(共15张PPT)
第一章 三角形的证明
第10课 角平分线的性质与判定
(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
(2)几何语言:如图,∵AP平分∠BAC,PB⊥AB,PC⊥AC,
∴____________.
角平分线的性质
PB＝PC
1 母题演变
(教材P30)如图,在△ABC中,D是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:BE＝CF.
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED＝∠CFD＝90°.
又∵AD平分∠BAC,∴DE＝DF.∵D是BC的中点,∴BD＝CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴BE＝CF.
2 变式训练
如图,BD是△ABC中∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.若DE＝3,AB＝7,BC＝9,求△ABC的面积.
解:∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE＝DF＝3.
∴S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝AB·DE＋BC·DF＝×7×3＋×9×3＝24.
(1)角平分线的判定:在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
(2)几何语言:如图,∵PB⊥AB,PC⊥AC,____________,
∴AP平分∠BAC.
角平分线的判定
PB＝PC
3 经典例题
如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE＝CF.求证:AD平分∠BAC.
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC.∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵D是BC的中点,∴BD＝CD.
在Rt△BED和Rt△CFD中,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL).∴DE＝DF.
∴AD平分∠BAC.
4 变式训练
如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E,且DE＝DC.若∠A＝40°,求∠DBC的度数.
解:∵∠C＝90°,∴DC⊥BC.
又∵DE⊥AB,DE＝DC,∴BD平分∠ABC.
∴∠DBC＝∠ABC.
∵∠A＝40°,∠C＝90°,
∴∠ABC＝50°.∴∠DBC＝×50°＝25°.
1.如图,在△ABC中,∠C＝90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,且DE＝3 cm,BC＝8 cm,则 BD＝___cm.
基础过关
5
2.(2022·北京)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC＝2,DE＝1,则S△ACD＝___.
1
3.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD,AD过点P,且与AB垂直.若AD＝8,则点P到BC的距离是___.
4
4.如图,已知∠AOB＝30°,P是∠AOB平分线上一点,CP∥OB,交OA于点C,PD⊥OB,垂足为D,且PC＝4,则PD＝___.
2
5.如图,OC是∠AOB的平分线,AC⊥OB于点D,BC⊥OA于点E.求证:AC＝BC.
能力过关
证明:∵OC是∠AOB的平分线,AC⊥OB,BC⊥OA,
∴CD⊥OB,CE⊥OA.∴CE＝CD,∠AEC＝∠BDC＝90°.
在△AEC和△BDC中,
∴△AEC≌△BDC(ASA).∴AC＝BC.
6.如图,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF＝PG,DF＝EG.求证:OC是∠AOB的平分线.
证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDF＝∠PEG＝90°.
在Rt△PFD和Rt△PGE中,
∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL).∴PD＝PE.
又∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴OC是∠AOB的平分线.
7.【推理能力】(2023·惠州二模)如图,CB＝CD,∠D＋∠ABC＝180°,CE⊥AD于点E.
(1)求证:AC平分∠DAB;
证明:如图,过C点作CF⊥AB,交AB的延长线于点F.
又∵CE⊥AD,∴∠DEC＝∠BFC＝90°.
∵∠D＋∠ABC＝180°,∠CBF＋∠ABC＝180°,∴∠D＝∠CBF.
在△CDE和△CBF中,
∴△CDE≌△CBF(AAS).∴CE＝CF.∴AC平分∠DAB.
能力过关
(2)若AE＝10,DE＝4,求AB的长.
解:由(1)可得BF＝DE＝4.
在Rt△ACE和Rt△ACF中,
∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL).
∴AE＝AF＝10.∴AB＝AF－BF＝6.(共15张PPT)
第一章 三角形的证明
第9课 三角形三边垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于______,并且这一点到三个顶点的距离______.
三角形三边垂直平分线的性质
一点
相等
1母题演变
(教材P24)如图,在△ABC中,边AB,BC的垂直平分线相交于点P.
(1)求证:AP＝BP＝CP.
证明:∵点P在边AB的垂直平分线上,
∴AP＝BP.同理可得BP＝CP.
∴AP＝BP＝CP.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上 由此你还能得出什么结论
解:点P在边AC的垂直平分线上.理由如下:
∵AP＝CP,
∴点P在边AC的垂直平分线上.
结论:三角形三条边的垂直平分线一定交于一点,且这一点到三角形三个顶点的距离相等.
2 变式训练
在联欢晚会上,三名同学站在一个非等边三角形的三个顶点A,B,C位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个凳子,谁先抢到凳子谁获胜.为使游戏公平,凳子(用点P表示)应放在哪个位置 请用尺规作图找出点P.
解:如图,点P放在AB,BC的垂直平分线交点处.
与垂直平分线有关的作图
3母题演变
(教材P26)如图,已知线段a,求作以a为底边、以a为高的等腰三角形,这个等腰三角形有什么特征
解:如图,△ABC即为所求.△ABC为等腰直角三角形.
4 变式训练
如图,已知直线l和点P,用尺规作l的垂线,使它经过点P.
解:如图,直线PQ即为所求.
1.(2023·佛山期中)三条公路将A,B,C三个村庄连成一个如图的三角形区域,如果在这个区域内修建一个公园,要使公园到三个村庄的距离相等,那么这个公园应建的位置是△ABC的( )
A.三条高线的交点 B.三边垂直平分线的交点
C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点
基础过关
B
2.如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN,直线MN与AB相交于点D,连接CD.若AB＝3,BC＝1,则△BCD的周长为___.
4
3.【应用意识】如图所示,村庄A,B分别在笔直公路l的两侧.一辆汽车在公路l上行驶,汽车在什么位置时到A,B两村庄的距离相等 请找出这个点,无需说明理由,保留作图痕迹.
解:如图所示,点C即为所求.
4.已知:线段a,如图.求作△ABC,使∠A＝90°,AB＝AC,BC＝a.(保留作图痕迹,不写作图过程)
解:如图所示,△ABC即为所求.
5.在△ABC内找一点P,使点P到A,B两点的距离相等,并且点P到点C的距离等于线段AC的长.
能力过关
解:如图所示,点P即为所求.
6.如图,O为△ABC三边垂直平分线的交点,若∠OAB＝30°,∠OBC＝20°,则∠OCA＝______.
40°
7.已知:如图,在△ABC中,∠C＝120°.
(1)作出边AC的垂直平分线DE,与AC,AB分别交于点D和点E;
思维过关
解:如图所示,DE即为所求.
(2)若AE＝BC,求∠A的度数.
解:如图,连接CE.
∵DE是AC的垂直平分线,∴AE＝CE.∴∠A＝∠ACE.
∵AE＝BC,∴BC＝CE. ∴∠B＝∠CEB.设∠A＝x,则∠B＝∠CEB＝∠A＋∠ACE＝x＋x＝2x.
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝x＋2x＋120°＝180°.解得x＝20°.∴∠A＝20°.(共16张PPT)
第一章 三角形的证明
第8课 线段垂直平分线的性质与判定
(1)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离______.
(2)几何语言:如图,∵CD是AB的垂直平分线,
∴PA＝______,QA＝______.
线段的垂直平分线的性质
相等
PB
QB
1 经典例题
如图,在△ABC中,直线CD是线段AB的垂直平分线,垂足为D.
(1)AD＝______,∠ADC＝∠BDC＝____°,
AC＝______;
BD
90
BC
(2)若AD＝4,AC＝5,求△ABC的周长.
解:∵CD是AB的垂直平分线,AD＝4,AC＝5,
∴DB＝AD＝4,BC＝AC＝5.
∴△ABC的周长为AD＋DB＋BC＋AC＝4＋4＋5＋5＝18.
2 变式训练
如图,在△ABC中,DE垂直平分BC,垂足为E,交AC于点D,连接BD.若∠A＝100°,∠ABD＝22°,求∠C的度数.
解:∵DE垂直平分BC,∴DB＝DC.∴∠DBC＝∠C.
∵∠A＝100°,∠ABD＝22°,
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝122°.
∵∠DBC＋∠C＋∠BDC＝180°,
∴∠C＝＝29°.
(1)到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的____________上;
(2)几何语言:如图,∵____________,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
线段的垂直平分线的判定
垂直平分线
PA＝PB
3 经典例题
如图,∠1＝∠2,∠3＝∠4.求证:AC垂直平分BD.
证明:在△ABC和△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(ASA).
∴AB＝AD,CB＝CD.
∴点A,C在线段BD的垂直平分线上.
∴AC垂直平分BD.
4 变式训练
如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,D是AB上一点,BD＝BC,过点D作AB的垂线交AC于点E.求证:BE垂直平分CD.
证明:∵∠ACB＝90°,DE⊥AB,
∴∠ACB＝∠BDE＝90°.
在Rt△BDE和Rt△BCE中,
∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL).∴ED＝EC.
∵ED＝EC,BD＝BC,∴BE垂直平分CD.
1.如图,AC＝AD,BC＝BD,则有( )
A.AB垂直平分CD
B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
基础过关
A
2.如图,△ABC中,∠C＝90°,ED垂直平分AB.若AC＝12,EC＝5,则BE的长为( )
A.5 B.10
C.12 D.13
D
3.如图,线段AC,AB的垂直平分线交于点O.已知OC＝2 cm,则OB等于( )
A.1 cm B.2 cm
C.3 cm D.4 cm
B
4.如图,点E是△ABC的边AB的延长线上一点,∠BCE＝∠A＋∠ACB.求证:点E在BC的垂直平分线上.
证明:∵∠EBC＝∠A＋∠ACB,∠BCE＝∠A＋∠ACB,
∴∠BCE＝∠EBC.
∴CE＝BE.
∴点E在BC的垂直平分线上.
5.如图,△ABC中,D点在BC上,且BD的中垂线与AB相交于点E,CD的中垂线与AC相交于点F.已知△ABC的三个内角皆不相等,则下列结论正确的是( )
A.∠1＝∠3,∠2＝∠4
B.∠1＝∠3,∠2≠∠4
C.∠1≠∠3,∠2＝∠4
D.∠1≠∠3,∠2≠∠4
能力过关
C
6.(2023·广州增城区一模)如图,已知AB＝AC,DB＝DC,P是AD上一点.求证:∠ABP＝∠ACP.
证明:如图,连接BC.
∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD＝CD,
∴AD是线段BC的垂直平分线.
∴PB＝PC.∴∠PBC＝∠PCB.
∴∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB.
∴∠ABP＝∠ACP.
7.【几何直观、推理能力】如图,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分AC和BC,分别交AB于M,N两点,DM与EN的延长线相交于点F.
(1)若△CMN的周长为15 cm,求AB的长;
思维过关
解:∵DM,EN分别垂直平分AC和BC,∴AM＝CM,BN＝CN.
∴△CMN的周长为CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.
又∵△CMN的周长为15 cm,∴AB＝15 cm.
(2)若∠MFN＝70°,求∠MCN的度数.
解:∵∠MFN＝70°,∴∠NMF＋∠MNF＝180°－70°＝110°.
∵∠AMD＝∠NMF,∠BNE＝∠MNF,
∴∠AMD＋∠BNE＝∠NMF＋∠MNF＝110°.
∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝180°－(∠AMD＋∠BNE)＝180°－110°＝70°.
∵AM＝CM,BN＝CN,∴∠A＝∠ACM,∠B＝∠BCN.
∴∠MCN＝180°－∠A－∠B－∠ACM－∠BCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝180°－2×70°＝40°.(共17张PPT)
第一章 三角形的证明
第5课 等边三角形的判定
(1)三边相等的三角形是等边三角形;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
等边三角形的判定
1 母题 演变
(教材P12)如图,△ADE是等边三角形,BC∥DE,分别交边AD,AE的延长线于点B,C,则△ABC是等边三角形吗 试说明理由.
解:△ABC是等边三角形.理由如下:
∵△ADE是等边三角形,
∴∠ADE＝∠AED＝∠A＝60°.
∵DE∥BC,
∴∠B＝∠ADE＝60°,∠C＝∠AED＝60°.
∴△ABC是等边三角形.
2 变式训练
如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,∠C＝30°,AD＝AB.求证:△ABD是等边三角形.
证明:∵∠BAC＝90°,∠C＝30°,
∴∠B＝60°.
∵AD＝AB,
∴△ABD是等边三角形.
(1)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于____________.
(2)几何语言:
如图,在△ABC中,
∵∠C＝90°,∠A＝30°,∴BC＝______.
含30°角的直角三角形的性质
斜边的一半
AB
3 母题演变
(教材P12)如图,在△ABC中,∠BCA＝90°,∠A＝30°,CD⊥AB于点D.求证:BD＝AB.
证明:∵∠A＝30°,∠BCA＝90°,
∴BC＝AB,∠B＝60°.∵CD⊥AB,∴∠CDB＝90°.
∴∠BCD＝90°－∠B＝30°.∴BD＝BC.
∴BD＝×AB＝AB.
4 变式训练
如图,树AB垂直于地面.为测树高,小明在C处测得∠ACB＝15°,他沿CB方向走了20 m,到达D处,测得∠ADB＝30°.你能帮助小明计算出树的高度吗
解:∵∠ADB＝30°,∠ACB＝15°,
∴∠CAD＝∠ADB－∠ACB＝30°－15°＝15°.
∴∠CAD＝∠ACB.∴AD＝CD＝20 m.
又∵∠ABD＝90°,∴AB＝AD＝×20＝10(m).
∴树的高度为10 m.
1.下列三角形中,不一定是等边三角形的是( )
A.有两个角等于60°的三角形
B.有一个外角等于120°的等腰三角形
C.三个角都相等的三角形
D.一边上的高也是这边中线的三角形
基础过关
D
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠A＝30°,AB＝4,CD⊥AB于点D,E是AB的中点,则DE的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
A
3.如图①,衣架杆OA＝OB＝18 cm(O为衣架的固定点);如图②,若衣架收拢时,∠AOB＝60°,则此时A,B两点之间的距离是( )
A.9 cm B.9 cm
C.18 cm D.18 cm
图① 图②
C
4.如图为一个等腰三角形模型的示意图,它的顶角为120°,腰长为
12 m,则底边上的高是( )
A.4 m B.6 m
C.10 m D.12 m
B
5.(2023·清远佛冈县期中)已知:如图,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使AD＝BE＝CF.求证:△DEF是等边三角形.
能力过关
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB＝BC＝AC,∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵AD＝BE＝CF,∴AF＝BD＝CE.
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS).∴DF＝ED＝FE.
∴△DEF是等边三角形.
6.如图,在△ABC中,AB＝AC,∠C＝30°,AB⊥AD,AD＝4.求:
(1)BD的长;
解:∵AB＝AC,∠C＝30°,
∴∠B＝∠C＝30°.
∵AB⊥AD,
∴∠BAD＝90°.
∴BD＝2AD＝2×4＝8.
(2)BC的长.
解:∵∠BAD＝90°,∠B＝30°,
∴∠ADB＝60°.
∴∠DAC＝60°－∠C＝30°.
∴DC＝AD＝4.
∴BC＝BD＋DC＝8＋4＝12.
7.如图,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝120°,AD⊥AB交BC于点D,AE⊥AC交BC于点E.求证:△ADE是等边三角形.
思维过关
证明:∵AB＝AC,∠BAC＝120°,∴∠B＝∠C＝30°.
∵AD⊥AB,AE⊥AC,∴∠BAD＝∠CAE＝90°.
∴∠ADB＝∠AEC＝60°.
∴∠EAD＝180°－60°－60°＝60°.
∴△ADE是等边三角形.
8.如图,已知D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F为垂足,且BE＝CF,∠BDE＝30°.求证:△ABC是等边三角形.
证明:∵D是BC的中点,∴BD＝CD.∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△BED和△CFD都是直角三角形.
又∵BE＝CF,由勾股定理,得DE＝DF.
∴△BED≌△CFD(SSS).∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.
∵∠BDE＝30°,DE⊥AB,∴∠B＝60°.
∴△ABC是等边三角形.(共17张PPT)
第一章 三角形的证明
第4课 等腰三角形的判定
(1)有两个角______的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”);
(2)几何语言:如图,在△ABC中,
∵∠B＝∠C,∴____________.
等腰三角形的判定
相等
AB＝AC
1 母题演变
(教材P8)如图,AC与BD相交于点O,AD＝BC,AC＝BD.求证:△OAB是等腰三角形.
证明:在△ADB和△BCA中,
∴△ADB≌△BCA(SSS).∴∠DBA＝∠CAB.
∴OB＝OA.∴△OAB是等腰三角形.
2 变式训练
如图,在△ABC中,AB＝AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,且BE＝CF,BD＝CE.求证:△DEF是等腰三角形.
证明:∵AB＝AC,∴∠B＝∠C.
在△DBE和△ECF中,
∴△DBE≌△ECF(SAS).∴DE＝EF.
∴△DEF是等腰三角形.
3 母题演变
(教材P9)如图,CE平分∠ACB,EF∥BC交AC于点F.求证:△FEC是等腰三角形.
证明:∵CE平分∠ACB,
∴∠FCE＝∠BCE.∵EF∥BC,
∴∠FEC＝∠BCE.
∴∠FCE＝∠FEC.
∴FC＝FE.
∴△FEC是等腰三角形.
4 变式 训练
如图,直线AB∥CD,若∠1＝60°,∠2＝30°,求证:△FCE是等腰三角形.
证明:∵AB∥CD,
∴∠DFE＝∠1＝60°.
又∵∠2＝30°,
∴∠CEF＝∠DFE－∠2＝60°－30°＝30°.
∴∠2＝∠CEF.∴CF＝EF.
∴△FCE是等腰三角形.
反证法:在证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.
反证法
5 经典例题
(2023·茂名茂南区期中)在△ABC中,∠B≠∠C,求证:AB≠AC.用反证法证明时,第一步应先假设这个三角形中( )
A.∠B＝∠C B.∠A＝∠B
C.AB＝BC D.AB＝AC
D
6 变式 训练
等腰三角形的底角必为锐角.用反证法证明,第一步是假设__________________________________.
等腰三角形的两底角都是直角或钝角
1.(2023·衡阳)我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”.假设三角形没有一个内角小于或等于60°,即三个内角都大于60°,则三角形的三个内角的和大于180°,这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾,所以在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是( )
A.反证法 B.比较法 C.综合法 D.分析法
基础过关
A
2.(2023·广东模拟)如图,在△ABC中,点E在BC上,点D在AE上,且∠ABD＝∠ACD.若补充一个条件,可以使 BE＝CE,则可以补充的条件为___________________________________.(填写“E为BC中点”不得分)
AE是∠BAC的平分线(答案不唯一)
3.如图,BD是△ABC的角平分线,∠ABD＝36°,∠C＝72°.求证:△ABC是等腰三角形.
证明:∵BD是△ABC的角平分线,∠ABD＝36°,
∴∠ABC＝2∠ABD＝72°.
∵∠C＝72°,∴∠ABC＝∠C.
∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形.
4.【几何直观、应用意识】如图,已知OC是∠AOB的平分线,将直尺DEMN如图摆放,使EM边与OB边重合,顶点D落在OA边上,DN边与OC交于点P.
(1)猜想:△DOP是______三角形;
等腰
(2)证明你的猜想.
证明:∵OC是∠AOB的平分线,
∴∠DOP＝∠BOP.
∵DN∥EM,
∴∠DPO＝∠BOP.
∴∠DOP＝∠DPO.
∴OD＝PD.∴△DOP是等腰三角形.
5.(2023·河源期末)如图,在△ABC中,AB＝AC,点M在CA的延长线上,MN⊥BC于点N,交AB于点O.若AO＝3,BO＝4,则MC的长度为( )
A.12 B.9
C.10 D.11
能力过关
C
6.如图,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足,连接EF交AD于点G.求证:AD垂直平分EF.
证明:∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠EAD＝∠FAD,∠AED＝∠AFD＝90°.
又∵AD＝AD,
∴△AED≌△AFD(AAS).
∴AE＝AF.∴△AEF是等腰三角形.
∵AD是∠BAC的平分线,∴AD垂直平分EF.
7.如图,在△ABC中,∠BAC＝90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC交AD于点F,交AC于点E.求证:△AEF为等腰三角形.
思维过关
证明:∵∠BAC＝90°,AD⊥BC,
∴∠BAD＋∠CAD＝90°,∠CAD＋∠C＝90°.∴∠BAD＝∠C.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABF＝∠CBE.
∵∠AFE＝∠ABF＋∠BAD,∠AEF＝∠CBE＋∠C,
∴∠AFE＝∠AEF.∴AF＝AE.∴△AEF为等腰三角形.
