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题型03 函数综合问题
29．在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点 B，与x轴交于点 C，线段的长是一元二次方程 的两个根，直线 交于点．
(1)求点A的坐标；
(2)在平面直角坐标系中有一点，求的面积S与m的函数关系式；
(3)M为直线上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点N，点Q在y轴上，是否存在点M，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，M的坐标为或或或
【分析】（1）通过解方程确定点，再用待定系数法求直线表达式为，最后联立，解二元一次方程组即可；
（2）分类讨论，当点P在点E下方时，即，得到；当点P在点E上方时，即，得到，代入即可求解；
（3）分类讨论，若，，则有，得到，若或，则，得到，分别求解即可．
【详解】（1）解： ，
解得：或，
∴，
将代入
得：，
解得：，
∴直线表达式为，
∴联立得：，
解得，
∴点；
（2）解：由题意得点P在直线上，设直线与直线交于点E，交x轴于点F，
将代入得，∴，
①当点P在点E下方时，即，如图：
；
当点P在点E上方时，即，如图：
，
综上所述：的面积S与m的函数关系式为：；
（3）解：令直线为，直线为，
，则，
，
①如图1，若，，
过点Q作，
∴点G为中点，
∴，
则有，
，
或，
，或，
②如图2，图3，若或，
则，
，
或，
，或．
综上所述，M的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，二元一次方程组，三角形的面积，等腰直角三角形的存在性问题，考查了分类讨论思想．
30．如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的表达式及的值．
(2)将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点．
①求点的坐标．
②在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，
(2)①②存在，的坐标为或
【分析】（1）把代入得到反比例函数的表达式中求，确定反比例函数的表达式，把代入反比例函数可得到结论；
（2）①设直线的解析式为：，解方程组得到直线的解析式，求得点 ，得到是等腰直角三角形，推出四边形是正方形，得到坐标，把代入反比例函数中即可得到结论；
②设点，根据勾股定理得到即，可求得，即可确定点坐标．
【详解】（1）解：∵的图象过点，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
（2）①设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为．
当时，；当时，，
∴点，点．
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵将沿直线翻折，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
把代入，得，
∴；
②存在，理由如下；
设点，
则，，，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
即，
解得或．
故在轴上存在点，使得是以为斜边的直角三角形，
此时点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
31．直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、．
(1)求的值及直线的解析式；
(2)连接，若在射线上存在点，使，求点的坐标；
(3)如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）将点坐标代入反比例函数，可得，进一步利用反比例函数的解析式求得点，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）依据题意，画出图形，根据面积可以得解；
（3）根据题意分析出是平行于的动直线，求出与切于点，再借助于、关于点对称，得到，求出过点、点时的的值，即可得解．
【详解】（1）解： 点在反比例函数，
将点的坐标代入，得，
，
反比例函数为，
又在反比例函数，
，即，
点，在直线上
，
直线的解析式为；
（2）解：直线为，
．
，
，
设，
如图，在射线上，此时可得必在轴负半轴，，
．
，
．
∴；
（3）解：依据题意，直线平行于直线，且与轴交于点E，则
与封闭图形有交点，下端与相切于点，上端相切于翻折后的曲线于点，
由题意，，
．
相切，
判别式．
（负数舍去）．
此时．与轴的交点为，，
，
，
，，
此时．与轴的交点为，
．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质的应用，平行线的性质，公式法解一元二次方程，解题时需要熟练掌握并能灵活运用．
32．定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中，点P及点P右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为．
(1)写出函数关于直线的“迭代函数”的解析式为_________．
(2)若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则_________．
(3)以如正方形的顶点分别为：
，其中．
①若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，则______；
②若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，则n的取值范围为______．
【答案】(1)
(2)或．
(3)①或，②或或．
【分析】（1）根据“迭代函数”的定义可知 “迭代函数”的图象是关于的对称，故求出图象上任意两点坐标，再根据函数关于直线的“迭代函数”是关于对称，求出对称点坐标，再由待定系数法求出“迭代函数”的解析式即可；
（2）先求出原抛物线当时两点坐标，根据“迭代函数”的对称性可知与其中一点对称，分两种情况求解即可；
（3）①先画出函数关于直线的“迭代函数”的图象．根据三个公共点的不同情况分两种情况求解即可；
②根据正方形和“迭代函数”的图象对称性可知．四个公共点的分别是第一象限两个、第三象限或第二象限两个，分别结合图象进行求解．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
∴则点、关于直线的对称点为，，
设直线关于直线的对称直线为，
则，
解得，
∴直线为，
∴函数关于直线的”迭代函数”的解析式为；
故答案为：
（2），
∴的顶点坐标为
当时，解得：，，
即与轴交点为、
若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，
当与是关于直线对称时，，
当与是关于直线对称时，，
综上所述：若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则或，
故答案为：或．
（3）①函数关于直线的“迭代函数”的图象如图所示：
∴函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有3个公共点，有两种情况：
当第一象限有两个公共点时，第三个交点在第三象限，当图象上的点，，此时，
当第三象限有两个公共点时，第三个公共点在第一象限，函数图象正好经过正方形的顶点，，，此时，
综上所述：若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，则或．
②如图：
若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，则第一象限一点一定有两个交点它们是、；
根据正方形和“迭代函数”的图象对称性，
I． 当时，“迭代函数”的图象与正方形最多有3个公共点，
II．当时，“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，如图所示，
III．当，若第三象限由两个公共点，则第二象限无公共点，
此时点关于对称点在正方形外，即：，解得：，
此时点在函数关于直线的“迭代函数”的图象，即：，
即： 时，“迭代函数”的图象与正方形在第三象限有两个公共点，第二象限无公共点，
Ⅳ．当，若第二象限有两个公共点，则第三象限无公共点，
此时点关于对称点在正方形内，即：，解得：，
此时点不在函数关于直线的“迭代函数”的图象，即：，
∴．当，若第二象限有两个公共点，则第三象限无公共点，
综上所述：若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，n的取值范围为或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义”迭代函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．
33．定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点是函数的图象的“倍值点”．
(1)分别判断函数，的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数，的图象的“倍值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为2时，求的值；
(3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)不存在“倍值点”，理由见解析；的图象上存在两个“倍值点”或；
(2)的值为或6；
(3)当，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，或．
【分析】（1）根据“倍值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）先根据“倍值点”的定义求出函数的图象上有两个“倍值点”，同理求出，根据的面积为3可得，求解即可；
（3）先求出函数的图象上有两个“倍值点”或，再利用翻折的性质分类讨论即可．
【详解】（1）解：在中，令，得不成立，
函数的图象上不存在“倍值点”；
在中，令，
解得：，，
函数的图象上有两个“倍值点”或；
（2）解：在函数中，令，
解得：，
，
在函数中，令，
解得：，
，
轴，
，
，
的面积为2，
，
（舍去），，
的面积为2，
，
，
，（舍去），
综上所述，的值为或6；
（3）解：令，
解得：，，
函数的图象上有两个“倍值点”或，
①当时，，两部分组成的图象上必有2个“倍值点”或，
，
，
令，
整理得：，
的图象上不存在“倍值点”，
△，
，
，
②当时，有3个“倍值点”，
③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”，
④当时，，两部分组成的图象上恰有1个“倍值点”，
⑤当时，，两部分组成的图象上没有“倍值点”，
综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“倍值点”的综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题．
34．如图，抛物线的图象与x轴交于、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点．
(1)直接写出结果：_____，_____，点B的坐标为_____，直线的解析式为 _____；
(2)点是x轴上一点，将线段绕点D逆时针旋转得线段，若点E恰好落在抛物线上，求点E的坐标；
(3)若点P是点A（含点A）右侧抛物线上一点，且点P的横坐标为m，于Q，连接，令．
①求S与m的函数解析式；
②若S为整数，根据S的不同取值，直接写出点P的个数情况．
【答案】(1)3，4，，
(2)或
(3)①；②当时，对应的点P的有2个，当时，对应的点P的有3个，当时，对应的点P的有1个
【分析】（1）将，代入得，，可求，则，令，计算求解可得，待定系数法求直线的解析式即可；
（2）如图1，过作轴，于，于，证明，则，，，将代入，计算求解，然后作答即可；
（3）①由题意知，，，由，可知，如图2，作轴，于，则，设，则，，由，可求，即，根据，计算求解即可；②由题意知，，作关于的函数图象，如图3，然后根据图象与题意作答即可．
【详解】（1）解：将，代入得，，
解得，，
∴，
令，
解得，或，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
故答案为：3，4，，；
（2）解：如图1，过作轴，于，于，
由旋转的性质可得，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
将代入得，，
解得，或，
∴或；
（3）①解：由题意知，，，
∵，
∴，
如图2，作轴，于，
∴，
设，则，，
∴，
解得，，
∴，
∴；
∴；
②解：由题意知，，
如图3，
当时，，
当时，；
当时，；
∴由图象可知，当时，对应的点P的有2个，当时，对应的点P的有3个，当时，对应的点P的有1个．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正切是解题的关键．
35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点．
(1)求抛物线表达式；
(2)点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形．
①求点的坐标；
②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值．
【答案】(1)
(2) ；
【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；
（2）①由坐标求出解析式，然后根据四边形是平行四边形和得出，再分类讨论求得和的坐标；
②求出解析式，交点为，再求出坐标，然后由两点间距离公式求出和长度，因为旋转不改变长度，所以长度不变，当旋转到轴上时，此时最短，所以此时等于，然后代入计算即可．
【详解】（1）解：抛物线交轴于点，交轴于点和点，
，
解得：
；
（2）如图
，
设直线的解析式为，
，
，
解得，
直线的解析式为，
为与轴交点，
，
，
四边形是平行四边形，
且，且点在点下方，
点在轴上，点在平面内，，
，
，
或，
若为，
，
故，
若为，
，此时，矛盾，舍去，
综上，点的坐标为；
②如图，设的解析式为
抛物线交轴于点，
点的坐标为，，
将点、的坐标代入得：
，
解得，
的解析式为，
与相交于点，
，
解得，
所以点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点、的坐标代入直线的解析式得：
，
解得，
所以直线的解析式为，
与相交于点，
，
解得，
点的坐标为，
当旋转到轴上时，此时最短，如图
的最小值为．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、用待定系数法求函数表达式、二次根式的化简、用解方程组的方法求函数图象的交点坐标等知识和方法，计算较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题．
36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点，直线经过两点，又知．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在线段的延长线上，点在线段上，，点在直线下方的抛物线上，，，求点的坐标；
(3)在（）的条件下，点在射线上，点在线段上，其坐标为，过点作，交轴于点，直线交于点，当时，求点的坐标，并判断此时点是否在（）中的抛物线上．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，点不在（）中的抛物线上．
【分析】（）利用待定系数法求解析式即可；
（）过作轴交于点，则，由，证明，再根据，，求出，同理，由，，可得，设，列求出的值即可；
（）过作，交轴于点，则，，分情况当点在延长线上时，然后求出直线的解析式为，直线的解析式为，和当点在线段上时，直线解析式为，直线的解析式为，即可判断．
【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，
∴，，
∵过点，
∴，，
∵抛物线经过点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）过作轴交于点，则，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，解得，
∴；
（3）过作，交轴于点，
则，
∴，
当点在延长线上时，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
∴，，
∴直线的解析式为，
直线的解析式为，
∵是直线、直线的交点，
∴，当时，二次函数，
∴点在（）中的抛物线上，
当点在线段上时，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴直线解析式为，直线的解析式为，
∵是直线、直线的交点，
∴，当时，二次函数，
∴点不在（）中的抛物线上．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，一次函数的性质，解直角三角形，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
37．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像 与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点C ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接，线段 与交于点 Q，设 的面积为 ，的面积为，当取最大值时，求点P的坐标；
(3)当时， 二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将 ，代入解析式，利用待定系数法求解；
（2）由可得当点P与二次函数图象的顶点重合时，取最大值，取最大值，由此可解；
（3）分，，三种情况，结合二次函数图象求出最大值、最小值，作差判断是否为定值即可．
【详解】（1）解：将 ，代入，
得：，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：由（1）知，
当时，，
，
，
，，
；
，
二次函数图象的顶点坐标为；
，
当点P与二次函数图象的顶点重合时，取最大值，取最大值，
此时点P的坐标为；
（3）解：由（2）得，
二次函数图象的对称轴为直线，
当时，，y有最大值0，
，y有最小值，
最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意；
当时，，y有最小值，
，y有最大值0，
最大值与最小值的差为：，是定值，符合题意；
当时，，y有最小值，
，y有最大值，
最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意；
综上可知，当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、二次函数中的面积问题，难度较大，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键．
38．已知抛物线的顶点在第一象限．
(1)如图（1），若，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C．
①求A，B两点的坐标；
②D是第一象限内抛物线上的一点，连接，若恰好平分四边形的面积，求点D的坐标；
(2)如图（2），P是抛物线对称轴与x轴的交点，T是x轴负半轴上一点，M，N是x轴下方抛物线上的两点，若四边形是平行四边形，且，求的最大值．
【答案】(1)①，；②点D为；
(2)的最大值是．
【分析】（1）①先求出抛物线的解析式，再把代入方程，即可求解；
②连接交于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足分别为F，G，证明，得出，再由中点公式求出地E的坐标，结合点E的坐标和点A的坐标求得所在的直线的解析式，再联立抛物线的解析式即可求解出点D；
（2）过点N作轴，垂足为H，可得，设，根据平行四边形的性质可得，再根据等腰直角三角形的性质求出点N的坐标，代入抛物线解析式进而可求出t的取值范围，进而即可解答．
【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为，
①当时，，解得，，
∴，．
②连接交于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足分别为F，G，如图所示：
由题意，得，
∴，
∴，
∴，
∴点E为的中点，由，，点E的坐标为，
求得的解析式为，
由，得，
解得，（舍去），
∴点D为；
（2）解：过点N作轴，垂足为H，
∵P是抛物线对称轴与x轴的交点，
∴，
∵T是x轴负半轴上一点，
∴设．
∵，且，
∴，，
两式相加，得，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
整理为关于m的方程为，
由题意，得，
解得，
此时关于m的方程的两根之和，
当时，m必有正根，
∴的最大值是．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，中点坐标公式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
39．如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)连接，点D是线段上一动点（不与A、C两点重合），过点D作轴交抛物线于点E．
①当线段DE的长度最大时，求此时D点的坐标；
②在①的条件下，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点F，使得以点D、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，点F的坐标为或或或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求得线段的解析式，设、，求得，利用二次函数的性质求解即可；
②求得抛物线的对称轴，，以及的长，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质列一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：将、代入得，
解得，
抛物线的函数解析式为；
（2）解：①令，则，∴，
设直线的解析式为，将代入得，
解得，
∴线段的解析式为，
设、，则，
∵，
∴当时，最大，此时；
②存在．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，，
∴，
设点；
当时，，此时点F的坐标为；
当，即时，
，整理得，
解得，此时点F的坐标为或；
当，即时，
，整理得，
解得，此时点F的坐标为或；
综上，点F的坐标为或或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了二次函数的图象与性质、等腰三角形的性质、用待定系数法求函数解析式，解最后一小题时要注意分类讨论，求出所有符合条件的点P的坐标．
40．如图，抛物线与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将L沿直线向上平移，平移后的抛物线记作，其顶点M的横坐标为t（且），设直线与抛物线分别交于点P，Q（点P在点Q的左侧）．
(1)求L的顶点坐标及A，B两点之间的距离；
(2)当点P在y轴上时，求的函数表达式及线段的长；
(3)若经过点A且与直线l平行的直线与线段有公共点，直接写出t的最大值．
【答案】(1)抛物线L的顶点坐标是，两点之间的距离是8
(2)，或，
(3)12
【分析】本题主要考查二次函数的性质、平移的性质和直线与二次函数的交点问题，
（1）令，则，即可求出顶点坐标．令求得，即可求出A，B两点之间的距离．
（2）由平移的性质可得出M的坐标是，设抛物线表达式为，当点P在y轴上时，其坐标为，有，解得，即可求出抛物线表达式以及线段的长．
（3）根据题意求得直线l表达式为，且求直线l与线段有公共点时t的最大值，只需研究即可，此时点Q，可列出，解得即可．
【详解】（1）解：当时，，
所以抛物线L的顶点坐标是；
令，解得；
两点坐标分别是和，
两点之间的距离是8．
（2）∵平移前顶点在直线l上，
∴平移后抛物线的顶点M在直线l上，
∴顶点M的坐标是；
设抛物线表达式为，
∵点P，Q纵坐标均为，
∴当点P在y轴上时，其坐标为，
∴有，解得；
①当时，抛物线的函数表达式是，
点P坐标为，点Q坐标为，
此时，；
②当时，抛物线的函数表达式是，
点P坐标为，点Q坐标为，
此时，．
（3）由题意可知，与直线l平行的直线，
∵直线l点A，
∴，解得，
则直线l表达式为．
由直线与线段有公共点时t的最大值，只需研究，
此时点Q坐标为，
当直线经过点Q时t最大，
此时，有，解得（舍），；
若时，直线与线段不再有公共点，
∴直线与线段有交点时，t的最大值是12．
41．如图，已知抛物线与直线交于点，，点是抛物线上，A之间的一个动点，矩形的两个顶点、在直线上，点在点右侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当轴时，设点的坐标为，求关于的函数关系式；
(3)当点与点重合时，若矩形的邻边之比为，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式求得的值；然后把点A的坐标代入二次函数解析式求出的值，即可得到答案；
（2）根据点的坐标，表示出点的坐标，点的坐标，从而可表示点的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式可求出，之间的关系式；
（3）设，当时，过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，由∽，可求出，，故，又在直线上，有，可解得；
当时，过作轴交轴于，过作轴于，交于，同理可得．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
，
解得：，
，
点是抛物线上的一点，
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）解：如图，
直线的解析式为，点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，
把点代入得：
，
、之间的关系式为；
（3）解：设，
当时，过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，如图：
，，
，，
，
，
，
，，
，，
，
在直线上，
，
解得此时与重合，舍去或，
；
当时，过作轴交轴于，过作轴于，交于，如图：
同可得，
代入得：，
解得舍去或，
；
综上所述，点在点右侧，点与点重合时，若矩形的邻边之比为，点的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，动点问题，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．
42．小聪同学在解决抛物线平移问题时，发现了一些几何结论：如图1，抛物线的顶点为A，沿右上方平移后，所得抛物线的顶点B落在原抛物线上，且与原抛物线的对称轴交于点C，连结，延长交原抛物线于点D，则．
(1)如图2，当时，请说明该结论成立．
(2)当时，求点D的坐标．
(3)过点D作轴，交原抛物线的对称轴于点E，若，直接写出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)4
【分析】
（1）由题意知，，可得顶点，对称轴为y轴，设抛物线向右平移h个单位长度，向上平移k个单位长度，则平移后的抛物线顶点为，平移后的函数解析式为，进而可得，由，，证明结论即可；
（2）由题意知，，则顶点，对称轴为y轴，同理（1）：平移后的抛物线顶点为，平移后的函数解析式为，，则，如图1，过点B作轴于E, 则，，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，联立得：，计算求出满足要求的解，然后求解作答即可；
（3）如图2，过点B作于F，则，，由，可得，同理（1）可得，，，待定系数法求直线的解析式为，联立得：，求得点D的横坐标为，则，由，可得，证明，则，计算求解即可．
【详解】（1）
解：证明：当时，，
∴顶点，对称轴为y轴，
设抛物线向右平移h个单位长度，向上平移k个单位长度，
∴平移后的抛物线顶点为，平移后的函数解析式为，
将代入，得，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
∴；
（2）
解：当时，，
∴顶点，对称轴为y轴，
同理（1）：平移后的抛物线顶点为，平移后的函数解析式为，，
∴，
如图1，过点B作轴于E,
∴，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立得：，
解得，（舍去），，
∴；
（3）
解：如图2，过点B作于F，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设抛物线向右平移h个单位长度，向上平移k个单位长度，
∴平移后的抛物线顶点为，平移后的函数解析式为，
将代入，得，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，
解得：，，
∴点D的横坐标为，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的面积为4．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的图象与性质，一次函数解析式，正切，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数与相似综合等知识．熟练掌握二次函数图象的平移，二次函数的图象与性质，一次函数解析式，正切，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数与相似综合是解题的关键．
43．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及；
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在；点P的坐标为或或或
【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则，
得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可；
（3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵点，，
∴，，
∵，
∴，
把和代入二次函数中得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：如图1，∵直线经过点和，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵二次函数，
∴设点，则，
∴，
∴当时，的最大值为，
∴点E的坐标为；
；
（3）解：存在，
∵，
∴对称轴为直线，
设，分三种情况：
①点B为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
②点A为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
③点P为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
∴或；
综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形的性质、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知识，知识点较多，难度一般，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算．
44．如图1，抛物线的顶点为，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴左侧一动点，以和为边作 ，连结．已知抛物线经过点．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)若、、三点在同一直线上，记 的面积为，求证：．
(3)连结，若，如图，将沿边翻折，得到，试探究：在轴上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在，或
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）连接，，根据平行线的性质得出，即可求解；
（3）延长交轴于点，得出，进而求得，根据勾股定理的逆定理可得，过点作交于点，以为直径，为圆心作圆，交轴于点，则，根据直径所对的圆周角是直角得出，则，进而即可求解．
【详解】（1）解：将点代入，
得，，
解得： ，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵，则，则，
当时，，
∴，，
∴,
连接，如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
当、、三点在同一直线上，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，延长交轴于点，
∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，代入，，
得，
解得：，
∴直线的解析式为，
，
解得：或，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵将沿边翻折，得到，
∴在直线上，且，，
过点作交于点，
∵，
∴，则，
∴，
以为直径，为圆心作圆，交轴于点，则
设，则，
，，
∵是直径，
∴，则，
∴，
解得， ，
∴或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，折叠的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
45．如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶到x轴距离．从点A处向右上方沿抛物线发出一个带光的点P．
(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；
(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求抛物线C的表达式；
(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且，从点E向上作轴，且．在沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边（包括端点）上，求点B横坐标的取值范围．
【答案】(1)图见解析，点会落在台阶上；
(2)；
(3)；
【分析】本题主要考查了二次函数图象及其性质，待定系数法求解析式：
（1）由题意台阶的左边端点，右边端点的坐标，求出，时的的值，即可判断；
（2）由题意抛物线经过，最高点的纵坐标为，构建方程组求出，即可得到答案；
（3）求出抛物线与轴的交点，以及时点的坐标，判断出两种特殊位置点B的横坐标的值，即可得到答案；
【详解】（1）解：如图所示，
由题意台级左边端点，右边端点的坐标，
对于抛物线，令，即：，
解得或6，
∴，
∴点的横坐标为，
当时时，，
当时，，
当时，，
解得或，
∴抛物线与台级有交点，
∴点会落在台阶上；
（2）解：由题意抛物线经过，最高点的纵坐标为，
∴，
解得或（舍去），
∴抛物线的解析式为，
（3）解：对于抛物线，
令，得到，
解得，
∴抛物线交轴的正半轴于，
当时，，
解得或，
∴抛物线经过，
在中，，，，
∴当点D与重合时，点B的横坐标的值最大，最大值为，
当B点与重合时，点B的横坐标最小，最小值为，
∴点横坐标的横坐标的取值范围：．中小学教育资源及组卷应用平台
题型03 函数综合问题
29．在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点 B，与x轴交于点 C，线段的长是一元二次方程 的两个根，直线 交于点．
(1)求点A的坐标；
(2)在平面直角坐标系中有一点，求的面积S与m的函数关系式；
(3)M为直线上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点N，点Q在y轴上，是否存在点M，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
30．如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的表达式及的值．
(2)将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点．
①求点的坐标．
②在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
31．直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、．
(1)求的值及直线的解析式；
(2)连接，若在射线上存在点，使，求点的坐标；
(3)如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围．
32．定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中，点P及点P右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为．
(1)写出函数关于直线的“迭代函数”的解析式为_________．
(2)若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则_________．
(3)以如正方形的顶点分别为：
，其中．
①若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，则______；
②若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，则n的取值范围为______．
33．定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点是函数的图象的“倍值点”．
(1)分别判断函数，的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数，的图象的“倍值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为2时，求的值；
(3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出的取值范围．
34．如图，抛物线的图象与x轴交于、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点．
(1)直接写出结果：_____，_____，点B的坐标为_____，直线的解析式为 _____；
(2)点是x轴上一点，将线段绕点D逆时针旋转得线段，若点E恰好落在抛物线上，求点E的坐标；
(3)若点P是点A（含点A）右侧抛物线上一点，且点P的横坐标为m，于Q，连接，令．
①求S与m的函数解析式；
②若S为整数，根据S的不同取值，直接写出点P的个数情况．
35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点．
(1)求抛物线表达式；
(2)点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形．
①求点的坐标；
②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值．
36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点，直线经过两点，又知．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在线段的延长线上，点在线段上，，点在直线下方的抛物线上，，，求点的坐标；
(3)在（）的条件下，点在射线上，点在线段上，其坐标为，过点作，交轴于点，直线交于点，当时，求点的坐标，并判断此时点是否在（）中的抛物线上．
37．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像 与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点C ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接，线段 与交于点 Q，设 的面积为 ，的面积为，当取最大值时，求点P的坐标；
(3)当时， 二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围．
38．已知抛物线的顶点在第一象限．
(1)如图（1），若，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C．
①求A，B两点的坐标；
②D是第一象限内抛物线上的一点，连接，若恰好平分四边形的面积，求点D的坐标；
(2)如图（2），P是抛物线对称轴与x轴的交点，T是x轴负半轴上一点，M，N是x轴下方抛物线上的两点，若四边形是平行四边形，且，求的最大值．
39．如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)连接，点D是线段上一动点（不与A、C两点重合），过点D作轴交抛物线于点E．
①当线段DE的长度最大时，求此时D点的坐标；
②在①的条件下，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点F，使得以点D、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．
40．如图，抛物线与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将L沿直线向上平移，平移后的抛物线记作，其顶点M的横坐标为t（且），设直线与抛物线分别交于点P，Q（点P在点Q的左侧）．
(1)求L的顶点坐标及A，B两点之间的距离；
(2)当点P在y轴上时，求的函数表达式及线段的长；
(3)若经过点A且与直线l平行的直线与线段有公共点，直接写出t的最大值．
【答案】(1)抛物线L的顶点坐标是，两点之间的距离是8
41．如图，已知抛物线与直线交于点，，点是抛物线上，A之间的一个动点，矩形的两个顶点、在直线上，点在点右侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当轴时，设点的坐标为，求关于的函数关系式；
(3)当点与点重合时，若矩形的邻边之比为，求点的坐标．
42．小聪同学在解决抛物线平移问题时，发现了一些几何结论：如图1，抛物线的顶点为A，沿右上方平移后，所得抛物线的顶点B落在原抛物线上，且与原抛物线的对称轴交于点C，连结，延长交原抛物线于点D，则．
(1)如图2，当时，请说明该结论成立．
(2)当时，求点D的坐标．
(3)过点D作轴，交原抛物线的对称轴于点E，若，直接写出的面积．
43．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及；
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
44．如图1，抛物线的顶点为，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴左侧一动点，以和为边作 ，连结．已知抛物线经过点．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)若、、三点在同一直线上，记 的面积为，求证：．
(3)连结，若，如图，将沿边翻折，得到，试探究：在轴上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由
45．如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶到x轴距离．从点A处向右上方沿抛物线发出一个带光的点P．
(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；
(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求抛物线C的表达式；
(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且，从点E向上作轴，且．在沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边（包括端点）上，求点B横坐标的取值范围．
