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题型05 几何直线型综合问题
55．如图，在菱形中，，分别在边上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点．
(1)若时，求的值；
(2)若是直角三角形，求的值．
56．问题探究
（1）如图1，在中，，点D是的中点，于点E．求证：；
（2）如图2，在中，连接，平分，交于E，平分，交于F．当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由；
问题解决
（3）某地为改进城市旅游景观面貌、提高市民的生活幸福指数，城建部拟规划一个形如四边形的动植物园（如图3），沿对角线、分别修建观赏小径（宽度忽略不计），已知米，米，，根据设计要求，现要将三角形区域设为熊猫娱乐区，为了游客的安全起见，将熊猫娱乐区周围筑起护栏．求所需护栏的长度（的周长）以及该动植物园所占面积（四边形的面积）．
57．已知在菱形中，，点M在上，点E在线段上，将射线绕点M顺时针旋，得到射线交直线于点F，连接．
【问题发现】（1）如图1，当点M与点A重合时，线段和之间的数量关系为__________．
【类比探究】（2）如图2，当点M在边上时，题（1）中的结论是否成立？并说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，当点M在延长线上时，交线段于点N，射线和交于点Q，且经过点C，若，求的值．
58．综合与实践
[问题情境]
如图1，折叠矩形纸片，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F．
[活动猜想]
（1）如图2，当点与点D重合时，求证：四边形是菱形；
[问题解决]
（2）如图3，当点，，C在同一条直线上时，若，，求的长；
[深入探究]
（3）填空：①如图4，当与满足________时，始终有与对角线平行；（在横线上填写与的数量关系）．
②在①的条件下，与，分别交于点O，P，则三条线段，，之间满足的等量关系为_______．
59．（1）[问题探究]
如图1，在正方形中，对角线相交于点．点是线段上一点（与点、不重合），连结．
①求证：；
②将线段绕点逆时针旋转，点落在的延长线上的点处．当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究与的数量关系，并说明理由．
（2）[迁移探究]
如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由．
60．已知矩形纸片．
第1步：先将矩形纸片对折，使点A和点B重合，然后展开铺平，确定的中点E；
第2步：将边沿翻折到的位置，点的对应点为；
第3步：连接并延长，交边于点．
(1)当四边形为正方形，如图1．
①用尺规作出点F，G（不写作法，保留作图痕迹）；
②求证：
(2)如图2，连接并延长，交于点，当恰为的中点时，求的值．
61．问题初探】：（1）如图①，在中，点D、E分别在边上，连接．若，则的长为 ；
【问题深入】：（2）如图②，在扇形中，点C是上一动点，连接求四边形的面积的最大值；
【拓展应用】：（3）为进一步促进西安市文化和旅游高质量发展，推动全市文明旅游创建工作，结合2023年陕西省文明旅游示范单位申报工作，一并开展2023年西安市文明旅游示范单位评选工作．某地为参加评选积极改善环境，拟建一个四边形休闲广场，其大致示意图如图③所示，其中，米．点E处设立一个自动售货机，点E是的中点，连接，与交于点M，连接，沿修建一条石子小路（宽度不计），将和进行绿化．根据设计要求，．为倡导绿色新风尚，现要使绿化的面积尽可能的大，请问和的面积之和是否存在最大值？若存在，请求出和面积之和的最大值；若不存在，请说明理由．
62．如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【探究发现】
操作一：先把矩形对折，折痕为；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________；
(2)【类比应用】
小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．
①如图2，当点M在上时，________，________；
②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展延伸】
在（2）的探究中，当，请直接写出的长．
63．综合与实践
数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展活动，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．
【动手操作】如图1，将边长为5的正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，再将正方形纸片展开，得到折痕；
【证明体验】勤学小组对正方形纸片做了如下操作，如图2，为边上的一个动点，将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，则的形状为______（填三角形的形状），______；
【思考探究】善思小组继续深入思考，将正方形展开，当动点与点重合时，沿折叠，得到点的对应点，延长交于点，如图3，试判断与的数量关系，并加以证明；
【拓展延伸】明辨小组在善思小组的基础上展开思考，将沿继续折叠，点的对应点为，当点的位置不同时点的位置也随之改变，连接，若点恰好落在的边上，请直接写出的长．中小学教育资源及组卷应用平台
题型05 几何直线型综合问题
55．如图，在菱形中，，分别在边上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点．
(1)若时，求的值；
(2)若是直角三角形，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）过点作，由折叠知，则．设，由勾股定理解可得，由等腰三角形三线合一可得，结合折叠前后对应边相等，即可求解；
（2）分，两种情况，利用折叠前后对应边相等、对应角相等，通过解直角三角形，求出相关线段长度，分别求解即可．
【详解】（1）解：过点作，垂足为点．
由折叠知，
∴．
设，则，
由勾股定理得，
，，
∴，，
∴，
故；
（2）解：①如图1，若时，延长交于点．
设，则，，
．
菱形中，，
，，
，
设，则，
解得，
，
∴，
由折叠知，
，
，即，
，
，
，
；
②如图2，若时，延长相交于点．
设，则、，
，．
由折叠知，
，
，
设，则，
解得，
．
∵，
∴．
∵，
∴．
由折叠知，
∴．
∴为等腰直角三角形．
∴，
∴，
∴，
∴．
综上可知，的值为或．
【点睛】本题考查三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，折叠的性质，菱形的性质等，第二问有一定难度，注意分情况讨论是解题的关键．
56．问题探究
（1）如图1，在中，，点D是的中点，于点E．求证：；
（2）如图2，在中，连接，平分，交于E，平分，交于F．当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由；
问题解决
（3）某地为改进城市旅游景观面貌、提高市民的生活幸福指数，城建部拟规划一个形如四边形的动植物园（如图3），沿对角线、分别修建观赏小径（宽度忽略不计），已知米，米，，根据设计要求，现要将三角形区域设为熊猫娱乐区，为了游客的安全起见，将熊猫娱乐区周围筑起护栏．求所需护栏的长度（的周长）以及该动植物园所占面积（四边形的面积）．
【答案】（1）见解析；（2），四边形是矩形．证明见解析；（3）所需护栏的长度为米；该动植物园所占面积为平方米．
【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；解（3）关键是作过点B作得角平分线，转化得从而证明．
（1）连接，根据等腰三角形性质可得：，，再由同角的余角相等证明即可证明．
（2）要使四边形是矩形，由证此四边形是平行四边形，因此只需证明有一个角是直角，添加条件，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证．
（3）过点B作，垂足为，过点C作，垂足为，由已知条件证明，得，再利用构造直角三角形利用勾股定理求出线段长和三角形的高即可解答．
【详解】（1）连接，
∵，点D是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：．
（2）结论：，四边形是矩形．
理由如下：在中，，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
四边形是平行四边形，
，平分，
，
平行四边形是矩形．
（3）过点B作，垂足为，过点C作，垂足为，
∵米，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵米，米，
∴米，
∴米，
∴（米），
∵由辅助线作法可知：四边形，
∴米，米，
∴米；
∴在中，（米）；
所需护栏的长度（的周长）（米）
该动植物园所占面积（四边形的面积） （平方米）
57．已知在菱形中，，点M在上，点E在线段上，将射线绕点M顺时针旋，得到射线交直线于点F，连接．
【问题发现】（1）如图1，当点M与点A重合时，线段和之间的数量关系为__________．
【类比探究】（2）如图2，当点M在边上时，题（1）中的结论是否成立？并说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，当点M在延长线上时，交线段于点N，射线和交于点Q，且经过点C，若，求的值．
【答案】【问题发现】（1）；【类比探究】（2）见解析；【拓展延伸】（3）
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
（1）利用菱形的性质，证明，即可解答；
（2）过点作的平行线交于点，同（1）原理证明，即可解答；
（3）连接，过点作的平行线交的延长线于点，证明，得出四边形为菱形，即可证明，得到，最后利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：四边形是菱形，，
，为等边三角形，
将射线绕点M逆时针旋，点M与点A重合，
，，
，即，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）成立，理由如下：
如图，过点作的平行线交于点，
，
,
为等边三角形，
同（1）中原理可得，
；
（3）解：如图，连接，过点作的平行线交的延长线于点，
根据（2）中原理可得，
，，为等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形，
，，
，
,，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设,则,
可得，整理得，
可得（舍去），
．
58．综合与实践
[问题情境]
如图1，折叠矩形纸片，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F．
[活动猜想]
（1）如图2，当点与点D重合时，求证：四边形是菱形；
[问题解决]
（2）如图3，当点，，C在同一条直线上时，若，，求的长；
[深入探究]
（3）填空：①如图4，当与满足________时，始终有与对角线平行；（在横线上填写与的数量关系）．
②在①的条件下，与，分别交于点O，P，则三条线段，，之间满足的等量关系为_______．
【答案】（1）菱形；（2）；（3）①，证明见解析；②，理由见解析
【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；
（2）利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由和，可求得，，再根据，列式计算即可求解；
（3）①设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案；
②过点作于，设交于，设，，利用解直角三角形可得，，即可得出结论．
【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形．
理由：设与交于点，如图，
由折叠得：，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是矩形，，，设，
，，，
，
如图，设与交于点，过点作于，
由折叠得：，
∵点，，在同一条直线上，
∴，
，，
，
，
，
，即，
，
，
，，
，
，即，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）①当时，始终有与对角线平行．
理由：如图，设、交于点，
四边形是矩形，
，，
，
设，
则，
由折叠得：，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
；
②，理由如下：
如图，过点作于，设交于，
由折叠得：，，，
设，，
由①得：，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大．
59．（1）[问题探究]
如图1，在正方形中，对角线相交于点．点是线段上一点（与点、不重合），连结．
①求证：；
②将线段绕点逆时针旋转，点落在的延长线上的点处．当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究与的数量关系，并说明理由．
（2）[迁移探究]
如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②的大小不发生变化，，理由见解析；③，理由见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）①根据正方形的性质证明, 即可得到结论;
②作, 垂足分别为点, 如图, 可得, 证明四边形是矩形, 推出,证明, 得出, 进而可得结论;
③作交于点, 作于点, 如图, 证明, 即可得出结论；
（2）先证明, 作交于点,交于点, 如图, 则四边形是平行四边形, 可得,都是等边三角形, 进一步即可证得结论.
【详解】①证明：四边形是正方形，
，，
，
；
②的大小不发生变化，；
证明：作，，垂足分别为点，如图，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
，即；
③；
证明：作交于点，作于点，如图，
四边形是正方形，
，，
，四边形是矩形，
，，，
，，
，
作于点，则，，
，
，，
，
；
（2）；
证明：四边形是菱形，，
，，，
是等边三角形，垂直平分，
，，
，，
作交于点，交于点，如图，则四边形是平行四边形，
，，
，，都是等边三角形，
，
作于点，则，，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键.
60．已知矩形纸片．
第1步：先将矩形纸片对折，使点A和点B重合，然后展开铺平，确定的中点E；
第2步：将边沿翻折到的位置，点的对应点为；
第3步：连接并延长，交边于点．
(1)当四边形为正方形，如图1．
①用尺规作出点F，G（不写作法，保留作图痕迹）；
②求证：
(2)如图2，连接并延长，交于点，当恰为的中点时，求的值．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）①以点C为圆心，长为半径画弧，以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于F，连接，延长交于G即可；
②根据正方形的性质与折叠的性质得，，再证明 ，得，设，，则， ，+，根据勾股定理得：，解得，所以， ，即可得出结论．
（2）根据正方形的性质与折叠的性质得，则，再由等腰三角形的性质和直角三角形的性质证得，设，，则，根据勾股定理，解得，代入即可求解．
【详解】（1）解：①如图，点F，G即为所作的点，（答案不唯一）
∵，，，
∴
∴将边沿翻折到的位置；
②四边形是正方形，
，，
由折叠可得，
，，，
，，
连接，
，
，
，
设，，
为的中点，
，
，+，
根据勾股定理得：
，
解得，
，
，
．
（2）解：四边形是正方形，
，，
由折叠可得，
，
，
为的中点， 为的中点，
，，
，
即，
设，，
，
根据勾股定理，
解得，
．
【点睛】本题考查尺规作图，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，此题属中考试压轴题，综合性较强，灵活运用相关知识是解题的关键．
61．问题初探】：（1）如图①，在中，点D、E分别在边上，连接．若，则的长为 ；
【问题深入】：（2）如图②，在扇形中，点C是上一动点，连接求四边形的面积的最大值；
【拓展应用】：（3）为进一步促进西安市文化和旅游高质量发展，推动全市文明旅游创建工作，结合2023年陕西省文明旅游示范单位申报工作，一并开展2023年西安市文明旅游示范单位评选工作．某地为参加评选积极改善环境，拟建一个四边形休闲广场，其大致示意图如图③所示，其中，米．点E处设立一个自动售货机，点E是的中点，连接，与交于点M，连接，沿修建一条石子小路（宽度不计），将和进行绿化．根据设计要求，．为倡导绿色新风尚，现要使绿化的面积尽可能的大，请问和的面积之和是否存在最大值？若存在，请求出和面积之和的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）6；（2）；（3）和的面积之和存在最大值，和面积之和的最大值为3375平方米．
【分析】（1）设，根据题意得，通过平行推三角形相似，得出，推比例线段，得出的长；
（2）过点作于点，延长交于点，连接，过点作于点，根据勾股定理得出，由图可得 两个式子结合得出四边形的最大值是；
（3）作的外接圆，过点作于点，延长交于点，连接 ，由，推出，推出 ，得出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，，根据点是的中点，，推出，得出，过点作于点，由图可得 ，得出的最大值为90，进而求出和面积之和的最大值．
【详解】解：（1）设，
，
，
，
，
，
，
；
（2）连接，过点作于点，延长交于点，连接，过点作于点，如图1，
，
，
，
，
，
根据勾股定理得，
，
由图可得，
即，
，
，
∴四边形的最大值是；
（3）∵点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
作的外接圆，过点作于点，延长交于点，连接，如图2，
则 ，
，
，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，由图可得，
∴的最大值为90，
∴ ，
∴的最大值为：，
∴和的面积之和存在最大值，和面积之和的最大值为3375平方米．
【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
62．如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【探究发现】
操作一：先把矩形对折，折痕为；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________；
(2)【类比应用】
小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．
①如图2，当点M在上时，________，________；
②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展延伸】
在（2）的探究中，当，请直接写出的长．
【答案】(1)30
(2)①，；②
(3)或
【分析】（1）根据折叠的性质，得，取的中点O，连接，根据直角三角形那个斜边中线等于斜边的一半得到，可证为等边三角形，进而可结果；
（2）①根据折叠的性质，可证即可求解；②证明，即可；
（3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设，分别表示出，由勾股定理即可求解
【详解】（1）解：，
，
，
如图，取的中点O，连接，
，
为等边三角形，
，
，
，
故答案为：30；
（2）①四边形是正方形，
，，
由折叠性质得：，，
，
，
，
，，
同法（1）可得：，
，
，
，
，
在中，，
根据勾股定理：，即，
解得：，
，
在中，，
根据勾股定理：，即，
，
，
故答案为：15，；
②，理由如下：
，，
，
；
（3）当点Q在点F的下方时，如图，
，，
，
，
由（2）可知，，
设，
，
即，
解得：，
；
当点Q在点F的上方时，如图，
，，
，
由（2）可知，，
设，
即，
解得：，
，
综上所述，或
【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键
63．综合与实践
数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展活动，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．
【动手操作】如图1，将边长为5的正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，再将正方形纸片展开，得到折痕；
【证明体验】勤学小组对正方形纸片做了如下操作，如图2，为边上的一个动点，将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，则的形状为______（填三角形的形状），______；
【思考探究】善思小组继续深入思考，将正方形展开，当动点与点重合时，沿折叠，得到点的对应点，延长交于点，如图3，试判断与的数量关系，并加以证明；
【拓展延伸】明辨小组在善思小组的基础上展开思考，将沿继续折叠，点的对应点为，当点的位置不同时点的位置也随之改变，连接，若点恰好落在的边上，请直接写出的长．
【答案】证明体验：等边三角形，；思考探究：，证明见解析；拓展延伸：或．
【分析】证明体验：由题意得为正方形的对称轴，得出，，，，，由折叠的性质可得，从而推出，即可得出为等边三角形，得到，由勾股定理得出的长即可得解；
思考探究：连接，由题意得为正方形的对称轴，得出，，由折叠的性质可得，，证明得出，设，则，，由勾股定理得：，求出的值即可得解；
拓展延伸：分两种情况：当点在上时；当点在上时；分别利用正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形求解即可得出答案．
【详解】证明体验：由题意得：为正方形的对称轴，
，，，，，
由折叠的性质可得，
，
为等边三角形，
，
，
；
思考探究：，证明如下：
如图，连接，
，
由题意得：为正方形的对称轴，
，，
由折叠的性质可得，，
，
，
，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，，
；
拓展延伸：如图，当点在上时，
，
在正方形中，，，
由折叠的性质可得：，
，
，
，
；
如图，当点在上时，
，
由折叠的性质可得：，，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
