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题型07 圆的综合问题
75．如图1，是的两条弦，且于点E．
(1)若，求证：．
(2)如图2，连接，若，
①判断与具有怎样的数量关系，并说明理由．
②在上存在点F，满足，M是的中点，连接．若，，求的半径．
76．如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点．
(1)①若，则_______；
②猜想和的数量关系，并证明；
(2)如图2，当经过圆心时，若，，求；
(3)作于点，求的值．
77．如图，在中，，点是斜边上一个动点，以为直径作，交于点，与的另一个交点为，连接，．
(1)当时，求证：；
(2)当，时．
①是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的的长；若不存在，请说明理由；
②连接，点在的延长线上，若点关于的对称点恰好落在内，求的取值范围．
78．在梯形中，，点在射线上，点在射线上，连接、相交于点，．
(1)如图①，如果，点、分别在边、上．求证：；
(2)如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆，半圆与的另一个交点为点．设与弧的交点为．
①当时，求和的长；
②当点为弧的中点时，求的长．
79．如图，锐角内接于，的平分线交于点，交于点，连接，，过点作的垂线交于点，点在上，连接，，若且．
(1)求证：；
(2)求的度数；
求证：；
(3)如图，延长交于点，若且恰好等于，求线段的长．
80．在平面直角坐标系中，对于线段，直线l和图形W给出如下定义：线段关于直线l的对称线段为（分别是M，N的对应点）．若与均与图形W（包括内部和边界）有公共点，则称线段为图形W关于直线l的“对称连接线段”．
(1)如图1，已知圆O的半径是2，的横、纵坐标都是整数．在线段中，是关于直线的“对称连接线段”的是 ．
(2)如图2，已知点，以O为中心的正方形的边长为4，各边与坐标轴平行，若线段是正方形关于直线的“对称连接线段”，求k的取值范围．
(3)已知的半径为r，点，线段的长度为1．若对于任意过点Q的直线l，都存在线段是关于l的“对称连接线段”，直接写出r的取值范围．
81．如图，为直径，P为延长线上一点，过点P作切线，切点为C，，垂足为D，连接和．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，E为下方上一点，且，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）问的条件下，在上取一点F，连接，使，过点B作的垂线交于点G，若，，求的长度．
82．如图，在中，连接，以为直径的半圆O，从与共线开始绕点D逆时针旋转，直线与第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接，当，与线段有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知，，．
(1)求的度数；
(2)当点Q在上时，设，，请求出y与x的关系式；
(3)当与重合时，求半圆O与所围成的弓形的面积．
83．如图1，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，平分，交于点，交于点．
(1)在图1中连结，求证：；
(2)若的半径为，求的值；
(3)如图，若，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．
84．如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在上，以为邻边作矩形，边交于点．
(1)如果，，求边的长；
(2)连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的度数；
(3)连接并延长，交于点，如果，求的值．
85．已知：为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，延长交的延长线于点的平分线分别交于点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，如果是的中点，且，求线段的长．
86．如图，内接于（），连接．记，，．
(1)证明：．
(2)设与交于点，半径为2，
①若，，求由线段，弧围成的图形面积．
②若，设，用含的代数式表示线段的长．
87．如图，在中，，，为的外角平分线，过点，及线段上一点作圆，交射线于点．
(1)求证：．
(2)试判断是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
(3)作点A关于的对称点，当点落在任一边所在直线上时，求所有满足条件的长．
88．【问题提出】
（1）如图1，在中，°，，点O是的中点，以点O为圆心，为半径向上方作半圆O，点P为半圆O上一点，连接，则线段的最小值为______；
【问题探究】
（2）如图2，在等边中，，点P为内一点，连接，，求线段长度的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，某小区有四栋楼，刚好围成正方形，其边长米，现计划在小区内部（正方形内）修建一个游泳馆E，满足B栋楼到A栋楼之间的距离与B栋楼到游泳馆E之间的距离相等（即），过点E作于点G，在的内心F处修建一个健身房，使得D栋楼的居民到健身房F的距离最小，请问是否存在最小值？若存在，请求出DF的最小值；若不存在，请说明理由．
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题型07 圆的综合问题
75．如图1，是的两条弦，且于点E．
(1)若，求证：．
(2)如图2，连接，若，
①判断与具有怎样的数量关系，并说明理由．
②在上存在点F，满足，M是的中点，连接．若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)①，理由见解析；②4
【分析】（1）连接．证明，由相似三角形的性质得出，进一步得出结论；
（2）①作于F，作于G，可推出平分，可推出，，进而，进一步得出结果；②连接，交于H，连接，作，交于G，可推出，四边形是平行四边形，从而，，，进而得出的长，可推出，设，则，由，列出，从而求得x的值，则求出及的长，由比例线段可求出，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：如图1，
连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①如图2，
，理由如下：
作于F，作于G，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②如图3，
连接，交于，连接，作，交于G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，四边形是平行四边形，
∴，，
由①得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴圆的半径为4．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的有关计算，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造平行四边形、等腰三角形及相似三角形．
76．如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点．
(1)①若，则_______；
②猜想和的数量关系，并证明；
(2)如图2，当经过圆心时，若，，求；
(3)作于点，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)
【分析】（1）①连接，由题意可得，根据圆周角定理可得，以此即可求解；
②连接，根据三角形内角和定理可得，由圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理得，将代入化简即可；
（2）如图，连接、，连接交于点，根据勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理建立方程解得，于是，，，易得垂直平分，设，则，利用双勾股定理建立方程求得，进而求出，，在中，利用勾股定理即可求解；
（3）连接、、、，过点作于点，由圆周角定理可得，易得，由平行线的性质得，由等边对等角得，进而可得，根据等角减等角相等可得，于是可通过证明，得到，根据等腰三角形三线合一性质得，以此即可求解．
【详解】（1）①解：如图，连接，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
②，
证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图，连接、，连接交于点，
在中，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，，，
，，
垂直平分，
，，
设，则，
在中，，
在中，，
解得：，
，
，
为的直径，
，
在中，；
（3）解：如图，连接、、、，过点作于点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查正多边形与圆综合，圆周角定理、三角形内角和定理、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．
77．如图，在中，，点是斜边上一个动点，以为直径作，交于点，与的另一个交点为，连接，．
(1)当时，求证：；
(2)当，时．
①是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的的长；若不存在，请说明理由；
②连接，点在的延长线上，若点关于的对称点恰好落在内，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)①存在，或或；②
【分析】（1）根据得出，连接，可得则，即可得证；
（2）①勾股定理可得，进而可得，，，，，分三种情况讨论，分别解直角三角，即可求解；
②根据题意得出四边形是菱形，分当在上时，当在上时，求得临界值，进而结合图形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵
∴，
连接，如图，
∵是直径，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）∵中，，
∴，
∴，
∵
∴，，
若存在是等腰三角形；
①当时，，则
连接，
∵是直径，
∴
∵
∴
解得：
当时，过点作于点，
∵
∴（等腰三角形三线合一）
∴平行，
∴
∴是的中位线，
∴，
∵
∴，
解得：，
当时，如图所示，过点作于点，
∴
∴
∴，
∴
∴
∵∵
∴，
解得：，
综上所述，或或；
②连接，依题意，
∴四边形是菱形，
当在上时，
∵四边形是菱形，
∴，
∴
∴
∴
∴为的中位线，
∴
∴，
②当在上时，∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴ ，
综上所述，的取值范围为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，菱形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
78．在梯形中，，点在射线上，点在射线上，连接、相交于点，．
(1)如图①，如果，点、分别在边、上．求证：；
(2)如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆，半圆与的另一个交点为点．设与弧的交点为．
①当时，求和的长；
②当点为弧的中点时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①；；②
【分析】（1）根据等腰梯形的性质可得，，，根据三角形的外角性质得出，进而可得，即可证明，根据相似三角形的性质，即可求解；
（2）①同（1）证明，如图所示，过点作于点，连接，得出，，解直角三角形，分别求得，，进而根据相似三角形的性质求得的长；
②根据题意画出图形，根据垂径定理得出，根据题意可设，，则，得出，设，则，则，在中，得出，根据得出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵梯形中，，，
∴，，，
又∵，
∴
∴，
∴；
（2）解：∵，
∵，则
∴
∴
∵
∴
又∵
∴，
如图所示，过点作于点，连接，
∵，
∴，则，，
∵
∴
∵
∴
又∵
∴，
在中，
∴
∴，
∵为直径
∴
∴，
∴，，则，
∵
∴
∴
②过点作于点，
∵
∴
∵
∴
设，，则
∵，则
设，则
∴
∵
∴
设，则，
∴，
在中，
∴
又∵
∴
∴
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰梯形的性质，相似三角形的性质与判定，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
79．如图，锐角内接于，的平分线交于点，交于点，连接，，过点作的垂线交于点，点在上，连接，，若且．
(1)求证：；
(2)求的度数；
求证：；
(3)如图，延长交于点，若且恰好等于，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；证明见解析；
(3)．
【分析】（）利用平行线证明，然后根据性质即可求解；
（）由，得，根据三角形的外角性质得，又则，最后根据直角三角形的性质即可求解；
连接，根据弧、圆心角和弦的关系得，再通过圆周角定理得，证明，最后根据相似三角形的性质即可求解；
（）先通过三角形外角性质和角度和差得，则，过作于点，得，，再利用三角函数即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（）得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）由（）得：，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
如图，过作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，弧、圆心角和弦的关系，三角形的外角性质和解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
80．在平面直角坐标系中，对于线段，直线l和图形W给出如下定义：线段关于直线l的对称线段为（分别是M，N的对应点）．若与均与图形W（包括内部和边界）有公共点，则称线段为图形W关于直线l的“对称连接线段”．
(1)如图1，已知圆O的半径是2，的横、纵坐标都是整数．在线段中，是关于直线的“对称连接线段”的是 ．
(2)如图2，已知点，以O为中心的正方形的边长为4，各边与坐标轴平行，若线段是正方形关于直线的“对称连接线段”，求k的取值范围．
(3)已知的半径为r，点，线段的长度为1．若对于任意过点Q的直线l，都存在线段是关于l的“对称连接线段”，直接写出r的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、圆的性质、“对称连接线段”的定义等知识点，掌握“对称连接线段”的定义成为解题的关键．
（1）直接根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质进行解答即可；
（2）先根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质画出图形，然后点P的对称点是和时是临界点即可解答；
（3）如图3：连接，则，然后根据图形及“对称连接线段”的定义即可解答．
【详解】（1）解：如图1:
因为关于的对称点是在上，所以是关于直线的“对称连接线段”，
因为和关于的对称点是和在外，所以不是关于直线的“对称连接线段”，
因为关于的对称点是在内，所以是关于直线的“对称连接线段”．
故答案为：．
（2）解：如图2：
设直线交y轴于A，根据轴对称的性质，点P和它的对称点到A的距离相等，
所以点P的对称点在以A为圆心，1为半径的圆上运动，
当点P的对称点在圆和正方形重合的部分时，满足条件，
过点P的对称点是和时是临界，此时k的值分别是1和．
∴或．
（3）解：如图3：
连接，则，
∴点M关于过Q的直线的对称点在以Q为圆心，为半径的圆上运动，点N在以Q为圆心，半径是和的圆上运动，
设半径是的圆交y轴于点W，
∴．
81．如图，为直径，P为延长线上一点，过点P作切线，切点为C，，垂足为D，连接和．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，E为下方上一点，且，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）问的条件下，在上取一点F，连接，使，过点B作的垂线交于点G，若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)38
【分析】（1）连接，证得，即可得证；
（2）在线段上取点，使得，连接，证明，进而可得，，即可得出结论；
（3）过作于，连接，证明，得，再证得，则，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，即，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图，在线段上取点，使得，连接，
，，
，，
由（1）知，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接，过作于，
为直径，
，，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
设，则，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：或（不合题意，舍去），
，
，
由（2）知，
．
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和相似三角形．
82．如图，在中，连接，以为直径的半圆O，从与共线开始绕点D逆时针旋转，直线与第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接，当，与线段有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知，，．
(1)求的度数；
(2)当点Q在上时，设，，请求出y与x的关系式；
(3)当与重合时，求半圆O与所围成的弓形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题是圆与四边形的综合问题，考查了图形的旋转、圆的相关概念及性质、圆周角定理及推论、等腰直角三角形的性质、三角形相似模型、平行四边形的性质、扇形面积等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键．
（1）连接，由弧相等得到弦相等，再由直径所对的圆周角是直角，利用等腰直角三角形性质即可得到答案；
（2）由题中条件，结合等腰直角三角形性质求出角度及线段长，利用三角形相似的判定与性质代值求解即可得到答案；
（3）当与重合时，由得点在上，连接，如图所示，半圆与所围成的封闭图形的面积为，求出扇形面积及三角形面积代值即可得到答案．
【详解】（1）连接，如图1所示：
点K为半圆O的中点，
，
，
为直径，
，
在中，；
（2）如图2所示：
，，
，
在等腰中，，
则由勾股定理可得，
，
，
，
，
，
即，
；
（3）解：当与重合时，
，
点K在上，连接，如图3所示：
点K是半圆O的中点，
．
，
，
，
半圆O与所围成的弓形的面积为；
83．如图1，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，平分，交于点，交于点．
(1)在图1中连结，求证：；
(2)若的半径为，求的值；
(3)如图，若，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据切线的性质可得，根据半径相等可得，根据是直径，得出，等量代换即可得证；
（2）连接并延长交于点，连接，根据题意得出，，进而根据得出；
（3）结论：．连接、，先证得，，从而，由相似三角形的性质推得，再设，则 ，从而，结合，可得，进而推得，然后运用勾股定理证即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴
∵是直径，
∴
∴；
（2）解：如图所示，连接并延长交于点，连接
∵是直径，
∴，
又∵平分，
∴
∴，
∵是直径，的半径为，
∴,，
∵
∴
∵
∴
∴
（3）．理由如下：
如图，连接、，
由（2）可得，
，，
，，
∵
，
，
，，
，
，
，
点是的中点，
，
，，
，，
设，
则 ，
，
又，
，
，
，
即，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、余弦的定义，圆的相关性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理在几何计算中的运用，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
84．如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在上，以为邻边作矩形，边交于点．
(1)如果，，求边的长；
(2)连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的度数；
(3)连接并延长，交于点，如果，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）连接，过点作，垂足为，由圆周角定理可得，
进而可得，再证明，根据，可得，即可求解；
（）连接，设， 则 ，， 求出，得到，进而得到，，分和两种情况解答即可求解；
（）由可得，，进而得到，可证明，得到，，设，，则，，证明，得到，
即可到，由勾股定理，即可求解；
【详解】（1）解：连接，过点作，垂足为，
∵点是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
解得，
∴；
（2）解：连接，
设， 则 ，，
∴在中，，
∴，
∴，
，
当 时，，
即，
解得，
∴，
∵，
∴；
当时，，
即，不存在；
∴；
（3）解：如图，
由可得，，，，
∴，
∴，
∴，，
设，，由题意得，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线等分线段定理，三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
85．已知：为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，延长交的延长线于点的平分线分别交于点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，如果是的中点，且，求线段的长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）连接，利用切线的性质和等腰三角形的性质证明即可；
（2）根据角平分线和直角导角，证明即可；
（3）证明，得出，再求出，利用解直角三角形的知识求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接．
切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图2，是的直径，
，
，
，
，
平分，
，
又 ，
，
，
．
（3）解：如图3，过点作交的延长线于点，过点作于点．
，
又，
，
又，
，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，．
【点睛】本题考查了圆的切线性质和圆周角性质，以及解直角三角形，解题关键是熟练运用圆的相关知识证明，利用解直角三角形的知识求线段．
86．如图，内接于（），连接．记，，．
(1)证明：．
(2)设与交于点，半径为2，
①若，，求由线段，弧围成的图形面积．
②若，设，用含的代数式表示线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）连接，利用圆周角定理可得，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论；
（2）①利用（1）的结论与已知条件可得，则为等腰直角三角形，利用直角三角形的边角关系可得，作于，则，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系可得的长，利用计算即可得解；②延长交于，连接，由圆周角定理可得，利用等腰三角形的性质可得，作于，则，，则，从而得出，设，则，证明，由相似三角形的性质可得，代入计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，作于，则，
，，
，
，
，
，
；
②，，
，
如图，延长交于，连接，
，，
，
，
，
，
作于，则，，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得：，
．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，通过添加恰当的辅助线以充分利用圆周角定理是解题的关键．
87．如图，在中，，，为的外角平分线，过点，及线段上一点作圆，交射线于点．
(1)求证：．
(2)试判断是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
(3)作点A关于的对称点，当点落在任一边所在直线上时，求所有满足条件的长．
【答案】(1)见解析
(2)是定值，
(3)的长为或
【分析】（1）由四边形的外接圆可得，从而，又，再结合角平分线的定义可得，得证；
（2）证明，根据相似三角形的性质即可解答；
（3）分情况讨论：①当点在边所在直线上；②点在边所在直线上，分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图，
∵是四边形的外接圆，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分的外角，
∴，
∴，
∴；
（2）
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即是定值，为．
（3）①如图，当点在边所在直线上时，
∵点与点A关于对称，
∴，
∴，
∴是的直径，
设与交于点H，连接，
∴，即，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
②如图，当点在边所在直线上时，
∵点与点A关于对称，
∴是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
过点A作于点N，过点C作于点M，
∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∴在中，，
在中，，
∴．
③当点在边所在直线上时，点与点A重合，点E与点B重合，不合题意．
综上所述，符合条件的的长为或．
【点睛】本题考查圆的有关知识，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，轴对称的性质．正确作出辅助线，综合运用相关知识，采用分类讨论思想是解题的关键．
88．【问题提出】
（1）如图1，在中，°，，点O是的中点，以点O为圆心，为半径向上方作半圆O，点P为半圆O上一点，连接，则线段的最小值为______；
【问题探究】
（2）如图2，在等边中，，点P为内一点，连接，，求线段长度的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，某小区有四栋楼，刚好围成正方形，其边长米，现计划在小区内部（正方形内）修建一个游泳馆E，满足B栋楼到A栋楼之间的距离与B栋楼到游泳馆E之间的距离相等（即），过点E作于点G，在的内心F处修建一个健身房，使得D栋楼的居民到健身房F的距离最小，请问是否存在最小值？若存在，请求出DF的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）连接，，根据即可求解；（2）由题意可推出，结合，为定值以为底边作底角为的等腰三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，据此即可求解；（3）连接，延长，可推出，以为底边等腰直角三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，据此即可求解；
【详解】解：（1）连接，，如图所示：
∵
∴
由题意得：，
∴
故答案为：
（2）由题意得：
∵
∴
∴
∵，为定值
以为底边作底角为的等腰三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示：
∴
，
∵
∴
即：线段长度的最小值为
（3）连接，延长，如图所示：
∵，点是的内心
∴
∵，
∴
∵平分
∴垂直平分线段
∴
∴
∴
∴
∴
∵为定值，
以为底边等腰直角三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示：
∵
∴
∵，
∴
∴
作，则
∴，
∴
【点睛】本题考查了与线段最值有关的轨迹圆问题，难度较大，解题关键在于找到“定长+定角度”，从而确定动点的轨迹．
试卷第2页，共217页
