镇海中学2024届高三下学期5月适应性测试数学试卷
说明:本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分.
考试时间120分钟,本次考试不得使用计算器,请考生将所有题目都做在答题卷上.
一、单选题:本大题共8小题，毎小题5分，共40分.
1.设集合，则的子集个数是（ ）
A.3 B.4 C.8 D.16
2.已知复数为虚数单位),若且,则（ ）
A.2 B. C. D.1
3.已知是边长为1的正三角形,是BN上一点且,则（ ）
A. B. C. D.1
4.已知数列满足点在直线上,的前n项和为,则的最小值为（ ）
A.-47 B.-48 C.-49 D.-50
5.已知棱长为1的正方体分别是AB和BC的中点,则MN到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数的最小值为,则（ ）
A. B.1 C.2 D.3
7.已知椭圆的左、右焦点分别为,点A,B在上,直线倾斜角为,且,则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.己知,则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.
9.下列选项中正确的有( )
A.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强,则线性相关系数的值越接近于1
B.在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明模型的拟合精度越高
C.已知随机变量服从正态分布,则
D.若数据的方差为8,则数据的方差为2
10.设抛物线,弦AB过焦点,过A,B分别作拋物线的切线交于点，则下列结论一定成立的是（ ）
A.存在点,使得 B.|QF|的最小值为2
C. D.面积的最小值为4
11.已知数列,其前n项和为,若存在常数,对任意的,恒有,则称为数列.则下列说法正确的是（ ）
A.若是以1为首项，为公比的等比数列，则为数列
B.若为数列,则也为数列
C.若为数列,则也为数列
D.若均为数列,则也为数列
三、填空题:本大题共3小题,每题5分,共15分.答案填在题中的横线上.
12.已知双曲线的离心率,则双曲线的渐近线方程为____________.
13.己知圆锥的轴截面面积为,则该圆锥的外接球半径的最小值为____________.
14.面积为1的满足为的内角平分线且D在线段BC上,当边BC的长度最 时,的值是____________.
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)已知函数.
(1)讨论的单调性;(2)若对任意的恒成立,求的范围.
16.(本小题满分15分)在空间四边形ABCD中,.
(1)求证:平面平面ABC;
(2)对角线BD上是否存在一点,使得直线AD与平面ACE所成角为.若存在求出的值,若不存在说明理由.
17.(本小题满分15分)镇海中学篮球训练营有一项三人间的传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,每次必须将球传出.若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练,且第1次由甲将球传出,记次传球后球在甲手中的概率为
(1)写出的值;
(2)求与的关系式,并求;
(3)第1次仍由甲将球传出,若首次出现连续两次球没在甲手中,则传球结束,记此时的传球次数为,求的期望.
18.（本小题满分17分）已知,动点满足,动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点.
(1)求曲线的标准方程;
(2)己知是定值,求该定值;
(3)求面积的范围.
19.(本小题满分17分)
己知无穷数列,构造新数列满足满足满足,若为常数数列，则称为阶等差数列；同理令,若为常数数列,则称为阶等比数列..
(1)已知为二阶等差数列,且,求的通项公式;
(2)若为阶等差数列,为一阶等比数列,证明:为阶等比数列;
(3)已知,令的前项和为,证明:.镇海中学2024年校模拟考数学参考答案
1.C2.B3.A4.C5.C6.A7.D8.B9.BD10.BCD
11.ACD
2y=t
3x13.214210
5
1.A.4n=(g，于是41-4=（g”-(g)=0-9l9-,
k-+-te-=0-9+++g<号。故A正确
B.为假命题.事实上设x,=1(n∈N),易知数列{xn}是B数列，但S。=n,
Sn1-S.+S。-Sn-+…+S-S2+S2-S=n由n的任意性知，数列{Sn}不是B数列.
C.为真命题.事实上，因为数列{S,}是B数列，所以存在正数M,对任意的neN,有
Sn1-Sn+lS。-Sn-l+…+lS,-S2l+小S2-Sl≤M,即lxil+x+…+xlsM.
于是k1-x+kxn-xn+…+k-xsx4l+2k+…+2kx+xs2M+k
所以数列{x}是B数列.
D.若数列{a},色}是B数列，则存在正数M,M2,对任意的n∈N有
lal-a+lan-an-l+…+a,-al+la3-a≤M
1om1-Bl+lb-B-+..+1-B2l+2ls M2
因la=lan-a1+a1-a-2+…+a2-alsla,-an-l+…+a-al+la2-al+-lals M1+lal
同理可得b,sM2+,记K,=M,+la,K2=M2+则有
lambn-a,bl=lamb-a,b +a,ban-a,bals illam-a+la be-bal
≤K,la1-a+K,b-b,|≤K2M+M,K因此数列{ab,}也是B数列.
14.不妨设BC=2m,建系B-m,0),C(m,0),设A(x,y),AB=2AC,(cx+m2+y=4[c-m'+y]
4
3
2
4V2
cm仔刘后小是西9
-m
5
15(1)f'(x)=e-aa≤0，f(x)在R上单调递增
a>0,f(x)在(-o,lna)单调递减，(lna,+o)单调递增
(2)x=0,a∈R
x>0,ase-l，令g=e-1，gw=&-e+1，h=x-le+1,
x2
h'(x)=xe>0,h(x)在(0，+oo)单调递增，h(x)>h(0)=0,g(x)在(0，oo)单调递增，
x>0,a≤g(x)min=li
e-1
lim
1。
x0xx→01
16.(I)取AC的中点0，连接DO,OB,因为AC=2,AD=DC=V2,则D01AC,
所以AD2+DC2=AC2,所以DA⊥DC,所以DO=1,又因为AB=BC=BD=2,
所以B01AC,则B0=VBC2-CO2=√5，又因为B02+D02=BD2,
所以DO⊥BO,又因为DO1AC,AC∩BO=O,AC,BOC平面ABC,
所以DOI平面ABC,又因为DOC平面ACD,所以平面ADC⊥平面ABC;
(2)因为OC,OD,OB两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以A1,0,0),C(-1,0,0),D(0,0,1),B0,V5,0)月
设E(,水，2)，因为D呢=(，，云-1)，D丽=(0V5,-1)》
设DE=ADB(0<入<1)可得：x=0,y=V5A,=-A+1,所以E(0,V3入，-A+1),
AD=（-1,0,1,AC=(-2,0,0),AE=（-1,5入，-A+1
.AC=-2x=0
设平面ACE的法向量为方=(x,y,z),则
i·AE=-x+V5y+(-入+1)z=0
取y=-+1,可得x=0,z=-√5A,所以方=(0，-入+1，-5A)
因为直线AD与平面ACE所成角为30°，
i·AD
-3A
所以cosi,AD=
同丽2×，-A+1+（5A
