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第1章 一元二次方程过关测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2+y＝1 B．x2﹣＝1 C．x2﹣2＝0 D．x2+x＝x2+1
【答案】C
【解答】解：A．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B．该方程不是整式方程，不符合题意；
C．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意；
D．由原方程得到x﹣1＝0，该方程的中x的最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
2．若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0
【答案】A
【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，
解得：k＝﹣1，
故选：A．
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝﹣2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝﹣2 D．（x+2）2＝4
【答案】B
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝4，
（x﹣1）2＝4．
故选：B．
4．方程5x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．5，6，1 B．5，﹣6，﹣1 C．5，6，﹣1 D．5，﹣6，1
【答案】B
【解答】解：由原方程得：5x2﹣6x﹣1＝0，
∴二次项系数为5，一次项系数为﹣6，常数项为﹣1．
故选：B．
5．关于x的方程4x2﹣4x＝﹣1的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．无实数根
【答案】A
【解答】解：原方程化为4x2﹣4x+1＝0，
∵a＝4，b＝﹣4，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×4×1＝0，
则方程有两个相等的实数根．
故选：A．
6．劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．300（1+x）＝363
B．300+300（1+x）+300（1+x）2＝363
C．300+300x2＝363
D．300（1+x）2＝363
【答案】D
【解答】解：第一年的产量为300×（1+x），
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为300×（1+x）×（1+x），
则列出的方程是300（1+x）2＝363．
故选：D．
7．设一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．3
【答案】A
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝2，
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣2＝1．
故选：A．
8．某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是36个，则下列方程中正确的是（ ）
A．x2＝36 B．（1+x）2＝36
C．1+x+x2＝36 D．1+x+（1+x）2＝36
【答案】C
【解答】解：依题意得：1+x+x2＝36．
故选：C．
9．如图，某小区有一块长16m，宽10m的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为126m2．求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为x m，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．（16+2x）（10+x）＝126 B．（16+x）（10+2x）＝126
C．（16﹣2x）（10﹣x）＝126 D．（16﹣x）（10﹣2x）＝126
【答案】C
【解答】解：设小路的入口宽度为x m，
由题意可得：（16﹣2x）（10﹣x）＝126，
故选：C．
10．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们就称这个方程为“凤凰”方程．若一个“凤凰”方程的其中一个根为2，则与这个“凤凰”方程的解完全相同的方程是（ ）
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2+x﹣6＝0 D．x2+3x+2＝0
【答案】A
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴x＝1，
∴这个“凤凰”方程的两根分别为1和2，
，．
选项A符合题意，
故选：A．
11．若a+b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一个根是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．a
【答案】C
【解答】解：当x＝﹣1时，a﹣（﹣b）+c＝0，
即a+b+c＝0，
所以一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一个根是﹣1．
故选：C．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1、x2，且+＝4，则k的值是（ ）
A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．2 D．﹣1
【答案】D
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2k，x1 x2＝k2+k，
∵+＝4，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝4，
∴（2k）2﹣2×（k2+k）＝4，
解得k＝2或k＝﹣1，
当k＝2时，一元二次方程为x2﹣4x+6＝0，此时Δ＝（﹣4）2﹣24＝﹣8＜0，原方程无实数解，这种情况不存在，舍去；
当k＝﹣1时，一元二次方程为x2+2x＝0，此时Δ＝22＞0，符合题意；
∴k的值是﹣1；
故选：D．
二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．一元二次方程x2﹣2x＝0的根是 x1＝0，x2＝2 ．
【答案】x1＝0，x2＝2．
【解答】解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2，
故答案为：x1＝0，x2＝2．
14．已知m、n是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则m+n的值为 ﹣3 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：x2+3x﹣5＝0，
∵，
∴，
可得：，，
由于m、n是一元二次方程 x2+3x﹣5＝0 的两个根，
∴m+n＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的常数项是 1 ．
【答案】1．
【解答】解：一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的常数项是1，
故答案为：1．
16．如果m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式2m2﹣4m﹣7的值为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：把m代入方程x2﹣2x﹣6＝0，得到m2﹣2m﹣6＝0，
所以m2﹣2m＝6，
所以代数式2m2﹣4m﹣7＝2×6﹣7＝5；
故答案为：5．
17．若x1，x2是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，则x1+x2＝ ．
【答案】．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣＝．
故答案为：．
18．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：5（x﹣6）2+7＝0与6（x﹣6）2+7＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，则代数式mx2+nx+2029的最小值是 2024 ．
【答案】2024．
【解答】解：∵（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，
∴（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝（m+2）（x﹣1）2+1，
∴（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝（m+2）x2﹣2（m+2）x+m+3，
∴，
解得，
∴mx2+nx+2029
＝5x2﹣10x+2029
＝5（x﹣1）2+2024，
则代数式mx2+nx+2024能取的最小值是2024．
故答案为：2024．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）解下列方程：
（1）（x﹣1）2＝9； （2）2x2+5x﹣12＝0．
【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣4；
（2）x1＝，x2＝﹣4．
【解答】解：（1）两边开方得：x+1＝±3，
x+1＝3，x+1＝﹣3，
x1＝2，x2＝﹣4；
（2）2x2+5x﹣12＝0，
（2x﹣3）（x+4）＝0，
2x﹣3＝0或x+4＝0，
x1＝，x2＝﹣4．
20．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于﹣3，求k的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，
Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝0，
∴（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝k+1．
∵方程有一根小于﹣3，
∴k+1＜﹣3，解得：k＜﹣4，
∴k的取值范围为k＜﹣4．
21．（8分）某种品牌的手机经过7、8月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答：
（1）求每次下降的百分率；
（2）若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设每次下降的百分率为x，
依题意，得：2500（1﹣x）2＝1600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：每次下降的百分率为20%．
（2）1600×（1﹣20%）＝1280（元）．
答：若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为1280元．
22．（8分）如图是一张长12dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒．
（1）无盖方盒盒底的长为 dm，宽为 dm（用含x的式子表示）．
（2）若要制作一个底面积是40dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）无盖方盒盒底的长为（12﹣2x）dm，宽为（6﹣2x）．
故答案为：（12﹣2x）；（6﹣2x）．
（2）依题意，得：（12﹣2x）（6﹣2x）＝40，
整理，得：x2﹣9x+8＝0，
解得：x1＝1，x2＝8（不合题意，舍去）．
答：剪去的正方形的边长为1dm．
23．（10分）学习的本质是自学．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式x2+4x+6进行了配方，发现x2+4x+6＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2，小睿发现（x+2）2是一个非负数，即（x+2）2≥0，他继续探索，利用不等式的基本性质得到（x+2）2+2≥0+2＝2，即（x+2）2+2≥2，所以，他得出结论是（x+2）2+2的最小值是2，即x2+4x+6的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答．
（1）求代数式m2﹣6m+10的最小值．
（2）求代数式﹣2x2﹣4x+3的最值．
【答案】（1）最小值是1；
（2）有最大值是5．
【解答】解：（1）由m2﹣6m+10
＝m2﹣6m+9+1
＝（m﹣3）2+1≥0+1＝1，
∴m2﹣6m+10的最小值是1，此时m＝3；
（2）由﹣2x2﹣4x+3
＝﹣2（x2+2x+1）+5
＝﹣2（x+1）2+5≤0+5，
∴﹣2x2﹣4x+3的最大值是5，此时x＝﹣1．
24．（10分）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
（1）每千克茶叶应降价多少元？
（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设每千克茶叶应降价x元，则平均每周可售出（200+）千克，
依题意，得：（400﹣240﹣x）（200+）＝41600，
整理，得：x2﹣110x+2400＝0，
解得：x1＝30，x2＝80．
答：每千克茶叶应降价30元或80元．
（2）∵为尽可能让利于顾客，
∴x＝80，
∴×10＝8．
答：该店应按原售价的八折出售．
25．（10分）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B开始沿边BA以1cm/s的速度向点A移动，同时点Q也从点B开始沿BC边以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达A或者C时停止运动．
（1）几秒后PQ长度为6cm？
（2）几秒后△PBQ的面积是24平方厘米？
【答案】（1）．（2）2．
【解答】解：（1）设x秒后PQ长度为6cm，
PQ＝
解得：t1＝﹣（不合题意舍去），t2＝．
答：秒后PQ长度为6cm，
（2）设t秒后△PBQ的面积等于24平方厘米，根据题意得：
×2t×t＝24，
解得：t1＝﹣2（不合题意舍去），t2＝2．
答：2秒后△PBQ的面积等于24平方厘米．
26．（10分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0，
∴n＝2，m＝2．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，则x＝ ，y＝ ；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，求△ABC的周长．
【答案】（1）﹣4，﹣4；
（2）△ABC的周长为9．
【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+8y+16）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+4）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+4＝0，
∴x＝y，y＝﹣4，
∴x＝y＝﹣4，
故答案为：﹣4，﹣4；
（2）∵2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，
∴2a2﹣4a+2+b2﹣8b+16＝0，
∴2（a2﹣2a+1）+（b2﹣8b+16）＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣1＝0，b﹣4＝0，
∴a＝1，b＝4，
∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，
∴3＜c＜5，
∴c＝4，
∴△ABC的周长为a+b+c＝1+4+4＝9．中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 一元二次方程过关测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2+y＝1 B．x2﹣＝1 C．x2﹣2＝0 D．x2+x＝x2+1
2．若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝﹣2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝﹣2 D．（x+2）2＝4
4．方程5x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．5，6，1 B．5，﹣6，﹣1 C．5，6，﹣1 D．5，﹣6，1
5．关于x的方程4x2﹣4x＝﹣1的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．无实数根
6．劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．300（1+x）＝363
B．300+300（1+x）+300（1+x）2＝363
C．300+300x2＝363
D．300（1+x）2＝363
7．设一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．3
8．某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是36个，则下列方程中正确的是（ ）
A．x2＝36 B．（1+x）2＝36
C．1+x+x2＝36 D．1+x+（1+x）2＝36
9．如图，某小区有一块长16m，宽10m的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为126m2．求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为x m，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．（16+2x）（10+x）＝126 B．（16+x）（10+2x）＝126
C．（16﹣2x）（10﹣x）＝126 D．（16﹣x）（10﹣2x）＝126
10．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们就称这个方程为“凤凰”方程．若一个“凤凰”方程的其中一个根为2，则与这个“凤凰”方程的解完全相同的方程是（ ）
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2+x﹣6＝0 D．x2+3x+2＝0
11．若a+b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一个根是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．a
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1、x2，且+＝4，则k的值是（ ）
A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．2 D．﹣1
二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．一元二次方程x2﹣2x＝0的根是 ．
14．已知m、n是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则m+n的值为 ．
15．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的常数项是 ．
16．如果m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式2m2﹣4m﹣7的值为 ．
17．若x1，x2是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，则x1+x2＝ ．
18．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：5（x﹣6）2+7＝0与6（x﹣6）2+7＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，则代数式mx2+nx+2029的最小值是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）解下列方程：
（1）（x﹣1）2＝9； （2）2x2+5x﹣12＝0．
20．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于﹣3，求k的取值范围．
21．（8分）某种品牌的手机经过7、8月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答：
（1）求每次下降的百分率；
（2）若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为多少元？
22．（8分）如图是一张长12dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒．
（1）无盖方盒盒底的长为 dm，宽为 dm（用含x的式子表示）．
（2）若要制作一个底面积是40dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x．
23．（10分）学习的本质是自学．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式x2+4x+6进行了配方，发现x2+4x+6＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2，小睿发现（x+2）2是一个非负数，即（x+2）2≥0，他继续探索，利用不等式的基本性质得到（x+2）2+2≥0+2＝2，即（x+2）2+2≥2，所以，他得出结论是（x+2）2+2的最小值是2，即x2+4x+6的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答．
（1）求代数式m2﹣6m+10的最小值．
（2）求代数式﹣2x2﹣4x+3的最值．
24．（10分）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
（1）每千克茶叶应降价多少元？
（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
25．（10分）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B开始沿边BA以1cm/s的速度向点A移动，同时点Q也从点B开始沿BC边以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达A或者C时停止运动．
（1）几秒后PQ长度为6cm？
（2）几秒后△PBQ的面积是24平方厘米？
26．（10分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0，
∴n＝2，m＝2．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，则x＝ ，y＝ ；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，求△ABC的周长．
