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题型06 锐角三角函数实际应用问题
64．如图，一座石桥的主桥拱是四弧形，某时刻添得水面的宽度为8米，拱高（的中点C到水面的距离）为2米．
(1)求主桥拱所在圆的半径．
(2)在主桥拱所在圆的圆心处有一水位检测仪，若过几天某时刻的水面为，检测仪观测点的仰角为，求此时水面的宽度．（参考数据：，，）
65．综合与实践：测算校门所在斜坡的坡度．
【背景】如图1，某学校校门在一道斜坡上，该校兴趣小组想要测量斜坡的坡度．
【素材1】校门前的斜坡上铺着相同的长方形石砖，如图2，从测量杆到校门所在位置在斜坡上有15块地砖．
【素材2】在点A处测得仰角，俯角；在点B处直立一面镜子，光线反射至斜坡的点N处，测得点B的仰角；测量杆上，斜坡上点N所在位置恰好是第9块地砖右边线．
【讨论】只需要在中选择两个角，再通过计算，可得的坡度．
任务1 分析规划 选择两个测量角的正切值： 和 ．（填“”，“”或“”）
求的值．
任务2 推理计算 求坡度的值．
66．小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，A、B、C、D、E为同一平面内的五个景点．已知景点 E 位于景点 A 的东南方向 米处，景点D 位于景点 A 的北偏东方向1500米处，景点C位于景点B 的北偏东方向， 若景点A、B 与景点 C、D 都位于东西方向，且景点 C、B、E在同一直线上．
(1)填空： °， °；
(2)求景点 A 与景点 B之间的距离．（结果保留根号）
(3)小明从景点A出发， 从A→D→C， 小红从景点 E出发， 从E→B→C，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点 C．（参考数据： ）
67．最佳视点
如图1，设墙壁上的展品最高处点P距底面a米，最低处的点Q距底面b米，站在何处观赏最理想？所谓观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点．
如图2，当过三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角最大，站在此处观赏最理想，小明同学想这是为什么呢？他在过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接，…
任务一：请按照小明的思路，说明在点E时视角最大；
任务二：若，观察者的眼睛距地面的距离为米，最大视角为，求观察者应该站在距离多远的地方最理想(结果精确到米，参考数据)．
68．数学活动小组开展课外实践活动，他们利用周末去测量某建筑物（如图1）的高度，携带的工具有：皮尺、自制测角仪．皮尺（如图2）的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（两点间的距离不大于皮尺的测量长度；借助自制测角仪（如图3）可以在任一点P处，通过测量和计算得到视线与水平方向的仰角（或俯角）的大小．
该小组预设了如下方案（如图4）：
（ⅰ）在该建筑物（）的附近较空旷的平地上选择一点A，点B为测量人员竖直站立时眼睛的位置，用自制测角仪获取最高处（M）的仰角；
（ⅱ）用皮尺测得测量人员眼睛到地面的距离，以及测量点A与大楼底部N的水平距离；
（ⅲ）由实际背景可知四边形为矩形，所以，①____m，②____m；
（ⅳ）在中，③____m，所以，建筑物的高④___m．
(1)请补全该小组预设方案中①②③④所缺的内容；
(2)在现场实践时，发现由于客观原因，无法测量该建筑物周围任意一点与该建筑物的水平距离，即无法获得（1）中的长．请你利用所带工具设计可行的测量方案，并利用解直角三角形的知识，求的高度．
要求：测量长度和角度的次数均不超过两次，且测量得到的长度用字母a，b表示，角度用α，β表示．
69．如图（1）是某餐馆外的伸缩遮阳棚，其轮廓全部展开后可近似看成一个圆，即弧，已知和遮阳棚杆子在同一条直线上，且与地面垂直，当上午某一时刻太阳光从东边照射，光线与地面呈角时，光线恰好能照到杆子底部D点，已知长为．
(1)求遮阳棚半径的长度．
(2)如图（2）当下午某一时刻太阳光从西边照射，光线与地面呈角，在遮阳棚外，距离遮阳棚外檐C点正下方E点的F点处有一株高为的植物，请问植物顶端能否会被阳光照射？请说明理由．
(3)如图（3）为扩大遮阳面积，餐馆更换了遮阳棚，新遮阳棚轮廓可近似看成抛物线的一部分，已知新遮阳棚上最高点仍为A点，且外檐点到的距离为、到的距离为．现需过遮阳棚上一点P为其搭设架子，架子由线段、线段两部分组成，其中与地面垂直，若要保证从遮阳棚上的任意一点P（不含A点）都能按照上述要求搭设架子，则至少需要准备______m的钢材搭设架子．
70．项目化学习
项目主题：为学校图书馆设计无障碍通道．
项目背景：2023年6月28日，我国颁布《中华人民共和国无障碍环境建设法》．某校“综合与实践”小组以“为学校图书馆设计无障碍通道”为主题展开项目学习．
研究步骤：（1）查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形；
（2）实地测量图书馆门口场地的大小；
（3）为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其它通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适．
设计方案：“综合与实践”小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图2所示，其中为地面所在水平线，和是无障碍通道，并且，立柱，均垂直于地面，米，米．
解决问题：若原台阶坡道的长度（线段的长度）为5米，坡角的度数为，，求出无障碍通道的总长（线段和的和）为多少米？（结果保留根号．参考数据：，，）
71．2012年广东陆丰渔政大队指挥中心（A）接到海上呼救：一艘韩国货轮在陆丰碣石湾发生船体漏水，进水速度非常迅猛，情况十分危急，18名船员需要援救．经测量货轮到海岸最近的点的距离，，指挥中心立即制定三种救援方案
（如图1）：
①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心的点D，然后再派冲锋舟前往B．已知冲锋舟在海上航行的速度为，汽车在海岸线上行驶的速度为．，，
(1)通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？
(2)事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）．
①利用现有数据，根据，计算出汽车行加上冲锋舟行的总时间．
②在线段上任取一点；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行加上冲锋舟行的时间比车行加上冲锋舟行的时间要长．
72．【问题背景】
小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣，当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长．
【高度测算】
小明借助测角仪测算泉水的高度．如图1，在A点测泉口B的俯角为15°；当第一次大喊时，泉水从泉口B竖直向上涌至最高点C，在A点测C点的仰角为75°．已知测角仪直立于地面，其高为1.5米．
任务1 求第一次大喊时泉水所能达到的高度的值．（仅结果保留整数）（参考数据：，，）
【初建模型】
泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度h（）与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系．
任务2 根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为______．
【数据分析】
为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表：
时间t（秒） 0 1.5 1.75 2 2.25 2.5
响度x（分贝） 0 36 49 64 81 100
任务3 为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，建立x关于t的函数关系式．
【推理计算】
据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米．
任务4 试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间．
73．
注意用车安全
素材一 图1是某越野车的侧面示意图，图2是打开后备箱时的示意图，已知，，连结，，该车的高度，其中O为轮胎与地面的切点（地面）．当后备箱打开到最大时，与水平面的夹角．
素材二 挡车器可以有效提醒正在倒车的驾驶员．使其不能再继续倒车．防止发生意外．对于保障停车场安全管理起到了重要的作用．当车恰好停在挡车器位置时，轮胎与挡车器的位置关系如图1所示．挡车器上的点M在轮胎所对圆上，图2是某款挡车器，，，．高．
素材三 如图是某露天停车场搭建的一个停车棚侧而示意图．其中顶棚与地面平行，支撑杆与地面垂直，．，．现计划，在停车棚内每一个停车位中安装一个挡车器（与【素材二】中的挡车器同款）．
提示：①轮胎所在圆与地面l始终相切；②参考数据：．．．
任务一 求【素材一】中的长．
任务二 与【素材一】中同型号的越野车停在挡车器位置时，其轮胎所在圆的圆心与挡车器点M的水平距离为．则该越野车的轮胎所在圆的半径是多少？
任务三 将与【素材一】中同型号的越野车停在【素材三】中的停车棚内，则挡车器应该放在什么位置，即的长度至少为多少时．能保证越野车的后备箱盖可以完全打开？
74．项目化学习
项目背景：遮阳伞也叫太阳伞，是指用于遮防太阳光直接照射的伞，其主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，同时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而
变化，“兴趣实践小组”通过实地反复测量实验得出以下具体数据并画出遮阳伞在太阳光线下的示意图．
成果展示：下面是小组成员进行交流展示时的部分方案及实践结果，请同学们分析成果展示并完成任务：
项目主题 遮阳伞下的影子
项目素材 我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角a参照表： 时刻太阳光线与地面的夹角a（度）908065503520参考数据：，，，，，，，
示意图
测量数据 如图，某款遮阳伞的立柱垂直于地面，P为立柱上的滑动调节点，为悬托支杆，F为的中点，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为，为伞体支架，且，测量得到米，米，米，．
项目结果 “智慧小组” “创新小组” “奋斗小组”
中午时，太阳光线与地面垂直时，将点P的位置进行适当调整，使，遮阳效果最佳． 下午时，调整点P的位置及伞体倾斜度，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳． 下午时，……
项目反思 ……
任务一：
填空：如图1，根据“智慧小组”的项目结果可得：当太阳光线与地面垂直时，悬托支杆与伞体支架的关系是______．
任务二：
请你参照“创新小组”的项目结果进行计算：（注意：计算结果均精确到米）
①如图2，求立柱上的滑动调节点P离地面的距离约多少米．
②如图3，当伞面完全张开时，直接写出伞体在地面上留下的影子的长．中小学教育资源及组卷应用平台
题型06 锐角三角函数实际应用问题
64．如图，一座石桥的主桥拱是四弧形，某时刻添得水面的宽度为8米，拱高（的中点C到水面的距离）为2米．
(1)求主桥拱所在圆的半径．
(2)在主桥拱所在圆的圆心处有一水位检测仪，若过几天某时刻的水面为，检测仪观测点的仰角为，求此时水面的宽度．（参考数据：，，）
【答案】(1)主桥拱所在圆的半径长为5米
(2)此时水面的宽度约为9米
【分析】（1）连接，，构造，通过垂径定理得出是直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
（2）设与相交于点，根据平行线的性质得出，为直角三角形，再利用锐角三角形的余弦值即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，．
∵是的中点，，
∴，所在的直线经过圆心．
设半径，则．
∵在中，，
∴，解得．
答：主桥拱所在圆的半径长为5米．
（2）（2）如图，设与相交于点．
由题意得．
∵，∴．
∵，
∴，∴．
∵在中，，
∴，
∴．
答：此时水面的宽度约为9米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形及应用，涉及垂径定理，勾股定理的应用及平行线的性质等知识，解决问题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
65．综合与实践：测算校门所在斜坡的坡度．
【背景】如图1，某学校校门在一道斜坡上，该校兴趣小组想要测量斜坡的坡度．
【素材1】校门前的斜坡上铺着相同的长方形石砖，如图2，从测量杆到校门所在位置在斜坡上有15块地砖．
【素材2】在点A处测得仰角，俯角；在点B处直立一面镜子，光线反射至斜坡的点N处，测得点B的仰角；测量杆上，斜坡上点N所在位置恰好是第9块地砖右边线．
【讨论】只需要在中选择两个角，再通过计算，可得的坡度．
任务1 分析规划 选择两个测量角的正切值： 和 ．（填“”，“”或“”）
求的值．
任务2 推理计算 求坡度的值．
【答案】任务1，和；；任务2，．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形．
任务1，选择和；由，，可求得；
任务2，过点和作的垂线，证明，推出，设，，，，则，求得，，根据，列式计算即可求解．
【详解】解：任务1，选择两个测量角的正切值：和；
∵，，
∴，
∴；
任务2，过点和作的垂线，垂足分别为点和，
∴，
∴，
∴，
设，，，，则，
∵，即，
∴，，
由题意得，，，；
∴，，
∴，，
∵，
∴，
整理得，
∴
．
66．小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，A、B、C、D、E为同一平面内的五个景点．已知景点 E 位于景点 A 的东南方向 米处，景点D 位于景点 A 的北偏东方向1500米处，景点C位于景点B 的北偏东方向， 若景点A、B 与景点 C、D 都位于东西方向，且景点 C、B、E在同一直线上．
(1)填空： °， °；
(2)求景点 A 与景点 B之间的距离．（结果保留根号）
(3)小明从景点A出发， 从A→D→C， 小红从景点 E出发， 从E→B→C，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点 C．（参考数据： ）
【答案】(1)，
(2)米
(3)小红先到达景点C，理由见解析
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题
（1）直接根据平角和直角计算即可；
（2）过点E作于点H，根据等腰直角三角形的性质分别求出，根据正切的定义求出，进而求出；
（3）过点作，交的延长线于点F，过点B作于点G，根据余弦的定义求出，根据正弦的定义求出，进而求出，求出、，比较大小得到答案．
【详解】（1）解：，
故答案为：45；60；
（2）解：如图，过点E作于点H，
在中，米，
则（米），
由题意可知：，
∵，
∴（米），
∴米；
（3）解：如图，过点A作，交的延长线于点F，过点B作于点G，
则四边形为矩形，
∴，米，
在中，米，
则（米），（米），
∴米，
在中，米，，
∴（米），（米），
∴ 米，
∴（米），
在中，米，，
则（米），
∴（米），
∵，
∴小红先到达景点C．
67．最佳视点
如图1，设墙壁上的展品最高处点P距底面a米，最低处的点Q距底面b米，站在何处观赏最理想？所谓观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点．
如图2，当过三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角最大，站在此处观赏最理想，小明同学想这是为什么呢？他在过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接，…
任务一：请按照小明的思路，说明在点E时视角最大；
任务二：若，观察者的眼睛距地面的距离为米，最大视角为，求观察者应该站在距离多远的地方最理想(结果精确到米，参考数据)．
【答案】任务一：见解析；任务二：观察者应该站在距离0.87米的地方最理想
【分析】
任务一：见详解作图，由圆周角定理得，再由三角形外角定理得，所以，因此在点E时视角最大．
任务二：由圆心角定理知，可证是等边三角形，再由切线定理可证，从而可证，于是可证四边形是平行四边形，则，推得．最后解可求得的长．
【详解】
任务一：过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接，
∵是的外角，
∴，
又∵与都是弧所对的圆周角，
∴，
∴，
∴在点E时视角最大．
任务二：∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，．
如图2，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
由题意得，(米)，
在中，(米)．
答：观察者应该站在距离米的地方最理想．
【点睛】
本题考查了圆的相关性质与解直角三角形，涉及到圆周角定理、平行四边形的判定和性质、特殊角三角函数等知识点，解题的关键是熟练综合运用相关性质和定理．
68．数学活动小组开展课外实践活动，他们利用周末去测量某建筑物（如图1）的高度，携带的工具有：皮尺、自制测角仪．皮尺（如图2）的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（两点间的距离不大于皮尺的测量长度；借助自制测角仪（如图3）可以在任一点P处，通过测量和计算得到视线与水平方向的仰角（或俯角）的大小．
该小组预设了如下方案（如图4）：
（ⅰ）在该建筑物（）的附近较空旷的平地上选择一点A，点B为测量人员竖直站立时眼睛的位置，用自制测角仪获取最高处（M）的仰角；
（ⅱ）用皮尺测得测量人员眼睛到地面的距离，以及测量点A与大楼底部N的水平距离；
（ⅲ）由实际背景可知四边形为矩形，所以，①____m，②____m；
（ⅳ）在中，③____m，所以，建筑物的高④___m．
(1)请补全该小组预设方案中①②③④所缺的内容；
(2)在现场实践时，发现由于客观原因，无法测量该建筑物周围任意一点与该建筑物的水平距离，即无法获得（1）中的长．请你利用所带工具设计可行的测量方案，并利用解直角三角形的知识，求的高度．
要求：测量长度和角度的次数均不超过两次，且测量得到的长度用字母a，b表示，角度用α，β表示．
【答案】(1)①a；②b；③；④；
(2)方案见解析，．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．
（1）由四边形为矩形，利用矩形的性质求解，在中，利用正切函数即可求解；
（2）在（1）的基础上再由点A朝点N方向前进至点D处，测得，， ，再解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：由实际背景可知四边形为矩形，
所以，，；
在中，，，
故答案为：①a；②b；③；④；
（2）解：先在该建筑物（）的附近较空旷的平地上选择一点A，
点B为测量人员竖直站立时眼睛的位置，
用自制测角仪获取最高处（M）的仰角，
然后由点A朝点N方向前进至点D处，
此时点E为测量人员竖直站立时眼睛的位置，
再用自制测角仪获取最高处（M）的仰角；
再用皮尺测得测量人员眼睛到地面的距离，以及前进的距离，
由实际背景可知四边形，四边形为矩形，
故，．
在和中，，
∴，
，
∴，
即，
∴，
∴．
69．如图（1）是某餐馆外的伸缩遮阳棚，其轮廓全部展开后可近似看成一个圆，即弧，已知和遮阳棚杆子在同一条直线上，且与地面垂直，当上午某一时刻太阳光从东边照射，光线与地面呈角时，光线恰好能照到杆子底部D点，已知长为．
(1)求遮阳棚半径的长度．
(2)如图（2）当下午某一时刻太阳光从西边照射，光线与地面呈角，在遮阳棚外，距离遮阳棚外檐C点正下方E点的F点处有一株高为的植物，请问植物顶端能否会被阳光照射？请说明理由．
(3)如图（3）为扩大遮阳面积，餐馆更换了遮阳棚，新遮阳棚轮廓可近似看成抛物线的一部分，已知新遮阳棚上最高点仍为A点，且外檐点到的距离为、到的距离为．现需过遮阳棚上一点P为其搭设架子，架子由线段、线段两部分组成，其中与地面垂直，若要保证从遮阳棚上的任意一点P（不含A点）都能按照上述要求搭设架子，则至少需要准备______m的钢材搭设架子．
【答案】(1)
(2)植物顶端不能被太阳照射，理由见解析
(3)
【分析】（1）解直角三角形，求得结果；
（2）连接，延长交于，可证得，从而得出，，从而求得的值，进而得出，从而得出，进一步得出结果；
（3）以所在直线为轴，所在的直线为轴建立坐标系，可求得抛物线的解析式为，从而可设设，从而表示出，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
，，
，
，，
，
；
（2）如图2，
植物顶端不能被太阳照射，理由如下：
连接，延长交于，
与相切，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
植物顶端不能被太阳照射；
（3）解：如图3，
以所在直线为轴，所在的直线为轴建立坐标系，
，，
设抛物线的解析式为：，
，
，
，
设，
，
当时， 有最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，圆的切线的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是理解题意，列出函数关系式．
70．项目化学习
项目主题：为学校图书馆设计无障碍通道．
项目背景：2023年6月28日，我国颁布《中华人民共和国无障碍环境建设法》．某校“综合与实践”小组以“为学校图书馆设计无障碍通道”为主题展开项目学习．
研究步骤：（1）查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形；
（2）实地测量图书馆门口场地的大小；
（3）为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其它通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适．
设计方案：“综合与实践”小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图2所示，其中为地面所在水平线，和是无障碍通道，并且，立柱，均垂直于地面，米，米．
解决问题：若原台阶坡道的长度（线段的长度）为5米，坡角的度数为，，求出无障碍通道的总长（线段和的和）为多少米？（结果保留根号．参考数据：，，）
【答案】米
【分析】延长，，交于点H，过点B作于点K，证明四边形为矩形，得出，解直角三角形求出（米），得出，根据等腰三角形的性质得出米，根据勾股定理求出（米），得出结果即可．
【详解】解：延长，，交于点H，过点B作于点K，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵米，，
∴（米），
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴米，
∴（米），
在中，根据勾股定理得：
（米），
∴米．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
71．2012年广东陆丰渔政大队指挥中心（A）接到海上呼救：一艘韩国货轮在陆丰碣石湾发生船体漏水，进水速度非常迅猛，情况十分危急，18名船员需要援救．经测量货轮到海岸最近的点的距离，，指挥中心立即制定三种救援方案
（如图1）：
①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心的点D，然后再派冲锋舟前往B．已知冲锋舟在海上航行的速度为，汽车在海岸线上行驶的速度为．，，
(1)通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？
(2)事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）．
①利用现有数据，根据，计算出汽车行加上冲锋舟行的总时间．
②在线段上任取一点；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行加上冲锋舟行的时间比车行加上冲锋舟行的时间要长．
【答案】(1)方案③较好
(2)①小时；②见详解
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，及优化方案的选择，难点在最后一问，注意判断出汽车行的时间冲锋舟行的时间是突破口，难度较大．
（1）解直角三角形，可得出、的长度，然后分别求出三种方案需要的时间即可作出比较；
（2）①在中求出、的长度，继而得出的长度，这样即可求出汽车行加上冲锋舟行的总时间；
②分两种情况讨论，当点在上时，当点在上时，过点作于点，表示出、，根据，可得，继而能判断出汽车行的时间冲锋舟行的时间，转换后比较即可得出结论．
【详解】（1）
解：（1）在中，
，，
，，
∵
∴
方案①需要用时：小时分钟，
方案②需要用时：小时分钟，
方案③需要用时：小时分钟
方案③较好；
（2）
解：①，
设，，则，
解得：，
即可得，，
，
故可得所用时间为：小时；
②延长过作于，
点为上任意一点，汽车开到点放冲锋舟下水，用时，
汽车开到放冲锋舟下水，用时，
∵
∴，
∴，
∴
，
∵，
，
；
∴当点在上任意一点时，过作于，同理可证：．
综上可得汽车行加上冲锋舟行的时间比车行加上冲锋舟行的时间要长．
72．【问题背景】
小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣，当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长．
【高度测算】
小明借助测角仪测算泉水的高度．如图1，在A点测泉口B的俯角为15°；当第一次大喊时，泉水从泉口B竖直向上涌至最高点C，在A点测C点的仰角为75°．已知测角仪直立于地面，其高为1.5米．
任务1 求第一次大喊时泉水所能达到的高度的值．（仅结果保留整数）（参考数据：，，）
【初建模型】
泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度h（）与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系．
任务2 根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为______．
【数据分析】
为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表：
时间t（秒） 0 1.5 1.75 2 2.25 2.5
响度x（分贝） 0 36 49 64 81 100
任务3 为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，建立x关于t的函数关系式．
【推理计算】
据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米．
任务4 试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间．
【答案】任务1：米；任务2：；任务3：；任务4：（秒）
【分析】任务1：过点A作于点E，在中进行求解；
任务2：设，把，代入得，即可求解；
任务3：设，把，；，代入得，求解即可；
任务4：，当时，，求解即可解得．
【详解】解：任务1 高度测算
法一：如图1，过点A作于点E，由题意得，，，
∴，，，
∵，∴，
∴，
∴．
法二：如图1，过点A作于点E，
由题意得，，，
∴，，，
∵，∴，
∴．
任务2 初建模型
设，把，代入得，
∴．
任务3 数据分析
如图2，由图象可知，x与t大致满足二次函数关系
设，把，；，代入得
，解得，
经检验，表中其他数据均满足，
∴．
任务4 推理计算
法一：，当时，，解得，（舍）
法二：当时，，解得，
当时，，解得，（舍）．
【点睛】本题考查了解直角三角形，一次函数，二次函数，二次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求解出函数解析式．
73．
注意用车安全
素材一 图1是某越野车的侧面示意图，图2是打开后备箱时的示意图，已知，，连结，，该车的高度，其中O为轮胎与地面的切点（地面）．当后备箱打开到最大时，与水平面的夹角．
素材二 挡车器可以有效提醒正在倒车的驾驶员．使其不能再继续倒车．防止发生意外．对于保障停车场安全管理起到了重要的作用．当车恰好停在挡车器位置时，轮胎与挡车器的位置关系如图1所示．挡车器上的点M在轮胎所对圆上，图2是某款挡车器，，，．高．
素材三 如图是某露天停车场搭建的一个停车棚侧而示意图．其中顶棚与地面平行，支撑杆与地面垂直，．，．现计划，在停车棚内每一个停车位中安装一个挡车器（与【素材二】中的挡车器同款）．
提示：①轮胎所在圆与地面l始终相切；②参考数据：．．．
任务一 求【素材一】中的长．
任务二 与【素材一】中同型号的越野车停在挡车器位置时，其轮胎所在圆的圆心与挡车器点M的水平距离为．则该越野车的轮胎所在圆的半径是多少？
任务三 将与【素材一】中同型号的越野车停在【素材三】中的停车棚内，则挡车器应该放在什么位置，即的长度至少为多少时．能保证越野车的后备箱盖可以完全打开？
【答案】任务一：；任务二：该越野车的轮胎所在圆的半径是；任务三：的长为时，后备箱能完全打开
【分析】本题主要考查解直角三角形：
任务一：过点B作交于点D，根据求出，根据求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可；
任务二：设轮胎的圆心为H，过点M作，过点N作，过点M作，根据题意得到，，设的半径，则，然后在中利用勾股定理求解即可；
任务三：在中，求出作保证越野车的后备箱可以完全打开，则求得求出由可求出，从而可得结论
【详解】任务一：如图所示，过点B作交于点D，
∵，
∴，即，
解得
∴，即
解得
∵
∴
∴；
任务二：如图所示，设轮胎的圆心为H，过点M作，过点N作，过点M作，
∴四边形是矩形，
∵挡车器高，轮胎所在圆的圆心与挡车器点M的水平距离为，
∴，，
∴设的半径，则
∴在中，
∴
解得
∴该越野车的轮胎所在圆的半径是；
任务三：由素材一知，即，
∵当后备箱打开到最大时，与水平面夹角，
在中，如图1，，
∴
∴
如图2中，作
∵．，，
∴保证越野车的后备箱可以完全打开，则
∴
∵
∴
∴
又
∴
∴，即的长为时，后备箱能完全打开
74．项目化学习
项目背景：遮阳伞也叫太阳伞，是指用于遮防太阳光直接照射的伞，其主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，同时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而
变化，“兴趣实践小组”通过实地反复测量实验得出以下具体数据并画出遮阳伞在太阳光线下的示意图．
成果展示：下面是小组成员进行交流展示时的部分方案及实践结果，请同学们分析成果展示并完成任务：
项目主题 遮阳伞下的影子
项目素材 我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角a参照表： 时刻太阳光线与地面的夹角a（度）908065503520参考数据：，，，，，，，
示意图
测量数据 如图，某款遮阳伞的立柱垂直于地面，P为立柱上的滑动调节点，为悬托支杆，F为的中点，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为，为伞体支架，且，测量得到米，米，米，．
项目结果 “智慧小组” “创新小组” “奋斗小组”
中午时，太阳光线与地面垂直时，将点P的位置进行适当调整，使，遮阳效果最佳． 下午时，调整点P的位置及伞体倾斜度，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳． 下午时，……
项目反思 ……
任务一：
填空：如图1，根据“智慧小组”的项目结果可得：当太阳光线与地面垂直时，悬托支杆与伞体支架的关系是______．
任务二：
请你参照“创新小组”的项目结果进行计算：（注意：计算结果均精确到米）
①如图2，求立柱上的滑动调节点P离地面的距离约多少米．
②如图3，当伞面完全张开时，直接写出伞体在地面上留下的影子的长．
【答案】任务一：；任务二：①米；②米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，平行线的性质与判定等等：
任务一：先证明得到，则，再证明，推出，再由，得到，，进而得到，即可得到；
任务二：①如图所示，过点P作交于H，过点F作于G，由题意得，，，求出，进而得到；由三线合一定理得到，解得到米，则米，即可得到米；②如图所示，过点P作交于H，过点D作于K，由三线合一定理得到，解，得到米，则米，再解得到米，证明四边形是平行四边形，得到米，则伞体在地面上留下的影子的长为米．
【详解】解：任务一：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵米，点F为的中点，
∴米，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴：
任务二：①如图所示，过点P作交于H，过点F作于G，
由题意得，，，
∵，
∴，
∴，
由任务一可知，米，
又∵，
∴；
∵米，，
∴，
在中，米，
∴米，
∴米，
∴立柱上的滑动调节点P离地面的距离约米；
②如图所示，过点P作交于H，过点D作于K，
∵，
∴，
在中，米，
∴米，
在中，米，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴米，
∴伞体在地面上留下的影子的长为米．
