江苏省南京市玄武高级中学2024届高考数学二模试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 江苏省南京市玄武高级中学2024届高考数学二模试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 598.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-21 22:12:25 | ||
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文档简介
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江苏省南京市玄武高级中学2024届高考数学二模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，，…，的平均数为，方差为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．设数列的前n项和为，则“是等差数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若制作一个容积为的圆锥形无盖容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，则该圆锥的高是（ ）
A． B．2 C． D．4
6．已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
7．已知，点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．的最小正周期为
C．的最小值为 D．在上单调递增
10．已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．的最小值为
C．若满足的直线恰有一条，则
D．若满足的直线恰有三条，则
11．如图，在直三棱柱中，，分别为棱上的动点，且，，，则（ ）
A．存在使得
B．存在使得平面
C．若长度为定值，则时三棱锥体积最大
D．当时，直线与所成角的余弦值的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．当时，，则实数的取值范围为 ．
13．在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为 ．
14．已知函数，数列满足，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比：
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代码 1 2 3 4 5
6.4 5.5 5.0 4.8 3.8
(1)求2017—2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）；
(2)请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程；
(3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比．
（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
附：样本相关系数，．
16．已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论的零点个数.
17．如图，在三棱台中，，平面平面，．
(1)证明：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值．
18．已知椭圆的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论；
(3)过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点，直线和直线分别交椭圆于两点，证明：直线经过定点．
19．复数除了代数形式之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著名的欧拉公式体现了两种形式之间的联系．利用复数的三角形式进行乘法运算，我们可以定义旋转变换．根据，我们定义：在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变换．设点经过旋转角是的旋转变换下得到的点为，且旋转变换的表达式为曲线的旋转变换也如此，比如将“对勾”函数图象上每一点绕原点逆时针旋转后就得到双曲线：．
(1)求点在旋转角是的旋转变化下得到的点的坐标；
(2)求曲线在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程；
(3)等边中，在曲线上，求的面积．
参考答案：
1．B
2．D
3．C
4．A
5．B
6．C
7．D
8．A
9．AC
10．ACD
11．BCD
12．
13．
14．2
15．(1)
(2)
(3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15%
16．(1)
(2)答案略
17．(1)证明略
(2)
18．(1)
(2)相切，证明略
(3)证明略
19．(1)
(2)
(3)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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江苏省南京市玄武高级中学2024届高考数学二模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，，…，的平均数为，方差为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．设数列的前n项和为，则“是等差数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若制作一个容积为的圆锥形无盖容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，则该圆锥的高是（ ）
A． B．2 C． D．4
6．已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
7．已知，点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．的最小正周期为
C．的最小值为 D．在上单调递增
10．已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．的最小值为
C．若满足的直线恰有一条，则
D．若满足的直线恰有三条，则
11．如图，在直三棱柱中，，分别为棱上的动点，且，，，则（ ）
A．存在使得
B．存在使得平面
C．若长度为定值，则时三棱锥体积最大
D．当时，直线与所成角的余弦值的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．当时，，则实数的取值范围为 ．
13．在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为 ．
14．已知函数，数列满足，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比：
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代码 1 2 3 4 5
6.4 5.5 5.0 4.8 3.8
(1)求2017—2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）；
(2)请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程；
(3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比．
（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
附：样本相关系数，．
16．已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论的零点个数.
17．如图，在三棱台中，，平面平面，．
(1)证明：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值．
18．已知椭圆的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论；
(3)过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点，直线和直线分别交椭圆于两点，证明：直线经过定点．
19．复数除了代数形式之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著名的欧拉公式体现了两种形式之间的联系．利用复数的三角形式进行乘法运算，我们可以定义旋转变换．根据，我们定义：在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变换．设点经过旋转角是的旋转变换下得到的点为，且旋转变换的表达式为曲线的旋转变换也如此，比如将“对勾”函数图象上每一点绕原点逆时针旋转后就得到双曲线：．
(1)求点在旋转角是的旋转变化下得到的点的坐标；
(2)求曲线在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程；
(3)等边中，在曲线上，求的面积．
参考答案：
1．B
2．D
3．C
4．A
5．B
6．C
7．D
8．A
9．AC
10．ACD
11．BCD
12．
13．
14．2
15．(1)
(2)
(3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15%
16．(1)
(2)答案略
17．(1)证明略
(2)
18．(1)
(2)相切，证明略
(3)证明略
19．(1)
(2)
(3)
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