第5章 生活中的轴对称（单元测试·拔尖卷）（含解析）

第5章 生活中的轴对称（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，与是两个全等的等边三角形，，下列结论不正确的是（ ）
A． B．直线垂直平分
C． D．四边形是轴对称图形
2．如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是（ ）．

A． B． C． D．2
3．如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为，现从点O引一条射线，使，再沿把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．如图所示，正方形ABCD的边长为a，正方形ABCD的面积记作，取各边中点，顺次连接得到的正方形面积记作，以此类推，则可用含a的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为（ ）
A．120° B．108° C．110° D．102°
7．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．连接DE，DF，若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
8．将长为2、宽为a（a大于1且小于2）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为（　　）

A．1.8或1.5 B．1.5或1.2 C．1.5 D．1.2
9．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP＋CP的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形(如图)．方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB，以AB的中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的线折叠，再沿CD剪开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD等于(　　)
A．108° B．90° C．72° D．60°
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，BC=2，D是线段BC上的一个动点，点D是关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，则线段MN长的最小值是 ．
12．如图，中，，角平分线，交于点F，若，则 度．
13．如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．
（1）若图中，则 ；
（2）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的边与边重合（如图2），若继续沿边折叠，边恰好平分，则此时的度数为 度．
14．如图，点是内任意一点，，点与点关于射线对称，点与点关于射线对称，连接交于点，交于点，当的周长是5时，的度数是 度．
15．如图，在五边形ABCDE中，已知∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=2，AE=DE=4，在BC、DE上分别找一点M、N，若要使△AMN的周长最小时，则△AMN的最小周长为 ．
16．如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，若ED′平分∠FEG，且在内部，如图2，设∠A′ED'=n°，则∠FE D′的度数为 (用含n的代数式表示)．

17．如图，分别以的边，所在直线为称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③平分：④；③．其中正确的结论个数为 ．
18．如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边，若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°，当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2，若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝ °若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值＝ °
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在长方形纸片中，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交AB于点G，F，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．（8分）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）．
(1)如果，求的度数；
(2)如果，则________；
(3)探究与的数量关系，并说明理由．
21．（10分）有一长方形纸带，、分别是边上一点，度，将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2．
(1)如图1，当度时，______度；
(2)如图2，若，求的值；
22．（10分）如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．
(1)如图1，射线，都在的内部．
①设，则 （用含有的式子表示）；
②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等；
(2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
23．（10分）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点、点，交于点，，且．
(1)当时，______．
(2)证明：平分．
(3)如图2，点是射线上一动点（不与点重合），平分交于点，过点做于点．在点的运动过程中，、、之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
24．（12分）如图，正方形的对角线交于点O．M为对角线上一动点（不与点O重合）作射线AM，，于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．（正方形中，，，，都是等腰直角三角形）
(1)如图1，当时，用等式表示与之间的数量关系；
(2)当时，探究与之间的数量关系并加以证明；
(3)点M移动过程中，若有与全等，求此时的值．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据与是两个全等的等边三角形，可得到，，，然后结合，先计算出的大小，便可计算出的大小，从而判定出AD与BC的位置关系及BE与DC的关系，同时也由于与是等腰三角形，也容易确定四边形ABCD的对称性．
【详解】（1）∵与是两个全等的等边三角形
∴，，
∴
∵
∴
∴，
∴，所以选项A错误；
（2）由（1）得：
∴
∴，所以选项C正确；
（3）延长BE交CD于点F，连接BD．
∵，
∴
∴
∴
即
在与中
∴
∴
∴，综上，BE垂直平分CD,所以答案B正确；
（4）过E作，由得
而和是等腰三角形，则MN垂直平分AD、BC，所以四边形ABCD是軕对称图形，所以选项Ｂ正确．
故选：Ａ
【点拨】本题考查的知识点主要是等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定及其轴对称图形的定义，添加辅助线构造全等三角形是本题的难点．
2．A
【分析】由折叠的性质可得：，，，如图，过点D作于点M，作于点N，则可得，则， ，求出，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可得：，，，如图，过点D作于点M，作于点N，则，

∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查折叠变换，三角形的面积，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
3．D
【分析】由题可知，沿过O的射线分为了射线和射线两种情况，分类讨论两种情况，利用建立等量关系即可解决．
【详解】解：①由题意得，三个角分别是、、，
且，，
又
，
，
②三个角分别是、、，
有且只有一个角最大，即为，
且，，
又
，
．
故选：D．
【点拨】本题考查了角的和差倍分，解决本题的关键是读清题意，找到不同情况，利用题目中的等量建立方程解得参数的值．
4．C
【分析】根据折叠的性质求得、的面积，观察规律，即可求解．
【详解】解：由题意可知：正方形ABCD的面积
由题意可得：分别为各边的中点，
将正方形沿、进行折叠，可得与重合，与重合，
可以得到、、、
又∵
∴
同理可得，…
故选C
【点拨】此题考查了图形类规律的探索问题，解题的关键是求出前面图形的面积，得出规律．
5．C
【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．
【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．
∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，
∴CD=CM=CN，
∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠MCD+∠NCD=180°，
∴M、C、N共线，
∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，
∵FM+EN+EF≥MN，
∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，
最小值为MN=2CD，
∵CD⊥AB，
∴ AB CD= AB AC，
∴CD===2.4，
∴DE+EF+FD的最小值为4.8．
故选：C．
【点拨】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
6．B
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=（180°∠BAC）=（180°54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠ACB沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°∠COE∠OCB=180°36°36°=108°；
故选：B.
【点拨】本题考查了翻折变换的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
7．C
【分析】取的中点，连接，过点作，．先证明≌得，再证明≌得，得为等腰直角三角形，求出，再证明≌得．从而求出．
【详解】取的中点，连接，过点作，．
∵四边形为正方形，
∴，．
∵点为的中点，点为的中点，
∴，，
∴，．
∵，，
∴，
∴．
∵，平分
∴，
∴．
在和中
∴≌
∴
在和中
，
∴≌
∴，
又∵平分，，
∴
∵，，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴．
在和中
，
∴≌
∴
∴．
故选．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质．关键是取的中点后证明≌．
8．B
【分析】经过第一次操作可知剩下的长方形一边长为a，另一边长为2﹣a；若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝2a﹣2；根据第2次剩下的长方形分两种情况讨论，若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，由此可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、2﹣a，由1＜a＜2，得a＞2﹣a；第2次操作，剪下的正方形边长为2﹣a，所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，
①当2a﹣2＜2﹣a，即a＜时，
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a﹣2，剩下的长方形的两边分别为2a﹣2、（2﹣a）﹣（2a﹣2）＝4﹣3a，则2a﹣2＝4﹣3a，解得a＝1.2；
②2a﹣2＞2﹣a，即a＞时
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2﹣a，剩下的长方形的两边分别为2﹣a、（2a﹣2）﹣（2﹣a）＝3a﹣4，则2﹣a＝3a﹣4，解得a＝1.5．
故选：B．
【点拨】本题考查数式规律、图形规律、一元一次方程等知识，其中涉及分类讨论法思想，综合性较强，有点难度，认真审题寻找规律，掌握相关知识是解题的关键.
9．B
【详解】由等边三角形的性质得，点B，C关于AD对称，连接BE交AD于点P，则EP+CP=BE最小，又BE=AD，所以EP+CP的最小值是3.
故选B.
点拨：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.
10．B
【分析】根据折叠可知∠DOC为36°，根据正五边形内角为108°可知∠ODC为54°，由三角形内角和为180°即可得.
【详解】由折叠可知周角被平分为10份，所以∠DOC为36°，
由正五边形一个内角为108°，所以∠ODC为108°=54°，
所以∠OCD=180°-54°-36°=90°，
故选B.
【点拨】此题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，熟练掌握折叠性质是解本题关键.
11．
【详解】试题解析：如图，连接AM，AN，AD，
∵点D是关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，
∴AM=AD=AN，
∴∠MAB=∠DAB，∠NAC=∠DAC，
∵∠BAC=45°，
∴∠MAN=90°，
∴△MAN是等腰直角三角形，
∴MN=AM，
∴当AM取最小值时，MN最小，
即AD取最小值时，MN最小，
∴当AD⊥BC时，AD最小，
过B作BH⊥AC于H，
∴AH=BH=AB，
∴CH=（1-）AB，
∵BH2+CH2=BC2，
∴（AB）2+[（1-）AB]2=4，
∴AB2=4+2，
∴AD=，
∴MN=，
∴线段MN长的最小值是．
12．
【分析】本题考查了角平分线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．过点F作于点G，于点H，于点T，连结，先根据角平分线定理证明，，从而得到，再根据“斜边直角边”证明，得到，设，列出方程并求解，得到，由此即得答案．
【详解】解：过点F作于点G，于点H，于点T，连接，
平分，
，，
平分，
，，
，
，，
，
，
设，则，，
，
解得，
．
故答案为：．
13． 55 45
【分析】（1）根据平行线和折叠的性质即可求解；
（2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为，从而可知，再由（1）的思路可得的值．
【详解】（1）根据上下边互相平行可知，．
由折叠的性质可知，
∴．
故答案为：55；
（2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等，
根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为，
∴，即，
由（1）同理可得：．
故答案为：45．
【点拨】本题考查折叠的性质，平行线的性质，角平分线的有关计算．利用数形结合的思想是解题关键．
14．30
【分析】根据轴对称得出OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出，，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，求出△COD是等边三角形，即可得出答案．
【详解】解：如图示：连接OC，OD，
∵点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，
∴OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，
∵OP=5cm，
∴，，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，
∵△PEF的周长是5cm，
∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，
∴CD=OD=OD=5cm，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴，
故答案为：30．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD是等边三角形是解此题的关键．
15．4
【详解】分析：利用点的对称，让△AMN的三边在同一直线上，即作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出最短路线，再利用勾股定理，求出即可．
详解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
过A′作EA延长线的垂线，垂足为H，
∵AB=BC=2，AE=DE=4，
∴AA′=2BA=4，AA″=2AE=8，
则Rt△A′HA中，
∵∠EAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
∵A′H⊥HA，
∴∠AA′H=30°，
∴AH=AA′=2，
∴A′H=，，
A″H=2+8=10，
∴A′A″=.
故答案为.
点拨：本题考查了最短路径问题. 作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，将△AMN的三边转化在同一直线上是解题的关键.
16．
【分析】先根据角之间的关系表示出∠AEA′+∠DED′，再由折叠的性质得到∠A′EF+∠D′EG，然后根据∠FEG=∠A′EF+∠D′EG－∠A′ED′可表示出∠FEG，最后利用角平分线的性质求出∠FED′即可.
【详解】解：∵∠AEA′+∠DED′－∠A′ED′=180°，∠A′ED′=n°，
∴∠AEA′+∠DED′=180°+n°，
由折叠的性质可知，∠AEA′=2∠A′EF，∠DED′=2∠D′EG，
∴∠A′EF+∠D′EG=，
∴∠FEG=∠A′EF+∠D′EG－∠A′ED′==，
∵ED′平分∠FEG，
∴∠FED′=∠FEG=.
【点拨】本题考查与折叠、角平分线有关的角度问题，明确折叠的性质，正确找出角与角之间的关系是解题的关键.
17．3
【分析】根据轴对称的性质以及全等三角形的性质一一判断即可．
【详解】解：和是的轴对称图形，
，，，
，故①正确；
，
由翻折的性质得，，
又，
，故②正确；
，
，，
边上的高与边上的高相等，
即点到两边的距离相等，
平分，故③正确；
只有当时，，才有，故④错误；
在和中，，，，，
，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③．
故答案为：3．
【点拨】本题考查轴对称的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18． 76 6
【分析】（1）由 A1A2⊥AO， ∠AOB＝7°， 可得∠2＝ 83°，由 ∠1＝∠2 得∠1＝ 83°，从而求出∠AA1A2＝14°，即可求出 ∠A＝76°；
（2）根据题意可知光线原路返回，最后的线垂直于BO，中间的角，从里往外，是7°的2倍，4倍，8倍.....n倍.，得出 2∠1＝180°－14°×n ，根据外角的性质，可得∠A＝∠1－7°＝83°－7°×n，当n＝11时，∠A＝6°，即可求出∠A的最小值 ．
【详解】解：（1）A1A2⊥AO，∠AOB＝7°，
∴∠1＝∠2＝90°－7°＝83°，
∴∠A＝∠1－∠AOB＝76°；
（2）当MN⊥OA时，光线沿原路返回，
∴∠4＝∠3＝90°－7°＝83°，
∴∠6＝∠5＝∠4－∠AOB＝83°－7°＝76°＝90°－2×7°，
∴∠8＝∠7＝∠6－∠AOB＝76°－7°＝90°－3×7°，
∴∠9＝∠8－∠AOB＝69°－7°＝62°＝90°－4×7°，
由以上规律可知，∠A＝90°－2n 7°，
当n＝6时，∠A取得最小值，最小度数为6°，
故答案为：76，6．
【点拨】本题主要考查直角三角形的性质和三角形的外角性质及入射角等于反射角，根据三角形的外角性质及入射角等于反射角得出与∠A具有相同位置的角的度数变化规律是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定与性质，理解折叠的性质及全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由四边形是矩形，可得，而将沿折叠，点C落在点E处，故，根据可得；
（2）由，可得，即得，即，由折叠可知，从而．
【详解】（1）∵长方形纸片，
∴
由折叠的性质得，，
∴
在和中
∴；
（2）由得
∵，
∴，
由折叠的性质得，，
∴．
20．(1)
(2)30
(3)，见解析
【分析】（1）根据折叠的性质求出，然后根据平行线的性质求解即可；
（2）先求出的度数，然后利用平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，根据折叠可求出的度数，由角的和差关系求出的度数，再根据折叠求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可；
（3）设，然后类似（2）的方法求解即可．
【详解】（1）解∶根据题意，得，
∴，
∵折叠， ，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
故答案为：30；
（3）解：
理由：设，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质等知识，明确题意，利用平行线的性质探究出角之间的关系是解题的关键．
21．(1)120
(2)30
【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质：
（1）由折叠的性质得到，由长方形的对边是平行的，得到，由对顶角的性质得到，即可得到；
（2）由折叠可得，，由长方形的对边是平行的，得，，由可以求出，即可以得到α的值；
【详解】（1）解：由折叠可得，
∴，
∵长方形的对边是平行的，
∴，
∴，
∴；
∴当度时，的度数是．
故答案为：120；
（2）解：由折叠可得，，
∵长方形的对边是平行的，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的值是30；
22．(1)①；②
(2)，证明见详解
【分析】（1）①根据，即可获得答案；
②连接，证明，即可获得答案；
（2）作点关于直线的对称点，连接，设，证明，由全等三角形的性质可得，即可获得结论．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵，
∴；
②如下图，连接，

由对称的性质可得，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：①；②；
（2），证明如下：
作点关于直线的对称点，连接，如下图，

由对称的性质可得，，，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点拨】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
23．(1)32.5
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据可得，进而得出的度数；
（2）由（1）得，根据角平分线的定义即可得出结论；
（3）根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质可得，再根据，即可得到，再由即可得到结论．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
故答案为：32.5；
（2）证明：由（1）得：，
平分；
（3）解：，
证明：，
，
平分，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
在中，，
，
，即，
，
．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义、垂线的定义，熟练掌握以上知识点，利用角的和差关系进行推算，是解题的关键．
24．(1)
(2)，证明见解析
(3)或
【分析】（1）先证，推出．再证，可得．再根据轴对称的性质推出，即可得出；
（2）同（1）可证，推出．再证，可得．再根据轴对称的性质推出，即可得出，结合，可证；
（3）分和两种情况，利用全等三角形对应角相等列出等式，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，设与交于P点，
是正方形，
，，
又，
，
．
，，
．
．
点N与点M关于直线CE对称，
，
又，
．
．
（2）解：当时，．
理由如下：设与交于Q点，
，，，
，
．
，，
．
．
点N与点M关于直线CE对称，
，
又，
．
．
，
．
．
（3）解： 是正方形，
与互相垂直且平分，
，．
点N与点M关于直线CE对称，
，
．
又，
若有与全等，则或．
分两种情况：①当时，
若，
，，
，
解得；
若，
，
，
解得，
此时M与O重合，不合题意，舍去；
②当时，
若，
，，
，
解得；
若，
，
，
解得，不合题意，舍去；
综上可知，的值为或．
【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等，解题的关键是熟练掌握分类讨论思想，避免漏解．