2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之方程与不等式
一、选择题
1．（2020七下·延庆期末）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是 ：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022八下·槐荫期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则a应满足（ ）
A． B．
C．且 D．且
3．（2024七上·昌邑期末）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·宜昌）解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．（2019·杭锦旗模拟）小敏上月在某文具店正好用30元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小敏只比上次多用了6元钱，却比上次多买了8本，若设她上月买了x本笔记本，则根据题意可列方程为（ ）
A． ＝1 B． ＝1
C． ＝1 D． ＝1
6．（2016·大庆）当0＜x＜1时，x2、x、 的大小顺序是（ ）
A．x2 B．＜x＜x2 C．＜x D．x＜x2＜
7．（2022七下·寻乌期末）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．（2020九上·达川期末）股市规定：股每天的涨、跌幅均不超过10％，即当涨了原价的10％后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10％后，便不能再跌，叫做跌停，现有一支股票某天涨停，之后两天时间又跌回到涨停之前的价格.若这两天此股票股价的平均下跌率为x，则x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021九上·虎林期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．－2 B．1 C．－2或1 D．1或0
10．（2023·岳阳）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024八下·杭州期中） 若a，b是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
12．（2023九下·北碚期中）若关于x的不等式组有解，关于y的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数a的和为 .
13．（2023·舟山）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为 。
14．（2021八下·延庆期末）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是几步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为 ．
15．（2023·重庆）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
三、计算题
16．（2024八下·东坡月考） 解方程
17．（2023·北京）解不等式组：．
四、解答题
18．（2024七下·东莞期中）同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
19．（2023八下·温州期中）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器．
素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元．
问题解决
任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？
任务2 设镇流器补进x件，若，刚补进镇流器的单价为 ▲ 元，补进灯管的总价为 ▲ （用含x的代数式表示）；
任务3 若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？
20．（2024·衢州模拟）我市“一户一表、抄表到户”居民生活用水实行阶梯水价，三级收费标准如下表，每户每年应缴水费（元）与用水量关系如图.
分类 用水量 单价（元/）
第1级 不超过300
第2级 超过300不超过400的部分
第3级 超过400的部分 6.2
根据图表信息，解答下列问题：
（1）小南家2022年用水量为，共缴水费1168元.求，及线段的函数表达式.
（2）小南家2023年用水量增加，共缴水费1516.4元，求2023年小南家用水量.
五、实践探究题
21．（2024七上·怀集期末）七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．“下面是1班班长与售票员咨询的对话：”
（1）1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？
（2）2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？
（3）3班的学生人数为，如果你是3班班长，请你从两种方案中为3班选出一种最实惠的购票方案，并说明理由．
22．（2024八下·高州月考）综合与实践
【问题情境】高州市传统特产品“深薯”、“爆皮王番薯”以“浓郁薯香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．我校兴趣小组为了了解以上两个品种在某特店的经营情况，经调查得知件深薯和件爆皮王番薯进货价为元，件深薯和件爆皮王番薯进货价为元．
（1）【深入探究】
分别求出每件深薯、爆皮王番薯的进价；
（2）【问题解决】
某特产店计划用不超过元购进深薯、爆皮王番薯共件，且深薯的数量不低于爆皮王番薯数量的，该特产店有哪几种进货方案
（3）若该特产店每件深薯售价为元，每件爆皮王番薯售价为元，在（）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设醇酒为x斗，行酒为y斗，由题意，则有
，
故答案为：A．
【分析】设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据两种酒共用30钱，共2斗的等量关系列出方程组即可．
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵原方程为一元二次方程，且有实数根，
∴a≠0，≥0时，方程有实数根；
∴，
解得：a≤1，
∴且，
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
3．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：C
【分析】设木长x尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”即可列出方程，进而即可求解。
4．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
去分母得：1+4x＞3（x-1），
去括号的：1+4x＞3x-3，
移项，合并同类项得：x＞-4，
在数轴上表示解集，如下图：
故答案为：D.
【分析】先解不等式，再在数轴上表示出相应的解集.
5．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设她上月买了x本笔记本，则她本月买了（x+8）本笔记本，
根据题意得： ＝1．
故答案为：B．
【分析】设她上月买了x本笔记本，则她本月买了（x+8）本笔记本，根据单价＝总价÷数量结合每本比上月便宜1元，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
6．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：当0＜x＜1时，
在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，可得0＜x2＜x，
在不等式0＜x＜1的两边都除以x，可得0＜1＜ ，
又∵x＜1，
∴x2、x、 的大小顺序是：x2＜x＜ ．
故选（A）
【分析】先在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，再在不等式0＜x＜1的两边都除以x，根据所得结果进行判断即可．本题主要考查了不等式，解决问题的根据是掌握不等式的基本性质．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或 ＞ ．
7．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则 不符合题意；
B、若，则 不符合题意；
C、若，当c=0时，，此项符合题意；
D、若，则此项不符合题意.
故答案为： C.
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可。
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设x为平均每天下跌的百分率，
则：（1+10%） （1-x）2=1；
故答案为：A.
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程.
9．【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：将原方程去分母整理得，（a＋2）x＝3
当a＋2＝0时，该整式方程无解，此时a＝﹣2
当a＋2≠0时，要使分式方程无解，则方程的根为增根，即x＝0或x＝1
把x＝0代入（a＋2）x＝3，此时无解；
把x＝1代入（a＋2）x＝3，解得a＝1
综上所述，a的值为1或﹣2
故答案为：C
【分析】先将分式方程转换为整式方程，再分两种情况：当a＋2＝0时，可求出a=-2；当a＋2≠0时，求出x=0或x=1，再将x的值代入计算即可。
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：将(k，2k)代入二次函数，得：2k =(t+1) k2+(t+2) k+s，
整理得：(t+1) k2+tk+s=0，
∵(t+1)k2+tk+s=0是关于k的二次方程，总有两个不同的实根，
∴t2-4s(t+1)>0，
令f(t)=t2-4s(t+1)=t2-4st-4s，
∵f (t) >0，
∴(4s)2+16s=16s2+16s <0，
∴s(s+1)<0，
解得：-1＜s＜0，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出(t+1) k2+tk+s=0，再利用一元二次方程根的判别式求解即可。
11．【答案】2028
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：2028．
【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系可得，表示出，然后整体代入计算即可．
12．【答案】1
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∵不等式组有解，
∴，
∴，
得，
∵，
∴，
∵分式方程有非负数解，
∴，且
解得且，
∴且，
∴符合条件的整数a有，
∴符合条件的所有整数a的和为.
故答案为：1.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，根据不等式组有解可得a的范围，根据分式方程表示出y，由分式方程有非负数解可得a的范围，据此找出符号条件的整数a的值，然后相加即可.
13．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵花了100钱，
∴5×8+3x+y=100.
∵买了100只鸡，
∴8+x+y=100，
∴方程组为.
故答案为：.
【分析】根据花了100钱可得5×8+3x+y=100；根据买了100只鸡可得8+x+y=100，联立即可得到方程组.
14．【答案】x（x-12）=864
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．
根据矩形面积=长×宽，得：x（x-12）=864．
故答案为：x（x-12）=864．
【分析】设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．根据矩形面积公式即可列出方程。
15．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，
故答案为：
【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，则七月份的就业岗位数量为，八月份的就业岗位数量为，进而即可求解。
16．【答案】解：去分母，得，
去括号得：，
移项并合并同类项得：
解得，
检验∶把代入，
∴原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先把分式方程化为整式方程，解整式方程，检验得到分式方程的解的情况。
17．【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集。
18．【答案】（1）解：设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，
根据题意得 ，
解得 ，
∴购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元；
（2）解：方法一：
设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球．
80a+50（96﹣a）≤5720，
a≤30 ．
∵a为正整数，
∴a最多可以购买30个篮球．
∴这所学校最多可以购买30个篮球．
方法二：
设购买n个足球，则购买（96﹣n）个篮球．
50n+80（96﹣n）≤5720，
n≥65
∵n为整数，
∴n最少是66
96﹣66=30个．
∴这所学校最多可以购买30个篮球.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，根据题中的两个相等关系“ 若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元”可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）方法一：设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球；根据不等关系“ 要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元”可得关于a的不等式，解不等式并结合a是正整数即可求解；
方法二：设购买n个足球，则购买（96﹣n）个篮球．同理可列关于n的不等式，解不等式并结合n是正整数即可求解.
19．【答案】解：任务1：依题意，镇流器补进90件，学校补进镇流器和灯管共元，
答：若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共元；
任务2：（160-x）；（12000-30x）；
任务3：依题意，
解得：，
∵
∴，
答：补进镇流器100件.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务2： 设镇流器补进x件，若，
则补进镇流器的单价为[80-(x-80)×1]=160-x（元）；
补进灯管的总价为30×（400-x）=12000-30x（元）；
故答案为：（160-x）；（12000-30x）；
【分析】（1）任务1： 若镇流器补进90件 ，则每个镇流器的单价为[80-(90-80)×1]元，购进灯管的数量为（400-90）个，根据单价乘以数量=总价及90个镇流器的费用+（400-90）个灯管的费用=总费用，列式计算即可；
（2）任务2： 设镇流器补进x件，若，用原价减去因为购进数量 超过80个而减少的单价，列式计算可得补进镇流器的单价；用日光灯管的单价乘以购进日光灯管的数量列式可得补进灯管的总价；
（3）任务3：根据单价乘以数量=总价及x个镇流器的费用+（400-x）个灯管的费用=总费用，列出方程，求解并检验即可.
20．【答案】（1）解：由图表可知：
（或者列方程解得）
由题意可知，.
可设，将点代入，
解得.
（或者：由题意可知
设，把，代入，得
，解得）
∴线段的函数表达式为.
（2）解：由题意知，解得.
∴用水量为
【知识点】一次函数的实际应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）结合函数图象，根据“单价=应缴水费÷用水量”即可求出a的值，进而求出k的值，根据题意得到B点坐标，设，把，代入，即可求出函数AB的解析式；
（2）根据共缴水费1516.4元列出方程式，解方程即可得到答案.
21．【答案】（1）解：由题意可得：（元），
答：1班购票需要元
（2）解：设2班有人，由题意可得：
解得：
答：2班有人
（3）解：当时，方案一和方案二费用相同；当时，方案一实惠；当时，方案二实惠，理由如下：
3班的学生人数为，方案一的费用为：（元）
方案二的费用为：（元），
当，解得，当时，方案一和方案二费用相同；
当时，解得，即当时，方案一的费用低；
当时，解得，即当时，方案二的费用低；
当时，方案一和方案二费用相同；当时，方案一实惠；当时，方案二实惠
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）用人数乘以票价再乘以折数0.8即可求解；
（2）设2班有人，根据购票总费用=（总人数-5）×票价×折数可列关于x的方程，解方程即可求解；
（3）结合（1）（2）可求解.
22．【答案】（1）解：设每件深薯的进价为，每件爆皮王番薯的进价为，
由题意可得，，
解得，
答：每件深薯的进价为，每件爆皮王番薯的进价为；
（2）解：设购进深薯件，则购进爆皮王番薯件，
由题意可得，，
解得，
∵为整数，
∴该特产店有三种进货方案：
当时，，
即购进深薯件，购进爆皮王番薯件；
当时，，
即购进深薯件，购进爆皮王番薯件；
当时，，
即购进深薯件，购进爆皮王番薯件；
∴该特产店有三种进货方案：购进深薯件，购进爆皮王番薯件；购进深薯件，购进爆皮王番薯件；购进深薯件，购进爆皮王番薯件；
（3）解：设总利润为元，
依题意可得，，
∵，
∴随的增大而增大，
又∵，
∴，取最大值，最大利润元，
答：购进深薯件，购进爆皮王番薯件，可使该特产店获得利润最大，最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）设每件深薯的进价为，每件爆皮王番薯的进价为，根据题意，列出二元一次方程组即可求解；
（）设购进深薯件，则购进爆皮王番薯件，根据题意，列出一元一次不等式组求出的取值范围，由的取值范围即可求解；
（）设总利润为元，求出关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求解．
1 / 12024年中考数学考前20天终极冲刺专题之方程与不等式
一、选择题
1．（2020七下·延庆期末）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是 ：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设醇酒为x斗，行酒为y斗，由题意，则有
，
故答案为：A．
【分析】设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据两种酒共用30钱，共2斗的等量关系列出方程组即可．
2．（2022八下·槐荫期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则a应满足（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵原方程为一元二次方程，且有实数根，
∴a≠0，≥0时，方程有实数根；
∴，
解得：a≤1，
∴且，
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
3．（2024七上·昌邑期末）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：C
【分析】设木长x尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”即可列出方程，进而即可求解。
4．（2023·宜昌）解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
去分母得：1+4x＞3（x-1），
去括号的：1+4x＞3x-3，
移项，合并同类项得：x＞-4，
在数轴上表示解集，如下图：
故答案为：D.
【分析】先解不等式，再在数轴上表示出相应的解集.
5．（2019·杭锦旗模拟）小敏上月在某文具店正好用30元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小敏只比上次多用了6元钱，却比上次多买了8本，若设她上月买了x本笔记本，则根据题意可列方程为（ ）
A． ＝1 B． ＝1
C． ＝1 D． ＝1
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设她上月买了x本笔记本，则她本月买了（x+8）本笔记本，
根据题意得： ＝1．
故答案为：B．
【分析】设她上月买了x本笔记本，则她本月买了（x+8）本笔记本，根据单价＝总价÷数量结合每本比上月便宜1元，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
6．（2016·大庆）当0＜x＜1时，x2、x、 的大小顺序是（ ）
A．x2 B．＜x＜x2 C．＜x D．x＜x2＜
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：当0＜x＜1时，
在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，可得0＜x2＜x，
在不等式0＜x＜1的两边都除以x，可得0＜1＜ ，
又∵x＜1，
∴x2、x、 的大小顺序是：x2＜x＜ ．
故选（A）
【分析】先在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，再在不等式0＜x＜1的两边都除以x，根据所得结果进行判断即可．本题主要考查了不等式，解决问题的根据是掌握不等式的基本性质．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或 ＞ ．
7．（2022七下·寻乌期末）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则 不符合题意；
B、若，则 不符合题意；
C、若，当c=0时，，此项符合题意；
D、若，则此项不符合题意.
故答案为： C.
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可。
8．（2020九上·达川期末）股市规定：股每天的涨、跌幅均不超过10％，即当涨了原价的10％后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10％后，便不能再跌，叫做跌停，现有一支股票某天涨停，之后两天时间又跌回到涨停之前的价格.若这两天此股票股价的平均下跌率为x，则x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设x为平均每天下跌的百分率，
则：（1+10%） （1-x）2=1；
故答案为：A.
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程.
9．（2021九上·虎林期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．－2 B．1 C．－2或1 D．1或0
【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：将原方程去分母整理得，（a＋2）x＝3
当a＋2＝0时，该整式方程无解，此时a＝﹣2
当a＋2≠0时，要使分式方程无解，则方程的根为增根，即x＝0或x＝1
把x＝0代入（a＋2）x＝3，此时无解；
把x＝1代入（a＋2）x＝3，解得a＝1
综上所述，a的值为1或﹣2
故答案为：C
【分析】先将分式方程转换为整式方程，再分两种情况：当a＋2＝0时，可求出a=-2；当a＋2≠0时，求出x=0或x=1，再将x的值代入计算即可。
10．（2023·岳阳）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：将(k，2k)代入二次函数，得：2k =(t+1) k2+(t+2) k+s，
整理得：(t+1) k2+tk+s=0，
∵(t+1)k2+tk+s=0是关于k的二次方程，总有两个不同的实根，
∴t2-4s(t+1)>0，
令f(t)=t2-4s(t+1)=t2-4st-4s，
∵f (t) >0，
∴(4s)2+16s=16s2+16s <0，
∴s(s+1)<0，
解得：-1＜s＜0，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出(t+1) k2+tk+s=0，再利用一元二次方程根的判别式求解即可。
二、填空题
11．（2024八下·杭州期中） 若a，b是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
【答案】2028
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：2028．
【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系可得，表示出，然后整体代入计算即可．
12．（2023九下·北碚期中）若关于x的不等式组有解，关于y的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数a的和为 .
【答案】1
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∵不等式组有解，
∴，
∴，
得，
∵，
∴，
∵分式方程有非负数解，
∴，且
解得且，
∴且，
∴符合条件的整数a有，
∴符合条件的所有整数a的和为.
故答案为：1.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，根据不等式组有解可得a的范围，根据分式方程表示出y，由分式方程有非负数解可得a的范围，据此找出符号条件的整数a的值，然后相加即可.
13．（2023·舟山）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为 。
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵花了100钱，
∴5×8+3x+y=100.
∵买了100只鸡，
∴8+x+y=100，
∴方程组为.
故答案为：.
【分析】根据花了100钱可得5×8+3x+y=100；根据买了100只鸡可得8+x+y=100，联立即可得到方程组.
14．（2021八下·延庆期末）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是几步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为 ．
【答案】x（x-12）=864
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．
根据矩形面积=长×宽，得：x（x-12）=864．
故答案为：x（x-12）=864．
【分析】设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．根据矩形面积公式即可列出方程。
15．（2023·重庆）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，
故答案为：
【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，则七月份的就业岗位数量为，八月份的就业岗位数量为，进而即可求解。
三、计算题
16．（2024八下·东坡月考） 解方程
【答案】解：去分母，得，
去括号得：，
移项并合并同类项得：
解得，
检验∶把代入，
∴原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先把分式方程化为整式方程，解整式方程，检验得到分式方程的解的情况。
17．（2023·北京）解不等式组：．
【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集。
四、解答题
18．（2024七下·东莞期中）同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）解：设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，
根据题意得 ，
解得 ，
∴购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元；
（2）解：方法一：
设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球．
80a+50（96﹣a）≤5720，
a≤30 ．
∵a为正整数，
∴a最多可以购买30个篮球．
∴这所学校最多可以购买30个篮球．
方法二：
设购买n个足球，则购买（96﹣n）个篮球．
50n+80（96﹣n）≤5720，
n≥65
∵n为整数，
∴n最少是66
96﹣66=30个．
∴这所学校最多可以购买30个篮球.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，根据题中的两个相等关系“ 若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元”可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）方法一：设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球；根据不等关系“ 要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元”可得关于a的不等式，解不等式并结合a是正整数即可求解；
方法二：设购买n个足球，则购买（96﹣n）个篮球．同理可列关于n的不等式，解不等式并结合n是正整数即可求解.
19．（2023八下·温州期中）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器．
素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元．
问题解决
任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？
任务2 设镇流器补进x件，若，刚补进镇流器的单价为 ▲ 元，补进灯管的总价为 ▲ （用含x的代数式表示）；
任务3 若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？
【答案】解：任务1：依题意，镇流器补进90件，学校补进镇流器和灯管共元，
答：若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共元；
任务2：（160-x）；（12000-30x）；
任务3：依题意，
解得：，
∵
∴，
答：补进镇流器100件.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务2： 设镇流器补进x件，若，
则补进镇流器的单价为[80-(x-80)×1]=160-x（元）；
补进灯管的总价为30×（400-x）=12000-30x（元）；
故答案为：（160-x）；（12000-30x）；
【分析】（1）任务1： 若镇流器补进90件 ，则每个镇流器的单价为[80-(90-80)×1]元，购进灯管的数量为（400-90）个，根据单价乘以数量=总价及90个镇流器的费用+（400-90）个灯管的费用=总费用，列式计算即可；
（2）任务2： 设镇流器补进x件，若，用原价减去因为购进数量 超过80个而减少的单价，列式计算可得补进镇流器的单价；用日光灯管的单价乘以购进日光灯管的数量列式可得补进灯管的总价；
（3）任务3：根据单价乘以数量=总价及x个镇流器的费用+（400-x）个灯管的费用=总费用，列出方程，求解并检验即可.
20．（2024·衢州模拟）我市“一户一表、抄表到户”居民生活用水实行阶梯水价，三级收费标准如下表，每户每年应缴水费（元）与用水量关系如图.
分类 用水量 单价（元/）
第1级 不超过300
第2级 超过300不超过400的部分
第3级 超过400的部分 6.2
根据图表信息，解答下列问题：
（1）小南家2022年用水量为，共缴水费1168元.求，及线段的函数表达式.
（2）小南家2023年用水量增加，共缴水费1516.4元，求2023年小南家用水量.
【答案】（1）解：由图表可知：
（或者列方程解得）
由题意可知，.
可设，将点代入，
解得.
（或者：由题意可知
设，把，代入，得
，解得）
∴线段的函数表达式为.
（2）解：由题意知，解得.
∴用水量为
【知识点】一次函数的实际应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）结合函数图象，根据“单价=应缴水费÷用水量”即可求出a的值，进而求出k的值，根据题意得到B点坐标，设，把，代入，即可求出函数AB的解析式；
（2）根据共缴水费1516.4元列出方程式，解方程即可得到答案.
五、实践探究题
21．（2024七上·怀集期末）七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．“下面是1班班长与售票员咨询的对话：”
（1）1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？
（2）2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？
（3）3班的学生人数为，如果你是3班班长，请你从两种方案中为3班选出一种最实惠的购票方案，并说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得：（元），
答：1班购票需要元
（2）解：设2班有人，由题意可得：
解得：
答：2班有人
（3）解：当时，方案一和方案二费用相同；当时，方案一实惠；当时，方案二实惠，理由如下：
3班的学生人数为，方案一的费用为：（元）
方案二的费用为：（元），
当，解得，当时，方案一和方案二费用相同；
当时，解得，即当时，方案一的费用低；
当时，解得，即当时，方案二的费用低；
当时，方案一和方案二费用相同；当时，方案一实惠；当时，方案二实惠
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）用人数乘以票价再乘以折数0.8即可求解；
（2）设2班有人，根据购票总费用=（总人数-5）×票价×折数可列关于x的方程，解方程即可求解；
（3）结合（1）（2）可求解.
22．（2024八下·高州月考）综合与实践
【问题情境】高州市传统特产品“深薯”、“爆皮王番薯”以“浓郁薯香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．我校兴趣小组为了了解以上两个品种在某特店的经营情况，经调查得知件深薯和件爆皮王番薯进货价为元，件深薯和件爆皮王番薯进货价为元．
（1）【深入探究】
分别求出每件深薯、爆皮王番薯的进价；
（2）【问题解决】
某特产店计划用不超过元购进深薯、爆皮王番薯共件，且深薯的数量不低于爆皮王番薯数量的，该特产店有哪几种进货方案
（3）若该特产店每件深薯售价为元，每件爆皮王番薯售价为元，在（）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元
【答案】（1）解：设每件深薯的进价为，每件爆皮王番薯的进价为，
由题意可得，，
解得，
答：每件深薯的进价为，每件爆皮王番薯的进价为；
（2）解：设购进深薯件，则购进爆皮王番薯件，
由题意可得，，
解得，
∵为整数，
∴该特产店有三种进货方案：
当时，，
即购进深薯件，购进爆皮王番薯件；
当时，，
即购进深薯件，购进爆皮王番薯件；
当时，，
即购进深薯件，购进爆皮王番薯件；
∴该特产店有三种进货方案：购进深薯件，购进爆皮王番薯件；购进深薯件，购进爆皮王番薯件；购进深薯件，购进爆皮王番薯件；
（3）解：设总利润为元，
依题意可得，，
∵，
∴随的增大而增大，
又∵，
∴，取最大值，最大利润元，
答：购进深薯件，购进爆皮王番薯件，可使该特产店获得利润最大，最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）设每件深薯的进价为，每件爆皮王番薯的进价为，根据题意，列出二元一次方程组即可求解；
（）设购进深薯件，则购进爆皮王番薯件，根据题意，列出一元一次不等式组求出的取值范围，由的取值范围即可求解；
（）设总利润为元，求出关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求解．
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