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期末重难点真题特训之易错必刷题型（99题33个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
易错必刷题一、同底数幂的乘法
1．（2024·河北邯郸·二模）若，则（ ）．
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的应用等知识点，根据题意利用同底数幂乘法法则运算即可得解，熟练掌握同底数幂乘法法则是解决此题的关键．
【详解】由题意知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
2．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知，，则 ．
【答案】10
【分析】根据，结合，，计算即可，本题考查了同底数幂的乘法的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】，
∵，，
∴，
故答案为：10．
3．（23-24六年级下·山东济南·期中）定义一种新运算“*”： ，比如：．
(1)求的值；
(2)已知，请根据上述运算，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了新定义运算，同底数幂的乘法，负整数指数幂的意义，解一元一次方程，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
（1）根据“”列式计算即可；
（2）根据新定义列出方程，再根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可．
【详解】（1）原式；
（2）由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
易错必刷题二、幂的乘方与积的乘方
1．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）计算：的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂相乘以及积的乘方的逆运用，先整理原式得，再结合积的乘方的逆运用进行运算，即可作答．
【详解】解：
2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）已知，，其中m、n均为正整数，则的结果为 ．（用含a，b的式子表示）
【答案】/
【分析】本题考查的是同底数幂乘法运算及其逆运算，幂的乘方运算及其逆运算，掌握以上知识是解题的关键．将变形为，然后再把，代入即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
3．（23-24七年级下·河北唐山·期中）（1）计算：
（2）已知，，求的值；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）8
【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方以及逆运用、幂的乘方以及逆运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简积的乘方，幂的乘方，再运算同底数幂相乘，最后合并同类项，即可作答．
（2）先整理，再代入，，即可作答．
（3）先整理以及，再把代入，进行运算，即可作答．
【详解】解：（1）
；
（2）；
（3）∵
∴
．
易错必刷题三、同底数幂的除法
1、（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了同底数指数幂的除法和幂的乘方．先根据同底数指数幂的除法和幂的乘方可得，将，代入即可求解．
【详解】解：
，
，，
，
故选：B．
2．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知：，，的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了同底数幂的除法，整体代入法求代数式的值，由，，得，利用底数幂的除法法则即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·山东济南·期中）“已知，，求的值．”对于这个问题，我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，可得，所以，所以．
请利用这样的思考方法解决下列问题．已知，，求下列代数的值：
(1)___________，___________；
(2)；
(3)．
【答案】(1)36，12
(2)24
(3)
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
（1）逆向运用幂的乘方运算法则计算即可；
（2）逆向运用同底数幂的乘法公式计算即可；
（3）逆向运用同底数幂的除法公式计算即可．
【详解】（1）解：，，
；；
故答案为：36；12；
（2）解：，，
∴；
（3）解：，，
∴．
易错必刷题四、科学记数法
1．（23-24七年级下·四川成都·期中）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有kg左右，用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键．
【详解】∵，
故选C．
2．（23-24七年级下·江西鹰潭·期中）太钢不锈钢精密带钢有限公司生产的“手撕钢”宽米、厚米（毫米），广泛应用于航空航天、新能源、通信等高精尖端设备制造行业，至今保持世界最宽、最薄“手撕钢”记录．用科学记数法表示应为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故答案为：．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式，可以方便地表示绝对值较大的数或较小的数.请看下面用科学记数法解决实际问题的实例．科学研究发现，与我们日常生活密不可分的一个水分子的质量大约是0.00000000000000000000000003kg．
(1)用科学记数法表示此数；
(2)6g水中大约有多少个水分子？
(3)通过进一步研究科学家发现：一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子构成的．已知氧原子的质量约为.求一个氢原子的质量．
【答案】(1)；
(2)个；
(3)kg
【分析】（1）根据科学记数法的表示方法解答即可；
（2），再除以（1）题的结果求解即可；
（3）用一个水分子的质量减去一个氧原子的质量，再除以2即可求解．
【详解】（1）
（2）因为，
所以水中大约有水分子：（个）
（3）一个氢原子的质量为：．
【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算，涉及科学记数法、负整数指数幂的运算等知识，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是关键．
易错必刷题五、整式乘法
1．（23-24六年级下·山东烟台·期中）下列算式正确的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了单项式乘以单项式、积的乘方、同底数幂的乘除法等知识，分别进行单项式乘以单项式、积的乘方、同底数幂的乘除法等运算，然后选出正确选项即可．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选D．
2．（23-24六年级下·山东烟台·期中）若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查多项式乘多项式，代数式求值．掌握多项式乘多项式法则是解题关键．根据多项式乘多项式法则可求出和的值，进而即可求解．
【详解】解：∵
∴
解得：
∴，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了整式的乘法运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（1）首先计算积的乘方、幂的乘方，然后计算同底数幂乘法，求出算式的值是多少即可；
（2）首先计算多项式乘多项式、单项式乘多项式，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
易错必刷题六、已知多项式乘积不含某项求字母的值
1．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如果计算的结果不含项，那么的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键．先计算单项式乘以多项式，再结合项的系数为零即可得出答案．
【详解】解：∵
，
又∵计算的结果不含项，
∴．
∴．
故选D．
2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据展开后不含有一次项，即含一次项的系数为0进行求解即可．
【详解】解：
，
∵关于的多项式展开后不含有一次项，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读材料：
在学习多项式乘以多项式时，我们知道的展开结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为． 那么一次项是多少呢？
要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数． 通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为．
参考材料中用到的方法，解决下列问题：
(1)求展开所得多项式中的一次项系数；
(2)已知展开所得多项式中不含x的二次项，求a的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】
本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，列出相应的算式．
（1）根据题干中提供的方法求出展开所得多项式中的一次项系数即可；
（2）根据提供提供的方法列出关于a的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：一次项系数为．
（2）
解：由题意，得二次项系数为：
，
解得，
即a的值为2．
易错必刷题七、化简求值
1．（23-24六年级下·山东烟台·期中）若，则的值为（ ）
A． B．9 C． D．不确定
【答案】C
【分析】本题主要考查代数式求值，把变形为，再把变形为，然后整体代入计算即可
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故选：C
2．（23-24七年级下·山东聊城·期中）如果，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·河北保定·期中）先化简再求值：
(1)，其中．
(2)，其中，．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了多项式乘多项式的化简求值：
（1）先去括号，再合并可化简，再将代入原式即可求解；
（2）先去括号，再合并可化简，再将，代入原式即可求解；
熟练掌握多项式乘多项式的混合运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
，
当时，原式．
（2）原式
2，
当，时，
原式．
易错必刷题八、平方差公式
1．（23-24六年级下·山东济南·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】A． ，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B． ，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
C． ，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D． ，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）已知：且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式，相反数定义等知识，由条件，利用平方差公式得到即可得到答案，熟记平方差公式是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
，
，则，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如图1所示，边长为的正方形中存一个边长为的小正方形，如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示______；______；写出上述过程所揭示的等式：______．（用含有，b的式子表示）
(2)试利用这个公式化简：
【答案】(1)；；
(2)
【分析】本题考查的是平方差公式的几何应用，平方差公式的应用，熟练的推导平方差公式与运用平方差公式解决问题是关键．
（1）图①阴影部分的面积等于大的正方形的面积减去小的正方形面积，图②阴影部分的面积为长方形的面积，从而可得答案；
（2）把式子前面乘以，再利用平方差公式依次从左至右的进行计算即可．
【详解】（1）解：图1中阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，即，
图2中的阴影部分面积等于长为，宽为的长方形面积，即，
∵图1和图2中的阴影部分面积相等，
∴，
故答案为：；；；
（2）解：
．
易错必刷题九、完全平方公式
1．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）计算：的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：，
故选：C．
2．（23-24七年级下·四川成都·期中）当是一个完全平方式，则k的值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．根据完全平方式的特点求解即可.
【详解】解：若是一个完全平方式，
则，
解得或，
故答案为：或．
3．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，，
所以，
所以，
所以．
根据上面的解题思路与方法，解答下列问题：
(1)若，，求的值．
(2)如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)12；
(2)5．
【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．
（1）根据完全平方公式变形即可求解；
（2）由正方形，三角形的面积，利用完全平方公式求出，即可求解．
【详解】（1）
∴
．
（2），
，
阴影的面积．
易错必刷题十、整式的除法
1．（23-24七年级下·广西崇左·期中）对于任意的整数n，能整除代数式的整数是（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】C
【分析】此题考查了整式的除法，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式利用平方差公式化简，去括号合并后即可作出判断．
【详解】解：原式
，
则对于任意的整数，能整除代数式的整数是．
故选：C
2．（23-24七年级下·广东清远·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据运算法则计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
3．（23-24六年级下·山东烟台·期中）已知，A是一个多项式，单项式B为，小明计算的结果为
(1)请求出多项式A；
(2)请计算的结果；
(3)若，求出多项式A的值．
【答案】(1)
(2)
(3)7
【分析】本题考查了多项式与单项式的除法，整式的加减，整体代入法求代数式的值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）用除以即可；
（2）把A，B代入，去括号合并同类项即可；
（3）用整体代入法求解即可．
【详解】（1）由题意得：
所以多项式A为
（2）
所以的结果为
（3）因为，
所以，
所以，
所以
所以多项式A的值为7．
易错必刷题十一、两条直线的位置关系
1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线，相交于点O，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，对顶角相等的性质，先根据对顶相等求出，再根据角平分线的定义求出，再根据垂线的定义求出，即可求解，根据已知条件结合图形分析是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
2、（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，直线，相交于点，，平分，，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查角平分线的定义、垂线的定义及几何图形中的角度计算，熟练掌握角平分线的定义，正确找出图中各角的和差关系是解题关键．根据及角平分线的定义可得出，根据，结合角的和差关系即可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
3．（内蒙古自治区呼和浩特市第三十中学、蒙古族学校2023-2024学年七年级下学期5月期中考试数学试题）如图，直线相交于点O，平分，．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了邻补角的定义，有关角平分线的计算：
（1）根据题意可得，再由邻补角的定义可得，然后根据角平分线的定义，即可求解；
（2）根据题意可设，从而得到，再由邻补角的定义可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴可设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴．
易错必刷题十二、同位角、内错角、同旁内角
1、（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线，，相交于点，直线与相交，则和的位置关系是（ ）
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
【答案】B
【分析】本题考查了“三线八角”，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的图形特征是解题的关键．
结合图形，根据同位角、内错角、同旁内角的概念进行判断即可．
【详解】根据题意可得，和的位置关系是同位角．
故选：B．
2．（23-24七年级下·甘肃武威·阶段练习）在如图所示的6个角中，同位角有 对，它们是 ；内错角有 对，它们是 ；同旁内角有 对，它们是 ．
【答案】 2 与，与 2 与，与 4 与，与，与，与
【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角，根据同位角，内错角，同旁内角的定义解题即可．同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角
【详解】解：在如图所示的6个角中，同位角有2对，它们是与，与,内错角有2对，它们是与,与；同旁内角有4对，它们是与，与，与，与．
故答案为：2；与，与；2； 与，与；4；与，与，与，与.
3．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图所示，
(1)和是 、 被 所截得的 角．
(2)和∠ 是、被 所截得的内错角．
(3)∠ 和∠ 是、被所截而成的同旁内角．
(4)∠ 和∠ 是、被所截得的内错角．
【答案】(1)；；；同位
(2)；
(3)；
(4)；
【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的特征是解题的关键．
（1）根据同位角的特征，即可解答；
（2）根据内错角的特征，即可解答；
（3）根据同旁内角的特征，即可解答；
（4）根据内错角的特征，即可解答．
【详解】（1）解：和是、被所截得的同位角，
故答案为：；；；同位；
（2）解：和是、被所截得的内错角，
故答案为：；；
（3）解：和是、被所截而成的同旁内角，
故答案为：；；
（4）解：和是、被所截得的内错角，
故答案为：；．
易错必刷题十三、平行公理
1．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．若， ，则； B．若与相交，与相交，则与相交；
C．相等的角是对顶角； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【答案】A
【分析】本题考查了平行的传递性、平行线的性质，对顶角，熟练掌握知识点解答本题的关键．
根据平行的传递性可判断A；根据两直线的位置关系可判断B；根据对顶角的性质可判断C；根据平行线的性质可判断D．
【详解】解：A、根据平行的传递性可知A正确，故本选项符合题意；
B、若与相交，与相交，则与可能相交或平行，故本选项不符合题意；
C、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故本选项不符合题意；
D、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．（22-23七年级下·上海·期中）同一平面内三条直线a、b、c，若，，则a与c的关系是： ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了平行线的判定：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，易错点是未根据题意进行画图解答．根据平行线的判定：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，可知直线a与直线c的关系是平行．
【详解】解：在同一平面内，，，
．
故答案为：．
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）直线a∥b，b∥c，直线d与a相交于点A.
(1)判断a与c的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与d的位置关系，并说明理由．
【答案】 （1）a与c的位置关系是平行，理由详见解析；（2）c与d的位置关系是相交，理由详见解析.
【分析】（1）根据平行线的性质去解答即可（2）根据两直线的位置关系去解答即可.
【详解】(1)a与c的位置关系是平行，
理由是：∵直线a∥b，b∥c，∴a∥c；
(2)c与d的位置关系是相交，
理由是：∵c∥a，直线d与a相交于点A，
∴c与d的位置关系是相交．
【点睛】此题重点考查学生对平行线的性质，两直线的位置关系的理解，掌握平行线的性质和两直线的位置关系是解题的关键.
易错必刷题十四、平行线的性质
1．（重庆市七校联盟2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）已知：如图，直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点落在直线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平角定义求出的度数，再根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：如图：
，，
，
，
，
故选：A．
2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图是小颖同学劳动节前夕，在街上拍到的路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，则∠3的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过顶点O作直线，直线l将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过顶点O作直线，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知直线，，且，，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了两直线平行内错角相等等知识，根据平行的性质可得，进而可得，问题随之得解．
【详解】∵，，
∴．
∵，．
∴，
∴．
易错必刷题十五、用尺规作角
1．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交于点，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角．由作图可知：，进而可得答案．
【详解】解：由作图可知：，
∴，
故选：D．
2．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，，，根据图中尺规作图的痕迹，可知的度数为 ．
【答案】/35度
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，利用作图得到，利用角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：由作图可知：，
∵，，
∴，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·宁夏中卫·期中）已知如图、，请你利用尺规作图作，使．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查作图—基本作图，根据作一个角等于已知角的尺规作图求解即可．解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图．
【详解】解：如图所示，
即为所求．
易错必刷题十六、用表格表示的变量间关系
1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）某数学兴趣小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如下数据：
支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70
小车下滑时间 423 300 245 213 189 171 159
根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是（ ）
A．支撑物的高度为时，小车下滑的时间为
B．支撑物的高度h越大，小车下滑时间越少
C．若小车下滑的时间为，则支撑物的高度在至之间
D．若支撑物的高度每增加，则对应的小车下滑时间的变化情况都相同
【答案】D
【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格中的数据进行逐一判断即可．
【详解】解：A、由表格可知，支撑物的高度为时，小车下滑的时间为，原说法正确，不符合题意；
B、由表格可知，支撑物的高度h越大，小车下滑时间越少，原说法正确，不符合题意；
C、由表格可知，若小车下滑的时间为，则支撑物的高度在至之间，原说法正确，不符合题意；
D、由表格可知，若支撑物的高度每增加，则对应的小车下滑时间的变化情况都不相同，原说法错误，符合题意；
故选：D．
2．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料，已知某种材料的导热率与温度的关系如下表：
温度 100 150 200 250 300
导热率 …
根据表格中两者的对应关系，若该材料的导热率为，则温度为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，观察表格可知，温度每上升，导热率增加，据此求解即可．
【详解】解：观察表格可知，温度每上升，导热率增加，
∴若该材料的导热率为，则温度为，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）为保证游泳池水质的清洁，游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水930立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时70立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水也随之减少，它们的变化情况如下表：
放水时间（t）/时 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水量（V）/立方米 860 720 650 510 440
(1)在这个变化过程中，反应的是哪两个变量之间的关系，其中自变量是什么，因变量是什么？
(2)请将上述表格补充完整；
(3)在游泳池的水放完之前，说一说这两个变量之间的关系．
【答案】(1)反映的是放水时间和游泳池的存水量之间的关系，其中自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量
(2)790；580
(3)随着放水时间的增加，游泳池的存水量逐渐减少（答案不唯一）
【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系：
（1）直接根据表格作答即可；
（2）根据表格可知，放水时间每增加1小时，游泳池的存水量减少70立方米，补全表格即可；
（3）根据两个量的变化情况进行说明即可．
【详解】（1）解：由题意，可知：反映的是放水时间和游泳池的存水量之间的关系，其中自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量；
（2）由表格可知：，
∴放水时间每增加1小时，游泳池的存水量减少70立方米，
∴小时，游泳池的存水量为立方米，5小时，游泳池的存水量为立方米；
填表如下：
放水时间（t）/时 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水量（V）/立方米 860 790 720 650 580 510 44
（3）由表格可知：随着放水时间的增加，游泳池的存水量逐渐减少．
易错必刷题十七、用关系式表示的变量间关系
1．（23-24八年级下·河北唐山·期中）已知等腰三角形的周长为20，那么底边长y与腰长x之间的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查用函数关系式表示变量之间的关系，根据等腰三角形的周长公式求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选C．
2．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）一辆汽车加满油后，油箱中有汽油50升，汽车行驶时正常的耗油量为每千米升，则加满油后，油箱中剩余的汽油量y（升）关于已行驶的里程的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了列关系式，用50减去行驶的里程乘以每公里的油耗即可得到答案．
【详解】解；由题意得，，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·山西晋中·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地势的上升而降低这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象．下面是小明对某地某一时刻距离地面的高度 与温度 测量得到的表格．
距离地面高度(千米)
温度(℃)
请回答下列问题：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
(2)与之间的关系式是 ．
(3)你能估计温度为时，距离地面的高度是多少吗
【答案】(1)上表反映了温度和距离地面高度之间的关系，距离地面高度是自变量，温度是因变量
(2)
(3)温度为时，距离地面的高度是千米
【分析】本题考查函数的定义，表格表示函数关系，求函数值；
（1）根据函数的定义即可求解；
（2）由表格可知当高度每上升时，温度下降，然后计算即可；
（3）将代入解析式，即可求解．
【详解】（1）解：上表反映了温度和距离地面高度之间的关系，距离地面高度是自变量，温度是因变量.
（2）根据表格数据知当高度每上升时，温度下降，
∴；
（3）将代入 ，
可得：，
解得 ，
答：温度为时，距离地面的高度是千米．
易错必刷题十八、用图象表示的变量间关系
1．（23-24八年级下·河北沧州·期中）如图，四幅图像分别表示变量之间的关系，请按图像的顺序，将下面的四种情境与之对应排序．
a．运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）；
b．一辆汽车在平直的公路上匀速运动（汽车行驶路程与时间的关系）；
c．一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）；
d．小明从A地到B地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回（小明离A地的距离与时间的关系）．
正确的顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数的图象，应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况作出选择．根据函数图象的特点：①是抛物线图象；②是一次函数图象；③是分段函数图象；④是正比例函数图象，进行判断即可．
【详解】解：a：运动员推出去的铅球的运动轨迹是抛物线，即①所显示的图形；
b：一辆汽车在平直的公路上匀速运动是过原点的直线，即④所显示的图象；
c：一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加，弹簧的长度会随着所挂重物的质量的增加而变长，因为弹簧伸长的长度是在原有弹簧长度的基础上变化的，即②所显示的图象；
d：小明从A地到B地这一过程，小明离A地的距离会随着时间的增长而增加；在“停留一段时间”这个过程中，小明离A地的距离不会变化；在“原速度原路返回”的过程中，小明离A地的距离会随着时间的增长而减小，一直到回到原地，即③所显示的图象．
故选：D．
2．（23-24七年级·辽宁丹东·期中）如图是小乐从学校到家里行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，从中得到如下信息：
①学校离小乐家1000米； ②小乐用了20分钟到家；
③小乐前10分钟走了路程的一半； ④小乐后10分钟比前10分钟走得快，
其中正确的有 （填序号）．
【答案】①②/②①
【分析】根据观察函数图象的横坐标、纵坐标，可得答案．
【详解】解：①由图象的纵坐标可以看出，学校离小乐家1000米，故①正确；
②由图象的横坐标可以看出，小乐用了20分钟到家，故②正确；
③由图象的纵坐标可以看出，小乐前10分钟走的路程较多，故③错误；
④由图象的纵坐标可以看出，小乐后10分钟比前10分钟走得慢，故④错误；
故填：①②．
【点睛】本题考查了用图象表达变量之间的关系，观察图象的横坐标、纵坐标，能从图象识别信息是解题的关键．
3．（23-24七年级下·宁夏中卫·期中）小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回到家，他描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）．
(1)图象表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)10时和13时，他分别离家多远？
(3)他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(4)10时到12时他行驶了多少千米？
(5)他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？
【答案】(1)表示了时间、距离的关系，自变量是时间，因变量是距离
(2)10时距离家15千米，13时距离家30千米
(3)他到达离家最远的地方是12时~13时，离家30千米
(4)15千米
(5)15千米/小时
【分析】此题考查图象表示变量之间的关系，解题关键在于看懂图中数据．
（1）根据图象，可得自变量、因变量；
（2）根据图象的纵坐标，可得答案；
（3）根据图象的横坐标、纵坐标，可得答案；
（4）根据图象的横坐标，可得纵坐标，根据纵坐标相减，可得答案；
（5）根据图象的横坐标，可得回家用的时间，由路程除以时间即可得到答案．
【详解】（1）解：由图象可知，表示了时间、距离的关系，自变量是时间，因变量是距离；
（2）由图象可知，10时距离家15千米，13时距离家30千米；
（3）由图象可知，他到达离家最远的地方是12时~13时，离家30千米；
（4）由图象可知，10时到12时他行驶了千米
（5）由图象可知，他由离家最远的地方返回的平均速度是：千米/小时．
易错必刷题十九、三角形三边关系
1、（23-24七年级下·河北张家口·期中）三边长度都是整数的三角形称为整数边三角形，若一个三角形的最长边长为8，则满足条件的整数边三角形共有（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．20个
【答案】D
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，分当第二长的边为8时，当第二长的边为7时，当第二长的边为6时，当第二长的边为5时，四种情况根据三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边求出第三边的长即可得到答案．
【详解】解：当第二长的边为8时，则最短的边可以为1或2或3或4或5或6或7或8，此时有8种情况满足题意；
当第二长的边为7时，则最短的边可以为 2或3或4或5或6或7，此时有6种情况满足题意；
当第二长的边为6时，则最短的边可以为或3或4或5或6，此时有4种情况满足题意；
当第二长的边为5时，则最短的边可以为4或5，此时有2种情况满足题意；
∴共有中情况满足题意，
故选；D．
2．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）已知的三条边长均为整数，其中两边长分别是2和5，第三边长为奇数，则此三角形的周长为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，根据三角形三边之间的关系，得出第三边的取值范围，再根据题意即可得出第三边的长度，最后求出周长即可．解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【详解】解：∵其中两边的长分别为2和5，
∴第三边，即第三边，
∵的三边长均为整数，且第三边长为奇数，
∴第三边的长度为：5，
∴这个三角形的周长为：．
故答案为：12．
3．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）已知，，．
(1)若为3，
①则______；
②若边的长为整数，则的周长最大值是______；
(2)若，求的面积S（用m的代数式表示）
【答案】(1)①1；②13；
(2)
【分析】本题考查整式的加减运算，三角形三边关系，整式的乘法运算：
（1）①根据为3列出关于m的方程，解方程即可；②根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得出的最大值，即可求解；
（2）根据三角形面积公式及整式的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：①为3，
，
；
②，
，，
，
，即，
的长为整数，
长的最大值为6，
的周长最大值是：，
故答案为：①1；②13；
（2）解：．
易错必刷题二十、根据三角形中线求长度、面积
1．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图所示，在中，已知点、、分别是、、的中点，且的面积为64，则的面积是（ ）．
A．18 B．16 C．14 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形得出，，，再根据的面积即可求出的面积，从而求出的面积．
【详解】解：点是的中点，
，，
点是的中点，
，
，
的面积为64，
，
，
点是的中点，
，
故选：B．
2．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，、都是的中线，连接，的面积是，则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，两次利用该定理即可求得结果．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵是的中线，
∴为的中线，
即，
故答案为：．
3．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，是的高，是的角平分线，F是中点，．
(1)求的度数；
(2)若与的周长差为3，，则 ．
【答案】(1)
(2)10
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高．
（1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可；
（2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：是的高，
，
，
，
是的角平分线，，
，
；
（2）解：是中点，
，
与的周长差为3，
，
，
，
，
故答案为：10．
易错必刷题二十一、三角形的外角
1．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，直线，的顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，，则的度数是（ ）
A．18° B．20° C．28° D．30°
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质和内角和定理，掌握相关的知识是解题的关键．
根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得，根据内角和定理可得，根据角的和差求解即可．
【详解】∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
2．（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，在中，，的平分线，交于点，为的外角的平分线，的延长线交于点，，则的大小为 ．（用含的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，先证明，，再结合三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解： ，的平分线，交于点，
，
为的外角的平分线，
，
∵，，
∴；
故答案为：
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，，，，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．设，根据外角性质依次得出、、、，由可得关于的方程，解之即可得．
【详解】解：设，
则，
，
，
，且，
，
解得：，
．
易错必刷题二十二、图形的全等
1．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．全等三角形的周长和面积不相等
【答案】C
【分析】根据全等的概念，逐一判断即可解答．
【详解】解：形状相同且大小相同的两个三角形全等，故A错误；
面积相等的两个三角形不一定全等，故B错误；
完全重合的两个三角形全等，故C正确；
全等三角形的周长和面积相等，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的概念，全等三角形的形状和大小相同，熟知全等图像的概念是解题的关键．
2．（2024八年级·全国·竞赛）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形．
下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ．
【答案】①③/③①
【分析】本题主要考查了全等三角形．根据真正合同三角形和镜面合同三角形的定义进行解答，即可求解．
【详解】解：根据题意得：①③运动方向相反，
∴属于镜面合同三角形的有①③．
故答案为：①③
3．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知．
(1)画出中边上的高；
(2)用一条线段将分成面积相等的两部分（线段的端点是小正方形的顶点）；
(3)画一个格点三角形，使之与全等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形高的概念和网格的特点求解即可；
（2）根据三角形中线的性质求解即可；
（3）根据网格的特点和全等三角形的概念求解即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，作的中点D，连接，线段即为所求；
（3）如图所示，
【点睛】本题考查网格作图，熟练掌握三角形相关线段的作法是解题的关键．
易错必刷题二十三、全等三角形的判定1
1．（23-24八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，，平分，交的延长线于点F，垂足为E．则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，先根据“”证明，可判断A，B，再说明是等腰三角形，可判断C，然后说明D即可．
【详解】∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
所以A，B，C正确．
不能确定的关系，所以D不正确．
故选：D．
2．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图点D，E分别在线段上，相交于点O，，要根据“”证明，需要添加一个条件是
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，先结合条件与图形得出，，因为根据“”证明，则添加条件是，即可作答．
【详解】解：∵，
∴要根据“”证明，需要添加一个条件是
故答案为：
3．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点C是线段的中点，点D、E在线段的上方，连接、、、，，求证：．
【答案】见详解
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据“”即可证明．
【详解】证明：∵点C是线段的中点，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
易错必刷题二十四、全等三角形的判定2
1．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；②面一条射线以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步所画的弧相交于点；④过点画射线．则有．其依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形全等的判定方法：，根据同弧所在圆的半径相等得到两组对边相等，并且同弧所对弦相等得到另一种对边相等，熟练掌握不同三角形全等的判定条件是解决本题的关键．
由基本作图得到，，根据“”可证明，然后根据全等三角形的性质得到．
【详解】由题意得，，
在和中，
，
∴，
∴
故．
故选：A．
2．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，已知，要使还应给出的条件是 ．（只需填上一个正确的即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法有．根据题意易得，则已知一条边和一个角，结合全等三角形的判定方法，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，即，
当时，可用证明；
当时，可用证明；
当时，可用证明；
故答案为：或或．
3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图， 在中， 点在的延长线上，且 过点 作 与的垂线交于点．
(1)求证：
(2)若 求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，
（1）根据等角的余角相等，证明，再根据即可证明；
（2）根据全等三角形的性质即可得出，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
理由：由（）证得，，
，，
，
．
，
．
易错必刷题二十五、全等三角形的性质
1．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，，如果，，那么度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质可得出，，由角的和差关系即可得出，即可求出答案．
【详解】解：∵
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
58．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则 ．
【答案】
【分析】
本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等，得到，，即可求出．
【详解】
解：两个三角形全等，
，，
．
故答案为：．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图(1)，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．
(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；
(2)如图(2)，将图(1)中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为 ，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)全等；互相垂直，见解析
(2)存在，或
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；
（1）利用“”证得，得出，进一步得出得出结论即可；
（2）与全等，分两种情况：①，②，建立方程组求得答案即可．
【详解】（1）解：当时，，，
又，
在和中，
，
．
，
．
，
即线段与线段垂直．
（2）存在，
理由：①若，
则，，
则，
解得；
②若，
则，，
则，
解得：；
综上所述，存在或，使得与全等．
易错必刷题二十六、轴对称现象
1.（2024八年级下·浙江·专题练习）蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．9条
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
根据轴对称定义画出正六边形的对称轴即可．
【详解】解：如图，正六边形的对称轴有6条．
故答案为：C．
2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·阶段练习）下列图标是轴对称图形的是 （填序号）．
【答案】（1）（2）
【分析】本题轴对称图形的定义，解题关键是利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）进行判断．根据题意判断即可．
【详解】解：（1）（2）图形沿着某一条直线对折后两部分可以完全重合，
故答案为：（1）（2）．
3．（23-24七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在 的方格中有一个四边形和两个三角形（所有顶点都在方格的格点上）
（1）请你画出三个图形关于直线 的对称图形；
（2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数．
【答案】（1）见解析；（2）4条
【分析】（1）找出各图形的关键点，从点向对称轴引垂线并延长相同长度，就可找到各点的轴对称点，然后顺次连接就是．
（2）根据图可知这个整体图形共有4条对称轴．
【详解】答：（1）所画图形如下所示：
（2）这个整体图形共有4条对称轴．
【点睛】本题考查了轴对称变换的作图问题，注意作轴对称图形的关键是找到关键点的对称点．
易错必刷题二十七、轴对称的性质
1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，点P在内，线段交、于点E、F点，M、N分别是点P关于、的对称点，若的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点M、N分别是点P关于直线、的对称点，即可推出为P的中垂线，为的中垂线，即可推出，，然后根据的周长为，，即可推出的长度．
【详解】解：∵点M、N分别是点P关于直线、的对称点，
∴为的中垂线，为的中垂线，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴．
故选：C．
2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，与关于直线l对称，连结交直线l于点O，若，，则四边形的周长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查轴对称的性质，四边形的周长等知识，根据轴对称的性质即可解决问题．
【详解】解：与关于直线l对称，
，，
四边形的周长，
故答案为7．
3．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）小河边有两个村庄A、B，要在河边建一自来水厂向村庄A与村庄B供水．
(1)若要使厂部到A、B村的水管最省料，则应建在什么地方？
(2)请说明其中所含的数学道理．
【答案】(1)见解析
(2)两点之间，线段最短
【分析】此题主要考查了应用设计与作图以及轴对称求最短路径，得出A点对称点是解题关键．
（1）首先作点A关于的对称点，然后连接交于点E即为所求；
（2）根据两点之间，线段最短求解即可．
【详解】（1）如图所示，点E即为所求；
（2）根据题意可得，
∴
∴点E即为所求，
∴利用的数学道理是两点之间，线段最短．
易错必刷题二十八、折叠问题
1．（23-24七年级下·四川广安·期中）如图，折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的性质，折叠的性质，根据两直线平行同位角相等得到，再利用折叠的性质得到，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】由题意得：，
∴，
∴，
故选：B．
2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的处，折痕为，则 °．
【答案】103
【分析】本题考查轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据折叠先求出的度数，再利用外角定理即可解决问题．
【详解】解：，
由折叠可知，
．
又，
．
故答案为：103．
3．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如图1，将长方形纸片沿折叠得到图2，点A，的对应点分别为点，，折叠后与相交于点．
(1)若，求的度数．
(2)设，．
①请用含的代数式表示．
②当恰好平分时，求的度数．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质：
（1）根据平行线的性质即可得到；
（2）①由（1）得：，根据折叠的性质和平角的定义可得，据此可得答案；
②直接根据平角的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，
，
∵，
．
（2）解：①由（1）得：，
又，
．
②恰好平分，
．
易错必刷题二十九、角平分线的性质与判定
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，为的平分线，，，垂足分别是，，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识．由为的平分线，于点，于点，得，，，可判断A正确；再证明，得，，可判断C正确，D正确；可判断B错误，于是得到问题的答案．
【详解】解：为的平分线，于点，于点，
，，，
故A正确；
在和中，
，
，
，，
故C正确，D正确；
和不一定相等，故B错误，
故选：B．
2．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ．
【答案】24
【分析】
本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．过作于，由角平分线的性质得到，而，即可求出的面积．
【详解】
解：过作于，
，，
，
，
的面积．
故答案为：24．
3．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，的外角，的平分线交于点D，过点D作，，垂足分别为E，F．
(1)若，，求及的度数；
(2)连接，判断是否平分？并说明理由．
【答案】(1)，
(2)平分，理由见解析
【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定和性质，掌握角平分线的判定和性质是解题的关键．
（1）根据三角形的外角可以得到和的度数，然后根据角平分线的定义得到，然后计算解题；
（2）过点作，垂足为，根据角平分线的性质得到，再根据角平分线的判定即可得到结论．
【详解】（1）∵，，
∴，.
∵平分，平分，
∴，，
∴；
（2）平分；
理由：如图，过点作，垂足为，
∵平分，，，
∴.
∵平分，，，
∴，
∴，
∴平分.
易错必刷题三十、垂直平分线的性质与判定
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）在中，，、的垂直平分线交于点、，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．
根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”得到，，根据等腰三角形的性质得到，，结合图形计算即可．
【详解】
解：，
，
、的垂直平分线分别交于点、，
，，
，，
，
．
故选：D．
2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D，E，若，的周长为38，则的周长为 ．
【答案】28
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，先根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长即可求解，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
【详解】解：是的垂直平分线，且，
，，
又的周长为38，
的周长，
故答案为：28．
3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，，．
(1)用尺规求作点P，点P在上，且．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及作垂线，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）作线段的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段的端点的距离相等，据此即可作答．
（2）先根据直角三角形两个锐角互余，得，结合等边对等角，得，列式，即可作答．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图，连接
在中，∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
易错必刷题三十一、等腰三角形
1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查垂直平分线的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，根据题意，则，根据垂直平分线的性质，等量代换，得，根据周长为，，根据等量代换，求出，最后根据，即可．
【详解】∵，且，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵周长为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
2．（23-24八年级下·河北邯郸·期中）如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②的周长等于与的和；③；④和都是等腰三角形其中正确的有 ．（填入序号）
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质，由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质求解即可得到答案；
【详解】解：，
，，
中，与的平分线交于点，
，，
，，
，，
即和都是等腰三角形；
故正确，符合题意；
，
故正确，符合题意；
的周长为：；
故正确，符合题意；
不一定等于，
不一定等于，
与不一定相等，
故错误，不符合题意．
故答案为：．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，D是边上的中点，连接平分交于点E．
(1)过点E作交于点F，求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)的度数是．
【分析】此题重点考查平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明及是解题的关键．
（1）由平分得 由，得，则，所以 ；
（2）由，是边上的中点，得，，则，所以．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴即，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，D是边上的中点，
∴，
∴，
∴，
∴的度数是．
易错必刷题三十二、概率初步
1．（2024·江苏徐州·一模）下列事件为确定事件的是（ ）
A．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交
B．抛掷1枚质地均匀的硬币反面朝上
C．某人投篮一次，命中篮筐
D．长度分别是2cm、4cm、5cm的三条线段能围成一个三角形
【答案】D
【分析】本题考查了确定事件的概念，根据确定事件的概念逐项判断即可，正确理解概念是解题的关键．
【详解】解：A、在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交，是随机事件，还有可能是平行关系，故本选项不符合题意；
B、抛掷1枚质地均匀的硬币反面朝上，是随机事件，还有可能是正面朝上，故本选项不符合题意；
C、某人投篮一次，命中篮筐，是随机事件，还有可能没有命中篮筐，故本选项不符合题意；
D、长度分别是2cm、4cm、5cm的三条线段能围成一个三角形，是确定事件，一定能围成三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）从一副扑克牌中任意抽取张：这张牌是“”；这张牌是“红心”；这张牌是“黑色的”，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ．
【答案】
【分析】本题考查了事件发生的可能性的大小，分别求出一副扑克牌中“”、“红心”、“黑色的”牌的数量，根据牌数多的事件发生的可能性大即可求解，求出一副扑克牌中“”、“红心”、“黑色的”牌的数量是解题的关键．
【详解】解：一副扑克牌共有张，其中“”牌有张，“红心”有张，“黑色的”牌有张，牌数多的事件发生的可能性大，所以将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列为，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球观察它的颜色．下列事件：①摸出的球是红色；②摸出的球是白色；③摸出的球是黄色；④摸出的球不是白色；⑤摸出的球不是黄色，估计各事件发生的可能性大小，回答下列问题：
(1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示）
(2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．（用序号表示）
【答案】(1)可能性最大的是④，最小的是②
(2)②③①⑤④
【分析】本题主要考查可能性的大小；
（1）分别用该事件中颜色球的个数除以球的总个数求得事件可能性大小，继而可得答案；
（2）依据（1）中所得答案即可得．
【详解】（1）由题意知，①摸出的球是红色的可能性大小为；
②摸出的球是白色的可能性大小为；
③摸出的球是黄色的可能性大小为；
④摸出的球不是白色的可能性大小为；
⑤摸出的球不是黄色的可能性大小为；
所以可能性最大的是④，最小的是②；
（2）由（1）知，
∴将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列是：②③①⑤④．
易错必刷题三十三、等可能时间的概率
1．（2024·江苏常州·二模）如图，为的六等分点，甲同学从中任取三点画一个三角形，乙同学用剩下的点画一个三角形，则甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了几何概率，由对称性可知甲从六个点中选择任意的三个点组成的三角形，与剩下的三个点组成的三角形的三条边分别对应相等，可得甲乙两人所画的三角形一定全等，据此可得答案．
【详解】解；∵为的六等分点，
∴由对称性可知甲从六个点中选择任意的三个点组成的三角形，与剩下的三个点组成的三角形的三条边分别对应相等，
∴甲乙两人所画的三角形一定全等，
∴甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为1，
故选：B．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）紫色石蕊试剂遇到酸性液体变成红色，遇到碱性液体变成蓝色，现有3瓶无标记液体，其中有两瓶酸性液体、一瓶碱性液体，现取一滴紫色石蕊试剂随机滴入一瓶试剂中，液体变为红色的概率为 ．
【答案】
【分析】此题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握概率的求解方法．
【详解】解：取一滴紫色石蕊试剂随机滴入一瓶试剂中共有3种等可能情况，
其中滴入酸性液体有2种可能情况，即液体变为红色有2种，
∴液体变为红色的概率为，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·山东淄博·期中）一个不透明的袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中黄球的个数是蓝球个数的2倍少个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是．
(1)求袋中红球的个数；
(2)求从袋中摸出一个球是蓝球的概率；
(3)取走个球（其中没有红球）后，再求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率．
【答案】(1)袋中红球的个数有个
(2)从袋中摸出一个球是蓝球的概率为
(3)从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为
【分析】此题主要考查了概率公式，根据概率的计算公式计算即可．
（1）根据红、黄、蓝三种颜色球共有的个数乘以红球的概率即可；
（2）设蓝球有个，得出黄球有个，根据题意列出方程，求出蓝球的个数，再除以总的球数即可；
（3）先求出取走10个球后，还剩的球数，再根据红球的个数，除以还剩的球数即可．
【详解】（1）解：根据题意得：（个）．
答：袋中红球的个数有10个；
（2）设蓝球有个，则黄球有个，
根据题意得，解得．
所以从袋中摸出一个球是蓝球的概率；
（3）因为取走10个球（其中没有红球）后，还剩50个球，其中红球的个数没有变化，
所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率．中小学教育资源及组卷应用平台
期末重难点真题特训之易错必刷题型（99题33个考点）专练
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易错必刷题一、同底数幂的乘法
1．（2024·河北邯郸·二模）若，则（ ）．
A．8 B．7 C．6 D．5
2．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知，，则 ．
3．（23-24六年级下·山东济南·期中）定义一种新运算“*”： ，比如：．
(1)求的值；
(2)已知，请根据上述运算，求x的值．
易错必刷题二、幂的乘方与积的乘方
1．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）计算：的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）已知，，其中m、n均为正整数，则的结果为 ．（用含a，b的式子表示）
3．（23-24七年级下·河北唐山·期中）（1）计算：
（2）已知，，求的值；
（3）已知，求的值．
易错必刷题三、同底数幂的除法
1、（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知：，，的值为 ．
3．（23-24七年级下·山东济南·期中）“已知，，求的值．”对于这个问题，我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，可得，所以，所以．
请利用这样的思考方法解决下列问题．已知，，求下列代数的值：
(1)___________，___________；
(2)；
(3)．
易错必刷题四、科学记数法
1．（23-24七年级下·四川成都·期中）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有kg左右，用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·江西鹰潭·期中）太钢不锈钢精密带钢有限公司生产的“手撕钢”宽米、厚米（毫米），广泛应用于航空航天、新能源、通信等高精尖端设备制造行业，至今保持世界最宽、最薄“手撕钢”记录．用科学记数法表示应为 ．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式，可以方便地表示绝对值较大的数或较小的数.请看下面用科学记数法解决实际问题的实例．科学研究发现，与我们日常生活密不可分的一个水分子的质量大约是0.00000000000000000000000003kg．
(1)用科学记数法表示此数；
(2)6g水中大约有多少个水分子？
(3)通过进一步研究科学家发现：一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子构成的．已知氧原子的质量约为.求一个氢原子的质量．
易错必刷题五、整式乘法
1．（23-24六年级下·山东烟台·期中）下列算式正确的是 ( )
A． B． C． D．
2．（23-24六年级下·山东烟台·期中）若，则的值为 ．
3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）计算
(1)
(2)
易错必刷题六、已知多项式乘积不含某项求字母的值
1．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如果计算的结果不含项，那么的值为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为 ．
3．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读材料：
在学习多项式乘以多项式时，我们知道的展开结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为． 那么一次项是多少呢？
要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数． 通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为．
参考材料中用到的方法，解决下列问题：
(1)求展开所得多项式中的一次项系数；
(2)已知展开所得多项式中不含x的二次项，求a的值．
易错必刷题七、化简求值
1．（23-24六年级下·山东烟台·期中）若，则的值为（ ）
A． B．9 C． D．不确定
2．（23-24七年级下·山东聊城·期中）如果，那么的值为 ．
3．（23-24七年级下·河北保定·期中）先化简再求值：
(1)，其中．
(2)，其中，．
易错必刷题八、平方差公式
1．（23-24六年级下·山东济南·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）已知：且，则 ．
3．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如图1所示，边长为的正方形中存一个边长为的小正方形，如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示______；______；写出上述过程所揭示的等式：______．（用含有，b的式子表示）
(2)试利用这个公式化简：
易错必刷题九、完全平方公式
1．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）计算：的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·四川成都·期中）当是一个完全平方式，则k的值是 ．
3．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，，
所以，
所以，
所以．
根据上面的解题思路与方法，解答下列问题：
(1)若，，求的值．
(2)如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
易错必刷题十、整式的除法
1．（23-24七年级下·广西崇左·期中）对于任意的整数n，能整除代数式的整数是（ ）
A．4 B． C． D．2
2．（23-24七年级下·广东清远·期中）计算： ．
3．（23-24六年级下·山东烟台·期中）已知，A是一个多项式，单项式B为，小明计算的结果为
(1)请求出多项式A；
(2)请计算的结果；
(3)若，求出多项式A的值．
易错必刷题十一、两条直线的位置关系
1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线，相交于点O，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2、（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，直线，相交于点，，平分，，则的度数为 ．
3．（内蒙古自治区呼和浩特市第三十中学、蒙古族学校2023-2024学年七年级下学期5月期中考试数学试题）如图，直线相交于点O，平分，．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数
易错必刷题十二、同位角、内错角、同旁内角
1、（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线，，相交于点，直线与相交，则和的位置关系是（ ）
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
2．（23-24七年级下·甘肃武威·阶段练习）在如图所示的6个角中，同位角有 对，它们是 ；内错角有 对，它们是 ；同旁内角有 对，它们是 ．
3．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图所示，
(1)和是 、 被 所截得的 角．
(2)和∠ 是、被 所截得的内错角．
(3)∠ 和∠ 是、被所截而成的同旁内角．
(4)∠ 和∠ 是、被所截得的内错角．
易错必刷题十三、平行公理
1．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．若， ，则； B．若与相交，与相交，则与相交；
C．相等的角是对顶角； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
2．（22-23七年级下·上海·期中）同一平面内三条直线a、b、c，若，，则a与c的关系是： ．
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）直线a∥b，b∥c，直线d与a相交于点A.
(1)判断a与c的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与d的位置关系，并说明理由．
易错必刷题十四、平行线的性质
1．（重庆市七校联盟2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）已知：如图，直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点落在直线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图是小颖同学劳动节前夕，在街上拍到的路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，则∠3的度数为 ．
3．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知直线，，且，，求的度数．
易错必刷题十五、用尺规作角
1．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交于点，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，，，根据图中尺规作图的痕迹，可知的度数为 ．
3．（23-24七年级下·宁夏中卫·期中）已知如图、，请你利用尺规作图作，使．（不写作法，保留作图痕迹）
易错必刷题十六、用表格表示的变量间关系
1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）某数学兴趣小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如下数据：
支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70
小车下滑时间 423 300 245 213 189 171 159
根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是（ ）
A．支撑物的高度为时，小车下滑的时间为
B．支撑物的高度h越大，小车下滑时间越少
C．若小车下滑的时间为，则支撑物的高度在至之间
D．若支撑物的高度每增加，则对应的小车下滑时间的变化情况都相同
2．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料，已知某种材料的导热率与温度的关系如下表：
温度 100 150 200 250 300
导热率 …
根据表格中两者的对应关系，若该材料的导热率为，则温度为 ．
3．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）为保证游泳池水质的清洁，游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水930立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时70立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水也随之减少，它们的变化情况如下表：
放水时间（t）/时 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水量（V）/立方米 860 720 650 510 440
(1)在这个变化过程中，反应的是哪两个变量之间的关系，其中自变量是什么，因变量是什么？
(2)请将上述表格补充完整；
(3)在游泳池的水放完之前，说一说这两个变量之间的关系．
易错必刷题十七、用关系式表示的变量间关系
1．（23-24八年级下·河北唐山·期中）已知等腰三角形的周长为20，那么底边长y与腰长x之间的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）一辆汽车加满油后，油箱中有汽油50升，汽车行驶时正常的耗油量为每千米升，则加满油后，油箱中剩余的汽油量y（升）关于已行驶的里程的关系式为 ．
3．（23-24七年级下·山西晋中·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地势的上升而降低这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象．下面是小明对某地某一时刻距离地面的高度 与温度 测量得到的表格．
距离地面高度(千米)
温度(℃)
请回答下列问题：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
(2)与之间的关系式是 ．
(3)你能估计温度为时，距离地面的高度是多少吗
易错必刷题十八、用图象表示的变量间关系
1．（23-24八年级下·河北沧州·期中）如图，四幅图像分别表示变量之间的关系，请按图像的顺序，将下面的四种情境与之对应排序．
a．运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）；
b．一辆汽车在平直的公路上匀速运动（汽车行驶路程与时间的关系）；
c．一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）；
d．小明从A地到B地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回（小明离A地的距离与时间的关系）．
正确的顺序是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级·辽宁丹东·期中）如图是小乐从学校到家里行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，从中得到如下信息：
①学校离小乐家1000米； ②小乐用了20分钟到家；
③小乐前10分钟走了路程的一半； ④小乐后10分钟比前10分钟走得快，
其中正确的有 （填序号）．
3．（23-24七年级下·宁夏中卫·期中）小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回到家，他描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）．
(1)图象表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)10时和13时，他分别离家多远？
(3)他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(4)10时到12时他行驶了多少千米？
(5)他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？
易错必刷题十九、三角形三边关系
1、（23-24七年级下·河北张家口·期中）三边长度都是整数的三角形称为整数边三角形，若一个三角形的最长边长为8，则满足条件的整数边三角形共有（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．20个
2．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）已知的三条边长均为整数，其中两边长分别是2和5，第三边长为奇数，则此三角形的周长为 ．
3．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）已知，，．
(1)若为3，
①则______；
②若边的长为整数，则的周长最大值是______；
(2)若，求的面积S（用m的代数式表示）
易错必刷题二十、根据三角形中线求长度、面积
1．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图所示，在中，已知点、、分别是、、的中点，且的面积为64，则的面积是（ ）．
A．18 B．16 C．14 D．12
2．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，、都是的中线，连接，的面积是，则的面积是 ．
3．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，是的高，是的角平分线，F是中点，．
(1)求的度数；
(2)若与的周长差为3，，则 ．
易错必刷题二十一、三角形的外角
1．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，直线，的顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，，则的度数是（ ）
A．18° B．20° C．28° D．30°
2．（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，在中，，的平分线，交于点，为的外角的平分线，的延长线交于点，，则的大小为 ．（用含的式子表示）
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，，，，，，求的度数．
易错必刷题二十二、图形的全等
1．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．全等三角形的周长和面积不相等
2．（2024八年级·全国·竞赛）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形．
下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ．
3．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知．
(1)画出中边上的高；
(2)用一条线段将分成面积相等的两部分（线段的端点是小正方形的顶点）；
(3)画一个格点三角形，使之与全等．
易错必刷题二十三、全等三角形的判定1
1．（23-24八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，，平分，交的延长线于点F，垂足为E．则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图点D，E分别在线段上，相交于点O，，要根据“”证明，需要添加一个条件是
3．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点C是线段的中点，点D、E在线段的上方，连接、、、，，求证：．
易错必刷题二十四、全等三角形的判定2
1．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；②面一条射线以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步所画的弧相交于点；④过点画射线．则有．其依据是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，已知，要使还应给出的条件是 ．（只需填上一个正确的即可）．
3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图， 在中， 点在的延长线上，且 过点 作 与的垂线交于点．
(1)求证：
(2)若 求的长．
易错必刷题二十五、全等三角形的性质
1．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，，如果，，那么度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则 ．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图(1)，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．
(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；
(2)如图(2)，将图(1)中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为 ，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．
易错必刷题二十六、轴对称现象
1.（2024八年级下·浙江·专题练习）蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．9条
2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·阶段练习）下列图标是轴对称图形的是 （填序号）．
3．（23-24七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在 的方格中有一个四边形和两个三角形（所有顶点都在方格的格点上）
（1）请你画出三个图形关于直线 的对称图形；
（2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数．
易错必刷题二十七、轴对称的性质
1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，点P在内，线段交、于点E、F点，M、N分别是点P关于、的对称点，若的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，与关于直线l对称，连结交直线l于点O，若，，则四边形的周长为 ．
3．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）小河边有两个村庄A、B，要在河边建一自来水厂向村庄A与村庄B供水．
(1)若要使厂部到A、B村的水管最省料，则应建在什么地方？
(2)请说明其中所含的数学道理．
易错必刷题二十八、折叠问题
1．（23-24七年级下·四川广安·期中）如图，折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的处，折痕为，则 °．
3．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如图1，将长方形纸片沿折叠得到图2，点A，的对应点分别为点，，折叠后与相交于点．
(1)若，求的度数．
(2)设，．
①请用含的代数式表示．
②当恰好平分时，求的度数．
易错必刷题二十九、角平分线的性质与判定
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，为的平分线，，，垂足分别是，，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ．
3．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，的外角，的平分线交于点D，过点D作，，垂足分别为E，F．
(1)若，，求及的度数；
(2)连接，判断是否平分？并说明理由．
易错必刷题三十、垂直平分线的性质与判定
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）在中，，、的垂直平分线交于点、，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D，E，若，的周长为38，则的周长为 ．
3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，，．
(1)用尺规求作点P，点P在上，且．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，若，，，求的长．
易错必刷题三十一、等腰三角形
1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为，，则为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·河北邯郸·期中）如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②的周长等于与的和；③；④和都是等腰三角形其中正确的有 ．（填入序号）
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，D是边上的中点，连接平分交于点E．
(1)过点E作交于点F，求证：．
(2)若，求的度数．
易错必刷题三十二、概率初步
1．（2024·江苏徐州·一模）下列事件为确定事件的是（ ）
A．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交
B．抛掷1枚质地均匀的硬币反面朝上
C．某人投篮一次，命中篮筐
D．长度分别是2cm、4cm、5cm的三条线段能围成一个三角形
2．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）从一副扑克牌中任意抽取张：这张牌是“”；这张牌是“红心”；这张牌是“黑色的”，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ．
3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球观察它的颜色．下列事件：①摸出的球是红色；②摸出的球是白色；③摸出的球是黄色；④摸出的球不是白色；⑤摸出的球不是黄色，估计各事件发生的可能性大小，回答下列问题：
(1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示）
(2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．（用序号表示）
易错必刷题三十三、等可能时间的概率
1．（2024·江苏常州·二模）如图，为的六等分点，甲同学从中任取三点画一个三角形，乙同学用剩下的点画一个三角形，则甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）紫色石蕊试剂遇到酸性液体变成红色，遇到碱性液体变成蓝色，现有3瓶无标记液体，其中有两瓶酸性液体、一瓶碱性液体，现取一滴紫色石蕊试剂随机滴入一瓶试剂中，液体变为红色的概率为 ．
3．（23-24七年级下·山东淄博·期中）一个不透明的袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中黄球的个数是蓝球个数的2倍少个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是．
(1)求袋中红球的个数；
(2)求从袋中摸出一个球是蓝球的概率；
(3)取走个球（其中没有红球）后，再求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率．
