【精品解析】2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之反比例函数

2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之反比例函数
一、选择题
1．（2023·天津市）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：当y=-2时，，解得：x1=1，
当y=1时，，解得：x2=-2，
当y=2时，，解得：x3=-1，
∵-2＜-1＜1，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象，结合题意求解即可。
2．（2024九下·隆昌月考）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别于交于点，若四边形的面积为12，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：设点D的坐标为，点E的坐标为，则点B的坐标为，
∵M为的中点，
，
又∵反比例函数的图像经过矩形对角线的交点M，
，即，
，
，
，解得：．
故答案为：C．
【分析】设点D的横坐标为m，用含m的代数式表示点D、点E、点B的坐标，根据中点的性质表示出M的坐标点，代入反比例函数解析式可得n=4m，由列方程求出k的值即可．
3．（2024·珠海模拟）如图，直线分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，轴交AB于C，交AB于D，，则k的值为（　　）
A．8 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥y轴，过点C作CF⊥x轴于F，如图，
直线y=x+b中，令x=0，则y=b，
∴
∴
直线y=x+b中，令y=0，则x=-b，
∴
∴
∴
设
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵M在反比例函数图象上，
∴
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥y轴，过点C作CF⊥x轴于F，根据一次函数图象与坐标轴交点的坐标特点求出OA和OB的长度，可得设由点的坐标与等腰直角三角形的性质表示出BD、AC的长度，最后根据即可求解.
4．（2024·浙江模拟）如图，四个边长均为的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图象上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图：
过点D作DE⊥y轴于点E，
由题意得，∠ABF=∠BFC=90°，AB=FC=1，BF=2，AD=3.
∴.
∵∠EDA+∠EAD=∠EAD+∠BAO=90°，∠FBC+∠ABO=∠ABO+∠BAO=90°
∴∠EDA=∠BAO=∠FBC.
∴△EDA∽△FBC∽△OAB.
，.
即，
∴，，
∴，.
∴，
∴点E的坐标为
∴
故答案为：B.
【分析】过点D作DEy轴于点E，由题意可得AB，BF，FC，AD，BC的长，证得△EDA∽△FBC∽△OAB.利用相似三角形的性质可求得ED，AE，OA，OB的长，于是可得点D的坐标，从而可求k值.
5．（2018八下·上蔡期中）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】设OA=3a，则OB=4a，设直线AB的解析式是y=kx+b，则根据题意得：，解得：，则直线AB的解析式是y=﹣x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．根据题意得：，解得：则D的坐标是（，），
OA的中垂线的解析式是x=，则C的坐标是（，），则k=．∵以CD为边的正方形的面积为，∴2（﹣）2=，则a2=，
∴k=×=7．故选D．
【分析】设OA=3a，则OB=4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是y=x，OA的中垂线的解析式是x=，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为，即CD2=，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．
6．（2024九上·长春期末）如图，在平面直角坐标系中，点、都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，作轴于点，连接、，并延长交轴于点若，的面积是，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】根据题意，设 B的坐标为（m，）
即
故选：C
【分析】根据题意设B的坐标，根据已知三角形的面积列出等量关系式，三角形的高即是B的横坐标，可求出三角形的底CE的表达式，根据平行线平分线段成比例定理，由已知AB=2BC的关系式可推导出B的纵坐标和底边CE的比例关系，k值可求。
7．（2023八下·上虞期末）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点A的横坐标为m，
∴A（m，）.
令y=-x+b中的x=m，得-m+b=，
∴b=m+，
∴y=-x+m+.
作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，
设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，
∴S△ADM=2S△OEF.
由对称性可得AD=BC，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM≌△BON，AM=NB=DM=NC，
∴EF=AM=NB，
∴EF为△OBN的中位线，
∴N（2m，0），B（2m，）.
将B（2m，）代入y=-x+m+中可得=-2m+m+，
∴m2=2，
∴m=.
故答案为：B.
【分析】由题意可得A（m，），代入y=-x+b中可得b=m+，则y=-x+m+，作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，推出S△ADM=2S△OEF，由对称性可得AD=BC，OD=OC，AM=NB=DM=NC，进而得到EF为△OBN的中位线，则N（2m，0），B（2m，），然后将点B的坐标代入直线解析式中计算即可.
8．（2023·镇海区模拟）与交于A、B两点，交y轴于点C，延长线交双曲线于点D，若，则为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵与交于A、B两点，
∴设，则，
∴，
∴反比例函数解析式为，
由题意得：，，
∴，即，
设直线BC的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
，解得，，
∴，
过点B作BE⊥y轴，过点D作DF⊥y轴，则BE∥DF，
∴△BEC∽△DFC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
∴（负值舍去），
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数与正比例函数的对称性设，则，根据反比例函数图象上点的坐标特点可得，易得∠AOC=30°，AO=2t，则，设直线BC的解析式为，将点B的坐标代入可求出m的值，从而得到直线BC的解析式，联立直线BC与反比例函数的解析式，求解可得点D的坐标；过点B作BE⊥y轴，过点D作DF⊥y轴，则BE∥DF，推出△BEC∽△DFC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CD，进而根据两点间的距离公式由CD的长建立方程求出t的值，最后再根据两点间的距离公式可算出AD的长.
9．（2023·宁波模拟）如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，，，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记的面积为，若，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N， 设OA=b，OB=a，
四边形ABCD是正方形，
， ，
易证 ≌ ≌ ，
， ，
， ，
点 ， 恰好都落在反比例函数 的图象上，
，
，
，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
可得 ， ，
，
，
，
， ，
， ，
直线 的解析式为 ，
由 ，解得 或 ，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N， 设OA=b，OB=a，易证△AOB≌△BNC≌△DMA，得DM=OA=BN=b，AM=OB=CN=b，从而可用含a、b的式子表示出点C、D的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特点得b（a+b）=a（a+b），据此可得a=b，判断出△BEF是等腰直角三角形，进而可表示出点E、F的坐标，根据三角形的面积计算公式结合三角形BEF的面积建立关于字母a、k方程；再根据点D在反比例函数图象上可得关于字母a、k方程，联立求解可求出a、k的值，从而得出点E、F的坐标，利用待定系数法求出直线EF的解析式，联立两函数解析式求解可得点P的坐标，从而可求出PE的长，最后再根据三角形的面积计算公式即可求出答案.
10．（2023·萧县模拟）如图，在中，平分交于点C，平分交OA于点D，交于点E，反比例函数，经过点E，若，，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点F，于点M，于点N．
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】过点E作于点F，于点M，于点N，先证出，可得，将数据代入求出，利用线段的和差求出ON的长，利用三角形的面积公式求出，再利用反比例函数k的几何意义可得。
二、填空题
11．（2024·余姚模拟）如图，直角坐标系中， AOBC的顶点B在x轴的正半轴上，A，C在第一象限.反比例函数(x>0)的图象经过点A，与BC交于点D，AE⊥x轴于点E，连结DE并延长交AO的延长线于点F，反比例函数(x<0)的图象经过点F﹐连结BF，则△BDF的面积为　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：
过点F作FK⊥x轴于K，过点D作DH⊥x轴于H，
设点A(m，n)，
∵AE⊥x轴，点A在反比例函数(x>0) 的图像上，
∴mn=25，
设，
∴，
即，
∵F在第三象限，
∴，
∴，
∵AE⊥x轴于E，
∴E(m，0)，
设直线EF的表达式为y=kx+b，
将E、F坐标代入得，
即，
∴直线EF的表达式为，
∵点D在直线EF上，且在(x>0) 上，
∴，
即，
∵点D在第一象限，
∴，
∵四边形AOBC为平行四边形，
∴AO//BC，
∴∠AOE=∠DBH，
∵∠AEO=∠DHB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：.
【分析】根据k的几何意义，得到mn=25，，结合F在第三象限，得到F的坐标，设直线EF的表达式为y=kx+b，根据待定系数法得到，得到，再根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质，得到，利用，代入数值进行化简，即可得到答案。
12．（2024九下·深圳期中）如图所示，点A1，A2，A3在x轴上且OA1＝A1A2＝A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线分别与y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为 　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设图中阴影部分的面积从左向右依次为S1，S2，S3，
根据题意得：S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=k，则S1=k，
∵OA1=A1A2=A2A3，A1B1∥A2B2∥A3B3∥y轴，
∴S2：S△OB2C2=1：4，S3：S△OB3C3=1：9，
∴S2=k，S3=k，
∴ 图中阴影部分的面积之和=k+k+k=.
故答案为：.
【分析】先根据反比例函数k的几何意义，可得S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=k，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出三个阴影部分的面积，再相加即可.
13．（2024·深圳模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则　 　．
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：作AF⊥x轴于点F，过AE⊥y轴与点E，如图，
∵正比例函数y=ax ( a>0)的图象与反比例函数(k>0)都关于y=-x对称，且图象交于A， B两点，
∴OA=OB.
S△AOD=S△BOD，S△BOC=S△AOC
∵AC=2AD，S△BCD=18，设点A坐标.
∴，
.
∴.
∵AE⊥y轴，
∴∠DAE=∠DOC=90°，
又∵∠EDA=∠ODC
∴△EDA∽△ODC.
∴，
∴.
∴.
∴，
∴k=2×2=4.
故答案为：4.
【分析】作AF⊥x轴于点F，过AE⊥y轴与点E，根据两个函数的对称性可知OA=OB，则S△AOD=S△BOD，S△BOC=S△AOC，根据AC=2AD，S△BCD=18，可得S△AOD=6，S△COD=9，证明△EDA∽△ODC，利用相似三角形的性质求得，于是可得，根据反比例函数k的几何意义，即可得到k值.
14．（2023·锦江模拟）直线y＝－x＋2a（常数）和双曲线的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝－x＋2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由消去y得到x2-2ax+k=0，
∵直线y=-x+2a，（常数a＞0）和双曲线 的图象有且只有一个交点 ，
∴△=0，即4a2-4k=0，
∴k=a2，
解方程组得，
∴点B（a，a），
令y=0得-x+2a=0，
解得x=2a，
∴A（2a，0）；
过点B作BH⊥OA于点H，交OM于点J，设OM交PB于点k，
∵A（2a，0），B（a，a），
∴OH=BH=AH=a，
∵OM⊥PB，BH⊥OA，
∴∠OHJ=∠BJK=90°，
∵∠OJH=∠BJK，
∴∠HOJ=∠HBP，
又∵∠OHJ=∠BHP=90°，OH=BH，
∴△OHJ≌△BHP（ASA），
∴OJ=PB，JH=PH，∠OJH=∠BPH，AP=BJ，
∵∠AHB=90°，HB=HA，
∴∠PAM=∠JBM=45°，
∵∠BPH=∠APM，∠OJH=∠BJM，
∴∠BJM=∠APM
∴△BJM≌△APM（ASA），
∴BM=AM，∠BMJ=∠AMP，
∴点M，
∴，
设直线OM的解析式为y=kx，则，
∴k=，
∴直线OM的解析式为，
∴J（a，a），
∴JH=PH=a，
∴，
∵∠OHJ=∠OKP=90°，∠HOJ=∠HOP，
∴△OHJ∽△OKP，
∴，即，
解得，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点B作BH⊥OA于点H，交OM于点J，设OM交PB于点k，由直线与双曲线的图象只有一个交点得b2-4ac=0，据此建立方程求出k=a2，从而得x=a，y=a，则点B（a，a），点A（2a，0），用ASA证出△OHJ≌△BHP，得到OJ=PB，JH=PH，∠OJH=∠BPH，AP=BJ，再利用ASA证出△BJM≌△APM，得BM=AM，∠BMJ=∠AMP，点M，用两点间的距离公式表示出BM，利用待定系数法求出直线OM的解析式为，则J（a，a），，证出△OHJ∽△OKP，由相似三角形对应边成比例建立方程可表示出KP，进而根据BK=BP-KP表示出BK，由等角的同名三角函数值相等及正弦函数的定义，由即可得出答案.
15．（2024九下·武侯月考） 如图，直线与x轴，y轴交于A、B两点，C为双曲线上一点，连接、，且交x轴于点M，，若的面积为，则k的值为　 　．
【答案】-8
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥x轴于D，
∵A、B分别是一次函数与x轴、y轴的交点，
∴点B的坐标为（0，2），点A的坐标为（4，0），
∴OB=2，OA=4，
∵∠BOM=∠CDM=90°，∠BMO=∠CMD，
∴△BOM∽△CDM，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∴，
故答案为：-8．
【分析】过点C作CD⊥x轴于D，根据一次函数图象与坐标轴的交点特征求得点A，B的坐标，进而得到OB=2，OA=4，再证明△BOM∽△CDM，利用相似三角形的性质得到，再根据求得AM，OM的值，利用线段的和差求得DM，OD的值，从而得到点C的坐标，从而求得k的值.
三、解答题
16．（2017·深圳）如图一次函数 与反比例函数 交于 、 ，与 轴， 轴分别交于点 ．
（1）直接写出一次函数 的表达式和反比例函数 的表达式；
（2）求证： ．
【答案】（1）解：将A（2，4）代入y=.∴ m=2×4=8.∴ 反比例函数解析式为y=.∴将B（a，1）代入上式得a=8.∴B（8，1）.将A（2，4），B（8，1）代入y=kx+b得：.
∴∴一次函数解析式为：y=-x+5.
（2）证明：由（1）知一次函数解析式为y=-x+5.∴C（10，0），D（0，5）.
如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B作BF⊥x轴于点F.∴E（0，4），F（8，0）.
∴AE=2，DE=1，BF=1，CF=2∴在Rt△ADE和Rt△BCF中，根据勾股定理得：AD==，BC==.∴AD=BC.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理
【解析】【分析】（1）将A（2，4）代入y=求出m得到反比例函数解析式；再将B（a，1）代入得a，将A（2，4），B（8，1）代入y=kx+b得一个二元一次方程组求解即可得一次函数解析式.
（2）由（1）可得C（10，0），D（0，5）；如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B作BF⊥x轴于点F；从而得到E（0，4），F（8，0）；
AE=2，DE=1，BF=1，CF=2在Rt△ADE和Rt△BCF中，根据勾股定理得AD=BC.
17．如图，OA=OB，∠AOB=90°，点A(1，4)，B分别在反比例函数和的图象上.
（1）求 k1，k2的值.
（2）若点 C，D分别在反比例函数和的图象上，且不与点 A，B 重合，则是否存在点 C，D，使得△COD≌△AOB 若存在，请直接写出点 C，D的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，如图：
∵A（1，4）在反比例函数上，
将（1，4）代入得：，解得：；
则AG=1，OG=4；
∵∠AOB=∠AOG+∠BOH=∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠AOG=∠OBH，
∵OA=OB，∠AGO=∠BHO=90°，
∴△AGO≌△OHB（AAS），
∴OH=AG=1，BH=OG=4，
∴B（4，-1），
∵B（4，-1）在反比例函数上，
将（4，-1）代入得：，解得：.
（2）解：存在，理由如下：
如图，
∵△COD≌△AOB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，
∴C（4，1），D（1，-4）.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，根据点A的坐标可得AG=1，OG=4，结合题意，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等得△AGO≌△OHB，由全等三角形的对应边相等可得OH=AG=1，BH=OG=4，求得点B的坐标，根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得OA=OB=OC=OD，即可推得B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，根据关于对称轴对称的点的坐标特征即可求解.
18．（2023·淄博）如图，直线与双曲线相交于点，．
（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；
（3）请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）将代入双曲线，
∴，
∴双曲线的解析式为，
将点代入，
∴，
∴，
将代入，
，
解得，
∴直线解析式为；
（2）∵直线向下平移至，
∴，
设直线的解析式为将点代入
∴解得
∴直线的解析式为
∴
设直线AB交y轴于点H，由(1)得，H(0，4)，
.
（3）由图可知，当或时，
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）先根据点A的坐标，求出m的值，即可得出双曲线的解析式；再根据双曲线的解析式，求得点B的横坐标，再l根据待定系数法，利用A、B两点的坐标，即可求得k，b的值，即可得出直线解析式；
（2）首先根据平移以及点C的坐标，可求出直线CD的解析式，再根据CD的解析式，求得点D的坐标，然后根据直线AB的解析式，求出它与两坐标轴的交点H、F的坐标，从而进一步得出∠HFO的余弦值， 过点作交于， 从而得出∠HDG=∠HFO，在Rt△HDG中，可求得DG的长，再根据A、B的坐标，求得AB的长，根据三角形的面积计算公式，即可得出△ABD的面积；
（3）注意观察图象，即求直线在反比例函数上方时x的范围.
19．（2024·珠海模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集．
（3）设D为线段上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
【答案】（1）解：点在反比例函数图象上，
；
反比例函数解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，解得，
，，
，在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数解析式为：；
（2）解：不等式的解集为或；
（3）解：令中的x=0，则y=-2，
∴，
设点的坐标为，则
，
，
当时，最大值为4，
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）解：由（1）知，，
∴由图象可得不等式的解集为或；
【分析】（1）由点B坐标可得反比例函数解析式，然后由反比例函数解析式求出点A坐标，再利用待定系数法可求得一次函数解析式；
（2）根据点A，B的坐标，找出一次函数在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可；
（3）首先根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出点C的坐标，根据点的坐标与图形的性质，设点的坐标为，则，求出，表示出，然后根据二次函数求最值的方法计算即可．
20．（2023·资阳） 如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，m）和点B，与y轴交于点C．直线x＝4经过点B与x轴交于点D，连结AD．
（1）求k、b的值；
（2）求△ABD的面积；
（3）直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大．
【答案】（1）解：把点A（﹣2，m）、B（4，n）代入y＝得，，
解得m＝2，n＝﹣1，
∴A（﹣2，2），B（4，﹣1），
把A（﹣2，2），B（4，﹣1）代入y＝kx+b（k≠0）中得：
，
解得，
即k的值为，b的值为1；
（2）解：由题意可知D（4，0），
∴△ABD的面积为：＝3；
（3）y＝x+1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）当时，，
，
则设经过点的一次函数解析式为，
随的增大而增大，
，
经过点的一次函数解析式为（答案不唯一）．
【分析】（1）先根据反比例函数图象上的点代入即可得到点A和点B的坐标，进而运用待定系数法即可求出k和b；
（2）根据点D的坐标结合三角形的面积公式即可求解；
（3）先根据一次函数与坐标轴的交点问题即可得到点C的坐标，进而设经过点的一次函数解析式为，再根据一次函数的性质即可求解。
21．（2017·苏州）如图，在 中， ， 轴，垂足为 ．反比例函数 （ ）的图像经过点 ，交 于点 ．已知 ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）连接 ，若 ，求 的长．
【答案】（1）解：过点C作CD⊥AB于E，
因为AC=BC，
所以AE=BE=2，
在Rt△BCE中，CE= ，
则点C的横坐标为4- ，
即C（ ，2）。
将点C（ ，2）代入y= ，得" "k=5。
（2）解：设A点的坐标为（m，0）.
因为BD=BC=
所以AD=
则D，C两点的坐标分别为（m， ），(m- ，2) .
因为点D，C都在y=
的图象上，
所以 ，所以m=6所以点C的坐标为（ ，2）
作CF⊥x轴，垂足为F.在Rt△OCF中，
OC=
.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）求点C的坐标，过点C作CD⊥AB于E，则AE=BE=2，由勾股定理求出CE，则求得点C的坐标，代入反比例函数即可解得；
（2）求点C的坐标，设A点的坐标为（m，0），由BD=BC=，可得D的纵坐标为AD=，则D（m，），C(m-，2) .由点D，C都在y=的图象上，可求出m的值，即而求出点C的坐标，根据勾股定理即可求OC的长。
22．（2016·苏州）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
【答案】解：∵点B（2，n）、P（3n﹣4，1）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，
∴ ．
解得：m=8，n=4．
∴反比例函数的表达式为y= ．
∵m=8，n=4，
∴点B（2，4），（8，1）．
过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．
在△BDP和△BDP′中，
∴△BDP≌△BDP′．
∴DP′=DP=6．
∴点P′（﹣4，1）．
将点P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得： ，
解得： ．
∴一次函数的表达式为y= x+3
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】将点B（2，n）、P（3n﹣4，1）代入反比例函数的解析式可求得m、n的值，从而求得反比例函数的解析式以及点B和点P的坐标，过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．接下来证明△BDP≌△BDP′，从而得到点P′的坐标，最后将点P′和点B的坐标代入一次函数的解析式即可求得一次函数的表达式．本题主要考查的是一次函数和反比例函数的综合应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
1 / 12024年中考数学考前20天终极冲刺专题之反比例函数
一、选择题
1．（2023·天津市）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九下·隆昌月考）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别于交于点，若四边形的面积为12，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024·珠海模拟）如图，直线分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，轴交AB于C，交AB于D，，则k的值为（　　）
A．8 B． C．4 D．
4．（2024·浙江模拟）如图，四个边长均为的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图象上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2018八下·上蔡期中）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
6．（2024九上·长春期末）如图，在平面直角坐标系中，点、都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，作轴于点，连接、，并延长交轴于点若，的面积是，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023八下·上虞期末）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
8．（2023·镇海区模拟）与交于A、B两点，交y轴于点C，延长线交双曲线于点D，若，则为（　　）
A．2 B．3 C． D．
9．（2023·宁波模拟）如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，，，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记的面积为，若，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
10．（2023·萧县模拟）如图，在中，平分交于点C，平分交OA于点D，交于点E，反比例函数，经过点E，若，，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024·余姚模拟）如图，直角坐标系中， AOBC的顶点B在x轴的正半轴上，A，C在第一象限.反比例函数(x>0)的图象经过点A，与BC交于点D，AE⊥x轴于点E，连结DE并延长交AO的延长线于点F，反比例函数(x<0)的图象经过点F﹐连结BF，则△BDF的面积为　 　.
12．（2024九下·深圳期中）如图所示，点A1，A2，A3在x轴上且OA1＝A1A2＝A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线分别与y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为 　 　．
13．（2024·深圳模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则　 　．
14．（2023·锦江模拟）直线y＝－x＋2a（常数）和双曲线的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝－x＋2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则的值为　 　．
15．（2024九下·武侯月考） 如图，直线与x轴，y轴交于A、B两点，C为双曲线上一点，连接、，且交x轴于点M，，若的面积为，则k的值为　 　．
三、解答题
16．（2017·深圳）如图一次函数 与反比例函数 交于 、 ，与 轴， 轴分别交于点 ．
（1）直接写出一次函数 的表达式和反比例函数 的表达式；
（2）求证： ．
17．如图，OA=OB，∠AOB=90°，点A(1，4)，B分别在反比例函数和的图象上.
（1）求 k1，k2的值.
（2）若点 C，D分别在反比例函数和的图象上，且不与点 A，B 重合，则是否存在点 C，D，使得△COD≌△AOB 若存在，请直接写出点 C，D的坐标；若不存在，请说明理由.
18．（2023·淄博）如图，直线与双曲线相交于点，．
（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；
（3）请直接写出关于的不等式的解集．
19．（2024·珠海模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集．
（3）设D为线段上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
20．（2023·资阳） 如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，m）和点B，与y轴交于点C．直线x＝4经过点B与x轴交于点D，连结AD．
（1）求k、b的值；
（2）求△ABD的面积；
（3）直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大．
21．（2017·苏州）如图，在 中， ， 轴，垂足为 ．反比例函数 （ ）的图像经过点 ，交 于点 ．已知 ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）连接 ，若 ，求 的长．
22．（2016·苏州）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：当y=-2时，，解得：x1=1，
当y=1时，，解得：x2=-2，
当y=2时，，解得：x3=-1，
∵-2＜-1＜1，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象，结合题意求解即可。
2．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：设点D的坐标为，点E的坐标为，则点B的坐标为，
∵M为的中点，
，
又∵反比例函数的图像经过矩形对角线的交点M，
，即，
，
，
，解得：．
故答案为：C．
【分析】设点D的横坐标为m，用含m的代数式表示点D、点E、点B的坐标，根据中点的性质表示出M的坐标点，代入反比例函数解析式可得n=4m，由列方程求出k的值即可．
3．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥y轴，过点C作CF⊥x轴于F，如图，
直线y=x+b中，令x=0，则y=b，
∴
∴
直线y=x+b中，令y=0，则x=-b，
∴
∴
∴
设
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵M在反比例函数图象上，
∴
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥y轴，过点C作CF⊥x轴于F，根据一次函数图象与坐标轴交点的坐标特点求出OA和OB的长度，可得设由点的坐标与等腰直角三角形的性质表示出BD、AC的长度，最后根据即可求解.
4．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图：
过点D作DE⊥y轴于点E，
由题意得，∠ABF=∠BFC=90°，AB=FC=1，BF=2，AD=3.
∴.
∵∠EDA+∠EAD=∠EAD+∠BAO=90°，∠FBC+∠ABO=∠ABO+∠BAO=90°
∴∠EDA=∠BAO=∠FBC.
∴△EDA∽△FBC∽△OAB.
，.
即，
∴，，
∴，.
∴，
∴点E的坐标为
∴
故答案为：B.
【分析】过点D作DEy轴于点E，由题意可得AB，BF，FC，AD，BC的长，证得△EDA∽△FBC∽△OAB.利用相似三角形的性质可求得ED，AE，OA，OB的长，于是可得点D的坐标，从而可求k值.
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】设OA=3a，则OB=4a，设直线AB的解析式是y=kx+b，则根据题意得：，解得：，则直线AB的解析式是y=﹣x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．根据题意得：，解得：则D的坐标是（，），
OA的中垂线的解析式是x=，则C的坐标是（，），则k=．∵以CD为边的正方形的面积为，∴2（﹣）2=，则a2=，
∴k=×=7．故选D．
【分析】设OA=3a，则OB=4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是y=x，OA的中垂线的解析式是x=，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为，即CD2=，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】根据题意，设 B的坐标为（m，）
即
故选：C
【分析】根据题意设B的坐标，根据已知三角形的面积列出等量关系式，三角形的高即是B的横坐标，可求出三角形的底CE的表达式，根据平行线平分线段成比例定理，由已知AB=2BC的关系式可推导出B的纵坐标和底边CE的比例关系，k值可求。
7．【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点A的横坐标为m，
∴A（m，）.
令y=-x+b中的x=m，得-m+b=，
∴b=m+，
∴y=-x+m+.
作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，
设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，
∴S△ADM=2S△OEF.
由对称性可得AD=BC，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM≌△BON，AM=NB=DM=NC，
∴EF=AM=NB，
∴EF为△OBN的中位线，
∴N（2m，0），B（2m，）.
将B（2m，）代入y=-x+m+中可得=-2m+m+，
∴m2=2，
∴m=.
故答案为：B.
【分析】由题意可得A（m，），代入y=-x+b中可得b=m+，则y=-x+m+，作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，推出S△ADM=2S△OEF，由对称性可得AD=BC，OD=OC，AM=NB=DM=NC，进而得到EF为△OBN的中位线，则N（2m，0），B（2m，），然后将点B的坐标代入直线解析式中计算即可.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵与交于A、B两点，
∴设，则，
∴，
∴反比例函数解析式为，
由题意得：，，
∴，即，
设直线BC的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
，解得，，
∴，
过点B作BE⊥y轴，过点D作DF⊥y轴，则BE∥DF，
∴△BEC∽△DFC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
∴（负值舍去），
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数与正比例函数的对称性设，则，根据反比例函数图象上点的坐标特点可得，易得∠AOC=30°，AO=2t，则，设直线BC的解析式为，将点B的坐标代入可求出m的值，从而得到直线BC的解析式，联立直线BC与反比例函数的解析式，求解可得点D的坐标；过点B作BE⊥y轴，过点D作DF⊥y轴，则BE∥DF，推出△BEC∽△DFC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CD，进而根据两点间的距离公式由CD的长建立方程求出t的值，最后再根据两点间的距离公式可算出AD的长.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N， 设OA=b，OB=a，
四边形ABCD是正方形，
， ，
易证 ≌ ≌ ，
， ，
， ，
点 ， 恰好都落在反比例函数 的图象上，
，
，
，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
可得 ， ，
，
，
，
， ，
， ，
直线 的解析式为 ，
由 ，解得 或 ，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N， 设OA=b，OB=a，易证△AOB≌△BNC≌△DMA，得DM=OA=BN=b，AM=OB=CN=b，从而可用含a、b的式子表示出点C、D的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特点得b（a+b）=a（a+b），据此可得a=b，判断出△BEF是等腰直角三角形，进而可表示出点E、F的坐标，根据三角形的面积计算公式结合三角形BEF的面积建立关于字母a、k方程；再根据点D在反比例函数图象上可得关于字母a、k方程，联立求解可求出a、k的值，从而得出点E、F的坐标，利用待定系数法求出直线EF的解析式，联立两函数解析式求解可得点P的坐标，从而可求出PE的长，最后再根据三角形的面积计算公式即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点F，于点M，于点N．
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】过点E作于点F，于点M，于点N，先证出，可得，将数据代入求出，利用线段的和差求出ON的长，利用三角形的面积公式求出，再利用反比例函数k的几何意义可得。
11．【答案】
【知识点】反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：
过点F作FK⊥x轴于K，过点D作DH⊥x轴于H，
设点A(m，n)，
∵AE⊥x轴，点A在反比例函数(x>0) 的图像上，
∴mn=25，
设，
∴，
即，
∵F在第三象限，
∴，
∴，
∵AE⊥x轴于E，
∴E(m，0)，
设直线EF的表达式为y=kx+b，
将E、F坐标代入得，
即，
∴直线EF的表达式为，
∵点D在直线EF上，且在(x>0) 上，
∴，
即，
∵点D在第一象限，
∴，
∵四边形AOBC为平行四边形，
∴AO//BC，
∴∠AOE=∠DBH，
∵∠AEO=∠DHB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：.
【分析】根据k的几何意义，得到mn=25，，结合F在第三象限，得到F的坐标，设直线EF的表达式为y=kx+b，根据待定系数法得到，得到，再根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质，得到，利用，代入数值进行化简，即可得到答案。
12．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设图中阴影部分的面积从左向右依次为S1，S2，S3，
根据题意得：S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=k，则S1=k，
∵OA1=A1A2=A2A3，A1B1∥A2B2∥A3B3∥y轴，
∴S2：S△OB2C2=1：4，S3：S△OB3C3=1：9，
∴S2=k，S3=k，
∴ 图中阴影部分的面积之和=k+k+k=.
故答案为：.
【分析】先根据反比例函数k的几何意义，可得S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=k，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出三个阴影部分的面积，再相加即可.
13．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：作AF⊥x轴于点F，过AE⊥y轴与点E，如图，
∵正比例函数y=ax ( a>0)的图象与反比例函数(k>0)都关于y=-x对称，且图象交于A， B两点，
∴OA=OB.
S△AOD=S△BOD，S△BOC=S△AOC
∵AC=2AD，S△BCD=18，设点A坐标.
∴，
.
∴.
∵AE⊥y轴，
∴∠DAE=∠DOC=90°，
又∵∠EDA=∠ODC
∴△EDA∽△ODC.
∴，
∴.
∴.
∴，
∴k=2×2=4.
故答案为：4.
【分析】作AF⊥x轴于点F，过AE⊥y轴与点E，根据两个函数的对称性可知OA=OB，则S△AOD=S△BOD，S△BOC=S△AOC，根据AC=2AD，S△BCD=18，可得S△AOD=6，S△COD=9，证明△EDA∽△ODC，利用相似三角形的性质求得，于是可得，根据反比例函数k的几何意义，即可得到k值.
14．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由消去y得到x2-2ax+k=0，
∵直线y=-x+2a，（常数a＞0）和双曲线 的图象有且只有一个交点 ，
∴△=0，即4a2-4k=0，
∴k=a2，
解方程组得，
∴点B（a，a），
令y=0得-x+2a=0，
解得x=2a，
∴A（2a，0）；
过点B作BH⊥OA于点H，交OM于点J，设OM交PB于点k，
∵A（2a，0），B（a，a），
∴OH=BH=AH=a，
∵OM⊥PB，BH⊥OA，
∴∠OHJ=∠BJK=90°，
∵∠OJH=∠BJK，
∴∠HOJ=∠HBP，
又∵∠OHJ=∠BHP=90°，OH=BH，
∴△OHJ≌△BHP（ASA），
∴OJ=PB，JH=PH，∠OJH=∠BPH，AP=BJ，
∵∠AHB=90°，HB=HA，
∴∠PAM=∠JBM=45°，
∵∠BPH=∠APM，∠OJH=∠BJM，
∴∠BJM=∠APM
∴△BJM≌△APM（ASA），
∴BM=AM，∠BMJ=∠AMP，
∴点M，
∴，
设直线OM的解析式为y=kx，则，
∴k=，
∴直线OM的解析式为，
∴J（a，a），
∴JH=PH=a，
∴，
∵∠OHJ=∠OKP=90°，∠HOJ=∠HOP，
∴△OHJ∽△OKP，
∴，即，
解得，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点B作BH⊥OA于点H，交OM于点J，设OM交PB于点k，由直线与双曲线的图象只有一个交点得b2-4ac=0，据此建立方程求出k=a2，从而得x=a，y=a，则点B（a，a），点A（2a，0），用ASA证出△OHJ≌△BHP，得到OJ=PB，JH=PH，∠OJH=∠BPH，AP=BJ，再利用ASA证出△BJM≌△APM，得BM=AM，∠BMJ=∠AMP，点M，用两点间的距离公式表示出BM，利用待定系数法求出直线OM的解析式为，则J（a，a），，证出△OHJ∽△OKP，由相似三角形对应边成比例建立方程可表示出KP，进而根据BK=BP-KP表示出BK，由等角的同名三角函数值相等及正弦函数的定义，由即可得出答案.
15．【答案】-8
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥x轴于D，
∵A、B分别是一次函数与x轴、y轴的交点，
∴点B的坐标为（0，2），点A的坐标为（4，0），
∴OB=2，OA=4，
∵∠BOM=∠CDM=90°，∠BMO=∠CMD，
∴△BOM∽△CDM，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∴，
故答案为：-8．
【分析】过点C作CD⊥x轴于D，根据一次函数图象与坐标轴的交点特征求得点A，B的坐标，进而得到OB=2，OA=4，再证明△BOM∽△CDM，利用相似三角形的性质得到，再根据求得AM，OM的值，利用线段的和差求得DM，OD的值，从而得到点C的坐标，从而求得k的值.
16．【答案】（1）解：将A（2，4）代入y=.∴ m=2×4=8.∴ 反比例函数解析式为y=.∴将B（a，1）代入上式得a=8.∴B（8，1）.将A（2，4），B（8，1）代入y=kx+b得：.
∴∴一次函数解析式为：y=-x+5.
（2）证明：由（1）知一次函数解析式为y=-x+5.∴C（10，0），D（0，5）.
如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B作BF⊥x轴于点F.∴E（0，4），F（8，0）.
∴AE=2，DE=1，BF=1，CF=2∴在Rt△ADE和Rt△BCF中，根据勾股定理得：AD==，BC==.∴AD=BC.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理
【解析】【分析】（1）将A（2，4）代入y=求出m得到反比例函数解析式；再将B（a，1）代入得a，将A（2，4），B（8，1）代入y=kx+b得一个二元一次方程组求解即可得一次函数解析式.
（2）由（1）可得C（10，0），D（0，5）；如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B作BF⊥x轴于点F；从而得到E（0，4），F（8，0）；
AE=2，DE=1，BF=1，CF=2在Rt△ADE和Rt△BCF中，根据勾股定理得AD=BC.
17．【答案】（1）解：过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，如图：
∵A（1，4）在反比例函数上，
将（1，4）代入得：，解得：；
则AG=1，OG=4；
∵∠AOB=∠AOG+∠BOH=∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠AOG=∠OBH，
∵OA=OB，∠AGO=∠BHO=90°，
∴△AGO≌△OHB（AAS），
∴OH=AG=1，BH=OG=4，
∴B（4，-1），
∵B（4，-1）在反比例函数上，
将（4，-1）代入得：，解得：.
（2）解：存在，理由如下：
如图，
∵△COD≌△AOB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，
∴C（4，1），D（1，-4）.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，根据点A的坐标可得AG=1，OG=4，结合题意，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等得△AGO≌△OHB，由全等三角形的对应边相等可得OH=AG=1，BH=OG=4，求得点B的坐标，根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得OA=OB=OC=OD，即可推得B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，根据关于对称轴对称的点的坐标特征即可求解.
18．【答案】（1）将代入双曲线，
∴，
∴双曲线的解析式为，
将点代入，
∴，
∴，
将代入，
，
解得，
∴直线解析式为；
（2）∵直线向下平移至，
∴，
设直线的解析式为将点代入
∴解得
∴直线的解析式为
∴
设直线AB交y轴于点H，由(1)得，H(0，4)，
.
（3）由图可知，当或时，
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）先根据点A的坐标，求出m的值，即可得出双曲线的解析式；再根据双曲线的解析式，求得点B的横坐标，再l根据待定系数法，利用A、B两点的坐标，即可求得k，b的值，即可得出直线解析式；
（2）首先根据平移以及点C的坐标，可求出直线CD的解析式，再根据CD的解析式，求得点D的坐标，然后根据直线AB的解析式，求出它与两坐标轴的交点H、F的坐标，从而进一步得出∠HFO的余弦值， 过点作交于， 从而得出∠HDG=∠HFO，在Rt△HDG中，可求得DG的长，再根据A、B的坐标，求得AB的长，根据三角形的面积计算公式，即可得出△ABD的面积；
（3）注意观察图象，即求直线在反比例函数上方时x的范围.
19．【答案】（1）解：点在反比例函数图象上，
；
反比例函数解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，解得，
，，
，在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数解析式为：；
（2）解：不等式的解集为或；
（3）解：令中的x=0，则y=-2，
∴，
设点的坐标为，则
，
，
当时，最大值为4，
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）解：由（1）知，，
∴由图象可得不等式的解集为或；
【分析】（1）由点B坐标可得反比例函数解析式，然后由反比例函数解析式求出点A坐标，再利用待定系数法可求得一次函数解析式；
（2）根据点A，B的坐标，找出一次函数在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可；
（3）首先根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出点C的坐标，根据点的坐标与图形的性质，设点的坐标为，则，求出，表示出，然后根据二次函数求最值的方法计算即可．
20．【答案】（1）解：把点A（﹣2，m）、B（4，n）代入y＝得，，
解得m＝2，n＝﹣1，
∴A（﹣2，2），B（4，﹣1），
把A（﹣2，2），B（4，﹣1）代入y＝kx+b（k≠0）中得：
，
解得，
即k的值为，b的值为1；
（2）解：由题意可知D（4，0），
∴△ABD的面积为：＝3；
（3）y＝x+1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）当时，，
，
则设经过点的一次函数解析式为，
随的增大而增大，
，
经过点的一次函数解析式为（答案不唯一）．
【分析】（1）先根据反比例函数图象上的点代入即可得到点A和点B的坐标，进而运用待定系数法即可求出k和b；
（2）根据点D的坐标结合三角形的面积公式即可求解；
（3）先根据一次函数与坐标轴的交点问题即可得到点C的坐标，进而设经过点的一次函数解析式为，再根据一次函数的性质即可求解。
21．【答案】（1）解：过点C作CD⊥AB于E，
因为AC=BC，
所以AE=BE=2，
在Rt△BCE中，CE= ，
则点C的横坐标为4- ，
即C（ ，2）。
将点C（ ，2）代入y= ，得" "k=5。
（2）解：设A点的坐标为（m，0）.
因为BD=BC=
所以AD=
则D，C两点的坐标分别为（m， ），(m- ，2) .
因为点D，C都在y=
的图象上，
所以 ，所以m=6所以点C的坐标为（ ，2）
作CF⊥x轴，垂足为F.在Rt△OCF中，
OC=
.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）求点C的坐标，过点C作CD⊥AB于E，则AE=BE=2，由勾股定理求出CE，则求得点C的坐标，代入反比例函数即可解得；
（2）求点C的坐标，设A点的坐标为（m，0），由BD=BC=，可得D的纵坐标为AD=，则D（m，），C(m-，2) .由点D，C都在y=的图象上，可求出m的值，即而求出点C的坐标，根据勾股定理即可求OC的长。
22．【答案】解：∵点B（2，n）、P（3n﹣4，1）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，
∴ ．
解得：m=8，n=4．
∴反比例函数的表达式为y= ．
∵m=8，n=4，
∴点B（2，4），（8，1）．
过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．
在△BDP和△BDP′中，
∴△BDP≌△BDP′．
∴DP′=DP=6．
∴点P′（﹣4，1）．
将点P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得： ，
解得： ．
∴一次函数的表达式为y= x+3
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】将点B（2，n）、P（3n﹣4，1）代入反比例函数的解析式可求得m、n的值，从而求得反比例函数的解析式以及点B和点P的坐标，过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．接下来证明△BDP≌△BDP′，从而得到点P′的坐标，最后将点P′和点B的坐标代入一次函数的解析式即可求得一次函数的表达式．本题主要考查的是一次函数和反比例函数的综合应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
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