中小学教育资源及组卷应用平台
题型04 函数应用问题
46．【项目化学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用.
实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据．
任务一：数据收集
记录的数据如下：
运动时间 0 2 4 6 8 10
运动速度 10 9 8 7 6 5
滑行距离 0 19 36 51 64 75
根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象：
（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象：
任务二：观察分析
（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围）
任务三：问题解决
（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离：
（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以2的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为______．
47．某实验室在的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长速度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，并通过实验研究其对幼苗生长速度的影响．
研究人员发现，在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律，且温度越高生长速度增大的幅度越大；但营养素超过一定量，则会抑制幼苗的生长速度．此外，在范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，研究人员获得了两组数据，分别如表二、表三所示．
表二：在下营养素不同的用量所对应的生长速度
营养索用量
该种幼苗的生长速度（/天）
表三：在范围内的不同温度下达到最大生长速度平均所需的营养素用量
温度（）
该种幼苗达到最大生长速度 平均所需的营养素用量
(1)在下营养素用量从增加到的过程中，该种幼苗的生长速度随之变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式；
(2)请判断实验室在下使用营养素将该种幼苗从培育到，比不使用营养素是否能提前天完成，并说明理由；
(3)请通过合理估计，用一个数学关系式大致描述在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直至达到最大的规律．
48．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究．
x/米 0 1 3 4
y/米
经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现y是x的二次函数．
(1)根据表中数据写出桥墩露出水面的高度______米；
(2)求y与x之间的函数关系式；
(3)公园欲开设游船项目，现有长为，宽为，露出水面高度为的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离至少为多少米．
49．综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？
为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：
(1)【建立模型】
数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．
①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程．
②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标．
(2)【问题解决】
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围．
(3)【拓展应用】
半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ．
50．某公园要在小广场上建造一个喷泉景观，在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
51．将小球（看作一点）以速度竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度与时间的函数解析式为，若上升的初始速度，且当时，小球达到最大高度．
(1)求小球上升的高度与时间的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升的最大高度；
(2)向上抛出小球时再让小球在水平方向上匀速运动，且速度为，发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度与时间的函数关系式与（1）中的解析式相同．在如图所示的平面直角坐标系中，轴表示小球相对于抛出点的高度，轴表示小球距抛出点的水平距离．
①若，当时，小球的坐标为______，小球上升的最高点坐标为______；
②在①的条件下求小球上升的高度与小球距抛出点的水平距离之间的函数关系式；
③在小球的正前方的墙上有一高的小窗户，其上沿的坐标为，若小球恰好能从窗户中穿过（不包括恰好击中点，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度的取值范围．
52．实践探究题
【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．
例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离．
【应用】
（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是______；
（2）如图3，已知直线：与双曲线：交于与B两点，点A与点B之间的距离是______，点O与双曲线之间的距离是______；
【拓展】
（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
53． 数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？
【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的？
思路一：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a，面积为a2． 若新正方形的周长是原正方形周长的，则新正方形的边长为，此时新正方形的面积是____①____．
思路二：正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新正方形与原正方形相似比为，此时新正方形周长应是原正方形周长的____②____．
结论：____③____（“存在”或“不存在”）一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的．
拓展：除正方形外，上面的结论对哪种图形也成立？请写出一种图形．____④____
【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究．
活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？
分析：设新矩形长和宽为，，根据题意，得
思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据方程的解的情况解决问题．
思路二：借助一次函数与反比例函数的图象（画出简单的函数图象即可）研究．
结论：____⑤____（“存在”或“不存在”）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的．
活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？若存在，请指出需要满足的条件；若不存在，请说明理由．
请你完成以下任务：
(1)将【阶段一】中的①~④分别补充完整．
(2)分别按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二解决问题，并将⑤补充完整．
(3)完成对【阶段二】中活动二的研究．
54．
设计货船通过双曲线桥的方案
素材 一座曲线桥如图所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图是其示意图，且该桥关于对称．
素材 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式．
问题解决
任务 确定桥洞的形状 建立平面直角坐标系如图所示，显然，落在第一象限的角平分线上． 甲说：点可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点落在时，点A的坐标为_______________，此时过点的双曲线的函数表达式为_____________，而点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意．
任务 拟定方案 此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？ （提示：先求出桥洞所在双曲线的函数表达式）中小学教育资源及组卷应用平台
题型04 函数应用问题
46．【项目化学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用.
实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据．
任务一：数据收集
记录的数据如下：
运动时间 0 2 4 6 8 10
运动速度 10 9 8 7 6 5
滑行距离 0 19 36 51 64 75
根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象：
（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象：
任务二：观察分析
（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围）
任务三：问题解决
（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离：
（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以2的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为______．
【答案】
（1）作图见详解
（2）；
（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离
（4）
【分析】（1）利用描点法解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）令，求得小球停下来的时间，再将代入与的函数关系式解答即可；
（4）假定经过秒小球追上小电动车得到关于的一元二次方程，令，得到关于的不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】解：（1）画出与的函数图象如下：
（2）由（b）中图象可知：与的函数关系为一次函数关系，
设，代入，得：
，
解得：，
与的函数关系为；
设代入，得：
，
所得：，
与的函数关系式为；
（3）当时，
解得：．
将代入得：
．
当黑球在水平木板停下来时，此时黑球的滑行距离．
（4）假定经过秒小球追上小电动车，
，
．
由题意：，
．
若黑球不能撞上小车，则的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
47．某实验室在的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长速度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，并通过实验研究其对幼苗生长速度的影响．
研究人员发现，在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律，且温度越高生长速度增大的幅度越大；但营养素超过一定量，则会抑制幼苗的生长速度．此外，在范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，研究人员获得了两组数据，分别如表二、表三所示．
表二：在下营养素不同的用量所对应的生长速度
营养索用量
该种幼苗的生长速度（/天）
表三：在范围内的不同温度下达到最大生长速度平均所需的营养素用量
温度（）
该种幼苗达到最大生长速度 平均所需的营养素用量
(1)在下营养素用量从增加到的过程中，该种幼苗的生长速度随之变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式；
(2)请判断实验室在下使用营养素将该种幼苗从培育到，比不使用营养素是否能提前天完成，并说明理由；
(3)请通过合理估计，用一个数学关系式大致描述在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直至达到最大的规律．
【答案】(1)；
(2)不能，理由见解析；
(3)．
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）由表二求出不使用营养素时，该种幼苗的生长速度，进而求出不使用营养素时，该种幼苗从培育到所需的时间，再求出该种幼苗在使用营养素的最大生长速度，求出比不使用营养素提前天生长的高度，与比较即可判断；
（）利用待定系数法解答即可求解；
本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，根据题意，正确求出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设营养素用量为，该种幼苗的生长速度为，
∵在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律，
∴可设，
根据表二，函数图象经过，代入可得
，
解得，
∴；
（2）解：不能提前天完成，理由如下：
由表二可知，在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度是天，
∴不使用营养素时，该种幼苗从培育到所需的时间是天，
由表三可知，在下该种幼苗达到最大生长速度平均所需的营养素是，
即，
代入（）中所求函数解析式可得，
即该种幼苗在使用营养素的最大生长速度是天，
此种情况下，该种幼苗在天内的生长高度为
，
∴不能提前天完成；
（3）解：设营养素用量为，该种幼苗的生长速度为，
∵在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律，
∴可设，
∵在的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长速度相同，结合表二可知，当时，都有，
∴，
即
∵在范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变，
∴由（）可知，在范围内的不同温度下，，
且当取最大值时，在范围内的不同温度下，对应的营养素用量如表三中第二行数据所示，将逐一代入，分别可求得在范围内的不同温度下解析式中相应的的值，如下表所示：
根据表中数据，的值与相应的温度值大致符合关系式为，
，其中，
∴在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直至达到最大的规律可用关系式表示．
48．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究．
x/米 0 1 3 4
y/米
经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现y是x的二次函数．
(1)根据表中数据写出桥墩露出水面的高度______米；
(2)求y与x之间的函数关系式；
(3)公园欲开设游船项目，现有长为，宽为，露出水面高度为的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离至少为多少米．
【答案】(1)
(2)
(3)C处距离桥墩的距离至少为米
【分析】（1）当时，其对应的函数值，就是的高度，计算即可；
（2）选择两个点的坐标，代入解析式计算即可；
（3）令，解答即可．
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握生活问题数学化，建立抛物线模型解答，是解题的关键．
【详解】（1）根据题意，当时，其对应的函数值是，
故的高度为，
故答案为：．
（2）把、代入
得
解得，
∴．
（3）令，
则，
解得（舍去）．
答：C处距离桥墩的距离至少为米．
49．综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？
为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：
(1)【建立模型】
数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．
①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程．
②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标．
(2)【问题解决】
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围．
(3)【拓展应用】
半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ．
【答案】(1)①，洒水车喷出水的最大射程为；②
(2)
(3)
【分析】（1）①用待定系数法求出函数解析式，令，求出x的值即可；
②根据平移的特点求出点B的坐标即可；
（2）根据点F的纵坐标为，得出，求出此时或，利用二次函数的性质，进行求解即可；
（3）设点，，求出，求出，得出答案即可．
【详解】（1）解：①由题意得：，，
∵是上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为；
令，则，
解得或（舍去），
∴洒水车喷出水的最大射程为；
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∵平移后仍过点，
∴y2是由y1向左平移得到的，
∵，点B是由点C向左平移得到的，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵，
∴点F的纵坐标为，
∴，
解得或（舍去），
∴，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，
则，
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为，
∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是，
∴的取值范围为；
（3）解：设，
由（1）②可知，
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，
设点，，
则有，
解得，
∴点D的纵坐标为，
∵，
∴h的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，数形结合．
50．某公园要在小广场上建造一个喷泉景观，在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【答案】(1)
(2)
(3)光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可；
（3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离．
【详解】（1）根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，，
设第一象限内的抛物线解析式为，
将点代入物线解析式，
，
解得，
第一象限内的抛物线解析式为；
（2）根据题意，令，
即，
解得，，
，抛物线开口向下，
当时，，
的取值范围为；
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示，
，
设直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
即，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，
，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．
51．将小球（看作一点）以速度竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度与时间的函数解析式为，若上升的初始速度，且当时，小球达到最大高度．
(1)求小球上升的高度与时间的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升的最大高度；
(2)向上抛出小球时再让小球在水平方向上匀速运动，且速度为，发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度与时间的函数关系式与（1）中的解析式相同．在如图所示的平面直角坐标系中，轴表示小球相对于抛出点的高度，轴表示小球距抛出点的水平距离．
①若，当时，小球的坐标为______，小球上升的最高点坐标为______；
②在①的条件下求小球上升的高度与小球距抛出点的水平距离之间的函数关系式；
③在小球的正前方的墙上有一高的小窗户，其上沿的坐标为，若小球恰好能从窗户中穿过（不包括恰好击中点，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度的取值范围．
【答案】(1)，小球能够上升的最大高度为米
(2)①，②③或
【分析】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，读懂题意，理解小球的水平距离和竖直距离是解题关键．
（1）将，代入解析式，再根据当时，小球达到最大高度，得到对称轴为直线，根据对称轴公式求出的值，求出抛物线的解析式，将代入，求出上升的最大高度即可；
（2）①把代入（1）中解析式，求出小球的纵坐标，用求出小球的横坐标，进而得到小球的坐标，根据，小球上升的高度最高，求出此时的水平距离即为小球的横坐标，即可；
②根据水平距离等于，即：，得到代入（1）中的解析式即可得出关于的解析式；
③分别求出小球击中点和点的时间，进而求出对应的的值，即可得出的取值范围．
【详解】（1）解：将代入，得：，
∵当时，小球达到最大高度，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴小球能够上升的最大高度为米；
（2）①∵，
∴当时，，
∴小球的纵坐标为3，
∵小球的运动的水平距离为：m，
∴小球的横坐标为2，
∴小球的坐标为；
由（1）知当时，小球到达最高高度为4m，
∴此时小球的水平距离为m，
∴此时小球的坐标为，即最高点的坐标为；
故答案为：，；
②∵水平距离，
∴，
∵，把代入，得：；
∴；
③∵，上沿的坐标为，
∴，
当小球刚好击中点即：时，，
解得：或，
当时，；
当时，；
当小球刚好击中点即：时，，
解得：或，
当时，；
当时，；
∴或．
52．实践探究题
【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．
例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离．
【应用】
（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是______；
（2）如图3，已知直线：与双曲线：交于与B两点，点A与点B之间的距离是______，点O与双曲线之间的距离是______；
【拓展】
（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
【答案】（1）；（2）；（3）40米
【分析】（1）过点D作于点H，得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出结果即可；
（2）先根据一次函数解析式求出，然后再求出反比例函数解析式，再求出点，根据两点点距离公式求出即可；作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，求出一次函数解析式，再求出交点坐标，最后求出即可；
（3）作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，先求出直线的解析式，然后求出点A、B的坐标，根据两点之间距离公式求出的长，进而即可得出答案．
【详解】（1）如图，过点D作于点H，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）把代入中，
得：，
∴，
把代入，
得：，
∴，
∴双曲线的解析式为，
联立，得：，
即，
解得：，，
检验，，都是所列方程的解，不合题意，舍去，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，作，使与双曲线只有一个交点，
设直线的解析式为，
则，
整理得：，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴直线的解析式为，
由，
解得：，
检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，；
（3）如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，
则，
∵直线平分第二、四象限角，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
代入，
得，
解得：，
∴
联立得：，
解得：或，
检验，或都是所列方程的解，且符合题意，
∴或，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40米．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用．作出辅助线，熟练掌握待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的性质，函数与方程，两函数图象交点个数的判定，两点之间距离公式，矩形的判定和性质，是解题的关键．
53． 数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？
【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的？
思路一：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a，面积为a2． 若新正方形的周长是原正方形周长的，则新正方形的边长为，此时新正方形的面积是____①____．
思路二：正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新正方形与原正方形相似比为，此时新正方形周长应是原正方形周长的____②____．
结论：____③____（“存在”或“不存在”）一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的．
拓展：除正方形外，上面的结论对哪种图形也成立？请写出一种图形．____④____
【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究．
活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？
分析：设新矩形长和宽为，，根据题意，得
思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据方程的解的情况解决问题．
思路二：借助一次函数与反比例函数的图象（画出简单的函数图象即可）研究．
结论：____⑤____（“存在”或“不存在”）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的．
活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？若存在，请指出需要满足的条件；若不存在，请说明理由．
请你完成以下任务：
(1)将【阶段一】中的①~④分别补充完整．
(2)分别按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二解决问题，并将⑤补充完整．
(3)完成对【阶段二】中活动二的研究．
【答案】(1)①a2；②；③不存在；④等边三角形（答案不唯一，如圆）
(2)思路一：见解析；思路二：见解析；⑤不存在
(3)当时，存在
【分析】
本题考查的是一次函数与反比例函数的灵活应用，矩形，正方形的性质，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意，相似多边形的性质，选择合适的方法解题是关键；
（1）①直接利用面积公式计算即可；②由所有的正方形是相似图形，结合相似图形的性质可得答案；③根据②的探究下结论即可；④仿照正方形的探究方法，探究等边三角形即可；
（2）思路一：把方程组消元得到一元二次方程，利用根的判别式的情况可得答案；思路二：分别画出两个函数的简易图象，根据交点的情况判定即可；
（3）根据前面的探究方法建立方程组，根据判别式大于或等于0可得成立的条件．
【详解】（1）解：①新正方形的边长为，此时新正方形的面积是；
②正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新正方形与原正方形相似比为，此时新正方形周长应是原正方形周长的；
③总结可得：不存在一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的．
④除正方形外，上面的结论对等边三角形也成立；
∵等边三角形都是相似图形，新的等边三角形的面积为原来等边三角形的面积的，
∴新的等边三角形与原来等边三角形的相似比为，
而新的等边三角形的周长为原来等边三角形的周长的，
∴此时新的等边三角形原来等边三角形的相似比为，
∴不存在一个新等边三角形，其周长和面积都为给定等边三角形周长和面积的．
（2）思路一：
设新矩形长和宽为，，根据题意，得
∴，
整理得：，
∴，
∴原方程组无解，则不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的；
思路二：如图，函数与的图象如下：
∵两个函数图象没有交点，
∴无解，
∴不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的；
结论：不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的；
（3）∵矩形的长和宽分别为m和n，
∴矩形的周长为，面积为，
∴新的矩形的周长为，面积为，
设新矩形长和宽为，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，
存在新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为和的矩形周长和面积的；
54．
设计货船通过双曲线桥的方案
素材 一座曲线桥如图所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图是其示意图，且该桥关于对称．
素材 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式．
问题解决
任务 确定桥洞的形状 建立平面直角坐标系如图所示，显然，落在第一象限的角平分线上． 甲说：点可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点落在时，点A的坐标为_______________，此时过点的双曲线的函数表达式为_____________，而点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意．
任务 拟定方案 此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？ （提示：先求出桥洞所在双曲线的函数表达式）
【答案】任务：，，乙正确；任务：此时货船不能通过该桥洞，要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞．
【分析】任务：设曲线的解析式为，把点代入，可得曲线的解析式为 ，再由反比例函数图象的对称性可得，点是的中点，，过点、分别作轴、轴的平行线交于，过点作于， 可得，是等腰直角三角形，，进而可得，，点在双曲线上，与点在双曲线上矛盾；
任务：设其中则，可得，由 ，，可得，，可得，再根据矩形的性质可得，即可判断此时货船不能通过，运用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得直线与双曲线的交点 ，即可求得答案；
本题是反比例函数应用题，考查了待定系数法，一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的性质等，解题的关键是根据坐标系列出相应的函数解析式．
【详解】任务：设曲线的解析式为 ，把点代入，得 ：，
解得：，
∴曲线的解析式为，
∵落在第一象限的角平分线上，
∴、关于对称，即、关于第一象限角平分线对称，
∴点是的中点，，
过点、分别作轴、轴的平行线交于，过点作于，如图，
则，是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴点在双曲线上，
∴点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意，
故答案为：，，乙正确；
任务：设，，其中 ，则，如图，
∵点在直线上，
∴，即
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴ ，，
∵，
∴此时货船不能通过该桥洞，
设直线的解析式为，与双曲线的交点为，把代入得，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得：(舍去)， ，
∴
∴，即，
∵，
∴
故要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞，
答：此时货船不能通过该桥洞，要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞．
