第5章 生活中的轴对称（单元测试·培优卷）（含解析）

第5章 生活中的轴对称（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列是一些图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
3．如图，在直角三角形中，，，，．D、E分别是边、上的动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．3
4．如图，以正六边形的边向内作一个长方形，连结交于点I，则( )

A． B． C． D．
5．如图，点为内一点，点，分别是射线，上一点，当的周长最小时，，则的度数是( )

A． B． C． D．
6．如图，在中，的角平分线交于，则的面积为（ ）

A．8.2 B．7.8 C．6.4 D．5.6
7．如图，平分，且于点，若的面积等于10，则的面积等于（ ）

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
8．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，长方形纸片，点E、F分别在边、上，连接．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕，连接．下列说法：
①若，则；
②图中与一定互余的角有4个；
③若平分，则平分；
④若，则．
其中正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．长方形共有 条对称轴．
12．如图，直线AC是四边形ABCD的对称轴，则 垂直平分 .
13．如图，是的高，平分交于点．若，则的度数为 ．
14．如图，点是线段上一点，点是射线上一点，射线平分，射线平分，，则 ．
15．如图，的边CB关于CA的对称线段是，边CA关于CB的对称线段是，连接，若点落在所在的直线上，，则 度．
16．已知，如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则 ．
17．如图，在五边形中，，在上分别找到一点，使得的周长最小，则的度数为 ．
18．如图，，点分别在射线上，，，点P是直线上的一个动点，点P关于的对称点为，点P关于的对称点为，连接、、，当点P在直线上运动时，则面积的最小值是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）19．如图，在中，平分，，延长到点，使得，连接．
(1) 求证：； (2) 若，求的度数．
20．（8分）如图，在中，，，，分别平分，，点C在线段上．
(1)求证：； (2)求证：
21．（10分）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，．
(1) 求证：． (2) 求证：平分．
22．（10分）如图，和关于直线对称，与的交点F在直线上．
(1)图中点D的对应点是点____________，的对应角是____________；
(2)若，，则的长为____________
(3)若，，求的度数．
23．（10分）如图1，在等腰直角三角形中，，，点在边上，连接，，，连接，．
(1)求证：；
(2)点关于直线的对称点为，连接，．
①补全图形并证明；
②试探究，当，，三点恰好共线时．的度数为 ．
24．（12分）在中，，，过点作（使点按顺时针的顺序排列），过点作直线直线，垂足为点，直线交直线于点，连接．
(1)如图1，若，的边都在的内部，作点关于的对称点．
①______，______；（填“”“”或“”）
②求证：．
(2)如图2，若，的边都在的外部，当，，的面积为时，请直接写出的长；
(3)若，有一条边在的内部，请直接写出线段，，之间的等量关系．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据轴对称的定义：如果一个平面图形沿一个条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，故符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意，
故选：B．
【点拨】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．
根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可．
【详解】解：和关于直线对称，
，故①正确，
和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点，
，故②正确；
和关于直线对称，
线段、、被直线垂直平分，
直线垂直平分，故③正确；
和关于直线对称，
线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误，
∴正确的有①②③，
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，等积法求高，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接，得到此时有最小值，再根据求出的长，即可得到答案．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接，
由对称的性质可知，，，，
，此时有最小值，
，，，
，
，
，即的最小值为，
故选：A
4．B
【分析】利用正六边形的轴对称性质，可得，然后根据正多边形内角的求法，可得出同旁内角互补，则，则，同理可证，再根据长方形对边平行的特点可得，则，再结合，利用同旁内角互补可得，则．
【详解】由正六边形的轴对称性质可知，为对称轴，
∴，
由多边形的内角和定理可求得：，
∴．
∵，
∴，
∴．
同理，如果连接，亦可证明．
由长方形的性质可知，，
∴，
∴，
由得，
∴，
又∵，
∴．
故选：B．
【点拨】本题考查了多边形内角和定理、正多边形的轴对称性质、长方形的对边平行性质、平行线的性质定理等知识点，解题的关键是熟知相关性质和定理．
5．C
【分析】作关于，的对称点，连接，则当，是与，的交点时，的周长最短，连接、，由轴对称知，是等腰三角形，
，，得出结论．
【详解】作关于，的对称点，连接，则当，是与，的交点时，的周长最短，连接、，

关于对称，
，，，
同理，，，
，，
是等腰三角形．
，
，
，
故选：C
【点拨】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，两点之间线段最短；添加辅助线，构造轴对称，得到相等线段，相等的角是解题的关键．
6．C
【分析】
本题考查了角平分线的性质，以及运用三角形的高求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据角平分线的性质，得，通过同高，底边比就是面积比得，运用割补法得的面积，进行代入数值计算，即可作答．
【详解】解：如图：分别过点E作，的面积分别记

∵的角平分线交于，
∴
∵
则，，（同高，底边比就是面积比）
∴
∴
则的面积
故选：C
7．B
【分析】延长交于点，通过证明，得到，根据三角形中线的性质，即可求解，本题考查了，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，根据中线求三角形面积，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形．
【详解】解：延长交于点，
平分，
，
又于点，
，
在和中，
，
，
，，
，
故选：．
8．D
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
利用基本作图可对①进行判断；利用角平分线的定义计算出， 则，于是可对②进行判断；由得到，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断； 利用含度的直角三角形三边的关系得到，则，所以，然后根据三角形面积公式可对④进行判断．
【详解】由作法得平分， 所以①正确；
∵，
∴，，
∴，所以②正确；
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上，所以③正确；
∵
，
∴，
∴，
，所以④正确．
故选:．
9．B
【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角性质可得，，得：，则，由和得：，则，化简可得，进一步找出其中规律，即可求出的度数．
【详解】解：和分别是的内角平分线和外角平分线，，
，，
，
，，
得：，
，
由和得：，
，
，
同理，
，
…
，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义等，找出其中规律是解题的关键．
10．A
【分析】本题考查翻折的性质及应用，解题的关键是掌握翻折前后，对应角相等．由，得，而，故；判断①正确；由翻折可证明，故与一定互余的角有，，，，共4个，判断②正确；若平分，则可证，判断③正确；若，则，从而，判断④正确．
【详解】解：∵，
∴，
由翻折可知，，
∴；故①正确；
由翻折可知，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与一定互余的角有，，，，共4个，故②正确；
若平分，则，
∵，
∴，
∴，
∵°，
∴，
∴，
∴平分，故③正确；
若，则，
∵，
∴，故④正确；
∴正确的有①②③④，共4个；
故选：A．
11．
【分析】依据轴对称图形的概念,即在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,据此即可进行判断．
【详解】如下图长方形有2条对称轴,
故答案为2．
【点拨】解答此题的主要依据是:轴对称图形的概念及特征和对称轴的条数．
12． AC; BD.
【分析】根据直线AC是四边形ABCD的对称轴，结合对称轴将图形分为完全相同的两份，得到OB=OD，再通过已知条件确定∠DOC的大小，即可证明AC垂直平分BD.
【详解】如图：
直线AC是四边形ABCD的对称轴，
∴DO=BO，CD=CB，CO=CO，
∴△COD≌△COB，
∴∠DOC=∠BOC，
又∠BOD=180°，
∴∠DOC=90°，
∴AC⊥BD，
即AC垂直平分BD.
故答案为AC、BD
【点拨】此题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解答此题的关键.
13．/52度
【分析】本题考查三角形中求角度，涉及高的定义、直角三角形性质、角平分线定义及三角形内角和定理等知识，由高的定义及直角三角形两锐角互余求出，再由角平分线定义，结合三角形内角和定理求解即可得到答案，熟练掌握直角三角形性质及三角形内角和定理，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：是的高，
，
，
，
平分，
，
，
故答案为：．
14．/0.5
【分析】本题考查了角平分线，三角形外角的性质，平行线的性质．熟练掌握角平分线，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键．
如图，由角平分线的定义可得，，则，，，由，可得，根据，求解作答即可．
【详解】解：如图，
∵射线平分，射线平分，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【详解】解：连接BA'，AC与BB'交点为O，
∵关于的对称线段是，
∴，
∵，，
∴，
∵边关于的对称线段是，
∴，
∴，，
又∵点落在所在的直线上，，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【点拨】本题主要考查了轴对称的性质及全等三角形的判定及性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
16．/度
【分析】如图，作关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，则最小时，易知，，根据三角形的外角性质和平角的定义即可得出结论．
【详解】解：如图所示，作关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，
则，此时最小，
∵，，
，，
，
，
；
故答案为：．
【点拨】本题考查了轴对称－最短问题，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．120°
【分析】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案．
【详解】解：作关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则即为的周长最小值．作延长线，

∵，
∴，
∴，
∵，，
且，，
∴，
故答案为：．
18．18
【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．
连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，
∵，且，
∴，
∵点关于对称的点为，点关于对称的点为，
∴的面积为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
面积的最小值是
故答案为：18．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，解答的关键是结合图形分析清楚各边与各角之间的关系．
（1）由角平分线的定义可得，利用即可判定；
（2）由角平分线的定义可得，再由三角形的外角性质可得，
【详解】（1）证明：平分，
，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义．正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）过点C作于点F．结合题意分别证明，，即可证明出结论；
（2）由全等三角形的性质可得出，，即可证明出结论．
【详解】（1）证明：如图，过点C作于点F．
∵，分别平分，，
∴，．
∵，，，
∴．
在和中，
在和中，
∴，，
∴，，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，．
∵，
∴．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；
（1）延长到，使，连接．先说明，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答；
（2）根据（1）的结论可得，，即可得出，即可得证．
【详解】（1）证明：延长到，使，连接．
，，
．
，．
．
．
又，
．
．
．
；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分．
22．(1)B ，
(2)5
(3)30°
【分析】（1）根据轴对称的性质解答即可；
（2）由题意可得，再由全等三角形的性质解答即可；
（3）根据对称性可得，从而得出，最后可得答案；
【详解】（1）∵和关于直线对称，
∴图中点D的对应点是点B，的对应角是；
故答案为：B，．
（2）∵和关于直线对称，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
（3）∵，
∴根据对称性：
∴
∴
【点拨】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：判断出；
（1）由，，，可得，即可求解，
（2）①由对称的性质可知，，得到，结合，即可求解，②由（1）得，由，根据三角形外角定理，可得，，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
（2）解：①补全图形如图1所示
连接，
∵点关于直线的对称点为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
②当，，三点恰好共线时
由（1）得，
，
由对称性可知，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
故答案为：．
24．(1)①，；②见解析；
(2)
(3)或或
【分析】（1）①根据轴对称的性质可知，,，再根据角的和差关系可知，最后根据全等三角形的性质即可解答；②根据轴对称的性质可知，,，再根据角的和差关系可知，最后根据全等三角形的性质即可解答；
（2）根据轴对称的性质可知，,，再根据角的和差关系可知，最后根据全等三角形的性质即可解答；
（3）根据轴对称的性质可知，,，再根据角的和差关系可知，最后根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：①∵点关于的对称点，
∴，,，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为，；
证明：②∵点关于的对称点，
∴，,，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；

（2）解：如图，
作点关于的对称点，连接，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

（3）解：当在的内部时，
作点关于的对称点，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，

当在的内部时，
作点关于的对称点，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
同理：，
综上，或或．

【点拨】本题考查了轴对称的性质，角的和差关系，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．