泉州五中2023-2024学年第二学期期中考试卷
高一数学
一 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选 多选 错选均不得分）
1. 若直线平面，直线，则（ ）
A. B. 与异面 C. 与相交 D. 与没有公共点
【答案】D
【解析】
【分析】若直线平面，直线，则或与异面，然后可分析出答案.
【详解】若直线平面，直线，则或与异面，故与没有公共点
故选：D
【点睛】本题考查的是空间中点、线、面的位置关系，较简单.
2. 已知复数在复平面内所对应的点分别为，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的几何意义和复数的模长公式求解即可.
【详解】由复数的几何意义可得，
所以.
故选：A.
3. 已知的内角的对边分别是，若，则（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由同角的三角函数关系求出，根据正弦定理求得，（R为外接圆半径），再根据正弦定理边化角，即可求得答案.
【详解】因为，所以，
在中，由正弦定理（R为外接圆半径），
则.
故选：D.
4. 已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先计算，再代入向量夹角公式计算即可.
【详解】，
所以，
故选：B
5. 由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为，腰长为，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由正弦定理求出直观图的，再由斜二测画法规则求出到轴的距离即可.
【详解】
如图，过点作′轴，交′轴于点，
在中，，，，
由正弦定理得，
于是得，且原图中即为到轴的距离，
由斜二测画法规则知，在原平面图形中，顶点到轴的距离是.
故选：D.
6. 一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（ ）
A. 正西方向 B. 南偏西方向 C. 南偏西方向 D. 南偏西方向
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正确答案.
【详解】如图，中，，由正弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以解得，
由正弦定理得，故或，
因为，故为锐角，所以，
此时灯塔位于游轮的南偏西方向.
故选：C
7. 在中，若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理将化简为，从而可求解.
【详解】由，得，
由余弦定理得，化简得，
当时，即，则为直角三角形；
当时，得，则为等腰三角形；
综上：为等腰或直角三角形，故D正确.
故选：D.
8. 已知平面向量满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设，由设在直线上，由得，进而得出在以为圆心，1为半径的圆上，将的最小值转化为圆上点到直线上点距离的最小值即可求解.
【详解】
建立平面直角坐标系，设，由，不妨设，
又，不妨设在直线上，又可得，即，
则，设，则，则，即，则在以为圆心，1为半径的圆上；
又，则的最小值等价于的最小值，即以为圆心，1为半径的圆上一点
到直线上一点距离的最小值，即圆心到直线的距离减去半径，即，则的最小值是.
故选：D.
【点睛】本题关键点在于建立坐标系后设，由得出在直线上，再由得在以为圆心，1为半径的圆上，进而转化为圆上点到直线上点距离的最小值求解即可.
二 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得0分）
9. 记的内角的对边分别为，已知，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 一定是钝角三角形
D. 若，则的面积是
【答案】AC
【解析】
【分析】由，可表示出三边，根据正弦定理以及余弦定理，结合三角形的面积公式，可得答案.
【详解】由已知可设，
则，
，，故A正确；
又，
又，
为钝角三角形，，故B不正确，C正确；
若，则，
又，，故D不正确．
故选：AC.
10. 已知在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与是异面直线
B. 直线与是平行直线
C. 三棱锥的体积为
D. 平面将正方体分为两个部分，其中较小部分的体积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用异面直线的定义可判断A选项；利用反证法结合面面平行的性质，可判断B选项；求出三棱锥的体积，可判断C选项；分析出平面截正方体所得截面图形为梯形，较小部分为三棱台，计算出其体积，可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为平面，平面，平面，
且，由异面直线的定义可知，直线与是异面直线，故A正确；
对于B选项，假设直线与是平行直线，则四点共面，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
又因为，所以，，这与矛盾，
假设不成立，故与不平行，故B错误；
对于C选项，正方体的棱长为2，
所以
即三棱锥的体积为，故C正确；
对于D选项，连接，
在正方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
因为分别为、的中点，
所以，且，
故且，故四点共面，
所以，平面截正方体所得截面图形为梯形，
将正方体分成两部分，其中较小部分为三棱台，
所以，
，
故D正确.
故选：ACD.
11. 在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是（ ）
A. 在复平面内表示一个圆
B. 若，则方程无解
C. 若虚数，且，则
D. 复数满足，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知条件，理解的意义，结合复数的几何意义，模长计算，逐一判断即可.
【详解】A：根据已知条件表示模长为1，在复平面位于轴上方的复数，所以并不是一个圆，故A错误；
B：若，则方程为一个实数，所以无解，故B正确；
C：若为虚数，且，设，则，
所以，所以，故C正确；
D：设，
根据复数的新定义有，
所以，且，
所以，
所以是，
所以，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于对的理解.
三 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量，，则，则实数________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据向量坐标运算求，结合向量平行坐标表示求.
【详解】因，，
所以，
因为，
所以，
解得，
故答案为：.
13. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】将直三棱柱补成长方体，计算出长方体的体对角线长，可得出球的半径，利用球的体积公式计算可得结果.
【详解】在直三棱柱中，，
将直三棱柱补成长方体，如下图所示：
所以，球的直径为，
可得，
因此，球的体积为.
故答案为：.
14. 记的内角的对边分别为.已知，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先用倍角公式，弦化切，两角和的正切展开式求出，再利用正弦定理将所求分式化为，然后构造函数，利用二次函数的性质求出结果即可.
【详解】因为，
所以，
即，①
因为，
所以，
对①整理后得，
所以，
因为，所以，
因为，，
所以，解得，又由正弦定理边角互化可得
，
令，
因为，所以，
所以，
则，
所以，
令，
因为的对称轴为，开口向上，
所以在区间上为增函数，
又，，
所以的取值范围为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键是正弦定理边角互化，再构造二次函数求值域即可.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 已知是复数，与均为实数.
（1）求；
（2）若复数是方程的一个解，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由复数的运算结合复数的几何意义即可求解；
（2）将复数代入方程，再由几何意义求出，求出最后结果即可.
【小问1详解】
设，
则为实数，
所以，
为实数，
所以，
所以，
所以.
【小问2详解】
因为复数是方程的一个解，
代入可得，
整理可得，
解得
所以.
16. 记锐角的内角的对边分别为.向量，，且.
（1）求角；
（2）已知点为所在平面内的一点，
（i）若点满足，且，求的值；
（ii）若点为内切圆圆心，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）由向量垂直的坐标表示和正、余弦定理计算即可；
（2）（i）由和平面向量的线性运算和数量积运算可得，从而得到为三角形的外心，再由正弦定理即可求解；（ii）由题得分别为的平分线，从而得，设，则，再利用正弦定理和三角恒等变换可得，最后求出值域即可.
【小问1详解】
因为，
所以，
由正弦定理可得，
由余弦定理有，
因为，所以.
【小问2详解】
（i）因为，
所以，
即，
所以，即为三角形的外心，
由正弦定理可得，
；
（ii）因为点为内切圆圆心，
所以分别为的平分线，
所以，
因为是锐角三角形，则,所以，
所以设，,
则，
所以，即，
，
，
在中，由正弦定理有，
所以，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围为.
17. 在中，为边上一点.
（1）若，
（i）若，求；
（ii）求证：；
（2）若的面积为，求的最小值.
【答案】（1）（i）；（ii）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）在中，根据余弦定理求出长，进而算出，，同理算出和，然后利用两角差得正弦公式算出的值；
（ii）分别在和中利用正弦定理列式，结合化简整理，即可推导出成立；
（2）根据数量积的定义算出，由的面积为算出，由可得，然后利用向量的模的公式与基本不等式加以计算，可得的最小值.
小问1详解】
（i）因为，，，
所以，
可得，则，
由，可得，
所以，则，
所以；
（ii）在中，由正弦定理得，
结合，得①，
同理，在中，，
因为，所以，
所以②，
用②式除以①式，可得，原等式成立；
【小问2详解】
设，，则，
根据题意，的面积，解的，
由点在边上，且，得，
因此，当且仅当时取等；
所以当，时，取得最小值为，即的最小值为.
18. 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．
（1）求该烟花的体积；
（2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，在弧上，在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（），
①请用表示燃料的体积；
②若烟花燃烧时间和燃料体积满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据球，圆台，圆锥的体积公式运算即可；
（2）①利用角度关系结合三角函数表示出矩形的边长，从而求出圆柱体的体积；
②将体积代入关系式中并化简，解得：，然后结合复合函数和基本不等式将等式转化求解；
【小问1详解】
该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成，
又，，，
所以该烟花的体积；
（2）①由图可知：，，
在梯形中，由，，
易知，故，
则，
所以；
【小问2详解】
由上问可知：
即
，
令，则，
上式即为，
又令，，则，
当时，，
当时，，
当时，
当且仅当，即，即时，等号成立，满足题意．
该烟花燃烧的最长时间为．
【点睛】本题第二问题目难度较大，将等式转化成，然后结合基本不等式二次转化成是本题的难点和突破点；
19. 设非零向量，并定义
（1）若，求；
（2）写出之间的等量关系，并证明；
（3）若，求证：集合是有限集.
【答案】（1）
（2），证明见详解
（3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据所给定义即可求解，进而根据模长公式即可求解，
（2）根据所给定义以及模长公式即可求解，
（3）利用（2）的结论可得，进而可设，根据定义即可结合和差角的公式化简求解.
【小问1详解】
因为，依题意得，所以，
即，所以.
【小问2详解】
的等量关系是.
证明如下：
依题意得，
所以.
因为，所以
即，
所以，
故.
【小问3详解】
由（2）及得.依此类推得，
设，
则.
依题意得，
，
，
所以.
同理得，
，
，
.
所以.
综上，集合是有限集.泉州五中2023-2024学年第二学期期中考试卷
高一数学
一 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选 多选 错选均不得分）
1. 若直线平面，直线，则（ ）
A. B. 与异面 C. 与相交 D. 与没有公共点
2. 已知复数在复平面内所对应的点分别为，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
3. 已知的内角的对边分别是，若，则（ ）
A. B. C. 2 D. 3
4. 已知向量，则（ ）
A B. C. D.
5. 由斜二测画法得到一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为，腰长为，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴的距离是（ ）
A. B. C. D.
6. 一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（ ）
A. 正西方向 B. 南偏西方向 C. 南偏西方向 D. 南偏西方向
7. 在中，若，则形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
8. 已知平面向量满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得0分）
9. 记的内角的对边分别为，已知，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 一定是钝角三角形
D. 若，则的面积是
10. 已知在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与是异面直线
B. 直线与是平行直线
C. 三棱锥的体积为
D. 平面将正方体分为两个部分，其中较小部分的体积为
11. 在复数域内，大小成为了没有意义量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是（ ）
A. 在复平面内表示一个圆
B. 若，则方程无解
C. 若为虚数，且，则
D. 复数满足，则的取值范围为
三 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量，，则，则实数________.
13. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的体积为__________.
14. 记的内角的对边分别为.已知，则的取值范围为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 已知是复数，与均为实数.
（1）求；
（2）若复数是方程的一个解，求的值.
16. 记锐角的内角的对边分别为.向量，，且.
（1）求角；
（2）已知点为所在平面内一点，
（i）若点满足，且，求的值；
（ii）若点为内切圆圆心，求的取值范围.
17. 在中，为边上一点.
（1）若，
（i）若，求；
（ii）求证：；
（2）若的面积为，求的最小值.
18. 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．
（1）求该烟花的体积；
（2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，在弧上，在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（），
①请用表示燃料的体积；
②若烟花燃烧时间和燃料体积满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间．
19. 设非零向量，并定义
（1）若，求；
（2）写出之间的等量关系，并证明；
（3）若，求证：集合是有限集.
