2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之一次函数
一、选择题
1．（2024八下·东城期中） 下列不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A：由表格可知，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以A中y是x的函数；
B：由图象可知，对于x的每一个值，y有2个或1个值和它对应，所以B中y不是x的函数；
C：由图象可知，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以C中y是x的函数；
D：由解析式可知，y是x的一次函数，所以D中y是x的函数；
故答案为：B。
【分析】根据函数的定义，分别进行判断，即可得出答案。
2．（2019八下·北京期末）一次函数 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】∵-3<0，1>0，
∴图像经过一、二、四象限，不经过第三象限.
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的图象与性质解答即可.
3．（2024·昭通模拟）下列函数中，自变量x的取值范围是x＞1的函数是（ ）
A． B． C．y＝x﹣1 D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】A、根据题意可得：x-1≥0，解得：x≥1，不符合题意，∴A不符合题意；
B、根据题意可得：x-1＞0，解得：x>1，符合题意，∴B符合题意；
C、根据题意可得：x可以取任意实数，∴C不符合题意；
D、根据题意可得：x-1≠0，解得：x≠1，不符合题意，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用分式及二次根式有意义的条件分别列出不等式求出x的取值范围，再判断即可.
4．（2023八下·乐亭期中）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：由题意得水深先快速上升，然后上升的速度减缓，
A、图像表示水的深度先上升后不变，A不符合题意；
B、图像表示水的深度一直以相同的速度上升，B不符合题意；
C、图像表示水的深度变化先快后慢，C符合题意；
D、图像表示水的深度变化先慢后快，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】先根据图片即可判断出水深先快速上升，然后上升的速度减缓，进而逐一对选项进行判断即可求解。
5．（2024·东兴会考）已知为常数，且，一次函数的图象不经过第三象限，则正比例函数的图象经过的象限是( )
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数，不经过第三象限，
∴k＞0，
∴-k＜0，则中y随着x的增大而减小，
∴图像经过第二、四象限.
故答案为：B.
【分析】根据一次函数，不经过第三象限，判断k＞0，据此再判断的图像经过的象限即可.
6．（2024·恩施模拟） 武汉作为新晋网红城市，五一期间吸引着大量游客前来观光打卡．现有一批游客分别乘坐甲乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后继续驶向景点，乙大巴全程匀速驶向景点．两辆大巴的行程随时间变化的图象（全程）如图所示．依据图中信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲大巴停留前的平均速度是
B．甲大巴中途停留了0.5h
C．甲大巴比乙大巴先0.25h到达景点
D．甲大巴停留后用0.5h追上乙大巴
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：甲大巴停留前的平均速度为，故A正确；
甲大巴中途停留了，故B正确；
甲大巴停留后行驶的速度为，达到终点的时间为，
乙大巴行驶的速度为，达到终点的时间为
∴甲大巴比乙大巴先，故C不正确；
甲大巴停留后用追上乙大巴，故D正确；
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的图象，利用路程与时间的关系计算并判断即可．
7．（2024八下·东坡月考） 如图，点G是的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿图1的边线运动，运动路径为：，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2，若，则下列六个结论中正确的个数有（ ）
①图1中的长是；
②图2中的M点表示第4秒时y的值为；
③图1中的长是；
④图1中的长是；
⑤图2中的Q点表示第8秒时y的值为33；
⑥图2中的N点表示第12秒时y的值为．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】一次函数中的动态几何问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了，因而；
②③P在段时，底边不变，高不变，因而面积不变，由图象可知，面积
④根据函数图象可以知：经过了3秒，P运动了，因而；
⑤图2中的Q点表示第8秒时，表示点P到达F点，即可求出是y的值为．
⑥图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，的面积是．
则正确结论是①②③⑥共四个；
故答案为：B．
【分析】根据动点P在GC上运动的时间是2秒，结合动点的速度，求出GC和BC的长，判定①；根据BC和AB的长计算出的面积，判定②③；根据动点P在DE上运动的时间是3秒，结合动点的速度，求DE长，判定④；根据图2中的Q点表示第8秒时，表示点P到达H点，即可得出y的值，判定⑤；根据图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，即可得出的面积，判定⑥。
8．（2024八下·东坡月考） 如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设直线与y轴交于点D，轴于点E，如图所示．
当时，，
∴点D的坐标为；
当时，，
∴点A的坐标为，
∴点E的坐标为，，
∴，
∴．
同理，可求出另两个三角形的面积均为（阴影部分组成的小三角形），
∴阴影部分面积之和为：．
故答案为：A．
【分析】设直线与y轴交于点D，AE⊥y轴于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A，D的坐标，利用三角形的面积计算公式可求出三角形DAE的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积，据此求解。
9．（2023八下·阳西期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、对于，，
的图象必过第一、三象限，A不符合题意；
B、由的图象可知，当时，，
对于 ，，
的图象必过第一、三象限，B不符合题意；
C、由的图象可知，解得，
对于 ，当时，，C不符合题意；
D、由的图象可知，解得，
对于 ，当时，，D符合题意，
故答案为：D.
【分析】对于一次函数y=kx+b，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减少.
10．（2023·肇东模拟）如图，在中，，，，点P从点A出发沿的路径运动到点C停止，点Q以相同的速度沿的路径运动到点C停止，连接，设点P的运动路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∴，，
∵P、Q运动速度相同，
∴
如图1所示，当点P在上运动，即时，过点Q作于D，
在中，，
∴；
如图2所示，当点P在上，点Q未到C，即时，过点P作于D，
由题意得，，
在中，，
∴；
如图3所示，当点Q到达C点后，即时，
由题意得，
∴；
∴四个选项中只有C选项符合题意，
故答案为：C．
【分析】结合图形，利用勾股定理，锐角三角函数，三角形的面积公式等判断求解即可。
二、填空题
11．（2023·南充）如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是 ．
【答案】1
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：将x=0代入得，y=-2k+3，
∴B（0，-2k+3），
∴OB=-2k+3，
将y=0代入得，
∴A（，0），
∴OA=
∴，
故答案为：1
【分析】先运用一次函数与坐标轴的交点将x=0和y=0分别代入函数解析式，进而即可求出OB和OA的值，再结合题意即可求解。
12．（2024七下·龙湖期中） 如图，直线AB经过原点O，点C在y轴上，D为线段AB上一动点，若A（2，m），B（-3，n），C（0，-2），AB=10，则CD长度的最小值为 .
【答案】1
【知识点】点到直线的距离；一次函数的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵点D为线段AB上的一个动点，点A、B和C固定
∴当CD⊥AB时，CD的值最小
设直线AB的解析式为y=kx（k＞0），将点A和B代入，可得2k=m，-3k=n；
∵AB=10
∴（2+3）2+（m-n）2=102，整理可得（m-n）2=75；
∴k= 3 ，直线AB的解析式为y= 3 x，即 3 x-y=0； ∵CD⊥AB
∴CD==1
故答案为：1.
【分析】根据正比例函数的性质，将点A和B的坐标代入即可得2k=m，-3k=n；根据两点间的距离公式，可得（m-n）2=75，进而可得k的值；根据点到直线的距离公式即可求出CD的最小值.
13．（2023八下·长沙期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过正方形OABC的顶点A和C，已知点A的坐标为（1，﹣3），则一次函数的解析式为 ．
【答案】y＝2x﹣5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】过点C作CEy轴于点E，过点A作ADy轴于点D，如图，
点A的坐标为（1，﹣3），
AD=1，OD=3，
四边形OABC为正方形，
OA=OC，∠AOC=90°，
∠AOD+∠COE=90°，∠AOD+∠OAD=90°，
∠OAD+∠COE，
在△AOD与△OCE中，
AD=OE=1，OD=CE=3，
C（3，1），
将点A，C的坐标代入 y＝kx+b得解得
一次函数解析式为 y＝2x﹣5 ，
【分析】过点C作CEy轴于点E，过点A作ADy轴于点D，先求得AD=1，OD=3，再证明得到AD=OE=1，OD=CE=3，进而得到C（3，1），最后利用待定系数法求得k，b的值，即可求解.
14．（2024八下·东坡月考） 如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处．则直线的解析式为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：对于直线，令，则，
解得：，
∴，
∴．
令，则，
∴，
∴，
∴．
由折叠可知，，，
∴．
设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴点，
设直线解析式为：，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
故答案为：．
【分析】利用解析式可求出点A和点B的坐标，根据勾股定理可求出AB的长．设OC=CD=x，根据折叠的性质，利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x，得到点C的坐标，最后用待定系数法求解即可．
15．（2024八下·西安月考）如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是 .
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线交于点，
∴关于x的不等式的解集是：，
故答案为：.
【分析】根据题目给出的函数图象可知不等式的解集为直线在直线下方的部分，据此即可求解.
三、解答题
16．（2024·东兴会考）2024年春节的“文旅热”现象，展现着我国经济的强大韧性.今年春节长假后，陕西某地深入复盘总结，坚持“以文塑旅、以旅彰文”的方法路径，不断提供优质文旅产品，做强地方文化“软实力”、文旅资源“硬支撑”，引导文旅业态健康发展.苏晓一家前往陕西某景点旅游，他们从家出发，匀速行驶后进入高速，在高速路上匀速行驶一段时间后，驶出高速，进入城市道路(城市道路的行驶速度低于高速路上的行驶速度)，苏晓一家离家的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）苏晓一家在高速路上行驶的时间是 小时；
（2）求图中段与之间的函数表达式；
（3）苏晓一家从家出发多久后，离家的距离为
【答案】（1）3
（2）设图中段与之间的函数表达式为.
根据题意，得解得
∴与之间的函数表达式为.
（3）由题意，得，
解得，
∴苏晓一家从家出发后，离家的距离为.
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知AB段为在高速路上行驶，
行驶的时间为4－1＝3（小时）
故答案为：3.
【分析】（1）根据题意可知AB段为在高速路上行驶，据此填空；
（2）设图中段与之间的函数表达式为，代入AB两点的坐标即可求解；
（3）50＜200＜350，将y=200代入（2）中的函数解析式即可.
17．（2024·海曙模拟） 在测浮力实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数F与圆柱体下降高度h的关系图象如图乙所示．
（1）图乙中，点A对应状态 ，点B对应状态 ，（“状态”后填写图形序号）
， ；
（2）已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体浸入水中的高度．
【答案】（1）②；④；10；5
（2）解：设的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴（），
∴圆柱体浸入水中的高度为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1） 图乙中，点A对应状态②，点B对应状态④，且
故答案为：②，④，10，5.
【分析】（1）由图象可知， 当圆柱体刚要浸入水中时，弹簧测力计的读数由10N开始减小，当圆柱体刚完全浸入水中时，弹簧测力计的读数减小至5N并保持不变，进而即可求解；
（2）设的解析式为，将点A和点B的坐标代入即可求出AB的解析式为，然后令求出h，进而即可求解.
四、综合题
18．（2023八下·长沙期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M是线段AB的中点，点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，过点A作AQ∥BP交PM的延长线于Q，PM交y轴于点C，连接OM．
（1）线段OM的长；
（2）①证明：四边形AQBP是平行四边形；
②当m取何值时，四边形AQBP是菱形；
（3）若点M坐标为（3，4），当﹣3≤m≤﹣2时，记（其中OC示线段OC的长度），求s的最大值．
【答案】（1）解：∵y＝﹣x+8，当x＝0时，y＝8，
当y＝0时，﹣x+8＝0，
解得x＝6，
∴A（0，8），B（6，0），
∵点M是线段AB的中点，
∴点M（3，4），
∴OM＝=5；
（2）解：①证明：∵AQ∥BP，
∴∠AQM＝BPM，
∵点M是线段AB的中点，
∴AM＝BM，
∵∠AMQ＝∠BMP，
∴△AMQ≌△BMP（ASA），
∴AQ＝BP，
∵AQ∥BP，
∴四边形AQBP是平行四边形；
②解：当AP＝BP时，平行四边形AQBP是菱形，
∵点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，
∴P（m，0）（m＜0），
∵A（0，8），B（6，0），
∴，
∴＝6﹣m，解得m＝﹣，
∴当m＝﹣时，四边形AQBP是菱形；
（3）解：设直线PM的解析式为y＝kx+b，
∵M（3，4），P（m，0）（﹣3≤m≤﹣2），
∴，解得，
∴直线PM的解析式为，
当x＝0时，y＝，
∴C （0，），
∴OC＝，
∴s＝＝2m﹣6，
∵2＞0，
∴s随m的增大而增大，
∵﹣3≤m≤﹣2，
∴当m＝﹣2时，s的最大值为2×（﹣2）﹣6＝﹣10．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；一次函数的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据一次函数的解析式与坐标轴的交点特点求得点A，B的坐标，再利用中点的性质求得点M的坐标，最后利用勾股定理即可求解；（2） ① 先证明 △AMQ≌△BMP ，得到 AQ＝BP， 根据平行四边形的判定定理即可求解；② 根据菱形的判定可得 当AP＝BP时，平行四边形AQBP是菱形， 进而根据点P的横坐标为m，得到 P（m，0）（m＜0）， 结合点A，B的坐标利用勾股定理得到关于m的方程，解方程即可求解；
（3） 设直线PM的解析式为y＝kx+b， 利用待定系数法求得直线PM的解析式进而得到当 x＝0时，y＝， 得到点C的坐标，据此得到OC的值，从而得出 的表达式，最后根据一次函数的性质即可求解.
19．（2023八下·长沙期中）如图，在平面直角坐标系中，过点A（﹣6，0）的直线l1：y1＝kx+b（k≠0）与直线l2：y2＝2x相交于B（m，4）．
（1）求直线l1的函数解析式；
（2）设直线l1与y轴交于点M，求△BOM的面积；
（3）利用函数图象直接写出当y1≤y2时，x的取值范围为 ．
【答案】（1）解：∵点B（m，4）直线l2：y＝2x上，
∴4＝2m，
∴m＝2，
∴点B（2，4），
设直线l1的表达式为y＝kx+b，
将A（﹣6，0），B（2，4）代入得：，
解得，
∴直线l1的表达式为y＝x+3；
（2）解：将x＝0代入y＝x+3，得：y＝3，
∴M（0，3），
∴OM＝3，
∴△BOM的面积＝OM |xB|＝×3×2＝3；
（3）x≥2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（3）将y=4代入 y＝2x 得4=2m，解得m=2，
由图可得 当y1≤y2时，x的取值范围为 x≥2 ，
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2） 将x＝0代入y＝x+3，得：y＝3， 得到点M的坐标，进而得到OM的值，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）先求出m的值，直接观察图象即可求解.
20．（2023八下·长沙期中）如图，正方形AOBC的边长为2，点O为坐标原点，边OB，OA分别在x轴，y轴上，点D是BC的中点，点P是线段AC上的一个点，如果将OA沿直线OP对折，使点A的对应点A'恰好落在PD所在的直线上．
（1）连接OD，求证：△A'OD≌△BOD；
（2）利用你所学的数学知识求出折痕OP所在直线的函解式；
（3）请问x轴上是否存在一点，使△DPQ的周长有最小值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形OACB是正方形，
∴∠OAP＝∠OBC＝90°，OA＝OB，
由轴对称的性质可知OA＝OA'，∠OA'P＝'OAP＝90°，
∴OA'＝OB，∠OA'D＝∠OBD＝90°，
∵OD＝OD，
∴Rt△A'OD≌Rt△BOD（HL）；
（2）解：连接OD，
∵正方形AOBC的边长为2，点D是BC的中点，
∴．
由折叠的性质可知，OA'＝OA＝2，∠OA'D＝90°．
∴A'D＝1．
设点P（x，2），PA'＝x，PC＝2﹣x，CD＝1．
∴（x+1）2＝（2﹣x）2+12．
解得x＝．
所以P（，2），
∴OP所在直线的表达式是y＝3x；
（3）解：存在．若△DPQ的周长为最小，
即是要PQ+DQ为最小．
∵点D关于x轴的对称点是D'（2，﹣1），
∴设直线PD'的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴直线PD'的函数表达式为．
当y＝0时，x＝．
∴点Q（，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得 ∠OAP＝∠OBC＝90°，OA＝OB， 由 轴对称的性质可知OA＝OA'，∠OA'P＝'OAP＝90°， 最后根据HL即可判定 Rt△A'OD≌Rt△BOD；
（2）先利用勾股定理求得OD的值，再根据折叠的性质得到 OA'＝OA＝2，∠OA'D＝90° ，进而求得 A'D＝1 ， 设点P（x，2），PA'＝x，PC＝2﹣x，CD＝1，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求得x的值，得到点P的坐标，从而求解；
（3） 存在．若△DPQ的周长为最小，即是要PQ+DQ为最小，由轴对称的性质求得 D'（2，﹣1）， 设直线PD'的解析式为y＝kx+b， 利用待定系数法求得 直线PD'的函数表达式 ，再根据 当y＝0时，x＝，即可求解点Q的坐标.
21．（2024八下·岳麓月考）如图，平面直角坐标系中，，．F为矩形OABC对角线AC的中点，过点F的直线分别与OC、AB交于点D、E．
（1）求证：；
（2）设，的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）若点P在坐标轴上，平面内存在点Q，使以P、Q、A、C为顶点的四边形是矩形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）证明：如图：
四边形OABC是矩形，，，
是AC中点，，
在和中，，，
，．
（2）解：，，
四边形AECD是平行四边形，
，．，，
，，，
与m的函数关系式为；
（3）解：点Q坐标为或或
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；数学思想；一次函数的其他应用
【解析】解：（3）①如图：点P在x轴上，，，
设点P标为，则
四边形APQC是矩形
，解得：
平移得到
平移规律是横坐标减2，纵坐标减4，
点平移得到；
②如图：点P在y轴上，设点P坐标为，则
，解得：
平移后得到
平移规律是横坐标减8，纵坐标减16．
平移后得到；
③当点P原点重合时，则点Q点B重合，此时点Q坐标为．
综上所述，点Q坐标为或或
【分析】（1）根据矩形的性质得到AB∥OC，进而得到∠AEF=∠FDC，再根据中点的性质得到AF=CF，然后利用AAS可证，再根据全等三角形的性质即可得到FD=FE；
（2）连接CE，先证四边形AECD是平行四边形，根据OD=m，可得DC=8-m，进而可得，再根据平行四边形的性质可得，从而得到S与m的函数关系式；
（3）分三种情况讨论，①当点P在x轴上，设点P标为，可得PC=8-p，，，根据矩形的性质得到∠PAC=90°，再利用勾股定理建立方程求出p的值，然后根据平移的性质求解即可；②当点P在y轴上，设点P坐标为，则，再根据，建立方程求出p的值，然后根据平移的性质求解即可；③当点P原点重合时，求出点Q坐标即可.
22．（2024八下·沙田期中） 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，且．点M是线段上的一个动点．
（1）求b的值；
（2）连接，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标；
（3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．
【答案】（1）解：在中，当时，，
∴点坐标，
∴，
，
，
∵点B的坐标为，
∴，
∴
∴点的坐标为，
把代入得：，
解得：；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵三角形的面积与四边形的面积之比为，
∴，
设点的横坐标为，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）解：如图（1）所示，当为菱形对角线时，则点M在线段的垂直平分线上，且点M与点N关于对称
∴点M的纵坐标为，
在中，当时，，
∴，
∴
如图（2）所示，当为菱形边时，DM为对角线，设点M坐标为，
由菱形的性质可得，
∴，，
∴，
∴或（舍去），
∴；
当为菱形的边时，OM为对角线，如图，设点M坐标为，
∴，
∴，，
∴，
解得或（舍去），
∴；
综上所述，点N的坐标为或或．
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先求出点坐标，再根据进而求出点E的坐标，最后将点E的代入解析式求出b即可.
（2）先根据梯形面积公式求出四边形的面积，进而求出的面积，最后根据三角形面积公式求出m，进而得到点M的横坐标即可.
（3）分以，，为对角线三种情况进行讨论即可.
1 / 12024年中考数学考前20天终极冲刺专题之一次函数
一、选择题
1．（2024八下·东城期中） 下列不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019八下·北京期末）一次函数 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·昭通模拟）下列函数中，自变量x的取值范围是x＞1的函数是（ ）
A． B． C．y＝x﹣1 D．
4．（2023八下·乐亭期中）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·东兴会考）已知为常数，且，一次函数的图象不经过第三象限，则正比例函数的图象经过的象限是( )
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
6．（2024·恩施模拟） 武汉作为新晋网红城市，五一期间吸引着大量游客前来观光打卡．现有一批游客分别乘坐甲乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后继续驶向景点，乙大巴全程匀速驶向景点．两辆大巴的行程随时间变化的图象（全程）如图所示．依据图中信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲大巴停留前的平均速度是
B．甲大巴中途停留了0.5h
C．甲大巴比乙大巴先0.25h到达景点
D．甲大巴停留后用0.5h追上乙大巴
7．（2024八下·东坡月考） 如图，点G是的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿图1的边线运动，运动路径为：，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2，若，则下列六个结论中正确的个数有（ ）
①图1中的长是；
②图2中的M点表示第4秒时y的值为；
③图1中的长是；
④图1中的长是；
⑤图2中的Q点表示第8秒时y的值为33；
⑥图2中的N点表示第12秒时y的值为．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．（2024八下·东坡月考） 如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023八下·阳西期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·肇东模拟）如图，在中，，，，点P从点A出发沿的路径运动到点C停止，点Q以相同的速度沿的路径运动到点C停止，连接，设点P的运动路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2023·南充）如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是 ．
12．（2024七下·龙湖期中） 如图，直线AB经过原点O，点C在y轴上，D为线段AB上一动点，若A（2，m），B（-3，n），C（0，-2），AB=10，则CD长度的最小值为 .
13．（2023八下·长沙期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过正方形OABC的顶点A和C，已知点A的坐标为（1，﹣3），则一次函数的解析式为 ．
14．（2024八下·东坡月考） 如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处．则直线的解析式为 ．
15．（2024八下·西安月考）如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是 .
三、解答题
16．（2024·东兴会考）2024年春节的“文旅热”现象，展现着我国经济的强大韧性.今年春节长假后，陕西某地深入复盘总结，坚持“以文塑旅、以旅彰文”的方法路径，不断提供优质文旅产品，做强地方文化“软实力”、文旅资源“硬支撑”，引导文旅业态健康发展.苏晓一家前往陕西某景点旅游，他们从家出发，匀速行驶后进入高速，在高速路上匀速行驶一段时间后，驶出高速，进入城市道路(城市道路的行驶速度低于高速路上的行驶速度)，苏晓一家离家的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）苏晓一家在高速路上行驶的时间是 小时；
（2）求图中段与之间的函数表达式；
（3）苏晓一家从家出发多久后，离家的距离为
17．（2024·海曙模拟） 在测浮力实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数F与圆柱体下降高度h的关系图象如图乙所示．
（1）图乙中，点A对应状态 ，点B对应状态 ，（“状态”后填写图形序号）
， ；
（2）已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体浸入水中的高度．
四、综合题
18．（2023八下·长沙期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M是线段AB的中点，点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，过点A作AQ∥BP交PM的延长线于Q，PM交y轴于点C，连接OM．
（1）线段OM的长；
（2）①证明：四边形AQBP是平行四边形；
②当m取何值时，四边形AQBP是菱形；
（3）若点M坐标为（3，4），当﹣3≤m≤﹣2时，记（其中OC示线段OC的长度），求s的最大值．
19．（2023八下·长沙期中）如图，在平面直角坐标系中，过点A（﹣6，0）的直线l1：y1＝kx+b（k≠0）与直线l2：y2＝2x相交于B（m，4）．
（1）求直线l1的函数解析式；
（2）设直线l1与y轴交于点M，求△BOM的面积；
（3）利用函数图象直接写出当y1≤y2时，x的取值范围为 ．
20．（2023八下·长沙期中）如图，正方形AOBC的边长为2，点O为坐标原点，边OB，OA分别在x轴，y轴上，点D是BC的中点，点P是线段AC上的一个点，如果将OA沿直线OP对折，使点A的对应点A'恰好落在PD所在的直线上．
（1）连接OD，求证：△A'OD≌△BOD；
（2）利用你所学的数学知识求出折痕OP所在直线的函解式；
（3）请问x轴上是否存在一点，使△DPQ的周长有最小值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2024八下·岳麓月考）如图，平面直角坐标系中，，．F为矩形OABC对角线AC的中点，过点F的直线分别与OC、AB交于点D、E．
（1）求证：；
（2）设，的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）若点P在坐标轴上，平面内存在点Q，使以P、Q、A、C为顶点的四边形是矩形，请直接写出点Q的坐标．
22．（2024八下·沙田期中） 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，且．点M是线段上的一个动点．
（1）求b的值；
（2）连接，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标；
（3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A：由表格可知，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以A中y是x的函数；
B：由图象可知，对于x的每一个值，y有2个或1个值和它对应，所以B中y不是x的函数；
C：由图象可知，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以C中y是x的函数；
D：由解析式可知，y是x的一次函数，所以D中y是x的函数；
故答案为：B。
【分析】根据函数的定义，分别进行判断，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】∵-3<0，1>0，
∴图像经过一、二、四象限，不经过第三象限.
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的图象与性质解答即可.
3．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】A、根据题意可得：x-1≥0，解得：x≥1，不符合题意，∴A不符合题意；
B、根据题意可得：x-1＞0，解得：x>1，符合题意，∴B符合题意；
C、根据题意可得：x可以取任意实数，∴C不符合题意；
D、根据题意可得：x-1≠0，解得：x≠1，不符合题意，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用分式及二次根式有意义的条件分别列出不等式求出x的取值范围，再判断即可.
4．【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：由题意得水深先快速上升，然后上升的速度减缓，
A、图像表示水的深度先上升后不变，A不符合题意；
B、图像表示水的深度一直以相同的速度上升，B不符合题意；
C、图像表示水的深度变化先快后慢，C符合题意；
D、图像表示水的深度变化先慢后快，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】先根据图片即可判断出水深先快速上升，然后上升的速度减缓，进而逐一对选项进行判断即可求解。
5．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数，不经过第三象限，
∴k＞0，
∴-k＜0，则中y随着x的增大而减小，
∴图像经过第二、四象限.
故答案为：B.
【分析】根据一次函数，不经过第三象限，判断k＞0，据此再判断的图像经过的象限即可.
6．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：甲大巴停留前的平均速度为，故A正确；
甲大巴中途停留了，故B正确；
甲大巴停留后行驶的速度为，达到终点的时间为，
乙大巴行驶的速度为，达到终点的时间为
∴甲大巴比乙大巴先，故C不正确；
甲大巴停留后用追上乙大巴，故D正确；
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的图象，利用路程与时间的关系计算并判断即可．
7．【答案】B
【知识点】一次函数中的动态几何问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了，因而；
②③P在段时，底边不变，高不变，因而面积不变，由图象可知，面积
④根据函数图象可以知：经过了3秒，P运动了，因而；
⑤图2中的Q点表示第8秒时，表示点P到达F点，即可求出是y的值为．
⑥图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，的面积是．
则正确结论是①②③⑥共四个；
故答案为：B．
【分析】根据动点P在GC上运动的时间是2秒，结合动点的速度，求出GC和BC的长，判定①；根据BC和AB的长计算出的面积，判定②③；根据动点P在DE上运动的时间是3秒，结合动点的速度，求DE长，判定④；根据图2中的Q点表示第8秒时，表示点P到达H点，即可得出y的值，判定⑤；根据图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，即可得出的面积，判定⑥。
8．【答案】A
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设直线与y轴交于点D，轴于点E，如图所示．
当时，，
∴点D的坐标为；
当时，，
∴点A的坐标为，
∴点E的坐标为，，
∴，
∴．
同理，可求出另两个三角形的面积均为（阴影部分组成的小三角形），
∴阴影部分面积之和为：．
故答案为：A．
【分析】设直线与y轴交于点D，AE⊥y轴于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A，D的坐标，利用三角形的面积计算公式可求出三角形DAE的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积，据此求解。
9．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、对于，，
的图象必过第一、三象限，A不符合题意；
B、由的图象可知，当时，，
对于 ，，
的图象必过第一、三象限，B不符合题意；
C、由的图象可知，解得，
对于 ，当时，，C不符合题意；
D、由的图象可知，解得，
对于 ，当时，，D符合题意，
故答案为：D.
【分析】对于一次函数y=kx+b，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减少.
10．【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∴，，
∵P、Q运动速度相同，
∴
如图1所示，当点P在上运动，即时，过点Q作于D，
在中，，
∴；
如图2所示，当点P在上，点Q未到C，即时，过点P作于D，
由题意得，，
在中，，
∴；
如图3所示，当点Q到达C点后，即时，
由题意得，
∴；
∴四个选项中只有C选项符合题意，
故答案为：C．
【分析】结合图形，利用勾股定理，锐角三角函数，三角形的面积公式等判断求解即可。
11．【答案】1
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：将x=0代入得，y=-2k+3，
∴B（0，-2k+3），
∴OB=-2k+3，
将y=0代入得，
∴A（，0），
∴OA=
∴，
故答案为：1
【分析】先运用一次函数与坐标轴的交点将x=0和y=0分别代入函数解析式，进而即可求出OB和OA的值，再结合题意即可求解。
12．【答案】1
【知识点】点到直线的距离；一次函数的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵点D为线段AB上的一个动点，点A、B和C固定
∴当CD⊥AB时，CD的值最小
设直线AB的解析式为y=kx（k＞0），将点A和B代入，可得2k=m，-3k=n；
∵AB=10
∴（2+3）2+（m-n）2=102，整理可得（m-n）2=75；
∴k= 3 ，直线AB的解析式为y= 3 x，即 3 x-y=0； ∵CD⊥AB
∴CD==1
故答案为：1.
【分析】根据正比例函数的性质，将点A和B的坐标代入即可得2k=m，-3k=n；根据两点间的距离公式，可得（m-n）2=75，进而可得k的值；根据点到直线的距离公式即可求出CD的最小值.
13．【答案】y＝2x﹣5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】过点C作CEy轴于点E，过点A作ADy轴于点D，如图，
点A的坐标为（1，﹣3），
AD=1，OD=3，
四边形OABC为正方形，
OA=OC，∠AOC=90°，
∠AOD+∠COE=90°，∠AOD+∠OAD=90°，
∠OAD+∠COE，
在△AOD与△OCE中，
AD=OE=1，OD=CE=3，
C（3，1），
将点A，C的坐标代入 y＝kx+b得解得
一次函数解析式为 y＝2x﹣5 ，
【分析】过点C作CEy轴于点E，过点A作ADy轴于点D，先求得AD=1，OD=3，再证明得到AD=OE=1，OD=CE=3，进而得到C（3，1），最后利用待定系数法求得k，b的值，即可求解.
14．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：对于直线，令，则，
解得：，
∴，
∴．
令，则，
∴，
∴，
∴．
由折叠可知，，，
∴．
设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴点，
设直线解析式为：，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
故答案为：．
【分析】利用解析式可求出点A和点B的坐标，根据勾股定理可求出AB的长．设OC=CD=x，根据折叠的性质，利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x，得到点C的坐标，最后用待定系数法求解即可．
15．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线交于点，
∴关于x的不等式的解集是：，
故答案为：.
【分析】根据题目给出的函数图象可知不等式的解集为直线在直线下方的部分，据此即可求解.
16．【答案】（1）3
（2）设图中段与之间的函数表达式为.
根据题意，得解得
∴与之间的函数表达式为.
（3）由题意，得，
解得，
∴苏晓一家从家出发后，离家的距离为.
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知AB段为在高速路上行驶，
行驶的时间为4－1＝3（小时）
故答案为：3.
【分析】（1）根据题意可知AB段为在高速路上行驶，据此填空；
（2）设图中段与之间的函数表达式为，代入AB两点的坐标即可求解；
（3）50＜200＜350，将y=200代入（2）中的函数解析式即可.
17．【答案】（1）②；④；10；5
（2）解：设的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴（），
∴圆柱体浸入水中的高度为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1） 图乙中，点A对应状态②，点B对应状态④，且
故答案为：②，④，10，5.
【分析】（1）由图象可知， 当圆柱体刚要浸入水中时，弹簧测力计的读数由10N开始减小，当圆柱体刚完全浸入水中时，弹簧测力计的读数减小至5N并保持不变，进而即可求解；
（2）设的解析式为，将点A和点B的坐标代入即可求出AB的解析式为，然后令求出h，进而即可求解.
18．【答案】（1）解：∵y＝﹣x+8，当x＝0时，y＝8，
当y＝0时，﹣x+8＝0，
解得x＝6，
∴A（0，8），B（6，0），
∵点M是线段AB的中点，
∴点M（3，4），
∴OM＝=5；
（2）解：①证明：∵AQ∥BP，
∴∠AQM＝BPM，
∵点M是线段AB的中点，
∴AM＝BM，
∵∠AMQ＝∠BMP，
∴△AMQ≌△BMP（ASA），
∴AQ＝BP，
∵AQ∥BP，
∴四边形AQBP是平行四边形；
②解：当AP＝BP时，平行四边形AQBP是菱形，
∵点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，
∴P（m，0）（m＜0），
∵A（0，8），B（6，0），
∴，
∴＝6﹣m，解得m＝﹣，
∴当m＝﹣时，四边形AQBP是菱形；
（3）解：设直线PM的解析式为y＝kx+b，
∵M（3，4），P（m，0）（﹣3≤m≤﹣2），
∴，解得，
∴直线PM的解析式为，
当x＝0时，y＝，
∴C （0，），
∴OC＝，
∴s＝＝2m﹣6，
∵2＞0，
∴s随m的增大而增大，
∵﹣3≤m≤﹣2，
∴当m＝﹣2时，s的最大值为2×（﹣2）﹣6＝﹣10．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；一次函数的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据一次函数的解析式与坐标轴的交点特点求得点A，B的坐标，再利用中点的性质求得点M的坐标，最后利用勾股定理即可求解；（2） ① 先证明 △AMQ≌△BMP ，得到 AQ＝BP， 根据平行四边形的判定定理即可求解；② 根据菱形的判定可得 当AP＝BP时，平行四边形AQBP是菱形， 进而根据点P的横坐标为m，得到 P（m，0）（m＜0）， 结合点A，B的坐标利用勾股定理得到关于m的方程，解方程即可求解；
（3） 设直线PM的解析式为y＝kx+b， 利用待定系数法求得直线PM的解析式进而得到当 x＝0时，y＝， 得到点C的坐标，据此得到OC的值，从而得出 的表达式，最后根据一次函数的性质即可求解.
19．【答案】（1）解：∵点B（m，4）直线l2：y＝2x上，
∴4＝2m，
∴m＝2，
∴点B（2，4），
设直线l1的表达式为y＝kx+b，
将A（﹣6，0），B（2，4）代入得：，
解得，
∴直线l1的表达式为y＝x+3；
（2）解：将x＝0代入y＝x+3，得：y＝3，
∴M（0，3），
∴OM＝3，
∴△BOM的面积＝OM |xB|＝×3×2＝3；
（3）x≥2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（3）将y=4代入 y＝2x 得4=2m，解得m=2，
由图可得 当y1≤y2时，x的取值范围为 x≥2 ，
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2） 将x＝0代入y＝x+3，得：y＝3， 得到点M的坐标，进而得到OM的值，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）先求出m的值，直接观察图象即可求解.
20．【答案】（1）证明：∵四边形OACB是正方形，
∴∠OAP＝∠OBC＝90°，OA＝OB，
由轴对称的性质可知OA＝OA'，∠OA'P＝'OAP＝90°，
∴OA'＝OB，∠OA'D＝∠OBD＝90°，
∵OD＝OD，
∴Rt△A'OD≌Rt△BOD（HL）；
（2）解：连接OD，
∵正方形AOBC的边长为2，点D是BC的中点，
∴．
由折叠的性质可知，OA'＝OA＝2，∠OA'D＝90°．
∴A'D＝1．
设点P（x，2），PA'＝x，PC＝2﹣x，CD＝1．
∴（x+1）2＝（2﹣x）2+12．
解得x＝．
所以P（，2），
∴OP所在直线的表达式是y＝3x；
（3）解：存在．若△DPQ的周长为最小，
即是要PQ+DQ为最小．
∵点D关于x轴的对称点是D'（2，﹣1），
∴设直线PD'的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴直线PD'的函数表达式为．
当y＝0时，x＝．
∴点Q（，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得 ∠OAP＝∠OBC＝90°，OA＝OB， 由 轴对称的性质可知OA＝OA'，∠OA'P＝'OAP＝90°， 最后根据HL即可判定 Rt△A'OD≌Rt△BOD；
（2）先利用勾股定理求得OD的值，再根据折叠的性质得到 OA'＝OA＝2，∠OA'D＝90° ，进而求得 A'D＝1 ， 设点P（x，2），PA'＝x，PC＝2﹣x，CD＝1，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求得x的值，得到点P的坐标，从而求解；
（3） 存在．若△DPQ的周长为最小，即是要PQ+DQ为最小，由轴对称的性质求得 D'（2，﹣1）， 设直线PD'的解析式为y＝kx+b， 利用待定系数法求得 直线PD'的函数表达式 ，再根据 当y＝0时，x＝，即可求解点Q的坐标.
21．【答案】（1）证明：如图：
四边形OABC是矩形，，，
是AC中点，，
在和中，，，
，．
（2）解：，，
四边形AECD是平行四边形，
，．，，
，，，
与m的函数关系式为；
（3）解：点Q坐标为或或
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；数学思想；一次函数的其他应用
【解析】解：（3）①如图：点P在x轴上，，，
设点P标为，则
四边形APQC是矩形
，解得：
平移得到
平移规律是横坐标减2，纵坐标减4，
点平移得到；
②如图：点P在y轴上，设点P坐标为，则
，解得：
平移后得到
平移规律是横坐标减8，纵坐标减16．
平移后得到；
③当点P原点重合时，则点Q点B重合，此时点Q坐标为．
综上所述，点Q坐标为或或
【分析】（1）根据矩形的性质得到AB∥OC，进而得到∠AEF=∠FDC，再根据中点的性质得到AF=CF，然后利用AAS可证，再根据全等三角形的性质即可得到FD=FE；
（2）连接CE，先证四边形AECD是平行四边形，根据OD=m，可得DC=8-m，进而可得，再根据平行四边形的性质可得，从而得到S与m的函数关系式；
（3）分三种情况讨论，①当点P在x轴上，设点P标为，可得PC=8-p，，，根据矩形的性质得到∠PAC=90°，再利用勾股定理建立方程求出p的值，然后根据平移的性质求解即可；②当点P在y轴上，设点P坐标为，则，再根据，建立方程求出p的值，然后根据平移的性质求解即可；③当点P原点重合时，求出点Q坐标即可.
22．【答案】（1）解：在中，当时，，
∴点坐标，
∴，
，
，
∵点B的坐标为，
∴，
∴
∴点的坐标为，
把代入得：，
解得：；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵三角形的面积与四边形的面积之比为，
∴，
设点的横坐标为，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）解：如图（1）所示，当为菱形对角线时，则点M在线段的垂直平分线上，且点M与点N关于对称
∴点M的纵坐标为，
在中，当时，，
∴，
∴
如图（2）所示，当为菱形边时，DM为对角线，设点M坐标为，
由菱形的性质可得，
∴，，
∴，
∴或（舍去），
∴；
当为菱形的边时，OM为对角线，如图，设点M坐标为，
∴，
∴，，
∴，
解得或（舍去），
∴；
综上所述，点N的坐标为或或．
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先求出点坐标，再根据进而求出点E的坐标，最后将点E的代入解析式求出b即可.
（2）先根据梯形面积公式求出四边形的面积，进而求出的面积，最后根据三角形面积公式求出m，进而得到点M的横坐标即可.
（3）分以，，为对角线三种情况进行讨论即可.
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