A． B．无论点E在何位置，总有
C．若，则线段的最小值为 D．若，的最大值为
20．如图，E是线段上一点，在线段的同侧分别以为斜边作等腰和等腰，，分别是，的中点．若，则下列结论错误的是（ ）．
A．的最小值为 B．四边形面积的最小值为
C．周长的最小值为 D．的最小值为3
21．如图，的弦，在圆心O的两侧，的直径为4，弦，为上一动点，，若于点E，当点D从点C运动到点A的过程中，点E运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
23．如图，在边长为 2的等边三角形中，D 是 的中点，点 E 在线段上，连接，在的下方作等边三角形，连接，则周长的最小值为 .
24．已知，点是正方形边上一点，连接，延长至， 使， 连接交于点．
（1）若， 则 ° ；
（2）连接，，与交于，若， 则 ．
25．如图，在中，，连接，，以点为圆心，长为半径画弧，弧分别交、、于点、、，点是上方内一动点，点是上一动点，连接、、，则的最小值为 ．
26．如图，在中，，，，点为边上一动点（点D与点A、B不重合），过点D作，连接．
（1）外接圆的直径的最小值是 ；
（2）内切圆的半径的最大值是 ．
27．如图，五边形，已知，，，，，，求出最小时四边形面积的最大值为 ．
28．已知，如图，，为线段上的一个动点，以为边作等边三角形，在射线上取，连接，，，分别是，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离的最小值为 ．中小学教育资源及组卷应用平台
题型02 选填题中的几何综合问题
16．如图，是等腰三角形，，点D、G分别是的中点，在取一点E使，过点E作，且，连接．若，，则线段的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接，得、是等腰直角三角形，，则，证，则，由，可证得四边形为平行四边形，则．又因点G为中点，则．又因为的中位线，则，则．证明 ，即可求解．
【详解】如图，连接，
∵，点D是的中点，
∴，，
∵，，，
∴、是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴
∴
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
则．
又因点G为中点，
则．
又因点D、G分别是的中点，
∴为的中位线，
则，
则．
，，
，
，
则．
故选：B．
【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
17．如图，等腰直角三角形中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤四边形是菱形，正确结论的序号是 （ ）
A．②④⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②④⑤
【答案】D
【分析】根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得，继而可得，即可判断①③；证明出，即可判断②；证明出，即可判断④；先证明四边形为平行四边形，
再由，即可判断四边形为菱形，故可判断⑤．
【详解】解：，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，故①正确；③错误，
为的中点，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵为的中点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
故⑤正确；
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故④正确，
∴正确结论的序号为①②④⑤，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，熟练掌握知识点是解此题的关键．
18．如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，则以下结论错误的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．的最小值为
D．当时，
【答案】C
【分析】根据勾股定理求得，再利用三角形的等面积法求解可判断A；根据三角形的中位线性质证得，再证明，，，然后根据直角三角形的性质和相似三角形的性质可判断B；当最短时，点F为的中点，进而求解即可判断C；先求得，，，过点B作交的延长线于点N，结合题意以及直角三角形的性质，利用全等三角形的判定证明得到，再证明，进而利用相似三角形的性质可判断D．
【详解】解：当时，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵垂直，
∴，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
如图，过点D作交于点M，
∴，
当时，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，垂直，
∴，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴点H在以为直径的圆上，
当最短时，点F为的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为，故C错误，符合题意；
当时，，
∴，，，
过点B作交的延长线于点N，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、圆的基本知识等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
19．如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，连接，下列选项中的结论错误的是（ ）
A． B．无论点E在何位置，总有
C．若，则线段的最小值为 D．若，的最大值为
【答案】D
【分析】如图所示，连接，根据矩形的性质，勾股定理可得，结合点E在矩形ABCD内部，可判定A选项；如图1，过点E分别向矩形各边作垂线段，垂足分别为，可证四边形是矩形，四边形，四边形，四边形均是矩形，根据勾股定理可判定B选项；根据题意，可得E在以为直径的上，连接交于，当E与重合时，线段的长最小，根据圆的基础知识，勾股定理即可判定C选项；根据题意作图，以为边长向矩形内作等边，以O为圆心，为半径作，则点F在优弧上运动，当为直径时，即点E在点O处时，最大，最大为直径，可判定D选项．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵点E在矩形内部，
∴点E不与点A、点C重合，即，故A正确；
如图，过点E分别向矩形各边作垂线段，垂足分别为，
设，，，，
∴四边形是矩形，四边形，四边形，四边形均是矩形，
∴，，，，
∴，，
∴，故B正确；
如图，
∵，
∴，
∴E在以为直径的上，连接交于，当E与重合时，线段的长最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴线段的最小值为8．故C正确；
如图3，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
延长至F，使，
∴，以为边长向矩形内作等边，以O为圆心，为半径作，则点F在优弧上运动，
∴当为直径时，即点E在点O处时，最大，最大为直径．故选项D错误．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理的运用，线段最短的理解与计算，圆的基础知识的综合运用，掌握矩形的性质，最短路径的计算方法，合理作出辅助线是解题的关键．
20．如图，E是线段上一点，在线段的同侧分别以为斜边作等腰和等腰，，分别是，的中点．若，则下列结论错误的是（ ）．
A．的最小值为 B．四边形面积的最小值为
C．周长的最小值为 D．的最小值为3
【答案】B
【分析】A、如图，延长交于点P，过点F作直线，可证四边形是矩形，直线是的中位线，且点在直线上运动，作点A关于直线的对称点，连接，由“将军饮马”模型可求；
B、设，，进而即可判断．
C、由四边形是矩形，结合的最小值为3，可求周长的最小值；
D、连接，当时，即点与点重合时，最小．是等腰直角三角形，，故本选项不符合题意；
【详解】解：A、如图，延长交于点P，过点F作直线．
和分别是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
四边形是矩形．
是的中点，
是的中点．
直线，
直线是的中位线，且点在直线上运动．作点A关于直线的对称点，连接，则．当，，三点共线时，最小．
，，
．
在中，，故本选项不符合题意；
B、设，则．
，
．当时，有最大值，最大值为，
∵，
∴四边形面积的最小值为，故本选项符合题意．
C、四边形是矩形，
，
的周长为．
的最小值为3，，
的周长的最小值为，故本选项不符合题意；
D、连接，当时，即点与点重合时，最小．是等腰直角三角形，
，故本选项不符合题意；
【点睛】本题考查轴对称最短路径问题，涉及等边三角形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是求出的运动轨迹是直线．
21．如图，的弦，在圆心O的两侧，的直径为4，弦，为上一动点，，若于点E，当点D从点C运动到点A的过程中，点E运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理得到，从而证明是等腰直角三角形，作于点N，由垂径定理求出，根据的值求出的度数，利用角度关系求出，根据于点可知，点在为直径的圆上运动，然后由的位置确定的起点和终点，根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解： ，直径为4，
如图，连接，，
，
，是等腰直角三角形，由勾股定理有，
取的中点M，
，
点O经过以M为圆心，以为半径的圆上，
作半圆，当点D从点C运动到点A时，点E的起点为点，终点为点A，即点E的运动轨迹为，，
作于点N，
则，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题是圆的轨迹问题，考查了垂径定理，圆周角定理的推论，弧长公式，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据锐角三角函数值求角度等，确定点的运动路径是解题的关键．
22．如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，．连接与对角线相交于点G， 与相交于点M，连接，则下列结论①；②；③ ；④正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，添加辅助线、构造全等三角形是解题大键．
过点F作交于H，利用证明可得，证得是等腰直角三角形，再证明，即可判断①；求出，根据，即可判断②；根据直角三角形的性质和勾股定理即可判断③；由，可得，进而判断④
【详解】解：∵，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
过点F作，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵是直角三角形，G是的中点，
∴，
又∵，
∴，故③错误；
∵是等腰直角三角形，G是的中点，
∴，
∴，
∴即，
∵，
∴，
∴，故④错误
故选B
23．如图，在边长为 2的等边三角形中，D 是 的中点，点 E 在线段上，连接，在的下方作等边三角形，连接，则周长的最小值为 .
【答案】
【分析】连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明. 从而可以得出作点关于的对称点， 连接， 则依据当在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到的度数，然后计算最小周长即可.
【详解】如图，连接，
∵都是等边三角形，
∴，，
，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
如图，作点关于的对称点，连接，， 则，
∴当在同一直线上时， 的最小值等于线段长，且时， 的周长最小，
由轴对称的性质，可得
是等边三角形，
，
∴，
∴，
∴的周长最小值为，
故答案为：.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用.凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.
24．已知，点是正方形边上一点，连接，延长至， 使， 连接交于点．
（1）若， 则 ° ；
（2）连接，，与交于，若， 则 ．
【答案】 /
【分析】（1）由正方形的性质，结合，可推出，得到，由可得，再根据角的和差即可求解；
（2）作交于点，则，证明，得到，，推出，根据勾股定理可推出，由可得得出，根据得出，即可求解．
【详解】解： (1)在正方形 中，，
∵，
，
，
，
，
，
；
(2)作交于点，则，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，即，
，
，
∴
，
，
，
∴
；
故答案为：、．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
25．如图，在中，，连接，，以点为圆心，长为半径画弧，弧分别交、、于点、、，点是上方内一动点，点是上一动点，连接、、，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，连接，，证明为等边三角形，为等边三角形，可得，，当，，，，共线时，，此时最小，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，连接，，
∴，，，
∴为等边三角形，为等边三角形，
∴，，
当，，，，共线时，
，此时最小，
∵，
∴，而，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，旋转的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键．
26．如图，在中，，，，点为边上一动点（点D与点A、B不重合），过点D作，连接．
（1）外接圆的直径的最小值是 ；
（2）内切圆的半径的最大值是 ．
【答案】 / /0.2
【分析】本题考查了直角三角形的外接圆和内切圆综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握直角三角形外接圆直径为斜边长，内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解题关键．
（1）当时，作为外接圆的直径最小，由勾股定理可得，设，则，根据列方程，求出的值，进而得到的长即可求解；
（2）令，，,内切圆半径为，则，由相似三角形可得，，即最小时，r最大，作C关于的对称点，过作交于点D，连接，此时最小，即最小，最小值为，进而即可求解
【详解】解：（1）为直角三角形，
外接圆直径为斜边的长，
当时，作为外接圆的直径最小，如图，
，，，
，
，
设，则，
，
解得：，
，
故答案为：
（2）令，，,内切圆半径为，则
，，
，
，，
，
，即，
∴，
，即最小时，r最大，
作C关于的对称点，过作交于点D，连接，此时最小，即最小，最小值为，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：
27．如图，五边形，已知，，，，，，求出最小时四边形面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】过点F作的垂线，垂足为P，令，用含的代数式表示，利用配方法可求出的最小值，连接，证明是等边三角形，再证四边形是平行四边形，可得，，在中，，求得，同理可得，，得，由，，以为斜边构造等腰直角三角形，再根据及的长，利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【详解】解：过点F作的垂线，垂足为P，
令，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
则．
在中，
．
在中，
，
∴当时，取得最小值9，即的最小值为3．
则，，
∴，．
连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
在中，，
∴，
同理可得，．
∴．
∵，，
∴以为斜边构造等腰直角三角形，
如图所示，点N在以点O为圆心的圆上，
∵，
∴．
在中，．
当点N在点处时，的面积取得最大值，
此时．
∴四边形面积的最大值为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查四边形面积的最值问题，等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理等知识，利用数形结合的数学思想，构造辅助圆是解决问题的关键．
28．已知，如图，，为线段上的一个动点，以为边作等边三角形，在射线上取，连接，，，分别是，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接、．首先证明，设，则，，，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：连接、，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，分别是对角线，的中点，
，，
，
设，则，
在中，，在中，，
，，
，
，
时，有最小值，最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，锐角三角函数，角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．
