2024中考数学考前20天终极冲刺专题之数与式
一、选择题
1．（2022·秀洲模拟）下列各组数中，比0小的数是（ ）
A．5 B． C．0 D．-5
2．（2022七上·南康期末）尼莫点，正式名称为海洋难抵极，是地球表面距离陆地最偏远的地点，位于南太平洋中央的海面上，最近的陆地与当地相隔2688000米之遥，其中2688000用科学记数法表示应为（ ）
A．2.688×107 B．26.88×105 C．2.688×106 D．0.2688×107
3．（2022七下·鄞州期中）下列运算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（a3）2＝a5
C．（3ab2）3＝9a3b6 D．a6÷a2＝a4
4．（2021八下·双流期末）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2017七下·宁波期中）已知多项式ax+b与2x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，则ab的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
6．（2021七下·北仑期中）已知x2+y2+4x﹣6y+13=0，则代数式x+y的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．25 D．36
7．（2022八下·咸宁期中）下列式子中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022八上·莱西期中）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·娄底） 是某三角形三边的长，则 等于（ ）
A． B． C．10 D．4
10．（2023·亳州模拟）已知，，，那么x，y，z满足的等量关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2017-2018学年人教版数学七年级下册同步训练：6.2《立方根》）的算术平方根是
12．（2023·哈尔滨）把多项式分解因式的结果是 ．
13．（2017七下·金山期中）若x+y+z=2，x2﹣（y+z）2=8时，x﹣y﹣z= ．
14．（2022七下·连云港期中）
若 ，则 .
15．（2023八下·恩平期中）已知数轴上A、B两个点之间的距离是，点A所对应的实数是，那么点B所对应的实数是 ．
16．（2017七下·广州期中）已知a、b为两个连续整数，且 ，则a+b的值为 ．
三、计算题
17．（2024·金华模拟）计算：.
18．（2020八下·卫辉期末）先化简 ，然后从 的范围内选取一个你喜欢的合适的整数作为x的值代入求值.
四、解答题
19．（2024八下·宁乡市期中）阅读下列简化过程：
；
；
．
解答下列问题：
（1）直接写出结果；
（2）计算：；
（3）设，，，比较，，的大小关系．
20．（2024·长春模拟）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式.
解：，
可化为.
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①，②，
解不等式组①，得，解不等式组②，得，
的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或.
（1）一元二次不等式的解集为 ；
（2）分式不等式的解集为 ；
（3）解一元二次不等式.
五、实践探究题
21．（2024七下·鄞州期中）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
（1） 如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，
从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ；
（2）利用（1）中的结论解决以下问题：
①已知，，求的值；
②如图3，由正方形边长为a，正方形边长为b，点在同一直线上，连接，
若，求图3中阴影部分的面积．
22．（2021八上·蓬江期末）阅读材料：若满足，求的值．
解：设，，则，
所以
请仿照上例解决下列问题：
（1）若x满足，求的值；
（2）若x满足，求的值；
（3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：∵-5＜0，5＞＞0，
∴比0小的数是-5.
故答案为：D.
【分析】根据负数＜0＜正数，逐项判断即可得出正确答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2688000＝2.688×106．
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2 a3＝a5，故A不符合题意；
B、（a3）2＝a6 ，故B不符合题意；
C、（3ab2）3＝27a3b6，故C不符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对D作出判断.
4．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：若代数式 在实数范围内有意义，
∴ ，且 .
解得 ，且
∴ .
故答案为：D.
【分析】利用分式有意义的条件：分母不等于0，二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
5．【答案】D
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式；解二元一次方程组
【解析】【解答】∵（ax+b）（2x2-x+2）=2ax3+（2b-a）x2+（2a-b）x+2b，
又∵展开式中不含x的一次项，且常数项为-4，
∴ ，
解得： ，
∴ab=（-1）-2=1，
故答案为：D．
【分析】根据多项式乘以多项式的方法，去括号然后合并同类项，得出最简结果，然后根据展开式中不含x的一次项，且常数项为-4，从而得出二元一次方程组，求解得出a，b的值，再代入代数式计算即可。
6．【答案】B
【知识点】因式分解的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：由原式，得
(x2+4x+4)+(y2-6y+9)=0
∴(x+2)2+(y-3)2=0
∴x+2=0，y-3=0
∴x=-2，y=3
∴x+y=1
故答案为：B.
【分析】能利用完全平方公式进行因式分解，a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=（a-b）2；理解“非负数的和等于零，则每个非负数都等于零”.
7．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．原式=，故A不是最简二次根式；
B．原式=2，故B不是最简二次根式；
C．是最简二次根式，故C正确；
D．原式=2，故D不是最简二次根式；
故答案为：C.
【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，据此判断.
8．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据可得，再利用分式的减法计算方法求解即可。
9．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解： 是三角形的三边，
，
解得： ，
，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的三边关系，可得，然后根据二次根式的性质求解即可.
10．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
11．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵=9，
又∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3，
∴9的算术平方根是3．
即的算术平方根是3．
故答案为：3．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．
12．【答案】m(x-4)(x+4)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：mx2-16m=m(x2-16)=m(x-4)(x+4).
故答案为：m(x-4)(x+4).
【分析】先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止.
13．【答案】4
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵x2﹣（y+z）2=8，
∴（x﹣y﹣z）（x+y+z）=8，
∵x+y+z=2，
∴x﹣y﹣z=8÷2=4，
故答案为：4．
【分析】首先把x2﹣（y+z）2=8的左边分解因式，再把x+y+z=2代入即可得到答案．
14．【答案】-2
【知识点】多项式恒等定理（奥数类）
【解析】【解答】解：∵（x＋3）（x 5）= x2 5x+3x 15＝x2 2x 15，
∴m＝ 2.
故答案为： 2.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则将左式展开并合并同类项，然后根据多项式的性质可得m的值.
15．【答案】或
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：设点B对应的实数为x；
∵数轴上A、B两个点之间的距离是，点A所对应的实数是
∴|x+|=，解得x=或；
故答案为：或.
【分析】根据数轴上两点间的距离公式，列含绝对值的一元一次方程，解方程即可求解.
16．【答案】7
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ＜ ＜ ，
∴a=3，b=4，
∴a+b=3+4=7．
故答案为：7．
【分析】先估算出 的大小，进而可得出a、b的值，进行计算即可．
17．【答案】原式
.
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先算乘除，再算加减. 第一步先开平方，去绝对值，代入特殊角的三角形函数值，计算非零数的零次幂，再进行混合运算.
18．【答案】解：原式
∵ ，且 为整数
∴ 可取的整数为－2，－1，0，1，2
∵要使分式有意义∴ ，且
∴ 只能取±2
∴当 时，原式
（或当 时，原式 ）
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】利用分式加减法法则，先算括号里的加法运算，再将分式的除法转化为乘法运算，约分化简；然后代入一个使分式有意义的x的值，代入化简后的代数式进行计算。
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：，，，
而，
．
【知识点】分母有理化
【解析】【分析】（1）参考题干中的计算方法利用分母有理化化简即可；
（2）先利用分母有理数化简，再计算即可；
（3）利用题干中的计算方法利用分母有理化化简，再比较大小即可.
20．【答案】（1）或
（2）或
（3）解：∵，
∴可化为．
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得
①，②，
解不等式组①，得，解不等式组②无解，
的解集为，
即一元二次不等式的解集为．
【知识点】因式分解的应用；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：（1），
可化为．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①，②，
解不等式组①，得，解不等式组②，得，
的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或，
故答案为：或．
（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，得
①，②，
解不等式组①，得，解不等式组②，得，
的解集为或，
故答案为：或．
【分析】（1）先因式分解得到，进而将原不等式可转化为①或②，再解不等式组即可求解；
（2）先将原不等式可转化为①或②，进而解两个不等式组即可；
（3）先将原不等式可转化为①或②，进而解两个不等式组即可．
21．【答案】（1）
（2）解：①由（1）结论变形知：
；
②
∵且，∵，∴，∴．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）图2中正方形的面积可以表示为：，
还可以表示为：，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）用两种方法表示图2中正方形的面积，然后可得等式；
（2）①根据（1）中等式变形，然后代入计算即可；②先表示出阴影部分的面积，再利用完全平方公式的变形求出a+b，然后代入计算即可．
22．【答案】（1）解：设，，
∴，，
∴
=a2+b2
；
（2）解：设，
∴，，
∵，
∴
解得：，即；
（3）解：正方形的边长为x，，，
∴，，
∵长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，
∴，，
∴， ， ， ，
设，，则，，
∴阴影部分的面积
∵，即，
解得：，
∴，即阴影部分的面积为44．
【知识点】完全平方公式及运用；定义新运算
【解析】【分析】（1）设，，则 ，再求解即可；
（2）设，，则，再求出，即可得到；
（3）设，，则，，利用割补法可得阴影部分的面积，再求出，即可得到答案。
1 / 12024中考数学考前20天终极冲刺专题之数与式
一、选择题
1．（2022·秀洲模拟）下列各组数中，比0小的数是（ ）
A．5 B． C．0 D．-5
【答案】D
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：∵-5＜0，5＞＞0，
∴比0小的数是-5.
故答案为：D.
【分析】根据负数＜0＜正数，逐项判断即可得出正确答案.
2．（2022七上·南康期末）尼莫点，正式名称为海洋难抵极，是地球表面距离陆地最偏远的地点，位于南太平洋中央的海面上，最近的陆地与当地相隔2688000米之遥，其中2688000用科学记数法表示应为（ ）
A．2.688×107 B．26.88×105 C．2.688×106 D．0.2688×107
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2688000＝2.688×106．
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
3．（2022七下·鄞州期中）下列运算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（a3）2＝a5
C．（3ab2）3＝9a3b6 D．a6÷a2＝a4
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2 a3＝a5，故A不符合题意；
B、（a3）2＝a6 ，故B不符合题意；
C、（3ab2）3＝27a3b6，故C不符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对D作出判断.
4．（2021八下·双流期末）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：若代数式 在实数范围内有意义，
∴ ，且 .
解得 ，且
∴ .
故答案为：D.
【分析】利用分式有意义的条件：分母不等于0，二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
5．（2017七下·宁波期中）已知多项式ax+b与2x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，则ab的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【答案】D
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式；解二元一次方程组
【解析】【解答】∵（ax+b）（2x2-x+2）=2ax3+（2b-a）x2+（2a-b）x+2b，
又∵展开式中不含x的一次项，且常数项为-4，
∴ ，
解得： ，
∴ab=（-1）-2=1，
故答案为：D．
【分析】根据多项式乘以多项式的方法，去括号然后合并同类项，得出最简结果，然后根据展开式中不含x的一次项，且常数项为-4，从而得出二元一次方程组，求解得出a，b的值，再代入代数式计算即可。
6．（2021七下·北仑期中）已知x2+y2+4x﹣6y+13=0，则代数式x+y的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．25 D．36
【答案】B
【知识点】因式分解的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：由原式，得
(x2+4x+4)+(y2-6y+9)=0
∴(x+2)2+(y-3)2=0
∴x+2=0，y-3=0
∴x=-2，y=3
∴x+y=1
故答案为：B.
【分析】能利用完全平方公式进行因式分解，a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=（a-b）2；理解“非负数的和等于零，则每个非负数都等于零”.
7．（2022八下·咸宁期中）下列式子中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．原式=，故A不是最简二次根式；
B．原式=2，故B不是最简二次根式；
C．是最简二次根式，故C正确；
D．原式=2，故D不是最简二次根式；
故答案为：C.
【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，据此判断.
8．（2022八上·莱西期中）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据可得，再利用分式的减法计算方法求解即可。
9．（2021·娄底） 是某三角形三边的长，则 等于（ ）
A． B． C．10 D．4
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解： 是三角形的三边，
，
解得： ，
，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的三边关系，可得，然后根据二次根式的性质求解即可.
10．（2023·亳州模拟）已知，，，那么x，y，z满足的等量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
二、填空题
11．（2017-2018学年人教版数学七年级下册同步训练：6.2《立方根》）的算术平方根是
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵=9，
又∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3，
∴9的算术平方根是3．
即的算术平方根是3．
故答案为：3．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．
12．（2023·哈尔滨）把多项式分解因式的结果是 ．
【答案】m(x-4)(x+4)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：mx2-16m=m(x2-16)=m(x-4)(x+4).
故答案为：m(x-4)(x+4).
【分析】先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止.
13．（2017七下·金山期中）若x+y+z=2，x2﹣（y+z）2=8时，x﹣y﹣z= ．
【答案】4
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵x2﹣（y+z）2=8，
∴（x﹣y﹣z）（x+y+z）=8，
∵x+y+z=2，
∴x﹣y﹣z=8÷2=4，
故答案为：4．
【分析】首先把x2﹣（y+z）2=8的左边分解因式，再把x+y+z=2代入即可得到答案．
14．（2022七下·连云港期中）
若 ，则 .
【答案】-2
【知识点】多项式恒等定理（奥数类）
【解析】【解答】解：∵（x＋3）（x 5）= x2 5x+3x 15＝x2 2x 15，
∴m＝ 2.
故答案为： 2.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则将左式展开并合并同类项，然后根据多项式的性质可得m的值.
15．（2023八下·恩平期中）已知数轴上A、B两个点之间的距离是，点A所对应的实数是，那么点B所对应的实数是 ．
【答案】或
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：设点B对应的实数为x；
∵数轴上A、B两个点之间的距离是，点A所对应的实数是
∴|x+|=，解得x=或；
故答案为：或.
【分析】根据数轴上两点间的距离公式，列含绝对值的一元一次方程，解方程即可求解.
16．（2017七下·广州期中）已知a、b为两个连续整数，且 ，则a+b的值为 ．
【答案】7
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ＜ ＜ ，
∴a=3，b=4，
∴a+b=3+4=7．
故答案为：7．
【分析】先估算出 的大小，进而可得出a、b的值，进行计算即可．
三、计算题
17．（2024·金华模拟）计算：.
【答案】原式
.
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先算乘除，再算加减. 第一步先开平方，去绝对值，代入特殊角的三角形函数值，计算非零数的零次幂，再进行混合运算.
18．（2020八下·卫辉期末）先化简 ，然后从 的范围内选取一个你喜欢的合适的整数作为x的值代入求值.
【答案】解：原式
∵ ，且 为整数
∴ 可取的整数为－2，－1，0，1，2
∵要使分式有意义∴ ，且
∴ 只能取±2
∴当 时，原式
（或当 时，原式 ）
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】利用分式加减法法则，先算括号里的加法运算，再将分式的除法转化为乘法运算，约分化简；然后代入一个使分式有意义的x的值，代入化简后的代数式进行计算。
四、解答题
19．（2024八下·宁乡市期中）阅读下列简化过程：
；
；
．
解答下列问题：
（1）直接写出结果；
（2）计算：；
（3）设，，，比较，，的大小关系．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：，，，
而，
．
【知识点】分母有理化
【解析】【分析】（1）参考题干中的计算方法利用分母有理化化简即可；
（2）先利用分母有理数化简，再计算即可；
（3）利用题干中的计算方法利用分母有理化化简，再比较大小即可.
20．（2024·长春模拟）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式.
解：，
可化为.
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①，②，
解不等式组①，得，解不等式组②，得，
的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或.
（1）一元二次不等式的解集为 ；
（2）分式不等式的解集为 ；
（3）解一元二次不等式.
【答案】（1）或
（2）或
（3）解：∵，
∴可化为．
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得
①，②，
解不等式组①，得，解不等式组②无解，
的解集为，
即一元二次不等式的解集为．
【知识点】因式分解的应用；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：（1），
可化为．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①，②，
解不等式组①，得，解不等式组②，得，
的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或，
故答案为：或．
（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，得
①，②，
解不等式组①，得，解不等式组②，得，
的解集为或，
故答案为：或．
【分析】（1）先因式分解得到，进而将原不等式可转化为①或②，再解不等式组即可求解；
（2）先将原不等式可转化为①或②，进而解两个不等式组即可；
（3）先将原不等式可转化为①或②，进而解两个不等式组即可．
五、实践探究题
21．（2024七下·鄞州期中）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
（1） 如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，
从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ；
（2）利用（1）中的结论解决以下问题：
①已知，，求的值；
②如图3，由正方形边长为a，正方形边长为b，点在同一直线上，连接，
若，求图3中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：①由（1）结论变形知：
；
②
∵且，∵，∴，∴．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）图2中正方形的面积可以表示为：，
还可以表示为：，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）用两种方法表示图2中正方形的面积，然后可得等式；
（2）①根据（1）中等式变形，然后代入计算即可；②先表示出阴影部分的面积，再利用完全平方公式的变形求出a+b，然后代入计算即可．
22．（2021八上·蓬江期末）阅读材料：若满足，求的值．
解：设，，则，
所以
请仿照上例解决下列问题：
（1）若x满足，求的值；
（2）若x满足，求的值；
（3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
【答案】（1）解：设，，
∴，，
∴
=a2+b2
；
（2）解：设，
∴，，
∵，
∴
解得：，即；
（3）解：正方形的边长为x，，，
∴，，
∵长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，
∴，，
∴， ， ， ，
设，，则，，
∴阴影部分的面积
∵，即，
解得：，
∴，即阴影部分的面积为44．
【知识点】完全平方公式及运用；定义新运算
【解析】【分析】（1）设，，则 ，再求解即可；
（2）设，，则，再求出，即可得到；
（3）设，，则，，利用割补法可得阴影部分的面积，再求出，即可得到答案。
1 / 1
